浙教版八年级数学上册专项突破：全等三角形常见辅助线（解析版）

第4讲全等三角形常见辅助线专题探究

类型一倍长中线一一构全等

【知识点睛】

❖倍长中线辅助线方法规律总结

基本图形辅助线条件与结论应用环境

①倍长中线常和△三边

延长AD到点E,条件：AABC,AD=BD关系结合，考察中线长的

使DE=AD,连接CE取值范围

结论：②倍长中线也可以和其

△ABD^ACED(SAS)他几何图形结合，考察几

1何图形的面积问题

❖倍长中线模型的变形一一“倍长中线类”模型:

基本图形辅助线条件与结论应用环境

条件：1“八,CD=BD与含有平行元素的几何

延长AD交直线4于点E,结论：图形结合考察全等三角

△ABD^AECD(AAS)形的判定

U~t

【类题训练】

1.如图，△/BC中，4B=6,4c=4,。是的中点，40的取值范围为

【分析】延长/。到E,使连接BE,证明得出NC=BE,再根据三角形

的三边关系得到结论.

【解答】解：延长/。到£,使。连接BE,

在△4CD与△EAD中，

'BD=CD

'ZBDE=ZADC-

AD=DE

:.ABDE卷4CDA(SAS),

:.BE=AC,

'：AB=6,AC=4,

：.2<AE<10,

：.]<AD<5.

第1页共33页

故答案为：1<4D<5.

2.如图，点。，£分别为△/2C的边48,NC上的点，连接DE并延长至尸，使即=。£,连接FC.若

FC//AB,AB=5,CF=3,则3。的长等于（）

A.1B.2C.3D.5

【分析】由bC〃4B得，ADAE=ZFCE,再利用44S证明△D4E丝△尸CE,得4D=CF,从而解决

问题.

【解答】解：,：FC//AB,

：.NDAE=ZFCE,

在△D4E与△尸CE中，

，ZDAE=ZFCE

'NAED=NCEF，

,DE=EF

A/\DAE^/\FCE(44S),

：.AD=CF,

'：CF=3,

：.AD=CF=?,,

又；AB=5,

：.BD=AB-AD=5-3=2,

故选：B.

3.如图，在△NCO中，ZCAD=90°,AC=6,AD=10,AB//CD,£是CD上一点，BE交4D于点、F,

若4B=DE,则图中阴影部分的面积为.

CED

【分析】证明△胡尸乡△成甲（44S）,则利用割补法可得阴影部分面积.

【解答】解：

NBAD=/D,

在AB4尸和△££）尸中，

第2页共33页

，ZBAD=ZD

</AFB=NDFE，

AB=DE

:.ABAF冬AEDF(AAS),

•♦SABAF=SAEDF,

二图中阴影部分面积=S四边形4CEkSAB4F=SA4S=LzU4D=2X6X10=30.

22

故答案为：30.

4.(1)方法呈现：如图①：在△48C中，若48=6,4c=4,点。为8c边的中点，求2c边上的中

线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长/。到点E使。£=/。，再连接8E,可证△

ACD”LEBD,从而把/2、AC,24D集中在△45E中，利用三角形三边的关系即可判断中线40的

取值范围是(直接写出范围即可).这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；

(2)探究应用：

如图②，在△N8C中，点。是的中点，DELDF于点、D,DE交AB于点E,DF交AC于点、F,

连接EF,判断BE+CF与斯的大小关系并证明；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形/BCD中，AB//CD,/尸与。。的延长线交于点F、点E是的中点，若4E是

/A4尸的角平分线.试探究线段/aAF,C尸之间的数量关系，并加以证明.

【分析】(1)由已知得出48-BEV/ECAB+BE,即6-4</E<6+4,40为NE的一半，即可得出

答案；

(2)延长FD至点"，使。”=£>尸，连接EM,可得△2M)之△CFD,得出BM=CF,由线段

垂直平分线的性质得出屈攸=£/，在△3A四中，由三角形的三边关系得出即可得出结

论；

(3)延长交于点G,根据平行和角平分线可证/尸=/G,也可证得△N8E也△GCE,从而

可得/8=CG,即可得到结论.

【解答】解：(1)1<AD<5.

是3C边上的中线，

：.BD=CD,

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A/\BDE^/\CDA(SAS),

；・BE=AC=4,

在中，AB-BE<AE<AB+BE,

A6-4V4EV6+4,

：.2<AE<\Q,

：.\<AD<5.

证明：(2)延长FD至点M,使。河=。/，连接加公EM,如图②所示.

同(1)得：ABMD”ACFD(SAS)f

：.BM=CF,

•：DE±DF,DM=DF,*

：.EM=EF,

在中，由三角形的三边关系得：\

BE+BM>EM,1Vl

：.BE+CF>EF.

(3)如图③，延长ZE,DF交于点G,

,:AB〃CD,

AA

：./BAG=NG,/r\\

在△N8E和△GCE中，D//\X.

CE=BE,/BAG=NG,NAEB=NGEC,^\T~

:AABE空MGEC(AAS),'、、\

、、*\

：.CG=AB,图③、％

・・・/E是NH4/的平分线，

NBAG=NGAF,

：./FAG=/G,

：.AF=GFf

•:FG+CF=CG,

：.AF+CF=AB.

5.【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

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A

八:DC/

'\：BDC

E

图1图2

如图1,△48。中，若/3=8,AC=6,求8C边上的中线N。的取值范围.小明在组内经过合作交

流，得到了如下的解决方法：延长/。到点E,使DE=4D,请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范围是.

A.6<AD<8B.6WADW8C.1<AD<7D.1W4D47

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条

件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,是△48C的中线，BE交AC于E,交于凡MAE=EF.求证：AC=BF.

【分析】(1)根据NADC=NBDE,3。=。。推出△4DC和△EA3全等即可；

(2)根据全等得出3E=NC=6,NE=2/。，由三角形三边关系定理得出8-6<2/。<8+6,求出即

可；

(3)延长/。到M,使/£>=£>/,连接根据S/S证△/DCgZXMOB,推出8M=/C,ZCAD

=/M,根据推出/。。=//尸£=/2即，求出根据等腰三角形的性质求

出即可.

【解答】(1)解：•.•在△/DC和△矶)2中

'AD=DE

<ZADC=ZBDE-

LBD=CD

:.dADC乌4EDB(SAS),

故选B；

(2)解：：由(1)知：/\ADC^/\EDB,

：.BE=AC=6,AE=2AD,

:在△A8E中，AB=8,由三角形三边关系定理得：8-6<2AD<8+6,

第5页共33页

：.]<AD<1,

故选C.

(3)证明:

延长4D到M,使4D=DW,连接A/W,

:AD是△/BC中线，

：.CD=BD,

:在△/OC和中

'DC=DB

，ZADC=ZMDB

DA=DM

4ADCqAMDB,

：.BM=AC,ZCAD=ZM,

；AE=EF,

：.ZCAD=ZAFE,

'：/AFE=NBFD,

：./BFD=NCAD=AM,

：.BF=BM=AC,

即AC=BF.

6.(1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在△N2C中，48=8,AC

=6,求8C边上的中线/D的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图2),

①延长4D到Af,DM=AD；

②连接通过三角形全等把48、AC.2ND转化在中；

③利用三角形的三边关系可得的取值范围为-BM<AM<AB+BM,从而得到AD的取值范围

是______

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的

关系.

(2)请你写出图2中/C与8M的数量关系和位置关系，并加以证明.

(3)深入思考：如图3,40是△A8C的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE^ZCAF=90°,请直接

利用(2)的结论，试判断线段/。与斯的数量关系，并加以证明.

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E

图1图2图3

【分析】（1）先判断出8£>=CD,由“S4S1”可证名△4OC,得出8Q=NC=6,最后用三角形

三边关系即可得出结论;

（2）由（1）知，AMDB必ADC,根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论;

（3）同（1）的方法得出△ADAWZSCCU,则进而判断出/E4*进而判断出△

ABM出乙EAF,得出防，NBAM=NAEF,即可得出结论.

【解答】解：(1)如图2,延长40到使得。连接

'：AD是△ABC的中线，

:.BD=CD,

在AMDB和△/OC中，

rBD=CD

，ZBDM=ZCDA-

LDM=AD

:.AMDBmAADC(S4S),

:.BM=AC=6,

在A4BMAB-BM<AM<AB+BM,

.*.8-6<AM<?,+6,2<AM<14,

：.1<AD<7,

故答案为：1</D<7；

(2)AC//BM,>AC^BM,

理由是：由(1)知，也△4DC,

:.NM=NC4D,AC=BM,

：.AC//BM；

(3)EF=2AD,

理由：如图2,延长/。到使得。连接W,

由(1)知，4BDM乌ACDA(S4S),

:.BM=AC,

'：AC^AF,

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图2

：.BM=AF,

由(2)知：AC//BM,

：.ZBAC+ZABM=1SO°,

VZBAE=ZE4C^90°,

：.ZBAC+ZEAF=1SO°,

NABM=ZEAF,

在△48M和厂中，

，AB=EA

<NABM=NEAF，

,BM=AF

；.AABM咨LEAF(SAS),

：.AM=EF,

；AD=DM,

：.AM=2AD,

,:AM=EF,

：.EF=2AD,

即：EF=2AD.

类型二截长补短一一造全等

【知识点睛】

♦：♦截长补短辅助线方法规律总结

基本图形辅助线条件与结论应用环境

.条件：①截长补短类辅助线经

在AC上截取AP平分NBAC,常和角平分线同步考察

AE=AD,连接PE结论：②截长补短类全等的目

---+△APD丝△APE(SAS)的通常是为了等价线段

总结：因为截长补短常得线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF

【类题训练】

7.如图，在△48。中N1=N2,P为4D上任意一点（不与N,D重合），则AB-NCPB

-PC（填或“=

A

A

C

D

B

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【分析】在上截取使/£=NC,连接尸£,证明/EP0ZUCP得PC=PE,再根据三角形

的任意两边之差小于第三边证明即可.

【解答】解：如图，在上截取4E,使/£=NC,连接尸E,

是/历1C的平分线，

ZBAD=ZCAD,

在和中，

'AE=AC

（N1=/2，

LAP=AP

:.AAEP2AACP（SAS）,

:.PE=PC,

在△P8E中，BE>PB-PE,

即AB-AOPB-PC,

故答案为：>.

8.问题背景：

如图①，在四边形48CD中，AB=AD,ZBAD=nO°,ZB=ZADC=90°.E、尸分别是BC、

CD上的点.且/瓦4尸=60°.探究图中线段3£、EF、阳之间的数量关系.

解法探究：小明同学通过思考，得到了如下的解决方法.

延长FD到点G,DG=BE,连接/G,先证明△4BE之△4DG,再证明△/斯也△/GP,从而可得

结论.

（1）请先写出小明得出的结论，并在小明的解决方法的提示下，写出所得结论的理由.

解：线段8£、EF、ED之间的数量关系是：

理由：延长阳到点G,使DG=BE,连接/G.（以下过程请同学们完整解答）

（2）拓展延伸：

如图②，在四边形48CD中，AB=AD,若N8+/D=180°,E、尸分别是BC、CD上的点.且/

EAF^XZBAD,则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请再把结论写一写；若不成立，请直接

2

写出你为成立的结论.

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【分析】(1)延长阳到点G.使DG=B£.连接/G,即可证明△NBEgA/OG,可得/£=4G,再

证明△4EF四ZX/GF,可得EF=FG,即可解题；

(2)延长尸D到点G.DG=BE.连接NG,即可证明△NBEg/UOG,可得/£=/G,再证明△

AEF^/\AGF,可得EF=FG,即可解题.

【解答】证明：(1)在△48£和4工。6中，

'DG=BE

，NB=/ADG，

.AB=AD

:*AABEmA4DG(&4S),

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

:ZEAF=1.ZBAD,

2

:.NGAF=ZDAG+ZDAF^ZBAE+ZDAF^ZBAD-/EAF=ZEAF,

：.ZEAF=ZGAF,

在和AG//中，

'AE=AG

，ZEAF=ZGAF-

1AF=AF

:AAEF安工AGF(SAS),

:.EF=FG,

"：FG=DG+DF=BE+DF,

:.EF=BE+DF；

故答案为EF=BE+DF.

(2)结论斯=B£+D尸仍然成立；

理由：延长FD到点G.使DG=2E.连接NG,

在和△NAG中，

'DG=BE

，NB=NADG，

tAB=AD

工LABE学4ADG(&4S),

：.AE=AG,NBAE=NDAG,

"：ZEAF=1.ZBAD,

2

/GAF=ZDAG+ZDAF^ZBAE+ZDAF^ZBAD-NE4F=ZEAF,

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，ZEAF=ZGAF,

在尸和△G4F中，

'AE=AG

,ZEAF=ZGAF>

LAF=AF

:.dAEF咨AAGF(&4S),

:.EF=FG，

"：FG=DG+DF=BE+DF,

：.EF=BE+DF；

9.如图，△/BC中，ZABC=6Q°,AD、C£分别平分/3/C、ZACB,AD、C£相交于点尸.

(1)求//PC的度数；

(2)若AE=3,CD=4,求线段NC的长.

【分析】(1)先由N/BC=60°,得到/A4C+/8G4=120°,然后由CE分别平分NA4C、Z

NC3得至!J/我C+NP。的值，进而得到//PC的度数;

(2)在/C上截取连接PF,然后证明也△/万，从而得到然后由

ZAPC=120°得到/£>PC=60。，从而得到//尸£=乙4尸尸=60°，进而得到/尸尸C=/DPC=60。，

再结合CE平分N/C5、CP=CP得到△尸CFgZ^PCD,即可得到CD=CF,最后得到/C=/E+CD.

【解答】解:(1),：ZABC=60°,

AZBAC+ZBCA^120°,

'：AD.CE分别平分乙B/C、ZACB,

：.ZPAC+ZPCA=1.CZBAC+ZBCA)=60°,

2

AZAPC=nO°.

(2)如图，在NC上截取//=/£,连接尸尸,

平分NR4C,

ZBAD=ZCAD,

在△”£：和△/尸尸中,

'AE=AF

'ZEAP=ZFAP-

AP=AP

:.△HPE妾LAPF(SAS),

NAPE=ZAPF,

VZAPC=120°,

N/PE=60°,

ZAPF=ZCPD=60°=ZCPF,

平分

ZACP=NBCP,

在△口＞尸和△CPD中，

，ZFPC=ZDPC

-CP=CP，

LZFCP=ZDCP

：./\CPF^/^CPD(ASA),

:.CF=CD,

：.AC=AF+CF=AE+CD=3+4=7.

10.如图，△/BC是等边三角形，点。是边3C上一个动点(点。不与点2,C重合)，连接/。，点E

在边NC的延长线上，且

(1)求证：/BAD=/EDC：

(2)用等式表示线段CD,CE,之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)延长2c至R使CF=CE,连接即，证得尸为等边三角形，得出/F=/CEF=

60°,证明式ZYDEFC44S),由全等三角形的性质得出N3ND=/££不；

(2)全等三角形的性质得出由BD=EF,则可得出结论.

【解答】(1)证明：延长8C至尸，使CF=C£,连接跖，

•：AABC是等边三角形，

：.AB=BC,ZB=ZACB=60°,

:.NECF=/ACB=6Q°,

'：CF=CE,

.♦.△CE尸为等边三角形，

AZF=ZCEF=60°,

,:DA=DE,

：.ZDAE=ZDEA,

"：ZADB=ZDAE+ZACB=ZDAE+6Q°,

ZDEF=ZCEF+ZDEA=60°+ZDEA,

：.NADB=ZDEF,

在和中，

2B=NF

<NADB=NDEF，

,DA=DE

:.AADBmADEF(AAS),

：.NBAD=NEDF,

即N34D=/E£)C.

(2)解：AB=CD+CE.

证明：；AADB乌LDEF,

：.AB=DF,BD=EF,

"：DF=DC+CF=CD+CE,

：.AB=CD+CE.

11.如图，NBAD=/CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AFLCB,垂足为尸.

(1)求证：LABC咨LADE；

(2)求/应E的度数；

(3)求证：CD=2.BF+DE.

【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△NBC也的条件；

（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到NE4E的度数；

（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立.

【解答】证明：（1）;/BAD=NCAE=90°,

：.ZBAC+ZCAD^90°,ZCAD+ZDAE^90°,

第13页共33页

，ABAC=/DAE,

在AA4c和△D/E中，

'AB=AD

-ZBAC=ZDAE>

,AC=AE

:.△BAgdDAE(SAS)；

(2)ZCAE^90°,AC=AE,

：.Z£=45°,

由(1)知△BAC/ADAE,

:.NBCA=NE=45°,

,：AFLBC,

AZCE4=90°,

：.ZCAF^45°,

：.ZE4E=ZFAC+ZCAE=450+90°=135°；

(3)延长2尸到G,使得FG=FB,

'：AFLBG,

：.ZAFG=ZAFB=90°,

在和尸G中，

BF=GF

,ZAFB=ZAFG>

AF=AF

A/\AFB^AAFG(&4S),

：.AB=AG,/ABF=NG,

"：ABAC沿4DAE,

：.AB=AD,NCBA=/EDA,CB=ED,

：.AG^AD,ZABF=ZCDA,

：.ZG=ZCDA,

：NGC4=NDC4=45°,

在ACGN和中，

2GCA=NDCA

,ZCGA=ZCDA-

AG=AD

：./\CGA^/\CDA(AAS),

：.CG=CD,

第14页共33页

VCG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

：.CD=2BF+DE.

类型三整体旋转一共线一再全等

【知识点睛】

❖整体旋转三角形得全等辅助线方法规律总结

基本图形辅助线条件与结论特别提醒

条件：正方形ABCD,此种类型的辅助线其实

将4ABE绕点A逆时针旋ZEAF=45°是在证明“正方形的半角

转至AB与AD重合，点E结论：模型”；但是这种辅助线

的对应点记为点G①4AEF之△AGF(SAS)也可以应用在等边三角

②EF=BE+DF形的问题中，此时旋转角

度为60°或者120°

【类题训练】i

9.如图，在四边形/BCD中，/ADC=/B=90°,DELAB,垂足为E,且DE=EB=5,则四边形/BCD

的面积______

D

【分析】根据旋转的性质将四边形/BCD变形为正方形。即£,,易求四边形/BCD的面积.

【解答】解:把Rt△。胡以绕。按逆时针旋转90°,如图：

:旋转不改变图形的形状和大小，

与C重合，NA=/DCE',ZE'=N4ED=90°.

:在四边形/BCD中，ZADC=ZB=90°,

AZA+ZDCB=180°,

：.ZDCE'+ZDC5=180°,

即点8、C、E'在同一直线上，

■:NDEB=NE'=ZB=90°,

...四边形。E3E'是矩形,

第15页共33页

・・・S矩形。底仍，=DEXBE=5X5=25,

•S矩形DEBE，~S四边形

•S四边形N3cz)=S四边形Z)EBCFS/^4£)E=S四边形OEBC+S^DCE，

・,S四边形/BCD=S矩形DEBE=25.

故四边形ABCD的面积为25.

故答案为：25.

10.已知正方形/5CQ中，M,N是边BC,CQ上任意两点，ZMAN=45°,连结MM

（1）如图①，请直接写出DN,三条线段的数量关系：:

（2）如图②，过点/作47_L〃N于点”，求证：AB=AH；

图①图②图③

［分析］（1）延长CD到E,使DE=BM,利用&4s证明△48”取△4DE,得NBAM=NDAE,AM

=AE,再证明△/MV名(S4S1),得MN=NE=ND+BM；

（2）由（1）知，ZAMB=ZAED,/AED=/AMN,得/AMB=NAMN,再利用角平分线的性质

可证明结论；

（3）将图③放到图②中，利用证明名RtZ\4fflW,得BM=MH=2,同理得，NH=ND

=3,T§：BC=AB=X,则CM=X-2,CN=X-3,在RtZU/CN中，利用勾股定理列方程，从而解决

问题.

【解答】（1）解：延长CO到E,使DE=BM,

第16页共33页

•.•四边形/BCD是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=ZABM=ZADE=90°,

"：BM=DE,

：./\ABM^/\ADE(SAS),

：.ZBAM=ZDAE,AM=AE,

'：ZMAN=45°,

：.ZBAM+ZDAN=ZNAE=45°,

,:AN=AN,

:.AAMN%△AEN(SAS),

:.MN=NE=ND+BM,

：.MN=BM+DN,

故答案为：MN=BM+DN；

(2)证明：由(1)知，NAMB=NAED,NAED=/AMN,

：./AMB=ZAMN,

'：AB±BC,AHLMN,

二AB=AH；

11.已知：正方形/BCD中，/MAN=45°,绕点/顺时针旋转，它的两边分别交C8、(或

它们的延长线)于点”、N.

(1)如图1,当Z.MAN绕点/旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN.当AMAN绕点/旋转到BM

NON时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理

由；

(2)当NM4N绕点/旋转到如图3的位置时，线段DN和之间有怎样的等量关系？请写

出你的猜想，并证明.

第17页共33页

【分析】(1)在Affi的延长线上截取3£=。可，连接根据正方形性质得出ND=NDAB

=NABC=/ABE=9Q°,证△/BE名ZX/ZW推出ZE=/N；NEAB=NNAD,求出NE/M=/M4N,

根据S/S证△NEM也△㈤W,推出即可；

(2)在ON上截取连接4E,证△4BM0△4DE,推出/”=/比NMAB=/EAD,求出

ZEAN=AMAN,根据S4sl证△NM?Z0Z\4E'N,推出MV=EN即可.

【解答】解：(1)图1中的结论仍然成立，即BM+DN=MN,理由为：

如图2,在九必的延长线上截取8E=DN,连接NE,

•.•四边形/8C。是正方形，

：.AD=AB,ZD=ZDAB=ZABC=ZABE=90a,

:在△4BE和△4DN中

'AD=AB

"ND=NABE，

,DN=BE

:.AABE乌AADN(SAS).

:.AE=AN；NEAB=NNAD,

VZDAB=90°,NMAN=45°,

:./DAN+/BAM=45°,

：.NEAM=ZBAM+ZEAB=45°=AMAN,

,?在A4EM和△㈤W中

，AE=AN

,ZEAM=ZNAM-

AM=AM

AAEM%AANM(SAS),

:.ME=MN,

：.MN=ME=BE+BM=DN+BM,

即DN+BM=MN；

第18页共33页

(2)猜想：线段BAf,ON和九W之间的等量关系为：DN-BM=MN.

证明：如图3,在。N上截取连接NE,

:由(1)知：AD=AB,/D=NABM=90°,BM=DE,

：6ABMm△ADE(S4S).

:.AM=AE；ZMAB=ZEAD,

■:NMAN=45°^ZMAB+ZBAN,

：.ZDAE+ZBAN=45°,

:.NEAN=90°-45°=45°=/MAN,

•.,在和△/£1可中

'AM=AE

"NMAN=NEAN，

AN=AN

:./XAMN"A4EN(SAS),

：.MN=EN,

■:DN-DE=EN,

：.DN-BM=MN.

12.如图，在等边三角形48。中，点尸为△4BC内一点，连接/尸，BP,CP,将线段AP绕点/顺时

针旋转60°得到NP,连接PP,BP'.

(1)用等式表示BP与CP的数量关系，并证明；

(2)当N8PC=120°时，

①直接写出/PAP的度数为;

②若M为3C的中点，连接加，用等式表示尸M与/尸的数量关系，并证明.

【分析】(1)利用"S证明即可得出答案;

第19页共33页

(2)①由三角形内角和定理知N8+N6=180°-/3尸。=60°,再利用角度之间的转化对/P3尸进

行转化，/PAP=N4+N7=N5+60°-/8=60°-Z6+60°-Z8,从而解决问题；

②延长尸河到N,使PM=MN,连接BN,CN,得出四边形P8NC为平行四边形，贝ij8N〃C尸且

=CP,再利用S4s证明△尸AP也得PP'=PN=2PM.

【解答】解：(1)BP'=CP,

证明：：△NBC是等边三角形，

：.AB=AC,/3/C=60°,

.,.Z2+Z3=60°

,/将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP,,

:.AP=AP,/以尸=60°,

.,.Zl+Z2=60",

；.Nl=/3,

.♦.△ABPSAACP(SAS),

:.BP'=CP；

(2)①当尸C=120°时，

则N8+/6=180°-ZBPC=60°,

"：AABP%AACP,

.•.N4=/5,

NP'BP=N4+N7

=Z5+60°-Z8

=60°-Z6+600-Z8

=120°-(Z6+Z8)

=120°-60°

=60°,

故答案为：60°；

②AP=2PM,理由如下：

延长尸”到N,使PM=MN,连接BN,CN,

第20页共33页

A

6

B、9:M,C

为3c的中点，

:.BM=CM,

...四边形PBNC为平行四边形,

:.BN〃CP旦BN=CP,

：.BN=BP',Z9=Z6,

又：N8+N6=60°,

.*.Z8+Z9=60°,

AZPBN=60°=NPBP,

又,：BP=BP,P'B=BN,

:.丛P'BP咨ANBP(SAS),

：.PP'=PN=2PM,

又为正三角形，

：.PP'=AP,

:.AP=2PM.

类型四连接线段一一得全等

【知识点睛】

❖连接线段得△全等辅助线方法规律总结

基本图形辅助线条件与结论结论应用

条件：AB=AC,BD=CD此种类型的辅助线虽

连接AD结论：然最简单，但是也最常

△ABD^AACD(SSS)见，常用来证明角相等

【类题训练】

第21页共33页D

B1

13.如图，已知：AB=AC,BD=CD,N/=60°,ND=140。，则NB=()

A.50°B.40°C.40°或70°D.30°

【分析】

连接4D,可证g△/CD,根据全等三角形对应角相等可以得到/34D=/C4D=；/A4C,

ZADB=ZADC,代入角度即可求出入B4D和N4D5的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解.

【详解】

连接如图，

在△/8Z）与△/C。中

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

/\ABDsAACD(SSS),

/BAD=ACAD=-ABAC,NADB=ZADC,

2

ZA=60°，

/BAD=ACAD=30°,

•••ZD=140%

ZADB=ZADC=1(360°-140°)=110°,

•••ABAD+NADB+ZB=180%

ZB=40°.

故选：B.

14.把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H（如图）.试问

线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.

【答案】解：HG=HB.

连结NH,

•••四边形/BC。，4EFG都是正方形.

屏

.■.AG=AB,ZG=ZB=90°.

；旋转

：.ZDAG=ZBAE

.,.△AGH^AABH(ASA)

.\GH=BH

【课后综合练习】

1.［方法呈现］

(1)如图①，△48C中，为中线，已知48=3,AC=5,求中线长的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：

延长/。至点£,使DE=4D,连接CE,则易证△DECg△£>/£得到£C=/5=3,则可得NC-CE

<AE<AC+CE,从而可得中线4D长的取值范围是.

［探究应用］

(2)如图②，在四边形/BCD中，AB//CD,点E是2c的中点，若/£是/34D的平分线，试判

断/瓦AD,DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程.

(3)如图③，在四边形/BCD中，AB//CD,/尸与DC的延长线交于点尸，点E是3c的中点，若

NE是/A4尸的平分线，试探究/瓦AF,C下之间的等量关系，并证明你的结论.

图③

【分析】(1)由已知得出/C-CE</E<4C+CE,即5-3</E<5+3,据此可得答案；

(2)如图②，延长/E,DC交于点F,先证A4BE2AFEC得CF=4B,再由/£是的平分

线知NR4尸=NE4D,从而得NE4D=NF,据此知4D=D尸，结合DC+CF=。/可得答案；

(3)如图③，延长4E,。尸交于点G,同(2)可得：AF=FG,△/BE空△GEC,据此知N8=CG,

继而得出答案.

【解答】解：(1)由题意知/C-CE<NE<NC+C£,即5-3C/EV5+3,

：.1<AD<4,

故答案为：1<AD<4；

(2)如图②，延长4B,DC交于点F,

,JAB//CD,

：.ZBAF=ZF,

在△/BE和△尸CE中

CE=BE,ZBAF=ZF,ZAEB=ZFEC,

:AABE空AFECCAAS),

：.CF=AB,

:AE是NB4D的平分线,

ZBAF=ZFAD,

：.NE4D=ZF,

：.AD=DF,

"：DC+CF=DF,

：.DC+AB=AD.

(3)如图③，延长4E,DF交于点、G,

同(2)可得：AF=FG,AABE卷AGEC,

：.AB=CG,

：.AF+CF=AB.

2.阅读理解

(S表示面积);

应用拓展

(2)如图②，已知梯形/BCD中，AD//BC,£是的中点，连接。E、EC,试利用上题得到的结

论说明S^DEC=S^ADE^S^EBC；

解决问题

(3)现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过。点的直线，将这

第24页共33页

块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置.

【分析】(1)由于与等底同高，根据三角形的面积公式即可得出/或。与14DC相等；

(2)延长DE交CB的延长线于点F,根据AAS证明△/)/£1四△FSE,则DE=FE,S&DAE=SAFBE,

又由(1)的结论可得&DEC=S△尸EC，代入即可说明&DEC=S»D£+&EBC；

(3)取48的中点E,连接。£并延长，交C2的延长线于点尸，则S梯彩再取C尸的中

点G,作直线£>G,贝！JSACQG=S△尸DG=S梯形梯形A8CD，故直线£>G即可将这块试验田分割成

面积相等的两块.

【解答】解：(1)如图①，过点/作NEL3c于E.

•.•。是8C中点，

：.BD