中考数学一轮复习重难点强化训练：全等三角形（知识串讲+10 大考点）原卷版

专题04全等三角形

考点类型

考点1:全等三角形判定

——直接判定

模块四图形的性质

04讲全等三角形

考点io：全等三角形性质与判定

（一）全等三角形的性质

①全等三角形的对应边、对应角相等.

②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.

③全等三角形的周长等、面积等.

（二）全等三角形的判定

①SSS（三边对应相等）②SAS（两边和它们的夹角对应相等）

③ASA（两角和它们的夹边对应相笠）@AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）

☆直角三角形全等

（1）斜边和一条直角边对应相等（HL）

（2）证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.

（三）全等三角形常见辅助线

（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明

全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等条件.

（2）全等三角形中的辅助线的作法：

①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.

②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD0Z\EBD,则AC=BE.在4ABE中，AB+BE

>AE,即AB+AO2AD.

考点1:全等三角形的判定一一直接判定

典例1：（2024上•陕西延安•八年级统考期末）如图，48=CD,BF=CE,AE=DF.求证：AABE=ADCF.

【变式1】（2023上•浙江温州•八年级校考期中）如图，点、E,尸在CD上，ACWBD,AC=BD,CF=DE,

求证：KAEC=△BFD.

【变式2］（2024上•云南昆明•八年级统考期末）如图所示,点E在AB上,点D在4C上,NB=AC,AD=AE.求

证：△ABD=△ACE.

【变式31（2023上•浙江温州•八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，N4=乙B,AE=BE,点。在AC

边上，Zl=Z2,4E和8。相交于点O,求证：△4ECmABED.请补全证明过程，并在括号里写上理由.

B

证明：0Z1=42(),

[21Z.1+=Z.2+,

国乙AEC=,

Z-A=Z-B

在△NEC和△BEO中，AE=

^AEC=乙BED

[?]△AEC=△BED().

【变式4］（2023上•天津静海•八年级校考期中）如图，已知NC=4产=90。，AC=DF,AE=DB,BC与EF

交于点0,求证：AABC卦DEF

CF

Q

AEBD

【变式5]（2023上•辽宁盘锦・八年级校考期末）将448c和4DEF如图放置.已知AB=DE,ZD+/.CHF=

180°,ABWEF,

求证：AABC=ADEF.

考点2：全等三角形的判定一一多次判定

典例2：（重庆市合川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，正方形4BCD中，E是BC边上一

点，连接2E,以AE为边在力B右侧作正方形力EFH,连接AF,交CD于点N,连接EN.过点尸作FG1BC交BC

的延长线于点G.

H

（1）求证：BE=CG；

(2)求证：BE+DN=EN.

【变式1】（2023上•黑龙江哈尔滨•八年级校考期中）如图，AB=AC,2。18C于点。，AD=AE,28平

分ND4E交DE于点F.

⑴求证：aABE三△ACD

（2）直接写出图中所有全等三角形（AaBE三△4CD除外）.

【变式2］（2021下•福建福州,七年级校联考期中）在矩形2BCD中，AB=6,AD=8,E是边BC上一点,

以点E为直角顶点,在4E的右侧作等腰直角△4EF.

（1）如图1,当点尸在CD边上时，求BE的长.

（2）如图2,若EF1DF,求BE的长.

【变式3］（2023下•湖北随州•八年级统考期末）已知正方形48CD,E为对角线8。上一点.

图1

⑴如图1,连接2E,CE,求证：AADE=△CDE-,

(2)如图2,产是力E延长线上一点，CF1CE,EF交CD于点G,判断△CFG的形状，并说明理由;

⑶在（2）的条件下，若48=3,CG=2DG,连接。尸，直接写出。尸的长为.

考点3：全等三角形的判定一一网格应用

典例3：（2022上•重庆潼南•八年级校联考期中）如图，在3X3的正方形网格中标出了N1和N2,贝+/2=

【变式1］（2022上,湖北武汉•八年级统考期中）在如图所示的3x3正方形网格中，Zl+Z2+Z3=

【变式2］（2022上•江苏无锡,八年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同

的小正方形，则m+回2的度数为.

【变式3］（2022・山东济南•统考二模）如图，在4X4的正方形网格中，求a+0=度.

考点4：全等三角形的判定一一尺规作图

典例4：（2023上•河南潺河•八年级统考期中）如图，已知AABC,请根据下列要求进行尺规作图，不写作法,

保留作图痕迹.

（1）求作AOEF,使△DEF三△ABC,你的依据是；（填“SSS、SAS、ASA或AAS"）

⑵分别求作N4BC和N4CB的平分线，两平分线交于点O；

⑶在（2）的条件下，若乙4=70。，则N80C的度数为.（直接写出结果）

【变式1】（2022•福建福州•福建省福州屏东中学校考二模）如图，在A4BC中,AB=AC,力。1BC于点£>,

NB4C为锐角.

⑴将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90。），在图中求作点。的对应点E,使得BE=3BC；（要求:

尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，过点C作CF14B于点尸，连接ERBE,若sin/EBA=畀求号的值.

【变式2】（2021•湖北武汉•九年级专题练习）求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，AABC

A'B'C,AO是0ABe的中线.

（1）求作/AB'C'的中线4D'（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

（2）求证：AD=A'D'

【变式3］（2020上•上海奉贤•八年级校考期末）如图，已知四边形ABCD中，AB=24,AD=15,BC=20,CD=7,

BADB+0CBD=9O".

（1）在BD的上方作回A'BD,使回A'BDEBADB（点A与点4不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求四边形ABCD的面积.

BD

C

考点5：全等三角形的判定一一连接线段

典例5：（2020上,江西南昌•八年级期末）如图，以。为直角顶点作两个等腰直角三角形Rt△。4B和Rt△OCD,

且点C在线段力B上（力、B除外），求证：AC2+BC2=CD2

【变式1]（2024上•河南洛阳•八年级偃师市实验中学校考期中）如图，4C与BD相交于点。，AB=DC,AC=

BD.求证：AABO=ADCO.

【变式2]（2023上,浙江杭州•八年级统考期中）如图，AB14c于点4BD1CD于点与BD交于点。,

AC=DB.求证：。4=OD.

【变式3](2020,湖南邵阳•统考模拟预测)如图，BD是回0的直径,AB与回0相切于点B,点C在00±,CD0AO,

求证：AC是团。的切线.

考点6：全等三角形的判定一一倍长中线

典例6：(2023上•全国•八年级期末)【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1,△力8c中，若4B=8,AC=6,求BC边上的中线力。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到

了如下的解决方法：延长4D到点E,使=请根据小明的方法思考：

(1)由己知和作图能得到A2DC=AEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得力D的取值范围是.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<7D.1<AD<7

【感悟】

解题时，条件中若出现"中点""中线"字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证

的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,4。是△ABC的中线，BE交AC于E,交4。于F,5.AE=EF.求证：AC=BF.

【变式11（2023上•全国•八年级期末）如图，在△力BC中，点。是"的中点，分别以4B,BC为腰向AABC外

作等腰三角形28M和等腰三角形BCN,其中,AB=8M,BC=N,^ABM=120°,NNBC=60。,连接MN.

⑴请写出8。与MN的数量关系，并说明理由.

（2）延长。8交MN于点R求乙MFB的度数.

【变式2】（2023上,全国•八年级专题练习）如图，在△4BC中，4D为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交

AD于点孔已知AE=EF.求证：AC=BF.

【变式3］（2023上,山西长治•八年级校联考期中）如图，AD,4F分另I」是△ABC的中线和高，BE是△4BD的

角平分线

(1)若ABE。=60°,/.BAD=40°,求NBZF的度数.

(2)若4B=8,4C=6,求中线2D长的取值范围.

考点7：全等三角形的判定一一截长补短

典例7：(2023上•山西长治•八年级校联考期中)综合与探究

数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究.

(1)如图L在四边形ABCD中，AB=AD/B=m=90。,E,尸分别是边BC,CD上的点，且NR4F=：/员4£).请

探究线段EF,BE,FD之间的数量关系.下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整.

解：延长直到G,使得=连接AG

AB=AD

在^ADF^^ABG=^ADF=90°

BG=DF

ABGADF{SAS),团AG=AF,^BAG=^DAF

国乙BAG+Z-BAE=Z-DAF+Z-BAE

G/IBEC

1

^\Z-EAF=-/.BAD,团乙G/E=/-EAF图1

2

(2)班长李浩发现在如图2所示的四边形2BCD中，若4B=+=180。，E,尸分别是边BC,CD上的

点，且2瓦49=3/艮4。，(1)中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由.

⑶如图3,在四边形4BCD中，4B=AD/B+^ADC=180°,E,尸分别是边BC,CD延长线上的点，且NE4F=

"BAD,请判断线段EF,BE,FD之间的数量关系，并说明理由.

图3

【变式1】（2023上,江西赣州,八年级统考期中）我们定义：如图1,在四边形ABCD中，如果乙4=a,zC=

180。-a,对角线8。平分NABC,我们称这种四边形为“分角对补四边形

图1图2图3

⑴特例感知：如图1,在"分角对补四边形"48CD中，当a=90。时，根据教材中一个重要性质直接可得ZM=

DC,这个性质是；（填序号）

①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理

（2）猜想论证：如图2,当a为任意角时，猜想与0c的数量关系，并给予证明；

⑶探究应用：如图3,在等腰△力BC中，^BAC=100°,BD平分乙4BC,

求证：BD+AD=BC.

【变式2】（2022上■四川绵阳•八年级校考期中）如图，已知4c=60。，是A4BC的角平分线，且交

于点P-

⑴直接写出NDPE=。；

（2）求证：PD=PE；

⑶探究力B、AD.BE的数量关系.

【变式3](2023•江苏•八年级假期作业)正三角形ABC中，E在上，尸在4c上，AEDF=60°,DB=

DC.^BDC=120°,请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？

D

考点8：全等三角形的判定一一作平行线

典例8：(2023上•安徽亳州•八年级统考期末)已知：如图，点。是等边△ABC的边力C上一点，点E在边力B的

延长线上，连接DE交CB于点?

⑴若点产是DE的中点，CD=3,贝UBE的长为

(2)若CD=BE,点/是否为DE的中点？如果是，请证明；如果不是，请说明理由.

【变式1](2023上•广东珠海•八年级统考期末)在等边△ABC中，点E为边48上任意一点，点。在边CB的延

长线上，且ED=EC.

(1)如图1,若点E为力B的中点，求证：AE=DB；

(2)如图2,若点E为4B上任意一点，求证：AE=DB.

【变式2】（2023上,全国•八年级专题练习）如图，△ABC是等边三角形，点。在线段AC上且不与点A、点

C重合，延长BC至点E使得CE=力。，连接OE.

⑴如图①，若。为AC中点，求NE；

（2）如图②，连接BD,求证：乙DBE=KE.

【变式3］（2024上•陕西延安•八年级统考期末）问题提出

（1）已知在等边三角形4BC中，点E在4B上，点。在C8的延长线上，且£D=EC.

①如图1,当E为A8的中点时，则4EDB.（填"或"="）

图1

②如图2,当E为48边上任意一点时，请判断4E与DB之间的数量关系，并给予证明.

DBC

图2

问题解决

（2）如图3,现有一块不规则图形的钢材，它是由一块等边A/IBC和一块等腰AEDC焊接而成的（焊接过

程不考虑变形），设计要求等腰AEDC的顶点E刚好在线段4B的延长线上，若AB=2m,AE=3m,求CD的

长.

图3

考点9：角平分线的性质与判定

典例9：（2024上•安徽池州,八年级统考期末）如图，OC平分AMON,P为。C上一点，PA1OM,PB1ON,

垂足分别为A,B,连接2B,4B与。P交于点E.

⑴求证：AOPAW4OPB；

(2)若4B=6,求4E的长.

【变式1］（2023上•山东烟台•七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-［%+6与两坐标轴

分别交于点A,B.BC平分2。84交无轴于点C,过点C作CDLAB,垂足为D

⑴求点C的坐标；

⑵求直线BC的表达式；

⑶若P是直线8C上一点，且满足SAAOP=SMDP，求点尸的坐标.

【变式2】（2023下•全国•八年级假期作业）如图，在0ABe中，0ABe的平分线与0ABe的外角0ACE的平分

线交于点尸，过点尸作尸ZMAC于点。，PHSBA,交BA的延长线于点打，连接AP.求证：AP平分SHAD.

【变式3］（2024上•安徽滁州•八年级统考期末）如图，点C在线段BD上，分别以BC、CD为边在BD的同一

侧作等边△力BC和等边△ECD,BE与AD相交于点O,BE交4C于点M,AD交CE于点、N.

(1)求证：4BCEm4ACD；

(2)求AB。。的度数；

⑶连接。C.若/为AC的中点，0B=6,求C。的长.

考点10：全等三角形的性质与判定

典例10：(2023上•全国•八年级课堂例题)如图所示，△48。和A4E