中考数学一轮复习重难点强化训练：全等三角形（分层训练）解析版

专题04全等三角形（分层训练）

\J

分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2022•云南红河•统考二模）数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留

作图痕迹.学生小敏的作法是：如图，N40B是已知角，以。为圆心，任意长为半径作弧，与04、OB分

别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线OC是乙A0B

的角平分线.小敏作图的依据是（）

R

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【答案】D

【分析】根据SSS证明三角形全等，可得结论.

【详解】解：由作图可知。MC=NC,

又EIOC=OC,

EEOMCH2ONC,（SSS）

^MOC^SNOC,

EIOC平分2L4O2,

故选：D.

【点睛】本题考查作图一复杂作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所

学知识解决问题.

2.（2023上•辽宁大连•八年级校联考阶段练习）如图，在必EL42c中，13c=90。，40是0B/C平分线，DE04B,

垂足为E,若0）=10,则的长度为（）

A.

E/

BDC

A.10B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.

【详解】解：EL4D是的角平分线，回。=90。，DE^AB,CD=W,

iar）E=CD=io,

故选：A.

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

3.（2023•福建厦门•厦门一中校考模拟预测）小明在做一道数学题时，看到这样的条件"如图，在ATIBC中，

AD=BD=3,AE平分EICAD,DE垂直AB,"他马上得到了如下结论并说明了理由，他发现的结论和理由正确

的是（）

A.他发现CE=DE,理由是角平分线上的点到角两边的距离相等

B.他发现CE=DE,理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

C.他发现AE=BE,理由是角平分线上的点到角两边的距离相等

D.他发现AE=BE,理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

【答案】D

【分析】由角平分线的性质可判断A,由线段垂直平分线的性质可判断B,C,D,从而可得结论.

【详解】解：由AE平分回CAD,DE垂直AB,得不到CE=DE,

所以理由是角平分线上的点到角两边的距离相等错误，故A判断错误；

由题干中没有2E是CD的垂直平分线，所以得不到CE=DE,

所以理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等错误，故B判断错误；

0AD=BD=3,DE垂直AB,

团AE=BE,理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；故C错误，D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键.

4.（2023•河北石家庄•校考二模）如图，证明矩形的对角线相等.

已知：四边形2BCD是矩形.

求证：AC=BD.以下是排乱的证明过程：

①AB=CD,/.ABC=乙DCB,

②•.•四边形4BCD是矩形，

③•••BC=CB,

④AC=BD,

（5）.-.AABC=ADCB

证明步骤正确的顺序是（）

A.③①②⑤④B.②①③⑤④C.②⑤③①④D.③⑤②①④

【答案】B

【分析】根据SAS定理证明三角形全等，进而得出对应边相等.

【详解】解：回四边形ABCD是矩形

EIAB=CD、EABC=EDCB

EIBC=CB

0AABC0ADCB

0AC=DB

所以正确顺序为②①③⑤④.

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的证明，矩形的性质.理清证明过程是排序的关键.

5.（2023•安徽•九年级专题练习）如图所示，点。在NBAC的角平线上，DE，4B于点£,£＞尸1AC于点尸,

连结EF,BC14。于点D,则下歹!j结论中①DE=DF；@AE=AF；③NAB。=ZXCD；④乙EDB=Z.FDC,

其中正确的序号是（)

A.②B.①②C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再利用证明R&4DE和R您4DF全等,

根据全等三角形对应边相等可得凡全等三角形对应角相等可得幽世=幽。尸，根据垂直的定义可得

EL4£>5=EL4£>C=90°,然后求出回EZ）8=EIFDC,再根据等角的余角相等可得EU8D=EUCD

【详解】四点。在N84C的角平分线上，

DE1AB,DFVAC,

WE-DF,故①正确；

在RtAAOE和RtAAOF中，

DE=DF

团Rt△ADE三Rt△40F（HL）,

EL4E=AF,Z.ADE=Z.ADF,故②正确；

EIBC1AD,

^ADB=/.ADC=90°,

^ADB-/.ADE=/.ADC-/.ADF,^/.EDB=/.FDC,故④正确；

^Z-ABD+乙EDB=90°,AACD+乙FDC=90°,

El乙48。=乙4CD,故③正确；

综上所述，正确的是①②③④.

故选D.

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等角的余角

相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

6.（2023上・江苏•八年级校考周测）如图，△28C三△ADE,BC的延长线交DE于尸，乙8=30°,ZXED=110°,

ADAC=10°,贝IJNDFB的度数为（）

■D

AB

A.40°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】利用互补的关系求出41CF,再利用8字模型及全等性质解题即可.

【详解】解：0AABC=AADE,

^AED=^ACB=110°,4。=NB=30°,

0ZXCF=180°-110°=70°,

由三角形内角和为180。可知：ADAC+AACF=ND+乙DFB,

Bl^DFB=70°+10°-30°=50°

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，能够利用全等的性质求出角度是解题关键.

7.（2022•重庆•统考中考真题）如图，在正方形4BCD中，4E平分NB4C交8c于点E,点F是边4B上一点,

连接DF,若BE=4F,则NCDF的度数为（）

C.67.5°D.77.5°

【答案】C

【分析】先利用正方形的性质得到4。=AB,^DAF==乙40c=90°,Z.BAC=45°,利用角平分线的

定义求得NB4E,再证得△ABESADAF（SAS）,利用全等三角形的性质求得4WF=ABAE=22.5°,最后

利用NCDF=Z.ADC-44。尸即可求解.

【详解】解：•••四边形4BCD是正方形,

SAD=AB,Z.DAF=Z_B=/.ADC=90°,LBAC=45°,

EL4E平分NB4C交BC于点E,

SZ.BAE=-/.BAC=22.5°,

2

在△力6石和^DAF'V,

AD=AB

Z.DAF=Z.B,

.BE=AF

0AABE=ADAF（SAS）,

0ZXPF=4BAE=22.5°,

EINCDF=^ADC-^ADF=90°-22.5°=67.5°,

故选：C

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形

的判定方法是解题的关键.

8.（2022•吉林长春•统考一模）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC,按以下步骤作图：①以点/

为圆心，以任意长为半径作弧，分别交NC、于点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于巳MN的长为

半径作弧，两弧在NB47内交于点O；③作射线NO,交BC于点、D.若点。到N8的距离为1,则8c的长

为（）

A.1B.2C.1+V2D.2+2/

【答案】C

【分析】由题目作图知，是回。/8的平分线，过点。作。〃财8,则CD=D〃=L进而求解.

【详解】解：过点D作DHSAB,则DH=1,

由题目作图知，4D是国C48的平分线，

HB

贝ljCD=DH=1,

EH4BC为等腰直角三角形，故05=45。，

则△ZV/8为等腰直角三角形，故BD增HD/,

则BC=CD+BD=\+a,

故选：C.

【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握

基本作图方法.

9.（2023上•山东•八年级校联考阶段练习）如图，任意画一个〃=60。的/4BC,再分别作ZL4BC的两条角

平分线BE和CD,BE和CD相交于点P,连接4P,有以下结论：①NBPC=120。；②&P平分N82C；③4P=PC；

④BD+CE=BC；®SAPBD+SAPCE=SAPBC,其中结论正确的是（）

A.①②④⑤B.②③⑤C.①②⑤D.①②③④

【答案】A

【分析】由题意易得®ABC+EIACB=12O°,EABE=ECBE,0ACD=EBCD,进而可判断①，由三角形的角平分线交

于一点，故可判断②，对于④先在BC上截取BF=BD,连接PF,然后根据三角形全等可求证，由④及根据

等面积法可求证.

【详解】解：••・N4=60°,

.­.0ABC+0ACB=12O°,

••・分别作A4BC的两条角平分线BE和CD,BE和C。相交于点P,

•••[3ABE=ECBE,0ACD=[3BCD,

•••乙BPC=180°-（乙PBC+ZPCB）=180°-1QABC+乙4CB）=120°,故①正确；

过点P分另IJ作PMEIAC,PN0AB,PH0BC,分别交AC、AB、BC与点M、N、H,在BC上截取BF=BD,连接PF,

如图所示:

E

;.PM=PH=PN,

.•.AP平分EIBAC,故②正确；

••,BP=BP,

••屈BDP团团BFP（SAS）,

•・,团DPB二团EPC二团PBC+团PCB=60°,

・••回DPB二团BPF二团FPC二团EPC=60°,

•••PC=PC,

・••团FPC团国EPC（ASA）,

・・・EC=FC,

BD+CE=BC,SAPBD+S/PCE=^APBC»

故④⑤正确，③错误；

故选A.

【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的

性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质是解题的关键.

10.（2023,湖南娄底,校考一模）如图，点P是正方形/BCD的对角线8。上一个动点，PE05C于点£,刊同CD

于点尸，连接斯，有下列5个结论：①AP=EF；（2）APSEF；③EAP。一定是等腰三角形；®^PFE=^BAP-,

⑤斯的最小值等于”以其中正确结论的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】延长尸尸交于点N,延长NP交E尸于点“，只需要证明EL4NFEE尸尸E得到/P=E尸，^PFE=WAP

即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据尸的任意性可以判断③；AP=EF,当/P

最小时，所有最小值，即可判断⑤；

【详解】解:延长尸尸交48于点N,延长/P交铲于点

-------------------71°

K

EC

团四边形ABCD是正方形.

^ABP=^\CBDfI14BC=90°,AB=BC,

又田出PE^\BC,

^\PNB=^\NBE=^PEB=9Q°,PN=PE,

团四边形瓦VPE是正方形，^ANP=^EPF=90°,四边形5CW是矩形，

^NP=EP=BE,BC=NF,

如IN=PF,

在幽NP与中,

,NP=EP

乙ANP=Z.EPF,

.AN=PF

^EANP^iFPE（SAS）,

^AP=EF,^PFE=^BAP（故①④正确）；

在EMPN与EFPM中，SAPN^PM,^NAP^PFM,

EEPA/F=EL4NP=90°,

^AP^EF,（故②正确）；

即是上任意一点，因而西是等腰三角形不一定成立，（故③错误）;

a4P=E尸,

El当AP^BD时，4P有最小值即跖有最小值,

^AB=AD,APSBD,

团此时尸为3。的中点，

又03540=90°,

EL4P=|S£»,即跖的最小值为（BD（故⑤正确）

故正确的是：①②④⑤.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，

正确证明△NNP酿EPE,以及理解P的任意性是解决本题的关键.

11.（2023上•重庆•八年级万州外国语学校天子湖校区校联考阶段练习）如图，在尺35C中，回C=90。，朋

的平分线交2c于点。，过点C作CGa45于点G,交AD于点E,过点。作。闻AB于点?下列结论：

①M=EL4CG；

②CE=DF；

③团。£。=团。£）£；

@SAAEC：SAAEG=AC：AG.

上述结论中正确的个数是（）

C

AGFB

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】由CGEL48于点G得至崛a3+EL4CG=90。,然后由回。=90。得至胆IC/3+0S=9O。,从而得到I38=EUCG,

①正确；由/。平分EI3/C得至胆C4£>=的。，从而得至胞CDE=90。-EIC/。，由CGEL4B得到EL4£G=90。-

05/0,从而得到mEG=MCDE,然后结合对顶角相等得至腼CEO=囱CDE,③正确；然后得到C£=CD,再

由/。平分EB/C,EC=90°,。丽48得至!|CD=DF,即可得到CE=DF,②正确；过点E作£7向4c于点打，

贝l|EH=EG,然后得至【JSA/EC="C.£■”="（7.EG,S^AEG^AG•EG,从而得至l|SOEC：SAAEG=AC：

AG,④正确.

[WJ解：回CG团45,

WCGA=90°,

团团。8+团NCG=90°,

团团C=90°,

团团G45+姐=90°,

^B=^ACG,故①正确；

胡。平分团B/C,

^\CAD=^BAD,

盟C=90°,BCGA=90°f

^\CDE=90°-©cm财EG=90°-^BAD,

^AEG=^CDE,

^CED=^\CDE,故③正确；

中CE=CD,

94。平分加C,0C=9O°,DF^AB,

团CD=QF,

^CE=DF,故②正确；

如图，过点E作£7疯4C于点H,则E〃=EG,

^S^AEC=^AC-EH=^AC-EG,

i

EISANEG="G•EG,

EISA/EC：SAAEG=AC：AG,故④正确;

团正确的个数是4个，

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知

直角三角形的两个锐角互余.

12.（2022下•福建福州•九年级福建省福州延安中学校考阶段练习）如图，在MANBC中，0C=9O°,SCAB

的平分线交2C于。，是N2的垂直平分线，垂足为E.若2c=9,则。E的长为（）

A.3B.4C.4.5D.5

【答案】A

【分析】由角平分线和线段垂直平分线性质可求出NB=30。，DE=DC,继而推出OC=,BC=3,即可得

到答案.

【详解】•••DE是的垂直平分线，

•••AD=BD/BED=90°,

•••Z.B=Z.DAE,

vAD平分团口

•••Z.DAC=Z.DAE.

•・•0C=9O°,

••・Z-B+^BAC=90°=34B,

・•・（B=30°,

i

・•・DE=-BD,

2

-AD平分团C4B,DE1AB,CD1AC,

•••DE—DC.

•・・BC=9,

•••DC=-BC=3,

3

DE=3.

故选：A.

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

13.（2022•广东广州•校考二模）如图，在矩形/BCD中，AB=3,BC=4,连接3D,作EIC8。的平分线交

。于点£,则CE的长度为（）

【答案】A

【分析】作昉鲂。于〃，证得可知3C=A??=4,EC=EH,设EC=EH=x,则在尺位（£77

中，DE2=DH2+EH2,即（3-x）2=#+/,将方程即可求得CE.

【详解】解：作加8。于8,如图所示，

EL45=CZ)=3,BC=AD=4,EIC=90°,

05Z)=y/BC2+CD2=5,

勖£平分EICBD,

^EBC=^EBH,

在和0£BC中，

乙EHB=ZC=90°

{4EBH=Z.EBC,

BE=BE

0ELE5/700F5C,

51BC=BH=4,EC=EH,设EC=EH=x,

在R^DEH中，

^DE2=DH2+EH2,

0(3-X)2=12+/,

4

取=一，

3

4

0C£=-,

3

故选：A.

【点睛】本题主要考查的是勾股定理求边长，三角形全等判定与性质，矩形的性质，做出合适的辅助线,

列出对应的方程是解题的关键.

14.（2023,安徽•校联考二模）如图，点E,尸分别为正方形/BCD的边8c的中点，AF,相交于G,

则差的值为（）

GF

A.2B.三C.也D.在

3524

【答案】A

【分析】设正方形的边长为2a,则2F=3E=/E=a,AF=0然后说明EAgEfflZME得到勖物=曲£。,进一步

证明EAEGEB4ra,然后求得NG和GF的长，最后求”的值即可.

GF

【详解】解：设正方形的边长为2m则BF=BE二AE=a,AF=V5a

团正方形/BCD,

回的48二蜘5C=90。，AD=AB

在的5尸和的4E中

AD=AB

{/.ABC=A.DAE

BF=AE

^BABF^DAE（SAS）

^BFA=^AED

在的EG和明必中，

^AED^AFB,^BAF=^BAFf

^\AEG^\AFB

r-iAEAGD|-IaAG-2V5

0—=一，即k=—,贝Ij/G二一a

AFABV5a2a5

^GF=AF-AG=^a一手a=等。

2V5a

胖=^=L

GF3近a3

5

故选A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判断与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点,

灵活应用相关知识点成为解答本题的关键.

15.（2023•江苏无锡•江苏省锡山高级中学实验学校校考二模）如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，

连接4F,以4F为斜边作等腰直角AAEF.有下列四个结论：①NC4F=4ME；②点E在线段BD上；③当

乙4EC=135。时，CE平分“CD；④若点尸在BC上以一定的速度由B向C运动，则点F的运动速度是点E运动

速度的2倍.其中正确的结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：/.FAE=Z.DAC=45°,从而可判定①；由ACAFsA

。力E可得N4DE=乙CDE=45°,由正方形的性质可证明△力DE三△CDE,可得4E=CE,即有NE4C=NEC4,

再由N4EC=135。可得NE4C=/.ECA=22.5°,从而CE、4E分另U平分N4CD、ACAD,即可判定③；连接BD

交4C于点。，由乙405=4。。《=45。知，点石的运动轨迹为线段。。，而点F的运动轨迹为线段BC,即可判

断②，由BC=鱼。。知，点尸的运动速度是点E的运动速度的&倍，即可判断④，因而可确定答案.

【详解】解：•••四边形ABCD是正方形，力C是对角线，

AD=CD,/.ADC=90°,/.DAC=/.DCA=AACB=45°,

・・・△4EF是等腰直角三角形，

.­./.FAE=/.DAC=45°,

•••/.FAE=Z.CAF+Z.CAE=/.CAE+Z.DAE=Z.DAC=45°,

Z.CAF=Z-DAE,

故①正确；

,也AEF、△ZMC都是等腰直角三角形，

AC=近AD,AF=yf2AE,

.竺_竺_起

ADAE

Z.CAF=Z.DAE,

•••△CAF^△DAE,

/.ADE=Z.ACB=45°,即点E在线段BD上,

故②正确；

•・•乙ADC=90°,

・•・AADE=乙CDE=45°,

在△40£*和4CDE中，

AD=CD

Z.ADE=Z.CDE,

、DE=DE

.*.△ADE=△CDE(SAS),

・•.AE=CE,

•••Z.EAC=Z-ECA,

•・•Z.AEC=135°,

.­./.EAC=/.ECA=|(180°-^AEC)=22.5°,

Z.DAC=/.DCA=45°=2/.EAC=2z.ECA,

:.CE、AE分另U平分乙4m/.CAD,

故③正确；

如图，连接BD交AC于点。，

•••AADE=乙CDE=45°,

当点F与点B重合时，点E与点。重合；当点尸与点C重合时，点E与点。重合，

.・•点E的运动轨迹为线段。。，而点尸的运动轨迹为线段2C,

••・BC=CD=<2OD,且点F与点E的运动时间相同，

Vp—，

故④错误；

故选：C.

【点睛】本题是一个综合性较强的题目，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判

定与性质，相似三角形的判定与性质，点的运动路径的确定等知识，熟练运用这些知识是正确解答本题的

关键.确定点E的运动路径是本题的难点所在.

二、填空题

16.(2022上•山东青岛•九年级校考期末)如图，在正方形力BCD中,E为AD的中点，F为4B的中点，DF的

延长线与CB的延长线交于点“，CE与。”相交于点G.若CG=4有，贝IJBG的长为

【答案】10

【分析】根据正方形的性质可求出AAD尸三△DCE(SAS),LAFD=ABFH(ASA),则有点B为CH的中点，BG

是的中线，再证△ADF-AGHC,根据三角形相似的性质可求出CH的长，由此即可求解.

【详解】解：回正方形4BCD中，E为4D的中点，尸为2B的中点，

EL4B=BC=CD=40,NA=/.ABC=乙BCD=Z.ADC=90°,4尸=BF=AE=DE,

0AADFDCF(SAS),

EIZXFD=MED,

0ZXDF+Z.AFD=90°,

0ZXDF+ACED=90°,即CE1DH,

EIF为ZB的中点，即4F=BF,AAFD=ABFH,Z/1=^ABH=90°,

0AAFDmABF"(ASA),

0BW=AD=BC,

回点B为CH的中点，

在RtAAFD,RtACGH中，BG是CH的中线，

EIBG=BH=BC,

EICE1DH,即Z.CGH==90°,4H=/.ADF,

0AADFGHC,且CG=4强，AF=^AD,

^ADGH2/1FGH

回而=茄,R即n左=运

0GH=8V5,

,I22

EICH=VCG2+GH2=J（4A/5）+（8V5）=20,

E1BG^-CH,

2

0BG=ix20=10,

2

故答案为：1。.

【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形的全等的判定和性质，三角形的相似的判定和性质，直角三

角形的勾股定理，掌握正方形的性质，三角形全等，相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键.

17.（2023上•福建福州•八年级校考期中）如图，若AZBC三AEFC,S.CF=3cm,则BC=.

【答案】3cm

【分析】根据全等三角形的对应边相等求解即可.

【详解】EIA4BC三AEFC,

国BC=CF,

团CF=3cm,

团BC=CF=3cm,

故答案为：3cm.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键.

18.（2023•山东济宁•校考一模）如图，在AABC中，点力的坐标为（一1,1）,点B的坐标为（3,1）,点C的坐标为

（-2,3）,如果要使以4B,。为顶点的三角形与△ABC全等（点D不与点C重合），那么点。的坐标是.

【答案】（—2,—1）或（4,3）或（4,—1）

【分析】根据题意画出图形，根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：如图所示：

回点4的坐标为（一1,1）,点B的坐标为（3,1）,点C的坐标为（—2,3）,

回Di的坐标是（-2,-1）,D2的坐标是（4,-1）,D3的坐标是（4,3）,

故答案为：（-2,-1）或（4,3）或（4,一1）.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大.

19.（2022•云南临沧•统考一模）如图，在四边形/O8C中，乙4=NB=90。，BC=AC.有以下四个结论:

①乙4。。=Z.BOC,②乙4C。=乙BCO,③。C=2AC,（4）0A=OB,其中一定正确的结论有填序号）

【答案】①②④

【分析】根据直角三角形的全等判定证明△C04C08,再利用全等的性质进行判断即可.

【详解】解：由题意得，在RtZkC。/和Rt/XCOB中

（AC=BC

[CO=CO'

・•.△COA=△COB（HL）,

Z.COA=乙COB,Z-ACO=Z.BCO,OA=OB,

所以①②④正确，

当N40C=30。时，才有。C=2AC.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质，本题解题关键是证出ACOA三AC。瓦

20.（2023上•广东惠州•八年级校考阶段练习）如图，已知IWOS=EWOS,PA^OM,垂足是/,如果4P=5cm,

那么点尸到ON的距离等于cm.

【答案】5

【分析】过点P作PB,ON于点B,根据角平分线的性质求解即可.

【详解】如图，过点P作PB1ON于点B,

■■■^MOS=QNOS,PA^\OM,

・•.BP=AP=5cm

・•,点尸到ON的距离等于5

故答案为：5

【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）是解

题的关键.

21.（2022上•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨市第——三中学校校考阶段练习）如图，在RtA4DC中,NC=90°,

8在CD的延长线上，连接力B,点£在4C上，连接DE,4D平分ABAC,CE=2AE,DB=DE,CD=3,则

4C的长为.

【答案】6

【分析】如图，过。作QF14B于F,证明DF=CD=3,Rt△EDCsRtABDF（HL）,可得BF=CE,设力E=x,

则CE=2x=BF,由勾股定理可得：AC=AF=3x,证明△BFDfBCA,可得BD=5,由8产+OF2=BD2

可得：（2无t=52-32=16,从而可得答案.

【详解】解：如图，过。作。F14B于尸，

0ZC=90°,4。平分48",CD=3,

0£>F=CO=3,

回08=DE,

团Rt△EDC三Rt△8。尸（HL）,

回BF=CE,

设4E=x,贝!]CE=2x=BF,

0CO=DF,AD=AD,

IB由勾股定理可得：AC=AF=3x,

0AB=5x,

团乙B=乙B,乙BFD=乙ACB=90°,

0ABFDBCA,

EDF_BD_BF

UAC-AB-BC

团「-B-D=—3

5%3%

EIBD=5,

自由BF2+DF2=SU可得：（2x）2=52-32=16,

解得：x-2,

团4c=3%=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理的应用，相似三角

形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形与相似三角形是解本题的关键.

22.(2023上•四川成都・八年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，长方形0ABe的顶点A,C分别在x

轴、V轴上，B点坐标为(1,2),将小ABC沿AC翻折，使B点落在D点位置，AD交y轴于点E,则D点坐

【分析】过D作DFI3AF于F,根据折叠可以证明EICDEEHAOE,然后利用全等三角形的性质得到OE=DE,OA=CD=1,

设OE=x,那么CE=2-x,DE=x,利用勾股定理即可求出0E的长度，在团CDE中利用面积法可求得OF的长,

再利用勾股定理求出DF的长，也就求出了D的坐标.

【详解】作。F1x轴于F点,

由折叠的性质可知CD=CB=CM,AB=AD,乙CDE=LB=90°,

,Z.CED=AAEO

在ACDE与AAOE中，\z_CDE=^AOE=90°,

CD=AO

0ACDE三△40EQ44S),

^\AE=CE,OE—DE,

财1,2),

回。4=CB=CD=\,AB=CO=AD=2,

设。E=x,贝UE=2-x,

222

在RtzMOE中，由勾股定理得：AE=OE+OAf

0(2-%)2=%2+l2,

解得：%=p4

35

团。

E=DE=-4,4AE=CE=

S\SHCDE^ICD-DE=^CE-OF,

团0F=*W=三，

5

CEI

EL4F=OF+。4=三+1=A

55

在RtAADF中，AD2=AF2+DF2,即22=(§2+。?2,

解得：DF=l，

初(一91)•

【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用

隐含条件得到全等三角形，然后利用它们的性质即可解决问题.

23.（2022•河南洛阳・统考二模）如图，正方形4BCD中，48=6,点E为对角线NC上的动点，以DE为边

作正方形。斯G,点发■是8上一点，DH=*D,连接G8,则G8的最小值为

【答案】V2

【分析】连接CG,证明AaDE三△CCG(SaS),推出乙DCG=N£ME=45。，推出点G的运动轨迹是射线CG,

根据垂线段最短可知，当GH_LCG时，GH的值最小.

【详解】连接CG,

•••四边形4BCD是正方形，四边形DEFG是正方形，

DA=DC,DE=DG,"DC=MOG=90°,N£MC=45°,

•••Z-ADE=Z-CDG,

・•・△ZOEW2kCOG(S/S),

・•・乙DCG=Z.DAE=45°,

二点G的运动轨迹是射线CG,

根据垂线段最短可知，当GHLCG,GH的值最小，

2

VDH=-CD=4,

3

•••CH=CD-DH=2,

二最小值=CH-sin45°=V2.

故答案为：V2.

【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答.

24.(2023・江苏宿迁•统考二模)如图，四边形4BCD为正方形，点£是BC的中点，将正方形4BCD沿4E折叠,

得到点2的对应点为点R延长EF交线段DC于点P,若DP=2,则正方形的边长为

BEC

【答案】6

【分析】连接2P，根据正方形的性质可得4B=BC=AD,LB=KC=KD=90°,再由翻折的性质可得2B

AF,BE=EF/AFE=NB=90°,从而可证Rt△AFP=Rt△ADP,即可得DP=FP,设BE=x,贝=x,

EP=x+2,PC=2x-2,利用勾股定理可得％=3,即可求出结果.

【详解】解：连接4P,国四边形ABC。是正方形，

EL4B=BC=AD,NB=NC=ND=90°,

团点E是BC的中点，，

团BE=EC,

由翻折的性质可得：AB=AF,BE=EF^AFE=匕8=90°,

风40=AF,40二Z,AFP=90°,

在Rt△/FP和Rt△40尸中，

(AP=AP

UF=AD'

团Rt△AFP=RtA4DP(HL),

团DP=FP,

设BE=x,贝！jEC=x,BC=DC=2BE=2%,EP=%+2,PC=2x-2,

在RtMCE中，PC2+EC2=EP2,

团(2%—2尸+%2=(%+2)2,

解得：%=0(舍)或％=3,

国BC=2x3=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查正方形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及解一元二次方程,

综合运用相关知识是解题的关键.

25.（2022•江苏盐城•校考一模）如图，在△力8c中，^ACB=45°,AB=4,点E、尸分别在边BC、AB±.,

点E为边8C的中点，AB=3AF,连接AE、CF相交于点P,则44BP面积最大值为

【答案】1+V2

【分析】作4HII8C交CF的延长线于点H,贝必4HF〜ABCF,得黑=芸=；,所以4H=；BC=EC,再证

DCBF22

明△4PH三XEPC,则4P=PE=\AE,所以SA/BP==^S^ABC,可知当为的。最大时，贝修△.「最大；

作AaBC的外接圆。。，作CG14B于点G,00L4B于点D,。/，CG于点/,连接OC,可证明当点/与点。重

合，即C、0、D三点在同一条直线上时，CG最大，此时SAABC最大；当点C在。。的延长线上，连接。40B,则

乙40B=2乙ACB=90°,由勾股定理求得OC=OA=2vL而。。=AD=BD=^AB=2,所以CD=2+2vL

即可求得S—BC最大=4+4V2,SA/BP最大二1+企.

【详解】解：如图L作2HII8C交CF的延长线于点H,^\AAHFBCF,

1

•・•AB=3AFEC=EB=-BC,

f2

.AH_AF_1

•・BC~BF_2f

1

AH=-BC,

2

：.AH=EC,

•••Z.H=乙PCE,CAPH=(EPC,

APH=AEPC(AAS),

・•.AP=PE=-AE,

2

1

AS&ABP=2SAABE，

VSAABE=5sAABC，

c_1

^^ABP=4^^ABC9

・•・当SAABC最大时，则SAABP最大；

作△ZBC的外接圆。。，作CG1Z8于点G,001ZB于点。，。/_LCG于点/,连接。C,

•・•(ODG=4OIG=乙IGD=90°,

・•・四边形O/G。是矩形，

•••IG=OD,

•••IC<OC,

IC+IG<OC+OD

即CG<OC+OD,

・・・当点/与点。重合，即C、。、D三点在同一条直线上时，CG最大，此时SAABC最大；

如图2,△ABC的外接圆。。，。。，48于点。，点C在D。的延长线上，连接。力、0B,

：./.AOB=2/.ACB=90°,

OA2+OB2=AB2,OA=OB,AB=4,

2OA2=42,

OC=OA=2V2,

vAD=BD,

•••OD=AD=BD=-AB=2,

2

•••CD=2+2V2»

•••SAABC最大=[x4X（2+2夜）=4+4企，

S44BP最大=9X（4+4V2）=1+V2,

△力BP面积最大值为1+V2,

故答案为：1+

【点睛】此题重点考查三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判

定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的

关键.

三、解答题

26.（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，在ATlBC中（4B<BC）,过点C作CD||48并连接使4CBO=

乙CDB,在CB上截取CE=4B,连接DE.求证：DE=AC.

【答案】见详解

【分析】根据CDIIAB,可得NCBA=乙ECD,根据NCBD=乙CDB,可得BC=CD,及可证明△ABC三AECD,

问题得解.

【详解】0CD||AB,

0ZCB4=Z.ECD,

0ZCBD=Z.CDB,

0BC=CD,

EICE=AB,

0AABC=△ECD,

WE—AC.

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明AaBC三AECD是解答本题的关

键.

27.（2023上•八年级课时练习）如图，AZOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，4。的延长线交BC于

点D.若NBOD=46。，ZC=20°,求NADC的度数.

【答案】72。

【分析】根据全等三角形的性质及三角形的外角的性质即可求解.

【详解】•・•△40B与ACOB关于边OB所在的直线成轴对称，

•*•△AOB=△COB,

•••Z.A—Z.C=20°,Z-ABO=Z-CBO,

•・•乙BOD=+乙ABO,

・•・（ABO=乙BOD-^A=46°-20°=26°,

・•・乙ABD=2Z.ABO=52°,

.•・乙40c=乙4+乙ABD=72°.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质.掌握相关几何结论进行几何推理是解题关键.

28.（2023・浙江绍兴,模拟预测）如图，已知在EIABC中，EIBAC为直角，AB=AC,D为AC上一点，CEEIBD于E,

交BA的延长线于F.

（1）求证：0ABD00ACF；

（2）若BD平分回ABC,求证：CE=|BD；

（3）若D为AC上一动点，回AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理

由.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）回AED不变；^AED=45°；理由见解析

【分析】（1）由题意易得EIBAC=I3CAF=EIBEF=9O°,进而可证EIABD=E1ACF,则问题可证；

（2）由（1）可得BD=CF,则有BC=BF,然后根据线段的数量关系可求解；

（3）如图，过点A作AGEICF于G,作AHE1BD于H,则有BD・AH=CF・AG,进而可得EA平分EIBEF,则问题可

解.

【详解】解：（1）EBBAC是直角，CE0BD,

[fflBAC=EICAF=E]BEF=90°,

0EACF+EF=9O°,0ABD+0F=9O°,

EI0ABD=0ACF,

(£.BAD=Z.CAF

在mABD和ISACF中］AB=AC

ZABD=^ACF

00ABD00ACF(ASA)；

(2)由(1)知，团ABD酿ACF,

团BD=CF,

团BD团CE,BD平分团ABC,

团BC=BF,

0BD0CE,

团CE=EF,

・•・CE="F=*D

22

(3)团AED不变，ZAED=45°

理由：如图，过点A作AG团团CF于G,作AH团BD于H,

由(1)证得团BAD团团CAF(ASA),

^1SABAD=SACAF9BD=CF，

团BD・AH=CF・AG,而BD=CF,

团AH=AG,

团AH团EB,AG0EG,

EIEA平分EIBEF,二NBEA=5/BEG=45°.

即Z_AED=45。.

【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理，数量掌握线段

垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键.

29.(2022•广西钦州•统考一模)如图，在四边形/BCD中，已知NC4D=90。,，£平分回8/C,且NDC4=|zCXB,

ADWBC.

AD

⑴求证：\ACE=\CAD-,

⑵尺规作图：过点E作垂线EF14B,垂足为尸（不要求写作法，保留作图痕迹）；

⑶在（2）的条件下，已知四边形/ECD面积为12,AC=4,直接写出线段斯的长.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

（3）3

【分析】（1）根据/£平分加C,可得EIC/£=EL4CD再由/D05C,可得血4c=0£C4即可求证；

（2）过点E作Z2的垂线，即可求解；

（3）先证得四边形/OCE是平行四边形，可得品48£=力。SC，ACSCE,从而得到£尸=3,再由角平分线

的性质定理，即可求解.

【详解】（1）证明：EL4E平分加C,

^CAE=WAE=^\CAB.

2

^DCA=^\1CAB,

2

^CAE=^ACD.

助。财C,

回的4C=0EC4.

^AC=CAf

^\ACE^CAD（ASA）；

（2）解：如图所示，垂线跖即为所求.

B

(3)解：由(1)得：0C4E=EL4C£>.

EL4513CZ),

EL4D05C,

回四边形ADCE是平行四边形，

E1ZCXD=90°,

团S®ADCE=4。,AC,ACSCE,

El四边形/ECD面积为12,AC=4,

SAD=CE-3,

EL4£平分的IC,EF1AB,

EI£F=CE=3,.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的性质定理，尺

规作图一一过已知点作已知线段的垂线，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

30.(2023•陕西西安•统考一模)如图，ABWCD,且=CD,连接8C,在BC上取点E、F,使得BE=CF,

连接力F,DE.求证：AFWDE.

【答案】证明见解析

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得NB=4C,利用恒等变形可得BF=CE,证明AABF三△DCE(SAS),

可得N&F8=乙DEC,最后利用平行线的判定即可得证.

【详解】证明：团48||CD,

=ZC,

0BF=CF,

0BF=CE,

在AABF和ADCE中，

AB=DC

Z-B—Z-C,

BF=CE

!?]△ABF=ADCE(SAS),

国乙AFB=乙DEC,

^AFWDE.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质和判定.灵活运用三角形全等的判定和性质是

解题的关键.

31.(2023•湖北省直辖县级单位•模拟预测)如图，在△力BC和AABD中，zC=ZD=90°,AD=BC,4D与

⑴如图1,作线段力B的垂直平分线；

(2)如图2,在。4OB上分