浙江中考数学二轮复习题型专练：将军饮马（解析版）

题型十四将军饮马

【要点提炼】

模型结论

A

PA+PB的最小。

B

当两定点A、B在直线/异侧时，在直连接AB交直线/于点P,点P即为

线/上找一点P,使PA+PB最小。所求作的点。

B

A

0

PA+PB的最小值为

AB'o

当两定点A、B在直线/同侧时，在直

线/上找一点P,使PA+PB最小。作点B关于直线/的对称点T,连

接AB'交直线于点P,点P即为所

求作的点。

.A

尸耳的最大值

P连接

当两定点A、B在直线/同侧时，在直AB并延长交直线/于点P,点P即为ABo

为所求作的点。

线/上找一点P,使P司最大。

©A

-------------------------------1\PA~PB\的最大值

B

为AB，o

当两定点A、B在直线/同侧时，在直作点B关于直线/的对称点B,,连

接AB，并延长交直线于点P,点P

线/上找一点P,使P司最大。

即为所求作的点。

A

P目的最小值

1为0„

连接AB,作\AB的垂直平分

当两定点A、B在直线/同侧时，在直线交直线/于’点P,点P即为

所求作的点。

线/上找一点P,使-0对最小。

AC+CD+DE的最小值

A、E是两个定点，CD在直线上运动,

为B'E+CD

但是CD的长保持不变，求AC+CD+DE

的最小值B'

将AC平移到BD处，作点B关于直

线对称的点B"连接B-E,即为

AC+DE的最小值

【专题训练】

选择题（共6小题）

1.如图，在△ABC中，AC^BC,ZACB=90°，点。在2c上，20=3,DC=1,点尸是A3上的

动点，则PC+P。的最小值为（)

B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】解：过点C作C0LA2于O,延长C。到C',使。C'=0C,连接。C',交AB于尸,

连接CP.

此时DP+CP=OP+PC'=DC'的值最小.

'：BD=3,DC=1

：.BC=4,

.•.80=3,

连接3C',由对称性可知/C'BA=NCBA=45°,

：.ZCBC'=90°,

：.BCLBC,ZBCC'=ZBC'C=45°,

：.BC=BC'=4,

根据勾股定理可得DC=7BC'2+BD2=V32+42=5.

2.如图，在矩形488中，AB=5,AD=3,动点尸满足S△朋B=*矩形ABCD,则点尸到4、8两点

距离之和PA+PB的最小值为（）

A.V29B.V34C.5V2D.V41

【答案】D

【解析】解：设△ABP中A8边上的高是江

SAPAB=gS矩形ABCD,

11

：.-AB'h=^AB'AD,

23

2

.*./?=|AD=2,

动点P在与AB平行且与A3的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点E,连接

AE,连接8E,则BE的长就是所求的最短距离.

在RtZXABE中，VAB=5,AE=2+2=4,

：.BE=>JAB2+AE2=V52+42=V41.

即PA+PB的最小值为"I.

故选：D.

3.如图，在矩形ABC。中，AB=10,BC=5.若点M、N分别是线段AC,AB上的两个动点，则

8M+MV的最小值为（）

A.10B.8C.5V3D.6

【答案】B

【解析】解：过8点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作垂直AB交AB

于尸点,

AC=5V5,

AC边上的高为=%第=2隗，所以8£=4花.

AABC^AEFB,

--=---,即--=-7=

EFBEEF4V5

EF=8.

故选：B.

4.如图，正方形A8CZ）的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形A8C。内，在对角线AC

上有一点产，使PD+PE最小,则这个最小值为（

A.V3B.2V3C.2V6D.V6

【答案】B

【解析】解：由题意，可得BE与AC交于点P.

:点2与。关于AC对称,

:.PD=PB,

：.PD+PE=PB+PE=BE最〃、.

,/正方形ABCD的面积为12,

：.AB=2y/3.

又「△ABE是等边三角形，

:.BE=AB=2W.

故所求最小值为2g.

故选：B.

5.如图，MN是半径为1的。。的直径，点A在。。上，/A跖V=30°,点8为劣弧AN的中点.P

是直径上一动点，则E4+PB的最小值为（）

C.2D.2V2

【答案】A

【解析】解：作点8关于的对称点8',连接。4、OB、OB'、AB',

贝ijA4与MN的交点即为朋+PB的最小时的点，B4+PB的最小值=4夕，

VZAMN^3Q°,

：.ZAON=2ZAMN=2X30a=60°,

•••点2为劣弧AN的中点，

ZBON=^ZAON=1x60°=30°,

由对称性，ZB'ON=ZBON=30°,

AZAOB'=/AON+NB'ON=60°+30°=90°,

：.^AOB'是等腰直角三角形，

'.AB'—yj2OA-V2xl=V2>

即PA+PB的最小值=V2.

6.如图，在平面直角坐标系中，RtZXOAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点8的坐标为（3,V3）,

—1

点C的坐标为（5，0）,点尸为斜边。8上的一个动点，则B4+PC的最小值为（）

一―一

o\C

V133+V19

A.——B.——C.---------D.2V7

222

【答案】B

【解析】解：法一：

作A关于。2的对称点。，连接CD交。2于尸，连接AP,过。作LWL0A于N,

则此时PA+PC的值最小,

'：DP^PA,

：.PA+PC=PD+PC=CD,

,:B(3,V3),

：.AB=V3,0A=3,ZB=60°,由勾股定理得：OB=2A/3,

11

由三角形面积公式得：-%OAXAB=^xOBXAM,

.\AM=

3

AAZ)=2x|=3,

VZAMB=90°,ZB=60°,

：.ZBAM=30°,

9：ZBAO=90°,

：.ZOAM=60°,

■:DNLOA,

：.ZNDA=30°,

：.AN=^AD=I，由勾股定理得：DN=*W,

1

VC0),

2

13

・・・CN=3_*_尹1,

在RtZsLWC中，由勾股定理得：DC=Jl2+(|V3)2=

即B4+PC的最小值是四，

2

法二：

如图，作点C关于。2的对称点。，连接AD,过点。作于

'：AB=V3,0A=3

：.ZAOB=30°,

：.ZDOC=2ZAOB=60°

•：OC=OD

**•△OCT)是等边三角形

：.DM=CD'sin60a=乎，OM=CM=CD'cos60°=1

111

：.AM=0A-0M=3-^=节

：.AD=y/DM2+AM2=孚

即PA+PC的最小值为

7.在如图所示的平面直角坐标系中，点尸是直线y=x上的动点，A(1,0),B(2,0)是x轴上的

【答案】V5

【解析】解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A',连接A'B,交直线y=尤于点P,

此时朋+PB最小，

由题意可得出：OA'=1,BO=2,PA'=PA,

：.PA+PB=A'B=Vl2+22=V5.

故答案为：V5.

8.如图，在△ABC中，AC=BC=2,ZACB=9Q°,。是BC边的中点,E是AB边上一动点，则

EC+ED的最小值是_追_

【答案】V5

【解析】解：过点C作CO±AB于0,延长CO到C,使OC'=0C,连接。C',交A3于E,

连接CE,

此时。E+CE=r)E+EC'=DC'的值最小.

连接8C',由对称性可知/C'BE=/CBE=45°,

：.ZCBC'=90°,

：.BCIBC,NBCC'=ZBCC=45°,

；.BC=BC'=2,

：£»是8C边的中点，

：.BD=1,

根据勾股定理可得DC=7BC'2+BD2=V22+I2=V5.

故答案为：V5.

DR

三.解答题（共2小题）

9.在平面直角坐标系中，。为原点，点A（4,0）,点2（0,3）,把△AB。绕点2逆时针旋转，得

△A'8。'，点A,。旋转后的对应点为A',O',记旋转角为a.

（I）如图①，若a=90°,求A4'的长；

（II）如图②，若a=120°,求点的坐标；

（III）在（II）的条件下，边。4上的一点尸旋转后的对应点为P,当O'P+BP'取得最小

;点A(4,0),点8(0,3),

；.OA=4,03=3,

：.AB^V32+42=5,

：△ABO绕点2逆时针旋转90°,得△?!'BO',

：.BA=BA',AABA'=90°,

•,.△ABA，为等腰直角三角形，

/.A4,=V2BA=5V2；

(2)作O'轴于X,如图②，

「△ABO绕点8逆时针旋转120°,得AA，BO',

：.BO=BO'=3,ZOBO'=120°,

：.ZHBO'=60°,

在RtABHO,中，'：ZBO'H=90°-ZHBO'=30°,

：.BH=^BO'O'H=y/3BH=

39

OH=OB+BH=3+尹力

二•O'点的坐标为(二二，：)；

22

(3):△ABO绕点B逆时针旋转120°,得△△'80',点P的对应点为尸'，

:.BP=BP',

：.O'P+BP'=O'P+BP,

作2点关于尤轴的对称点C,连接O'C交x轴于尸点，如图②,

则O'P+BP=O'P+PC=O'C,此时O'P+BP的值最小，

7点C与点2关于无轴对称，

：.C(0,-3),

设直线O'C的解析式为y=fcv+6,

339¥

f+bk

,3>/39-2c-解-

把O'(―^―,—C(0,-3)代入得2b-

h--3

-3

...直线O'C的解析式为>=沿-3,

当y=0时，—^―x-3=0,解得贝！J尸(方^,0),

.•.。2=穿

：.O'P'=0尸=等,

作PD±O'"于

'：ZBO'Ar=ZBOA=90°,ZBOrH=30°,

，NDP'O'=30°,

：.O'D=^O'P'=霁，P'D=y/30'D=^

：.DH=O'H-O'£)=等-霁6/3

丁

27

-4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B,CO是线段08

上的一动线段，且CO=2,过点C、。的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点RE,连接

EF.

（1）点A的坐标为（4,0）,线段OB的长=5企

（2）设点C的横坐标为"z

①当四边形CAEF是平行四边形时，求m的值；

②连接AC、AD,求相为何值时，△AC。的周长最小，并求出这个最小值.

【解析】解：（1）：y=x2-4x中，令y=0,贝U0=f-4元,

解得无1=0,X2=4,

AA(4,0),

解方程组｛(V;==/X_姨可得

l(yx=—0或T。(X=5，

：.B(5,5),

：.OB=V52+52=5V2.

故答案为：(4,0),5V2；

(2)①•・,点C的横坐标为如且C尸〃£>E〃y轴，

C(m,m),F(m,m2-4m),

又、：CD=2,且CO是线段05上的一动线段，

AD(m+V2,m+V2),E(m+V2,(m+V2)2-4(m+V2)),

:・CF=m-(m2-4m),£>E=m+V2—[(m+V2)2-4(m+V2)],

•・•当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE,

.'.m-(m2-4m)=m+V2—[(m+V2)2-4(m+V2)],

解得m=|—孝；

②如图所示，过点A作C。的平行线，过点。作AC的平行线，交于点G,则四边形ACDG是平

行四边形，

：.AC=DG,

作点A关于直线。2的对称点4,连接A。，则