浙江中考数学二轮复习题型专练：与相似有关的证明及计算（解析版）

题型十七与相似有关的证明及计算

【要点提炼】

一、【A型】

（平行）

证明相似的要点：公共角等

相似所得比例式:何=噜=邸AD_AE_DE

/\.DAC/DCAC-AB~BC

二、【X型】

（蝴蝶型）

证明相似的要点：对顶角等

相似所得比例式：

AO_BO_ABA]_BJ_AB

DO-CO一CDCJ~DJ~CD

【K型、一线三等角模型】

证明相似的要点：同角得余角相等或N1+N2=N2+N3得N1=N3

相似所得比例式：

BDBE_DEAD_AE_DEAD_AB_DB

ECCF-FEBE-BC-CEBC~CE~BE

四、【母子型】

证明相似的要点：同角得余角相等、公共角

相似所得比例式：

AC=AD.AB

BC2=BD-BA

CD2=AD-BD

五、【旋转型，手拉手模型】

证明相似的要点：图中有两对相似，AOCD〜AOAB和AOCA〜AODB,可以互推

相似所得比例式：

PC_OP_CDPC_0A_AC

0A~OB~ABOD~OB~BD

【专题训练】

1.(2020•宁波)【基础巩固】

(1)如图1,在△ABC中，。为A2上一点，NACD=NB.求证：AC2=AD'AB.

【尝试应用】

(2)如图2,在团A8CD中，E为BC上一点、,尸为CD延长线上一点，ZBFE=ZA.若BF=4,

BE=3,求的长.

【拓展提高】

(3)如图3,在菱形中，£是AB上一点，/是△ABC内一点，EF//AC,AC=2EF,Z

1

EDF=寺/BAD,AE=2,DF=5,求菱形ABC。的边长.

图3

AADC^AACB,

.ADAC

••—,

ACAB

：.AC2^AD-AB.

(2).四边形ABC。是平行四边形，

：.AD=BC,ZA=ZC,

又,.•NBFE=NA,

：.ZBFE=ZC,

又；NFBE=NCBF,

:ABFEs^BCF,

.BFBE

••—,

BCBF

:.BF^BE^BC,

.„„BF24216

..”一近一3一丁

：.AD=

(3)如图，分别延长EF,0c相交于点G,

•.,四边形ABC。是菱形，

1

：.AB//DCf/BAC=*/BAD,

*：AC//EF,

・・・四边形AEGC为平行四边形，

：.AC=EG,CG=AE,ZEAC=ZG,

1

ZEDF=衣BAD,

：.ZEDF=ZBAC,

：・/EDF=/G,

又,：NDEF=NGED,

•••△EDFs^EGD,

.EDEF

••一9

EGDE

：.DE1=EF'EG,

又：EG=AC=2EF,

：.DE2=2EF2,

：.DE=正EF,

„DGDE

又：--=---,

DFEF

；.DG=y[2DF=5^/2,

：.DC=DG-CG=5或-2.

2.（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形A80C的两直角边分别在坐标轴的正半轴上,

分别过08,OC的中点。，E作AE,的平行线，相交于点凡已知08=8.

（1）求证：四边形为菱形.

（2）求四边形AEFD的面积.

（3）若点尸在x轴正半轴上（异于点D）,点。在y轴上，平面内是否存在点G,使得以点A,

P,Q,G为顶点的四边形与四边形AEm相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理

由.

备用图

【解答】(1)证明：如图1中,

图1

'.,AE//DF,AD//EF,

四边形AEFD是平行四边形，

...四边形ABOC是正方形，

：.AC=AB=OC=OB,ZACE=ZABD=90°,

,:E,。分别是0C,。2的中点，

：.CE=BD,

：./\CAE^^\ABD(SAS),

：.AE=AD,

平行四边形AEFD是菱形.

(2)解：如图1中，连接。E.

1

.：SdADB=S^ACE=3X8X4=16,

1

SAEOD=2x4X4=8,

:&AED=S正方形ABOC-2SAABD-S^EOD=64-2X16-8=24,

••S菱形AEFZJuZS/xAEDudg.

(3)解：如图1中，连接AR设AF交OE于K,

•；0E=0D=4,0K1,DE,

：.KE=KD,

：.OK=KE=KD=2五,

VAO=8V2,

：.AK=6^2,

：.AK=3DKf

①当AP为菱形的一边，点。在x轴的上方，有图2,图3两种情形：

如图2中，设AG交P。于H,过点H作“N_Lx轴于N,交AC于设AM=/.

丁菱形B4QGs菱形ADFE,

：.PH=3AHf

■:HN〃OQ,QH=HP,

：・ON=NP,

:,HN是MPQ。的中位线，

:・0N=PN=8-t,

VZMAH=ZPHN=90°-NAHM,ZPNH=ZAMH=90°,

丛HMAsAPNH,

.AM__MH_AH1

••NH-PN-PH-3’

:,HN=3AM=3t,

:,MH=MN-NH=8-3t,

■:PN=3MH,

・・・8-=3(8-3力，

••/=2,

AOP=2ON=2(8-r)=12,

：.P(12,0).

如图3中，过点H作mJ_y轴于/,过点尸作尸N_Lx轴交/H于N,延长区4交/N于A/.

图3

同法可证：△AMHs/\HNP,

AMMHAH1

设

HN-PN-HP-3’

:・PN=3MH=3t,

：.AM=BM-AB=3t-Sf

・・・"/是△OPQ的中位线，

・•・OP=2IH,

:,HI=HN,

8+Z=9z-24,

：.OP=2HI=2(8+Z)=24,

：.P(24,0).

②当AP为菱形的边，点。在x轴的下方时，有图4,图5两种情形：

如图4中，QH=3PH,过点〃作HM_LOC于过Z)点P作PN_LM”于N.

1

：.MH=^AC=4,

同法可得：AHPNs丛QHM,

.NPHNPH1

HM~MQ~QH~3f

14

：.PN=与HM=I，

4

：・OM=PN=《,设HN=t,则MQ=3/,

'：MQ=MC,

A3r=8-14,

.20

・・uq，

・・・OP=MN=4+t=

,一56

二・点尸的坐标t为（3，o）.

如图5中，QH=3PH,过点轴于M交AC于/,过点。作QALLHM于N.

•.•田是△AC。的中位线，

：.CQ=2HI,NQ=CI=4,

同法可得：^PMHsAHNQ,

MHP114

---------

NQH333

设尸则〃N=3/,

■:HN=HI,

4

••3t=8+可，

._28

**t=

：.OP=OM-PM=QN-PM=4-r=1,

8

：.P(-,0).

9

③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形:

图6

过点H作轴于于点交A8于1,过点P作于N.

"/〃尤轴，AH=HP,

：.AI=IB=4,

；・PN=IB=4,

同法可得：APNHs丛HMQ,

pNNpH1

前---3-

：.MH=3PN=12,HI=MH-MI=4,

•:HI是AABP的中位线，

：.BP=2IH=8,

：.OP=OB+BP=16,

：.P(16,0),

综上所述，满足条件的点尸的坐标为（12.0）或（24,0）或号，0）或0）或（16.0）.

3.（2020•杭州）如图，在△ABC中，点。，E,F分别在AB,BC,AC边上，DE//AC,EF//AB.

(1)求证：ABDEsAEFC.

^AF1

(2)设一=

FC2

①若BC=12,求线段BE的长;

②若的面积是20,求△ABC的面积.

【解答】（1）证明：9：DE//AC,

：.ZDEB=NFCE,

,:EF〃AB,

：.ZDBE=ZFEC,

：.ABDEsMEFC；

(2)解：@\'EF//ABf

.BEAF1

•・EC~FC~2

■;EC=BC-BE=12-BE,

.BE1

^12-BE~2

解得：BE=4；

AF1

②..正=?

.FC2

••—―,

AC3

,JEF//AB,

:.△EFCs4BAC,

2

24

•S&EFC=(生)---

2=39

"S.ABCAC

99

彳

SAABC=-T4S,^EFC=4,x20=45.

4.(2020•杭州)如图，在正方形ABC。中，点E在8C边上，连接AE,/D4E的平分线AG与C。

CE

边交于点G,与BC的延长线交于点F.设前=入(X>0).

ED

(1)若A8=2,入=1,求线段CF的长.

(2)连接EG,若EG_LAR

①求证：点G为。边的中点.

②求入的值.

【解答】解：(1):在正方形A8CD中，AO〃8C,

：.ZDAG^ZF,

又：AG平分/D4E,

ZDAG=ZEAG,

：.ZEAG=ZF,

C.EA^EF,

'：AB=2,ZB=90°，点E为BC的中点,

：.BE=EC=l,

：.AE^>JAB2+BE2=V5,

：.EF=V5,

：.CF=EF-EC=V5-1；

(2)①证明：'：EA=EFfEG.LAF,

：.AG=FG,

在△AOG和△尸CG中

ZD=心GCF

乙4Go=ZFGC,

AG=FG

：.AADG^AFCG(A4S),

:・DG=CG,

即点G为。。的中点；

②设CD=2m贝!JCG=〃，

由①知，CF=D4=2〃，

•；EGLAF,ZGCF=90°,

/.ZEGC+ZCGF=90°,ZF+ZCGF=90°,/ECG=NGCF=90°,

:・/EGC=/F,

：.4EGCs丛GFC,

.ECGC

GC~FC

VGC=a,FC=2a,

,££_1

'9FC-2

.EC1

,•GC一2

1I3

••EC=2"，BE=BC~EC=2a-2〃=2"'

1

.、CE/1

••大一EB一加一3・

5.（2019•绍兴）如图，矩形A8CZ）中，AB=a,BC=b，点、M,N分别在边43,CD上，点E,F

分别在边BC,A。上，MN,所交于点P,记k=MN：EF.

（1）若a：6的值为1,当MNLE尸时，求女的值.

1

(2)若①b的值为3，求女的最大值和最小值.

(3)若化的值为3,当点N是矩形的顶点，ZMPE=60°,MP=EF=3PE时,求〃：匕的值.

【解答】解：(1)如图1中,

图1

作EHLBC于H,MQLCD于Q,设EF交MN于点、0.

•・•四边形A5CO是正方形，

：.FH=AB,MQ=BC,

*：AB=CB,

：.FH=MQ,

■:EFLMN,

：.ZEON=90°,

VZECN=90°,

；・NMNQ+/CEO=180°,ZFEH+ZCEO=180°

:・/FEH=/MNQ,VZEHF=ZMQN=90°,

：./\FHE^/\MQN(A4S),

：.MN=EF,

：.k=MN：EF=1.

(2)•・・〃：b=l：2,

**•b=2a,

由题意：2aWMNW有a,a^EF<y/5a,

.•.当MN的长取最大时，所取最短，此时%的值最大最大值=近，

一2V5

当MN的最短时，环的值取最大，此时人的值最小，最小值为

(3)连接产N,ME.

,:k=3,MP=EF=3PE,

MNEF

•・•—_―_J&t

PMPE

PNPF

：.—=—=2,,:/FPN=/EPM,

PMPE

:•丛PNFs^PME,

NFPN

__________2ME//NF,

ME~PM~'

设PE=2m,则尸产=4m,MP=6m,NP=12m,

①如图2中，当点N与点。重合时，点M恰好与B重合.作尸〃，8。于”.

图2

VZMPE=ZFPH=60°,

：.PH=2m,FH=2Wm,DH=10m,

.aABFHV3

""b~AD~HD~5'

②如图3中，当点N与C重合，作EH±MN于H.则PH=m,HE=^3m,

:.HC=PH+PC=l3m,

MB_HE

tanZHCE=~BC=HC=13

U：ME//FC,

：.ZMEB=NFCB=NCFD,

•:/B=/D,

：.AMEBs/\CFD,

CDFC

•・•—_o—乙,

MBME

.aCD2MB243

"b~BC~BC-13'

综上所述，a：b的值为三或二二.

513

6.(2019•台州)如图，正方形A8CD的边长为2,E为A8的中点，P是延长线上的一点，连接

PC交AD于点F,AP=FD.

(1)求空的值；

AP

(2)如图1,连接EC,在线段EC上取一点使EM=EB,连接MF,求证：MF=PF；

(3)如图2,过点E作ENLCD于点N,在线段EN上取一点。，使AQ=AP,连接8。，BN.将

△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点2落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B，是

否落在线段BN上，并说明理由.

【解答】解：（1）设AP=ED=a,

.\AF=2-a,

・・•四边形ABC。是正方形

J.AB//CD

：.AAFP^ADFC

.APAF

-CD-FD

a2-a

即一=——

2a

a=V5—1

AAP=FD=V5-1,

：.AF=AD-Z)F=3-V5

.AFV5-1

''AP—2

(2)在CD上截取DH=AF

;AF=DH,ZPAF=ZD=90°,AP=FD,

：./\FAF^/\FDH(SAS)

：.PF=FH,

'：AD=CD,AF=DH

：.FD=CH=AP=V5-1

:点E是AB中点，

：.BE=AE=1=EM

：.PE=PA+AE=V5

•.*EC2=BE2+BC2=1+4=5,

Z.EC=V5

:.EC=PE,CM=V5-1

ZP=NECP

"."AP//CD

：./P=/PCD

：.NECP=ZPCD,且CM=CH=V5-1,CF=CF

：.AFCM^AFCH(SAS)

：.FM=FH

:.FM=PF

(3)若点8在BN上，如图，以A原点，A8为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系,

"：EN±AB,AE=BE

：.AQ=BQ=AP^^-\

由旋转的性质可得AQ=AQ'=4一1,AB=AB'=2,。8'=。2=逐一1,

;点、B(0,-2),点N(2,-1)

.•.直线BN解析式为：y=1x-2

-1

设点B'(%,-%-2)

2

：.AB'=Jx2+(1x-2)2=2

x=?

・••点b(二，—p)

53

•点。(遥—1,0)

.•田。'=2+|f*V5-1

/.点B旋转后的对应点8不落在线段上.

7.(2019•衢州)如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6,ZBAC=60°,AO平分N8AC交BC

于点。，过点。作DE〃AC交A3于点E,点M是线段AD上的动点，连接并延长分别交

DE,AC于点F、G.

BB

(1)求CD的长.

1717

(2)若点M是线段A。的中点，求工的值.

(3)请问当0M的长满足什么条件时，在线段。丘上恰好只有一点P,使得NCPG=60°?

【角军答】解：(1),.・A。平分NBA。，ZBAC=60°,

1

AZDAC=^ZBAC=30°,

在RtZ\AOC中，DC=AC・tan30°=6x孚=2次.

(2)由题意易知：BC=6®BD=A®

"DE//AC,

.ZFDM=ZGAM,

，AM=DM,ZDMF^ZAMG,

.△DFM2LAGM(ASA),

.DF=AG,

'DE//AC,

EFBEBD

"AG~AB~BC'

EFEFBD4V32

"DF~AG~BC~6V3—3，

(3)CPG=60°,过C,P,G作外接圆，圆心为。，

...△CQG是顶角为120°的等腰三角形.

①当。。与相切时，如图3-1中，作。“L4c于H,交DE于P.连接。C,QG.

B

图3-1

11

设。。的半径为r.则Q”=分，r+分=2g,

._4/3

—，

CG=xV3=4,AG=2,

,一口OMDF4

由可得——=一=一,

AMAG3

：.DM=^AD=^^

②当。。经过点E时，如图3-2中，延长CQ交AB于K,设CQ=r.

'''QC^QG,/CQG=120°,

AZKCA=30°,

ZCAB=6Qa,

ZAKC=90°,

在RtZXEQK中，QK=3W—r,EQ=r,EK=1,

12+（3V3-r）2=J,

解得r=萼，

•cr―丫与_

••CCr=1~4g-•XV3=1-Q4->

由△DFAfs/XAGM,可得。

③当O。经过点。时，如图3-3中，此时点M,点G与点A重合，可得£>M=AD=4g.

图3-3

观察图象可知：当。M=当包或4g时，满足条件的点P只有一个.

8.（2018•宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角

形.

（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2,8c=3,请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图1,在四边形A8CZ）中，AD//BC,对角线BZ）平分NABC,/BAC=/ADC.求证:

△ABC是比例三角形.

BD

（3）如图2,在（2）的条件下，当NADC=90°时，求一的值.

AC

【解答】解：（1）•.•△A5C是比例三角形，且AB=2、BC=3,

①当AB2=BC・AC时，得：4=3AC,解得：AC=1；

②当时，得：9=2AC,解得：AC=~

③当4^=4炉8(?时，得:AC2=6,解得：AC=V6(负值舍去);

49广

所以当AC=爰或尹前时，"BC是比例三角形；

(2)"JAD//BC,

：.ZACB=ZCAD,

ZBAC=ZADC,

：.AABC^/\DCA,

BCCA0

一=一，即nCA2=BCM£>,

CAAD

"JAD//BC,

：.NADB=NCBD,

・.・8。平分NA3C,

・•・NABD=/CBD,

：.ZADB=/ABD,

：.AB=ADf

：.CA2=BC・A5,

•••△ABC是比例三角形;

(3)如图，过点A作AHL3Z)于点”,

\'AB=ADf

1

：.BH=^BD,

■:AD//BC,ZADC=90°,

：.ZBCD=90°,

：.ZBHA=ZBCD=90°,

又：ZABH=ZDBC,

：.△ABHsADBC,

ABBHr

・•・一=—,即AB・BC=BH・DB,

DBBC

:.AB，BC=聂/A

又：gBCiC2,

：.-BD1=AC2,

2

BD

----=y2r.

AC

9.（2018•襄阳）如图（1）,已知点G在正方形ABC。的对角线AC上，GELBC,垂足为点E,GF

LCD,垂足为点足

（1）证明与推断：

①求证：四边形CEG尸是正方形；

②推断：3;的值为—V2_：

（2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°<a<45°）,如图（2）所示，试探究线段AG

与8E之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当3,E,歹三点在一条直线上时，如图