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文档简介
第4讲全等三角形常见辅助线专题探究
类型一倍长中线一一构全等
【知识点睛】
❖倍长中线辅助线方法规律总结
基本图形辅助线条件与结论应用环境
①倍长中线常和△三边
延长AD到点E,条件:AABC,AD=BD关系结合,考察中线长的
使DE=AD,连接CE取值范围
结论:②倍长中线也可以和其
△ABD^ACED(SAS)他几何图形结合,考察几
1何图形的面积问题
❖倍长中线模型的变形一一“倍长中线类”模型:
基本图形辅助线条件与结论应用环境
条件:1“八,CD=BD与含有平行元素的几何
延长AD交直线4于点E,结论:图形结合考察全等三角
△ABD^AECD(AAS)形的判定
U~t
【类题训练】
1.如图,△/BC中,4B=6,4c=4,。是的中点,40的取值范围为
【分析】延长/。到E,使连接BE,证明得出NC=BE,再根据三角形
的三边关系得到结论.
【解答】解:延长/。到£,使。连接BE,
在△4CD与△EAD中,
'BD=CD
'ZBDE=ZADC-
AD=DE
:.ABDE卷4CDA(SAS),
:.BE=AC,
':AB=6,AC=4,
:.2<AE<10,
:.]<AD<5.
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故答案为:1<4D<5.
2.如图,点。,£分别为△/2C的边48,NC上的点,连接DE并延长至尸,使即=。£,连接FC.若
FC//AB,AB=5,CF=3,则3。的长等于()
A.1B.2C.3D.5
【分析】由bC〃4B得,ADAE=ZFCE,再利用44S证明△D4E丝△尸CE,得4D=CF,从而解决
问题.
【解答】解:,:FC//AB,
:.NDAE=ZFCE,
在△D4E与△尸CE中,
,ZDAE=ZFCE
'NAED=NCEF,
,DE=EF
A/\DAE^/\FCE(44S),
:.AD=CF,
':CF=3,
:.AD=CF=?,,
又;AB=5,
:.BD=AB-AD=5-3=2,
故选:B.
3.如图,在△NCO中,ZCAD=90°,AC=6,AD=10,AB//CD,£是CD上一点,BE交4D于点、F,
若4B=DE,则图中阴影部分的面积为.
CED
【分析】证明△胡尸乡△成甲(44S),则利用割补法可得阴影部分面积.
【解答】解:
NBAD=/D,
在AB4尸和△££)尸中,
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,ZBAD=ZD
</AFB=NDFE,
AB=DE
:.ABAF冬AEDF(AAS),
•♦SABAF=SAEDF,
二图中阴影部分面积=S四边形4CEkSAB4F=SA4S=LzU4D=2X6X10=30.
22
故答案为:30.
4.(1)方法呈现:如图①:在△48C中,若48=6,4c=4,点。为8c边的中点,求2c边上的中
线的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长/。到点E使。£=/。,再连接8E,可证△
ACD”LEBD,从而把/2、AC,24D集中在△45E中,利用三角形三边的关系即可判断中线40的
取值范围是(直接写出范围即可).这种解决问题的方法我们称为倍长中线法;
(2)探究应用:
如图②,在△N8C中,点。是的中点,DELDF于点、D,DE交AB于点E,DF交AC于点、F,
连接EF,判断BE+CF与斯的大小关系并证明;
(3)问题拓展:
如图③,在四边形/BCD中,AB//CD,/尸与。。的延长线交于点F、点E是的中点,若4E是
/A4尸的角平分线.试探究线段/aAF,C尸之间的数量关系,并加以证明.
【分析】(1)由已知得出48-BEV/ECAB+BE,即6-4</E<6+4,40为NE的一半,即可得出
答案;
(2)延长FD至点",使。”=£>尸,连接EM,可得△2M)之△CFD,得出BM=CF,由线段
垂直平分线的性质得出屈攸=£/,在△3A四中,由三角形的三边关系得出即可得出结
论;
(3)延长交于点G,根据平行和角平分线可证/尸=/G,也可证得△N8E也△GCE,从而
可得/8=CG,即可得到结论.
【解答】解:(1)1<AD<5.
是3C边上的中线,
:.BD=CD,
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A/\BDE^/\CDA(SAS),
;・BE=AC=4,
在中,AB-BE<AE<AB+BE,
A6-4V4EV6+4,
:.2<AE<\Q,
:.\<AD<5.
证明:(2)延长FD至点M,使。河=。/,连接加公EM,如图②所示.
同(1)得:ABMD”ACFD(SAS)f
:.BM=CF,
•:DE±DF,DM=DF,*
:.EM=EF,
在中,由三角形的三边关系得:\
BE+BM>EM,1Vl
:.BE+CF>EF.
(3)如图③,延长ZE,DF交于点G,
,:AB〃CD,
AA
:./BAG=NG,/r\\
在△N8E和△GCE中,D//\X.
CE=BE,/BAG=NG,NAEB=NGEC,^\T~
:AABE空MGEC(AAS),'、、\
、、*\
:.CG=AB,图③、%
・・・/E是NH4/的平分线,
NBAG=NGAF,
:./FAG=/G,
:.AF=GFf
•:FG+CF=CG,
:.AF+CF=AB.
5.【阅读理解】
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
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A
八:DC/
'\:BDC
E
图1图2
如图1,△48。中,若/3=8,AC=6,求8C边上的中线N。的取值范围.小明在组内经过合作交
流,得到了如下的解决方法:延长/。到点E,使DE=4D,请根据小明的方法思考:
(1)由已知和作图能得到的理由是.
A.SSSB.SASC.AASD.HL
(2)求得的取值范围是.
A.6<AD<8B.6WADW8C.1<AD<7D.1W4D47
【感悟】
解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条
件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【问题解决】
(3)如图2,是△48C的中线,BE交AC于E,交于凡MAE=EF.求证:AC=BF.
【分析】(1)根据NADC=NBDE,3。=。。推出△4DC和△EA3全等即可;
(2)根据全等得出3E=NC=6,NE=2/。,由三角形三边关系定理得出8-6<2/。<8+6,求出即
可;
(3)延长/。到M,使/£>=£>/,连接根据S/S证△/DCgZXMOB,推出8M=/C,ZCAD
=/M,根据推出/。。=//尸£=/2即,求出根据等腰三角形的性质求
出即可.
【解答】(1)解:•.•在△/DC和△矶)2中
'AD=DE
<ZADC=ZBDE-
LBD=CD
:.dADC乌4EDB(SAS),
故选B;
(2)解::由(1)知:/\ADC^/\EDB,
:.BE=AC=6,AE=2AD,
:在△A8E中,AB=8,由三角形三边关系定理得:8-6<2AD<8+6,
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:.]<AD<1,
故选C.
(3)证明:
延长4D到M,使4D=DW,连接A/W,
:AD是△/BC中线,
:.CD=BD,
:在△/OC和中
'DC=DB
,ZADC=ZMDB
DA=DM
4ADCqAMDB,
:.BM=AC,ZCAD=ZM,
;AE=EF,
:.ZCAD=ZAFE,
':/AFE=NBFD,
:./BFD=NCAD=AM,
:.BF=BM=AC,
即AC=BF.
6.(1)方法学习:数学兴趣小组活动时,张老师提出了如下问题:如图1,在△N2C中,48=8,AC
=6,求8C边上的中线/D的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图2),
①延长4D到Af,DM=AD;
②连接通过三角形全等把48、AC.2ND转化在中;
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为-BM<AM<AB+BM,从而得到AD的取值范围
是______
方法总结:上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的
关系.
(2)请你写出图2中/C与8M的数量关系和位置关系,并加以证明.
(3)深入思考:如图3,40是△A8C的中线,AB=AE,AC=AF,ZBAE^ZCAF=90°,请直接
利用(2)的结论,试判断线段/。与斯的数量关系,并加以证明.
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E
图1图2图3
【分析】(1)先判断出8£>=CD,由“S4S1”可证名△4OC,得出8Q=NC=6,最后用三角形
三边关系即可得出结论;
(2)由(1)知,AMDB必ADC,根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论;
(3)同(1)的方法得出△ADAWZSCCU,则进而判断出/E4*进而判断出△
ABM出乙EAF,得出防,NBAM=NAEF,即可得出结论.
【解答】解:(1)如图2,延长40到使得。连接
':AD是△ABC的中线,
:.BD=CD,
在AMDB和△/OC中,
rBD=CD
,ZBDM=ZCDA-
LDM=AD
:.AMDBmAADC(S4S),
:.BM=AC=6,
在A4BMAB-BM<AM<AB+BM,
.*.8-6<AM<?,+6,2<AM<14,
:.1<AD<7,
故答案为:1</D<7;
(2)AC//BM,>AC^BM,
理由是:由(1)知,也△4DC,
:.NM=NC4D,AC=BM,
:.AC//BM;
(3)EF=2AD,
理由:如图2,延长/。到使得。连接W,
由(1)知,4BDM乌ACDA(S4S),
:.BM=AC,
':AC^AF,
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图2
:.BM=AF,
由(2)知:AC//BM,
:.ZBAC+ZABM=1SO°,
VZBAE=ZE4C^90°,
:.ZBAC+ZEAF=1SO°,
NABM=ZEAF,
在△48M和厂中,
,AB=EA
<NABM=NEAF,
,BM=AF
;.AABM咨LEAF(SAS),
:.AM=EF,
;AD=DM,
:.AM=2AD,
,:AM=EF,
:.EF=2AD,
即:EF=2AD.
类型二截长补短一一造全等
【知识点睛】
♦:♦截长补短辅助线方法规律总结
基本图形辅助线条件与结论应用环境
.条件:①截长补短类辅助线经
在AC上截取AP平分NBAC,常和角平分线同步考察
AE=AD,连接PE结论:②截长补短类全等的目
---+△APD丝△APE(SAS)的通常是为了等价线段
总结:因为截长补短常得线段相等,所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系,如AD=BC+EF
【类题训练】
7.如图,在△48。中N1=N2,P为4D上任意一点(不与N,D重合),则AB-NCPB
-PC(填或“=
A
A
C
D
B
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【分析】在上截取使/£=NC,连接尸£,证明/EP0ZUCP得PC=PE,再根据三角形
的任意两边之差小于第三边证明即可.
【解答】解:如图,在上截取4E,使/£=NC,连接尸E,
是/历1C的平分线,
ZBAD=ZCAD,
在和中,
'AE=AC
(N1=/2,
LAP=AP
:.AAEP2AACP(SAS),
:.PE=PC,
在△P8E中,BE>PB-PE,
即AB-AOPB-PC,
故答案为:>.
8.问题背景:
如图①,在四边形48CD中,AB=AD,ZBAD=nO°,ZB=ZADC=90°.E、尸分别是BC、
CD上的点.且/瓦4尸=60°.探究图中线段3£、EF、阳之间的数量关系.
解法探究:小明同学通过思考,得到了如下的解决方法.
延长FD到点G,DG=BE,连接/G,先证明△4BE之△4DG,再证明△/斯也△/GP,从而可得
结论.
(1)请先写出小明得出的结论,并在小明的解决方法的提示下,写出所得结论的理由.
解:线段8£、EF、ED之间的数量关系是:
理由:延长阳到点G,使DG=BE,连接/G.(以下过程请同学们完整解答)
(2)拓展延伸:
如图②,在四边形48CD中,AB=AD,若N8+/D=180°,E、尸分别是BC、CD上的点.且/
EAF^XZBAD,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请再把结论写一写;若不成立,请直接
2
写出你为成立的结论.
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【分析】(1)延长阳到点G.使DG=B£.连接/G,即可证明△NBEgA/OG,可得/£=4G,再
证明△4EF四ZX/GF,可得EF=FG,即可解题;
(2)延长尸D到点G.DG=BE.连接NG,即可证明△NBEg/UOG,可得/£=/G,再证明△
AEF^/\AGF,可得EF=FG,即可解题.
【解答】证明:(1)在△48£和4工。6中,
'DG=BE
,NB=/ADG,
.AB=AD
:*AABEmA4DG(&4S),
:.AE=AG,ZBAE=ZDAG,
:ZEAF=1.ZBAD,
2
:.NGAF=ZDAG+ZDAF^ZBAE+ZDAF^ZBAD-/EAF=ZEAF,
:.ZEAF=ZGAF,
在和AG//中,
'AE=AG
,ZEAF=ZGAF-
1AF=AF
:AAEF安工AGF(SAS),
:.EF=FG,
":FG=DG+DF=BE+DF,
:.EF=BE+DF;
故答案为EF=BE+DF.
(2)结论斯=B£+D尸仍然成立;
理由:延长FD到点G.使DG=2E.连接NG,
在和△NAG中,
'DG=BE
,NB=NADG,
tAB=AD
工LABE学4ADG(&4S),
:.AE=AG,NBAE=NDAG,
":ZEAF=1.ZBAD,
2
/GAF=ZDAG+ZDAF^ZBAE+ZDAF^ZBAD-NE4F=ZEAF,
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,ZEAF=ZGAF,
在尸和△G4F中,
'AE=AG
,ZEAF=ZGAF>
LAF=AF
:.dAEF咨AAGF(&4S),
:.EF=FG,
":FG=DG+DF=BE+DF,
:.EF=BE+DF;
9.如图,△/BC中,ZABC=6Q°,AD、C£分别平分/3/C、ZACB,AD、C£相交于点尸.
(1)求//PC的度数;
(2)若AE=3,CD=4,求线段NC的长.
【分析】(1)先由N/BC=60°,得到/A4C+/8G4=120°,然后由CE分别平分NA4C、Z
NC3得至!J/我C+NP。的值,进而得到//PC的度数;
(2)在/C上截取连接PF,然后证明也△/万,从而得到然后由
ZAPC=120°得到/£>PC=60。,从而得到//尸£=乙4尸尸=60°,进而得到/尸尸C=/DPC=60。,
再结合CE平分N/C5、CP=CP得到△尸CFgZ^PCD,即可得到CD=CF,最后得到/C=/E+CD.
【解答】解:(1),:ZABC=60°,
AZBAC+ZBCA^120°,
':AD.CE分别平分乙B/C、ZACB,
:.ZPAC+ZPCA=1.CZBAC+ZBCA)=60°,
2
AZAPC=nO°.
(2)如图,在NC上截取//=/£,连接尸尸,
平分NR4C,
ZBAD=ZCAD,
在△”£:和△/尸尸中,
'AE=AF
'ZEAP=ZFAP-
AP=AP
:.△HPE妾LAPF(SAS),
NAPE=ZAPF,
VZAPC=120°,
N/PE=60°,
ZAPF=ZCPD=60°=ZCPF,
平分
ZACP=NBCP,
在△口>尸和△CPD中,
,ZFPC=ZDPC
-CP=CP,
LZFCP=ZDCP
:./\CPF^/^CPD(ASA),
:.CF=CD,
:.AC=AF+CF=AE+CD=3+4=7.
10.如图,△/BC是等边三角形,点。是边3C上一个动点(点。不与点2,C重合),连接/。,点E
在边NC的延长线上,且
(1)求证:/BAD=/EDC:
(2)用等式表示线段CD,CE,之间的数量关系,并证明.
【分析】(1)延长2c至R使CF=CE,连接即,证得尸为等边三角形,得出/F=/CEF=
60°,证明式ZYDEFC44S),由全等三角形的性质得出N3ND=/££不;
(2)全等三角形的性质得出由BD=EF,则可得出结论.
【解答】(1)证明:延长8C至尸,使CF=C£,连接跖,
•:AABC是等边三角形,
:.AB=BC,ZB=ZACB=60°,
:.NECF=/ACB=6Q°,
':CF=CE,
.♦.△CE尸为等边三角形,
AZF=ZCEF=60°,
,:DA=DE,
:.ZDAE=ZDEA,
":ZADB=ZDAE+ZACB=ZDAE+6Q°,
ZDEF=ZCEF+ZDEA=60°+ZDEA,
:.NADB=ZDEF,
在和中,
2B=NF
<NADB=NDEF,
,DA=DE
:.AADBmADEF(AAS),
:.NBAD=NEDF,
即N34D=/E£)C.
(2)解:AB=CD+CE.
证明:;AADB乌LDEF,
:.AB=DF,BD=EF,
":DF=DC+CF=CD+CE,
:.AB=CD+CE.
11.如图,NBAD=/CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AFLCB,垂足为尸.
(1)求证:LABC咨LADE;
(2)求/应E的度数;
(3)求证:CD=2.BF+DE.
【分析】(1)根据题意和题目中的条件可以找出△NBC也的条件;
(2)根据(1)中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到NE4E的度数;
(3)根据题意和三角形全等的知识,作出合适的辅助线即可证明结论成立.
【解答】证明:(1);/BAD=NCAE=90°,
:.ZBAC+ZCAD^90°,ZCAD+ZDAE^90°,
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,ABAC=/DAE,
在AA4c和△D/E中,
'AB=AD
-ZBAC=ZDAE>
,AC=AE
:.△BAgdDAE(SAS);
(2)ZCAE^90°,AC=AE,
:.Z£=45°,
由(1)知△BAC/ADAE,
:.NBCA=NE=45°,
,:AFLBC,
AZCE4=90°,
:.ZCAF^45°,
:.ZE4E=ZFAC+ZCAE=450+90°=135°;
(3)延长2尸到G,使得FG=FB,
':AFLBG,
:.ZAFG=ZAFB=90°,
在和尸G中,
BF=GF
,ZAFB=ZAFG>
AF=AF
A/\AFB^AAFG(&4S),
:.AB=AG,/ABF=NG,
":ABAC沿4DAE,
:.AB=AD,NCBA=/EDA,CB=ED,
:.AG^AD,ZABF=ZCDA,
:.ZG=ZCDA,
:NGC4=NDC4=45°,
在ACGN和中,
2GCA=NDCA
,ZCGA=ZCDA-
AG=AD
:./\CGA^/\CDA(AAS),
:.CG=CD,
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VCG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
:.CD=2BF+DE.
类型三整体旋转一共线一再全等
【知识点睛】
❖整体旋转三角形得全等辅助线方法规律总结
基本图形辅助线条件与结论特别提醒
条件:正方形ABCD,此种类型的辅助线其实
将4ABE绕点A逆时针旋ZEAF=45°是在证明“正方形的半角
转至AB与AD重合,点E结论:模型”;但是这种辅助线
的对应点记为点G①4AEF之△AGF(SAS)也可以应用在等边三角
②EF=BE+DF形的问题中,此时旋转角
度为60°或者120°
【类题训练】i
9.如图,在四边形/BCD中,/ADC=/B=90°,DELAB,垂足为E,且DE=EB=5,则四边形/BCD
的面积______
D
【分析】根据旋转的性质将四边形/BCD变形为正方形。即£,,易求四边形/BCD的面积.
【解答】解:把Rt△。胡以绕。按逆时针旋转90°,如图:
:旋转不改变图形的形状和大小,
与C重合,NA=/DCE',ZE'=N4ED=90°.
:在四边形/BCD中,ZADC=ZB=90°,
AZA+ZDCB=180°,
:.ZDCE'+ZDC5=180°,
即点8、C、E'在同一直线上,
■:NDEB=NE'=ZB=90°,
...四边形。E3E'是矩形,
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・・・S矩形。底仍,=DEXBE=5X5=25,
•S矩形DEBE,~S四边形
•S四边形N3cz)=S四边形Z)EBCFS/^4£)E=S四边形OEBC+S^DCE,
・,S四边形/BCD=S矩形DEBE=25.
故四边形ABCD的面积为25.
故答案为:25.
10.已知正方形/5CQ中,M,N是边BC,CQ上任意两点,ZMAN=45°,连结MM
(1)如图①,请直接写出DN,三条线段的数量关系::
(2)如图②,过点/作47_L〃N于点”,求证:AB=AH;
图①图②图③
[分析](1)延长CD到E,使DE=BM,利用&4s证明△48”取△4DE,得NBAM=NDAE,AM
=AE,再证明△/MV名(S4S1),得MN=NE=ND+BM;
(2)由(1)知,ZAMB=ZAED,/AED=/AMN,得/AMB=NAMN,再利用角平分线的性质
可证明结论;
(3)将图③放到图②中,利用证明名RtZ\4fflW,得BM=MH=2,同理得,NH=ND
=3,T§:BC=AB=X,则CM=X-2,CN=X-3,在RtZU/CN中,利用勾股定理列方程,从而解决
问题.
【解答】(1)解:延长CO到E,使DE=BM,
第16页共33页
•.•四边形/BCD是正方形,
:.AB=AD,ZBAD=ZABM=ZADE=90°,
":BM=DE,
:./\ABM^/\ADE(SAS),
:.ZBAM=ZDAE,AM=AE,
':ZMAN=45°,
:.ZBAM+ZDAN=ZNAE=45°,
,:AN=AN,
:.AAMN%△AEN(SAS),
:.MN=NE=ND+BM,
:.MN=BM+DN,
故答案为:MN=BM+DN;
(2)证明:由(1)知,NAMB=NAED,NAED=/AMN,
:./AMB=ZAMN,
':AB±BC,AHLMN,
二AB=AH;
11.已知:正方形/BCD中,/MAN=45°,绕点/顺时针旋转,它的两边分别交C8、(或
它们的延长线)于点”、N.
(1)如图1,当Z.MAN绕点/旋转到BM=DN时,有BM+DN=MN.当AMAN绕点/旋转到BM
NON时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理
由;
(2)当NM4N绕点/旋转到如图3的位置时,线段DN和之间有怎样的等量关系?请写
出你的猜想,并证明.
第17页共33页
【分析】(1)在Affi的延长线上截取3£=。可,连接根据正方形性质得出ND=NDAB
=NABC=/ABE=9Q°,证△/BE名ZX/ZW推出ZE=/N;NEAB=NNAD,求出NE/M=/M4N,
根据S/S证△NEM也△㈤W,推出即可;
(2)在ON上截取连接4E,证△4BM0△4DE,推出/”=/比NMAB=/EAD,求出
ZEAN=AMAN,根据S4sl证△NM?Z0Z\4E'N,推出MV=EN即可.
【解答】解:(1)图1中的结论仍然成立,即BM+DN=MN,理由为:
如图2,在九必的延长线上截取8E=DN,连接NE,
•.•四边形/8C。是正方形,
:.AD=AB,ZD=ZDAB=ZABC=ZABE=90a,
:在△4BE和△4DN中
'AD=AB
"ND=NABE,
,DN=BE
:.AABE乌AADN(SAS).
:.AE=AN;NEAB=NNAD,
VZDAB=90°,NMAN=45°,
:./DAN+/BAM=45°,
:.NEAM=ZBAM+ZEAB=45°=AMAN,
,?在A4EM和△㈤W中
,AE=AN
,ZEAM=ZNAM-
AM=AM
AAEM%AANM(SAS),
:.ME=MN,
:.MN=ME=BE+BM=DN+BM,
即DN+BM=MN;
第18页共33页
(2)猜想:线段BAf,ON和九W之间的等量关系为:DN-BM=MN.
证明:如图3,在。N上截取连接NE,
:由(1)知:AD=AB,/D=NABM=90°,BM=DE,
:6ABMm△ADE(S4S).
:.AM=AE;ZMAB=ZEAD,
■:NMAN=45°^ZMAB+ZBAN,
:.ZDAE+ZBAN=45°,
:.NEAN=90°-45°=45°=/MAN,
•.,在和△/£1可中
'AM=AE
"NMAN=NEAN,
AN=AN
:./XAMN"A4EN(SAS),
:.MN=EN,
■:DN-DE=EN,
:.DN-BM=MN.
12.如图,在等边三角形48。中,点尸为△4BC内一点,连接/尸,BP,CP,将线段AP绕点/顺时
针旋转60°得到NP,连接PP,BP'.
(1)用等式表示BP与CP的数量关系,并证明;
(2)当N8PC=120°时,
①直接写出/PAP的度数为;
②若M为3C的中点,连接加,用等式表示尸M与/尸的数量关系,并证明.
【分析】(1)利用"S证明即可得出答案;
第19页共33页
(2)①由三角形内角和定理知N8+N6=180°-/3尸。=60°,再利用角度之间的转化对/P3尸进
行转化,/PAP=N4+N7=N5+60°-/8=60°-Z6+60°-Z8,从而解决问题;
②延长尸河到N,使PM=MN,连接BN,CN,得出四边形P8NC为平行四边形,贝ij8N〃C尸且
=CP,再利用S4s证明△尸AP也得PP'=PN=2PM.
【解答】解:(1)BP'=CP,
证明::△NBC是等边三角形,
:.AB=AC,/3/C=60°,
.,.Z2+Z3=60°
,/将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP,,
:.AP=AP,/以尸=60°,
.,.Zl+Z2=60",
;.Nl=/3,
.♦.△ABPSAACP(SAS),
:.BP'=CP;
(2)①当尸C=120°时,
则N8+/6=180°-ZBPC=60°,
":AABP%AACP,
.•.N4=/5,
NP'BP=N4+N7
=Z5+60°-Z8
=60°-Z6+600-Z8
=120°-(Z6+Z8)
=120°-60°
=60°,
故答案为:60°;
②AP=2PM,理由如下:
延长尸”到N,使PM=MN,连接BN,CN,
第20页共33页
A
6
B、9:M,C
为3c的中点,
:.BM=CM,
...四边形PBNC为平行四边形,
:.BN〃CP旦BN=CP,
:.BN=BP',Z9=Z6,
又:N8+N6=60°,
.*.Z8+Z9=60°,
AZPBN=60°=NPBP,
又,:BP=BP,P'B=BN,
:.丛P'BP咨ANBP(SAS),
:.PP'=PN=2PM,
又为正三角形,
:.PP'=AP,
:.AP=2PM.
类型四连接线段一一得全等
【知识点睛】
❖连接线段得△全等辅助线方法规律总结
基本图形辅助线条件与结论结论应用
条件:AB=AC,BD=CD此种类型的辅助线虽
连接AD结论:然最简单,但是也最常
△ABD^AACD(SSS)见,常用来证明角相等
【类题训练】
第21页共33页D
B1
13.如图,已知:AB=AC,BD=CD,N/=60°,ND=140。,则NB=()
A.50°B.40°C.40°或70°D.30°
【分析】
连接4D,可证g△/CD,根据全等三角形对应角相等可以得到/34D=/C4D=;/A4C,
ZADB=ZADC,代入角度即可求出入B4D和N4D5的度数,最后利用三角形内角和定理即可求解.
【详解】
连接如图,
在△/8Z)与△/C。中
AB=AC
<BD=CD,
AD=AD
/\ABDsAACD(SSS),
/BAD=ACAD=-ABAC,NADB=ZADC,
2
ZA=60°,
/BAD=ACAD=30°,
•••ZD=140%
ZADB=ZADC=1(360°-140°)=110°,
•••ABAD+NADB+ZB=180%
ZB=40°.
故选:B.
14.把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H(如图).试问
线段HG与线段HB相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想.
【答案】解:HG=HB.
连结NH,
•••四边形/BC。,4EFG都是正方形.
屏
.■.AG=AB,ZG=ZB=90°.
;旋转
:.ZDAG=ZBAE
.,.△AGH^AABH(ASA)
.\GH=BH
【课后综合练习】
1.[方法呈现]
(1)如图①,△48C中,为中线,已知48=3,AC=5,求中线长的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:
延长/。至点£,使DE=4D,连接CE,则易证△DECg△£>/£得到£C=/5=3,则可得NC-CE
<AE<AC+CE,从而可得中线4D长的取值范围是.
[探究应用]
(2)如图②,在四边形/BCD中,AB//CD,点E是2c的中点,若/£是/34D的平分线,试判
断/瓦AD,DC之间的等量关系,并写出完整的证明过程.
(3)如图③,在四边形/BCD中,AB//CD,/尸与DC的延长线交于点尸,点E是3c的中点,若
NE是/A4尸的平分线,试探究/瓦AF,C下之间的等量关系,并证明你的结论.
图③
【分析】(1)由已知得出/C-CE</E<4C+CE,即5-3</E<5+3,据此可得答案;
(2)如图②,延长/E,DC交于点F,先证A4BE2AFEC得CF=4B,再由/£是的平分
线知NR4尸=NE4D,从而得NE4D=NF,据此知4D=D尸,结合DC+CF=。/可得答案;
(3)如图③,延长4E,。尸交于点G,同(2)可得:AF=FG,△/BE空△GEC,据此知N8=CG,
继而得出答案.
【解答】解:(1)由题意知/C-CE<NE<NC+C£,即5-3C/EV5+3,
:.1<AD<4,
故答案为:1<AD<4;
(2)如图②,延长4B,DC交于点F,
,JAB//CD,
:.ZBAF=ZF,
在△/BE和△尸CE中
CE=BE,ZBAF=ZF,ZAEB=ZFEC,
:AABE空AFECCAAS),
:.CF=AB,
:AE是NB4D的平分线,
ZBAF=ZFAD,
:.NE4D=ZF,
:.AD=DF,
":DC+CF=DF,
:.DC+AB=AD.
(3)如图③,延长4E,DF交于点、G,
同(2)可得:AF=FG,AABE卷AGEC,
:.AB=CG,
:.AF+CF=AB.
2.阅读理解
(S表示面积);
应用拓展
(2)如图②,已知梯形/BCD中,AD//BC,£是的中点,连接。E、EC,试利用上题得到的结
论说明S^DEC=S^ADE^S^EBC;
解决问题
(3)现有一块如图③所示的梯形试验田,想种两种农作物做对比实验,用一条过。点的直线,将这
第24页共33页
块试验田分割成面积相等的两块,画出这条直线,并简单说明另一点的位置.
【分析】(1)由于与等底同高,根据三角形的面积公式即可得出/或。与14DC相等;
(2)延长DE交CB的延长线于点F,根据AAS证明△/)/£1四△FSE,则DE=FE,S&DAE=SAFBE,
又由(1)的结论可得&DEC=S△尸EC,代入即可说明&DEC=S»D£+&EBC;
(3)取48的中点E,连接。£并延长,交C2的延长线于点尸,则S梯彩再取C尸的中
点G,作直线£>G,贝!JSACQG=S△尸DG=S梯形梯形A8CD,故直线£>G即可将这块试验田分割成
面积相等的两块.
【解答】解:(1)如图①,过点/作NEL3c于E.
•.•。是8C中点,
:.BD
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