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文档简介

题型六函数与三角形存在性问题

【要点提炼】

一、【等腰三角形存在性】

例1、在坐标系中有AB两点,则在X轴上是否存在点C,使AABC是等腰三角形

x

①画出点C可能存在的所有位置:就是我们经常讲的两圆一线

两圆:以A为圆心,AB为半径画圆;以B为圆心,AB为半径画圆

■—线:AB的垂直平分线

如图,两圆一线上所有的点都能与A、B两点形成等腰三角形,共有如图五个点C

②代数法

设出A、B、C三点的坐标,用两点间距离公式

d=垃+(%-%)表示出三角形三边的长,然后列方程

AB=BC;BC=AC;AB=AC

二、【直角三角形存在性】

例2、在坐标系中有AB两点,则在x轴上是否存在点C,使AABC是直角三角形

八V

*B

A

-Ox

①画出点C可能存在的所有位置:两线一圆

两线:分别以A、B为垂足,做AB的垂线

一圆:以AB为直径画圆

如图,两线一圆上所有的点都能与A、B两点形成直角三角形,共有如图四个点C

②代数法

设出A、B、C三点的坐标,用两点间距离公式d=_々)2+(%_%)2表示出三角形三边的长,

然后列方程

AB-+BC2=AC2

AB1+AC2=BC2

AC"+BC2=AB2

三、【等腰直角三角形存在性】

例3、在坐标系中有AB两点,则在坐标平面内是否存在点C,使AABC是等腰直角三角形

八1'

B

*

,,AA

Ox

①画出点C可能存在的所有位置:如图,固定会有六个答案点C

Ay

C=「/'\

________'尢_4c2-

O_____\/X

②代数法

MV

C

DHE

一\\

________1-一北丁

在等腰RtAABC外做出K型全等,如图,AADB全等于ABEC,设出A、B、C三点的坐标,表示出AD、

B、BE、EC的长,列出方程

AD=BE;DB=EC

【专题训练】

一.填空题(共1小题)

1.(2020•无锡)二次函数3依+3的图象过点A(6,0),且与y轴交于点B,点/在该抛

3

物线的对称轴上,若是以A3为直角边的直角三角形,则点M的坐标为(二,-9)或

------2--------------

3

(一,6).

一2-----------

33

【答案5,-9)或(5,6)

1

【解析】解:•••抛物线的对称轴为x=-2

2x(T)一七

3

设点M的坐标为:(5,m),

当NABM=90°,

过5作30垂直对称轴于D,

则N1=N2,

tanZ2=tanZ1=4=2,

DM

/.----=2,

BD

・・・OM=3,

3

•*.M(一,6),

2

当NM,AB=90°时,

・.八_M'N_八_6_。

••tanN3一二,—tan/I—可—2,

:.M'N=9,

3

:.M'(-,-9),

2

33

综上所述,点M的坐标为(-,-9)或(-,6).

22

33

故答案为:(-,-9)或(-,6).

22

二.解答题(共5小题)

2.(2019•白银)如图,抛物线>="2+加:+4交无轴于A(-3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点

C,连接AC,BC.点尸是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为八

(1)求此抛物线的表达式;

(2)过点P作尸尤轴,垂足为点M,交BC于点。.试探究点P在运动过程中,是否存

在这样的点。使得以A,C,。为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点。的坐

标,若不存在,请说明理由;

(3)过点尸作PNLBC,垂足为点N.请用含机的代数式表示线段PN的长,并求出当机为何

值时PN有最大值,最大值是多少?

【解析】解:(1)由二次函数交点式表达式得:y=a(x+3)(x-4)=a(x2-x-12)=ax2-ax

-12af

即:-12a=4,解得:a=—

则抛物线的表达式为y=-p+J.r+4;

(2)存在,理由:

点A、B、C的坐标分别为(-3,0)、(4,0)、(0,4),

则AC=5/32+42=5,A2=4-(-3)=7,BC=4夜,NOBC=NOCB=45°,

设BC的解析式为y=fcc+6,将点8、C的坐标代入解得:

.•.y=-x+4…①,

设直线AC的解析式为尸Qx+沙,则有「寸”=°

解得卜'=I

⑦=4

直线AC的表达式为:y=$+4,

设线段AC的中点为K(一/2),过点M与CA垂直,直线的表达式中的上值为一,

同理可得过点K与直线AC垂直,直线的表达式为:y=-1x+l

①当4c=A。时,如图1,

则AC=AQ=5,

设:QM=A/B=",则AM=1-n,

由勾股定理得:(7-n)2+7=25,解得:w=3或4,

:点。在点8的左侧,

.\n=3

故点Q(1,3);

②当AC=C。时,如图1,

CQ=5,贝I]2Q=BC-CQ=4或-5,

贝l|QM=MB=8一严

,,_5V28-5V2

故点。(-y,---);

③当CQ=A。时,

联立①②并解得:x=竽(舍去);

,、5V28-5V2

故点。的坐标为:。(1,3)或(乱—,—-—);

(3)设点P(m,—^2+^m+4),则点。Qm,-m+4),

OB=OC,

ZABC=ZOCB=45°=NPQN,

:.PN=PQ&nNPQN=与(.-L^+LnU+m-4)=一((m-2)2+绰,

乙D。U。

V-^<0,;.PN有最大值,

o

2V2

当机=2时,PN的最大值为:—.

3.(2019•乐陵市模拟)如图,关于尤的二次函数y=/+6x+c的图象与无轴交于点A(1,0)和点8,

与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D

(1)求二次函数的表达式;

(2)在y轴上是否存在一点P,使△P2C为等腰三角形?若存在.请求出点尸的坐标;

(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在42上向点8运动,另一个点N从点、D

与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M、

N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,面积最大,试求出最大面积.

【解析】解:(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=/+6x+c,

1+b+c=0

c=3

角毕得:b=-4,c=3,

二二次函数的表达式为:y=x2-4x+3;

(2)令y=0,则,¥2-4x+3=0,

解得:x=l或x=3,

:.B(3,0),

.,.BC=3V2,

点P在y轴上,当△P8C为等腰三角形时分三种情况进行讨论:如图1,

①当CP=CB时,PC=3V2,Z.OP=OC+PC=3+3V2^4OP=PC-OC=3V2-3

/.Pl(0,3+3V2),尸2(0,3-3V2);

②当3尸=BC时,OP=OC=3,

:.Pi(0,-3);

③当尸8=PC时,

:OC=OB=3

,此时P与。重合,

:.P4(0,0):

综上所述,点尸的坐标为:(0,3+3V2)或(0,3-3V2)或(0,-3)或(0,0);

(3)如图2,设A运动时间为3由AB=2,得BM=2-3则DN=2f,

:.SAMNB=^x(2-t)X2t=-F+2t=-(f-1)2+l,

即当M(2,0)、N(2,2)或(2,-2)时△MNB面积最大,最大面积是1.

4.(2018•资阳)已知:如图,抛物线>=办2+6尤+。与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-

2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当点尸运动到什么位置时,的面积有最大值?

(3)过点尸作无轴的垂线,交线段A8于点再过点P做产石〃了轴交抛物线于点E,连接OE,

请问是否存在点尸使为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理

由.

【解析】解:(1)•..抛物线过点8(6,0)、C(-2,0),

设抛物线解析式为y=a(x-6)(尤+2),

将点A(0,6)代入,得:-12〃=6,

解得:a=

所以抛物线解析式为y=(x-6)(X+2)=-^X2+2X+6;

(2)如图1,过点P作尸与点交AB于点、N,作AGLPM于点G,

设直线AB解析式为y=kx+b,

将点A(0,6)、B(6,0)代入,得:

则直线A2解析式为y=-x+6,

设尸(t,-1?+2/+6)其中0<7<6,

则NG,-Z+6),

PN=PM-MN=-1r+2r+6-(-z+6)=-1r+2r+6+r-6=-

:.S4PAB=SAPAN+S丛PBN

11

=^PN・AG+^PN・BM

1

=?N・QAG+BM)

=5PN・OB

=]X(一,d+3£)X6

=-y+%

=-1(r-3)2+冬

15

...当t=3时,P位于(3,y)时,的面积有最大值;

方法二:如图2,连接。尸,作PHLx轴于点H作尸G,y轴于点G,

设P(3一#+2什6)其中0y<6,

则尸”=一^2+2什6,PG=t,

SAPAB=S^PAO-^-S^PBO-S/\ABO

=x6Xt-\-2x6X(—2»+2/+6)—]X6X6

=-|?+9z

=-|(r-3)2+差

15

.•.当f=3时,即P位于(3,y)时,△心B的面积有最大值

(3)如图3,

若APDE为等腰直角三角形,

则PD=PE,

设点P的横坐标为a,点、E的横坐标为b,

11a+b2

PD=一方〃9+2〃+6一(-〃+6)=9------=----------7-,

2222x(-i)

贝!J6=4-a,

:.PE=\a-(4-a)|=|2a-4|=2|2-a|,

1,

*•—2“~+3a=2|2-a|,

解得:a=4或a=5-"7,

所以尸(4,6)或尸(5-V17,3V17-5).

5.(2018•兰州)如图,抛物线y=a?+b尤-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点,与y轴交于点C,

连接AB,AC,BC.

(1)求抛物线的表达式;

(2)求证:AB平分/CA。;

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得是以为直角边的直角三角形,若存在,

求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】解:⑴将A(-3,0),8(5,-4)代入得:非一

解得:a=b=

oo

・・・抛物线的解析式为尸p-1x-4.

(2)・「AO=3,OC=4,

:.AC=5.

取。(2,0),则A0=AC=5.

由两点间的距离公式可知BD=J(5—24+(—4-0)2=5.

VC(0,-4),B(5,-4),

:.BC=5,

:.BD=BC.

在△ABC和△ABD中,AD=AC,AB=AB,BD=BC,

△ABCdABQ,

:.ZCAB=ZBAD,

:.AB平分/C4。;

证法二:VC(0,-4),B(5,-4),

:.BC//x^,

:.ZBAD=ZABC,

':CA=CB,

:.ZCAB=ZABC,

:.ZCAB=ZBAD,

:.AB平分/CAO.

(3)如图所示:抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F.

抛物线的对称轴为x=则AE=芋.

VA(-3,0),B(5,-4),

1

tanZEAB=才

VAM'A3=90°.

AE=2.

:.M'E=2AE=U,

5

:.M'(一,11).

2

同理:tanNMB/=2.

又,・郎=1,

:.FM=5,

5、

:.M(-,-9).

2

.•.点M的坐标为(3ii)或(9,-9).

22

6.(2016•白银)如图,已知抛物线y=-/+6x+c经过A(3,0),B(0,3)两点.

(1)求此抛物线的解析式和直线AB的解析式;

(2)如图①,动点E从。点出发,沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动,同时,

动点尸从A点出发,沿着A3方向以/个单位/秒的速度向终点8匀速运动,当E,产中任意一点

到达终点时另一点也随之停止运动,连接跖,设运动时间为f秒,当f为何值时,Z\AEF为直角

三角形?

(3)如图②,取一根橡皮筋,两端点分别固定在A,B处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在

直线A2上方的抛物线上移动,动点尸与A,B两点构成无数个三角形,在这些三角形中是否存

在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点P的坐标;如果不存在,请

简要说明理由.

图①图②

【解析】解:(1):抛物线y=-/+6x+c经过A(3,0),B(0,3)两点,

.f-9+3b+c=0

••lc=3

•••{1,

9=3

••y—~X2+2X+3,

设直线AB的解析式为y=kx+nf

VA(3,0),B(0,3)

.(3k+n=0

,,In=3

•(k=-1

*in=3'

-x+3;

(2)由运动得,OE=t,AF=V2r,

VOA=3,

C.AE^OA-OE=3-t,

:△&£1/和△AOB为直角三角形,且NEAF=NOAB,

①如图1.

当时,

•AFAE

••—,

ABOA

.

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