遇到角平分线如何添加辅助线-2025年安徽中考数学常见几何模型解读与提分训练（原卷版）

专题05遇到角平分线如何添加辅助线模型

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目录

例题讲模型］

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模型1.运用角平分线定理模型.................................................................1

模型2.构造等腰三角形模型...................................................................3

模型3.构造轴对称图形模型...................................................................5

习题练模型］

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例题讲模型］

模型1.运用角平分线定理模型

模型解读

条件：如图，P是/WON的平分线上一点，已知垂足为A

辅助线作法:过点P作PBLON于点B.

结论:出=PA

0BN

模型运用

例1.如图，在VABC中，ZC=90°,50是VABC的角平分线.若CD=3cm,则点。到AB的距离为（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

例2.如图，射线OC是/AO3的角平分线，。是射线OC上一点，£＞尸，。4于点P,DP=5,若点。是射

线08上一点，02=4,则A。。。的面积是

⑴如图1,若CELAD于点凡交A3于点E,AB=7,AC=5.则BE=;

⑵如图2,若皿=7,AC=5,AACD的面积是10,求VABC的面积；

(3)如图3,若NC=2NB,AB=m,AC=n,请直接写出80的长(用含根，〃的式子表示).

例4.如图，点尸在/AC®的平分线上，点E歹分别在。403上，S.ZOFP=ZOEP.

D

⑴求证：PF=PE；

(2)延长尸尸，EP,分别交04,03于点C,D,连接C。，若DP平分/CDB,回答下列问题.

①试说明CP平分ZACD；

②若CD=2,S“CD=2,求点P到射线的距离.

模型2.构造等腰三角形模型

模型解读

1.条件:如图1,点尸是平分线0C上一点.

辅助线作法:过点尸作〃。昆交0A于点。.结论：△P。。是等腰三角形.

图1图2图3

2.条件:如图2,0C是/AOB的平分线，点。是。4上一点.

辅助线作法：过点。作。E〃OC,交8。的延长线于点E.

结论：△OOE是等腰三角形.

3.条件：如图3,尸是NMON平分线上一点，已知AP_LOP.

辅助线作法：延长AP,交ON于点B.

结论:AAOB是等腰三角形，。尸垂直平分A8

模型运用

例1.如图所示，8。是VABC的角平分线，过点。作交BC于点E,若CE=4,DE=3,则边3C

的长为()

C.8D.9

例2.如图，VABC中，BD平分/ABC,于点。，5ASCD=45,SAADC=20,贝=

例3.(1)如图1,VA5c中，AB^AC,ZABC,—ACB的平分线交于。点，过。点作砂〃3C交48,

AC于点E,F.图中有一个等腰三角形.猜想：EF与BE,Cf之间有怎样的关系，并说明理由；

(2)如图2,^AB=AC,其他条件不变，图中有一个等腰三角形；EF与BE,CF间的关系是」

(3)如图3,ABwAC,若上4BC的角平分线与VA3C外角ZAC。的角平分线交于点O,过点。作OE〃BC

交48于E,交AC于R图中有一个等腰三角形.EF与BE,CT间的数量关系是

例4.(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1,O尸平分NMON.点A为。暇

上一点，过点A作AC_LOP,垂足为C,延长AC交ON于点B,求证：AAOCdBOC.

⑵【问题探究】如图2,在(1)的条件下，过点A作ADLON,垂足为"AD交O尸于点E.若AD=OD,

试探究AC和。£的数量关系，并证明你的结论.

(3)【拓展延伸】如图3,VABC中，AB=AC,NBAC=90。，点。在线段BC上，且=

2

于交AB于尸，试探究8E和。尸之间的数量关系，并证明你的结论.

图2图3

14.【阅读材料】“截长法"是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常

用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形，角平分线等条件，可用"截长法"构造全等三角形来进

行解题.

A

【问题解决】

(1)如图①，在VA3C中，ZACB=2ZB=90°,AD为NBAC的角平分线，在AB上截取AE=AC,连接DE.请

直接写出线段48,AC,CD之间的数量关系；

【拓展应用】

(2)如图②，在VABC中，ZACB=2ZB^90°,AD为NBAC的邻补角的角平分线.请判断线段AB,AC,

C。之间的数量关系，并说明理由；

【探究延伸】

(3)如图③，在VABC中，ABAC=9Q°,ZACB=2ZB=60°,A8=26，AC=2,AR为的角平

分线，A3是-54c的邻补角的角平分线时，请直接写出△AC2和AACN的面积.

模型3.构造轴对称图形模型

模型解读

1.截长法

条件:如图1,在△ABC中，点。在8c上，且A。平分/BAC.

辅助线作法:在AB上截取AF=AC,连接DF.结论:AAC£)^AAFZ).

BDC

图1

2.补短法

条件:如图2,在△ABC中，点。在2C上，ZACB=2ZB,S.AD平分N3AC.

辅助线作法:延长AC至点E,使AE=AB,连接DE.

结论：

例1.如图，在VABC中，ZACB=2ZB.

⑴如图1,当NC=90。，AD为4c的角平分线时，求证：AB=AC+CD；

⑵如图2,当NCw90。，AD为/A4c的角平分线时，线段AB,AC,CO的数量关系为

(3)如图3,当AD为VABC的外角平分线时，线段AB,AC,CD的数量关系为；

例2.综合与实践

【问题情境】

在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识：

定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，

如图1,在四边形ABC。中，AB=AD,/8+/。=180。，这种四边形被称为等补四边形.

图1图2

【探究实践】

经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现.

(1)如图2,李明发现，连接C4,则C4为/BCD的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由；

(2)如图3,王红发现，在等补四边形ABC。中，当AB_L3C,ADLCD,ZE4尸=时，BE,EF马

ED之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由.

【拓展应用】

(3)如图4,已知ZEOF=|ZAOB,OA^OB,ZA+ZB=180°，若AE=6,踮=9,则砂的长度是

习题练模型

I

一、单选题

1.如图，MC是"WB的角平分线，尸为MC上任意一点，PDYMA,垂足为点。，且尸。=3,则点尸到

射线MB的距离是()

A

D

A.1B.2C.3D.4

2.如图，在0ABe中，0ABe的角平分线8。和0AC8相邻的外角平分线CO交于点。，过点。作小〃BC交

AB^-E,交AC于G,若EG=2,且GC=6,贝UBE长为()

C.10D.9

3.如图，在等腰Rt^ABC,N54c=90。，AB=AC,8。为VABC的角平分线，过点C作CELBD交的

延长线与点E,若CE=2,则8。的长为（）

A

4.如图，为NC4厂的角平分线，BD=CD,过。作DE1AC于E,7）尸_LAB交54的延长线于尸，则

下列结论:

ABDF；®CE=AB+AE-③NBDC=/BAC.其中正确结论的序号有（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空题

5.如图，在VABC中，3。是/ABC的角平分线，DE//BC,若A5=13,OE=8,则AE的长为.

A

E/--^D

6.如图，射线0C是/A03的角平分线，点。为射线0C上一点，。尸，。4于点P,PD=4,若点。是射

线。8上一点，00=5,则AOOQ的面积为.

7.如图，BD是/ABC的角平分线，AD±BD,垂足为O,ZZMC=20°,ZC=4Q°,贝！JNAB£>=

8.如图，双骄制衣厂在厂房。的周围租了三幢楼A、8、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公

路相连，并且厂房。与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且3C>AC>AB.已知厂房。到每条公路的距

离相等.

（1）则点。为AABC三条的交点（填写：角平分线或中线或高线）；

（2）如图设BC=a,AC=b,AB=c,OA=x,OB=y,OC=z,现要用汽车每天接送职工上下班后，

返回厂房停放，那么最短路线长是_________.

9.如图，4。是的角平分线，点E在CB的延长线上，且DE=CD,E/〃AC交力B的延长线于点R

求证：AF+EF^AC.

10.课本再现

如图1,任意作一个角NAOB,作出NAO3的平分线OC,在OC上任取一点尸，过点P画出。4,02的

重线，分别记垂足为。，E,测量PO,PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.

通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？

猜想证明

(1)角的平分线有以下性质:

(2)证明你的猜想.

知识应用

(3)如图2,在四边形OEPQ中，OP平分NQOE,/E=90。,OE=2PE=2OQ=4.求四边形OEPQ的

面积;

ARBD

(4)如图3,在VABC中，4。是它的角平分线.证明：—

21

11.在VABC中,ZACB=2NB,如图

⑴当NC=90。时，AD为，3AC的平分线，求证：AB=AC+CD.

⑵如图，当NCW90。时，AD为N3AC的角平分线，猜想线段AB,AC,CD的关系式(请

直接写出你的猜想，不需要证明）

（3）如图当4。为VA2C的外角平分线时，线段AB,AC,CD的关系（并对你的猜想给

予证明）

12.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在Q4、上分别取点C、E、D、B，使

得OC=OD,OE=OF,连接CP、DE,交点为P,则射线O尸为—AC®的角平分线.

图1图2图3

【验证】（1）试说明O尸平分/AO3,且尸E=P尸；

【应用】（2）如题图2,若C、E、D、厂分别为Q4、上的点，S.OC=OD,CFLOA,DEVOB,

试用（1）中的原理说明O尸平分/AOB；

【猜想】（3）如题图3,P是一AOB角平分线上一点，C、。分别为。4、上的点，且PC=PD,请补

全图形，并直接写出与4DO的数量关系.

13.【数学思考】（1）如图1,AO是VA3C的中线，过点B作AC的平行线，交AD的延长线于点E,求证：

△ADC-EBD；

【深入探究】（2）如图2,AD是VABC的角平分线，点E在BC边上，CD=DE,过点E作EF〃AB交AD

于点尸，试判断跖与AC的数量关系，并说明理由；

【拓展延伸】（3）如图3,