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文档简介
题型六函数与三角形存在性问题
【要点提炼】
一、【等腰三角形存在性】
例1、在坐标系中有AB两点,则在X轴上是否存在点C,使AABC是等腰三角形
x
①画出点C可能存在的所有位置:就是我们经常讲的两圆一线
两圆:以A为圆心,AB为半径画圆;以B为圆心,AB为半径画圆
■—线:AB的垂直平分线
如图,两圆一线上所有的点都能与A、B两点形成等腰三角形,共有如图五个点C
②代数法
设出A、B、C三点的坐标,用两点间距离公式
d=垃+(%-%)表示出三角形三边的长,然后列方程
AB=BC;BC=AC;AB=AC
二、【直角三角形存在性】
例2、在坐标系中有AB两点,则在x轴上是否存在点C,使AABC是直角三角形
八V
*B
A
-Ox
①画出点C可能存在的所有位置:两线一圆
两线:分别以A、B为垂足,做AB的垂线
一圆:以AB为直径画圆
如图,两线一圆上所有的点都能与A、B两点形成直角三角形,共有如图四个点C
②代数法
设出A、B、C三点的坐标,用两点间距离公式d=_々)2+(%_%)2表示出三角形三边的长,
然后列方程
AB-+BC2=AC2
AB1+AC2=BC2
AC"+BC2=AB2
三、【等腰直角三角形存在性】
例3、在坐标系中有AB两点,则在坐标平面内是否存在点C,使AABC是等腰直角三角形
八1'
B
*
,,AA
Ox
①画出点C可能存在的所有位置:如图,固定会有六个答案点C
Ay
C=「/'\
________'尢_4c2-
O_____\/X
②代数法
MV
C
DHE
一\\
________1-一北丁
在等腰RtAABC外做出K型全等,如图,AADB全等于ABEC,设出A、B、C三点的坐标,表示出AD、
B、BE、EC的长,列出方程
AD=BE;DB=EC
【专题训练】
一.填空题(共1小题)
1.(2020•无锡)二次函数3依+3的图象过点A(6,0),且与y轴交于点B,点/在该抛
3
物线的对称轴上,若是以A3为直角边的直角三角形,则点M的坐标为(二,-9)或
------2--------------
3
(一,6).
一2-----------
33
【答案5,-9)或(5,6)
1
【解析】解:•••抛物线的对称轴为x=-2
2x(T)一七
3
设点M的坐标为:(5,m),
当NABM=90°,
过5作30垂直对称轴于D,
则N1=N2,
tanZ2=tanZ1=4=2,
DM
/.----=2,
BD
・・・OM=3,
3
•*.M(一,6),
2
当NM,AB=90°时,
・.八_M'N_八_6_。
••tanN3一二,—tan/I—可—2,
:.M'N=9,
3
:.M'(-,-9),
2
33
综上所述,点M的坐标为(-,-9)或(-,6).
22
33
故答案为:(-,-9)或(-,6).
22
二.解答题(共5小题)
2.(2019•白银)如图,抛物线>="2+加:+4交无轴于A(-3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点
C,连接AC,BC.点尸是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为八
(1)求此抛物线的表达式;
(2)过点P作尸尤轴,垂足为点M,交BC于点。.试探究点P在运动过程中,是否存
在这样的点。使得以A,C,。为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点。的坐
标,若不存在,请说明理由;
(3)过点尸作PNLBC,垂足为点N.请用含机的代数式表示线段PN的长,并求出当机为何
值时PN有最大值,最大值是多少?
【解析】解:(1)由二次函数交点式表达式得:y=a(x+3)(x-4)=a(x2-x-12)=ax2-ax
-12af
即:-12a=4,解得:a=—
则抛物线的表达式为y=-p+J.r+4;
(2)存在,理由:
点A、B、C的坐标分别为(-3,0)、(4,0)、(0,4),
则AC=5/32+42=5,A2=4-(-3)=7,BC=4夜,NOBC=NOCB=45°,
设BC的解析式为y=fcc+6,将点8、C的坐标代入解得:
.•.y=-x+4…①,
设直线AC的解析式为尸Qx+沙,则有「寸”=°
解得卜'=I
⑦=4
直线AC的表达式为:y=$+4,
设线段AC的中点为K(一/2),过点M与CA垂直,直线的表达式中的上值为一,
同理可得过点K与直线AC垂直,直线的表达式为:y=-1x+l
①当4c=A。时,如图1,
则AC=AQ=5,
设:QM=A/B=",则AM=1-n,
由勾股定理得:(7-n)2+7=25,解得:w=3或4,
:点。在点8的左侧,
.\n=3
故点Q(1,3);
②当AC=C。时,如图1,
CQ=5,贝I]2Q=BC-CQ=4或-5,
贝l|QM=MB=8一严
,,_5V28-5V2
故点。(-y,---);
③当CQ=A。时,
联立①②并解得:x=竽(舍去);
,、5V28-5V2
故点。的坐标为:。(1,3)或(乱—,—-—);
(3)设点P(m,—^2+^m+4),则点。Qm,-m+4),
OB=OC,
ZABC=ZOCB=45°=NPQN,
:.PN=PQ&nNPQN=与(.-L^+LnU+m-4)=一((m-2)2+绰,
乙D。U。
V-^<0,;.PN有最大值,
o
2V2
当机=2时,PN的最大值为:—.
3.(2019•乐陵市模拟)如图,关于尤的二次函数y=/+6x+c的图象与无轴交于点A(1,0)和点8,
与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△P2C为等腰三角形?若存在.请求出点尸的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在42上向点8运动,另一个点N从点、D
与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M、
N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,面积最大,试求出最大面积.
【解析】解:(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=/+6x+c,
1+b+c=0
c=3
角毕得:b=-4,c=3,
二二次函数的表达式为:y=x2-4x+3;
(2)令y=0,则,¥2-4x+3=0,
解得:x=l或x=3,
:.B(3,0),
.,.BC=3V2,
点P在y轴上,当△P8C为等腰三角形时分三种情况进行讨论:如图1,
①当CP=CB时,PC=3V2,Z.OP=OC+PC=3+3V2^4OP=PC-OC=3V2-3
/.Pl(0,3+3V2),尸2(0,3-3V2);
②当3尸=BC时,OP=OC=3,
:.Pi(0,-3);
③当尸8=PC时,
:OC=OB=3
,此时P与。重合,
:.P4(0,0):
综上所述,点尸的坐标为:(0,3+3V2)或(0,3-3V2)或(0,-3)或(0,0);
(3)如图2,设A运动时间为3由AB=2,得BM=2-3则DN=2f,
:.SAMNB=^x(2-t)X2t=-F+2t=-(f-1)2+l,
即当M(2,0)、N(2,2)或(2,-2)时△MNB面积最大,最大面积是1.
4.(2018•资阳)已知:如图,抛物线>=办2+6尤+。与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-
2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点尸运动到什么位置时,的面积有最大值?
(3)过点尸作无轴的垂线,交线段A8于点再过点P做产石〃了轴交抛物线于点E,连接OE,
请问是否存在点尸使为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理
由.
【解析】解:(1)•..抛物线过点8(6,0)、C(-2,0),
设抛物线解析式为y=a(x-6)(尤+2),
将点A(0,6)代入,得:-12〃=6,
解得:a=
所以抛物线解析式为y=(x-6)(X+2)=-^X2+2X+6;
(2)如图1,过点P作尸与点交AB于点、N,作AGLPM于点G,
设直线AB解析式为y=kx+b,
将点A(0,6)、B(6,0)代入,得:
则直线A2解析式为y=-x+6,
设尸(t,-1?+2/+6)其中0<7<6,
则NG,-Z+6),
PN=PM-MN=-1r+2r+6-(-z+6)=-1r+2r+6+r-6=-
:.S4PAB=SAPAN+S丛PBN
11
=^PN・AG+^PN・BM
1
=?N・QAG+BM)
=5PN・OB
=]X(一,d+3£)X6
=-y+%
=-1(r-3)2+冬
15
...当t=3时,P位于(3,y)时,的面积有最大值;
方法二:如图2,连接。尸,作PHLx轴于点H作尸G,y轴于点G,
设P(3一#+2什6)其中0y<6,
则尸”=一^2+2什6,PG=t,
SAPAB=S^PAO-^-S^PBO-S/\ABO
=x6Xt-\-2x6X(—2»+2/+6)—]X6X6
=-|?+9z
=-|(r-3)2+差
15
.•.当f=3时,即P位于(3,y)时,△心B的面积有最大值
(3)如图3,
若APDE为等腰直角三角形,
则PD=PE,
设点P的横坐标为a,点、E的横坐标为b,
11a+b2
PD=一方〃9+2〃+6一(-〃+6)=9------=----------7-,
2222x(-i)
贝!J6=4-a,
:.PE=\a-(4-a)|=|2a-4|=2|2-a|,
1,
*•—2“~+3a=2|2-a|,
解得:a=4或a=5-"7,
所以尸(4,6)或尸(5-V17,3V17-5).
5.(2018•兰州)如图,抛物线y=a?+b尤-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点,与y轴交于点C,
连接AB,AC,BC.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求证:AB平分/CA。;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得是以为直角边的直角三角形,若存在,
求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】解:⑴将A(-3,0),8(5,-4)代入得:非一
解得:a=b=
oo
・・・抛物线的解析式为尸p-1x-4.
(2)・「AO=3,OC=4,
:.AC=5.
取。(2,0),则A0=AC=5.
由两点间的距离公式可知BD=J(5—24+(—4-0)2=5.
VC(0,-4),B(5,-4),
:.BC=5,
:.BD=BC.
在△ABC和△ABD中,AD=AC,AB=AB,BD=BC,
△ABCdABQ,
:.ZCAB=ZBAD,
:.AB平分/C4。;
证法二:VC(0,-4),B(5,-4),
:.BC//x^,
:.ZBAD=ZABC,
':CA=CB,
:.ZCAB=ZABC,
:.ZCAB=ZBAD,
:.AB平分/CAO.
(3)如图所示:抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F.
抛物线的对称轴为x=则AE=芋.
VA(-3,0),B(5,-4),
1
tanZEAB=才
VAM'A3=90°.
AE=2.
:.M'E=2AE=U,
5
:.M'(一,11).
2
同理:tanNMB/=2.
又,・郎=1,
:.FM=5,
5、
:.M(-,-9).
2
.•.点M的坐标为(3ii)或(9,-9).
22
6.(2016•白银)如图,已知抛物线y=-/+6x+c经过A(3,0),B(0,3)两点.
(1)求此抛物线的解析式和直线AB的解析式;
(2)如图①,动点E从。点出发,沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动,同时,
动点尸从A点出发,沿着A3方向以/个单位/秒的速度向终点8匀速运动,当E,产中任意一点
到达终点时另一点也随之停止运动,连接跖,设运动时间为f秒,当f为何值时,Z\AEF为直角
三角形?
(3)如图②,取一根橡皮筋,两端点分别固定在A,B处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在
直线A2上方的抛物线上移动,动点尸与A,B两点构成无数个三角形,在这些三角形中是否存
在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点P的坐标;如果不存在,请
简要说明理由.
图①图②
【解析】解:(1):抛物线y=-/+6x+c经过A(3,0),B(0,3)两点,
.f-9+3b+c=0
••lc=3
•••{1,
9=3
••y—~X2+2X+3,
设直线AB的解析式为y=kx+nf
VA(3,0),B(0,3)
.(3k+n=0
,,In=3
•(k=-1
*in=3'
-x+3;
(2)由运动得,OE=t,AF=V2r,
VOA=3,
C.AE^OA-OE=3-t,
:△&£1/和△AOB为直角三角形,且NEAF=NOAB,
①如图1.
当时,
•AFAE
••—,
ABOA
.
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