浙江中考数学二轮复习题型专练：函数与三角形存在性问题（解析版）

题型六函数与三角形存在性问题

【要点提炼】

一、【等腰三角形存在性】

例1、在坐标系中有AB两点，则在X轴上是否存在点C,使AABC是等腰三角形

x

①画出点C可能存在的所有位置：就是我们经常讲的两圆一线

两圆：以A为圆心，AB为半径画圆；以B为圆心，AB为半径画圆

■—线：AB的垂直平分线

如图，两圆一线上所有的点都能与A、B两点形成等腰三角形，共有如图五个点C

②代数法

设出A、B、C三点的坐标，用两点间距离公式

d=垃+(%-%)表示出三角形三边的长，然后列方程

AB=BC；BC=AC；AB=AC

二、【直角三角形存在性】

例2、在坐标系中有AB两点，则在x轴上是否存在点C,使AABC是直角三角形

八V

*B

A

-Ox

①画出点C可能存在的所有位置：两线一圆

两线：分别以A、B为垂足，做AB的垂线

一圆：以AB为直径画圆

如图，两线一圆上所有的点都能与A、B两点形成直角三角形，共有如图四个点C

②代数法

设出A、B、C三点的坐标，用两点间距离公式d=_々)2+(%_%)2表示出三角形三边的长,

然后列方程

AB-+BC2=AC2

AB1+AC2=BC2

AC"+BC2=AB2

三、【等腰直角三角形存在性】

例3、在坐标系中有AB两点，则在坐标平面内是否存在点C,使AABC是等腰直角三角形

八1'

B

*

，，AA

Ox

①画出点C可能存在的所有位置：如图,固定会有六个答案点C

Ay

C=「/'\

________'尢_4c2-

O_____\/X

②代数法

MV

C

DHE

一\\

________1-一北丁

在等腰RtAABC外做出K型全等，如图，AADB全等于ABEC,设出A、B、C三点的坐标，表示出AD、

B、BE、EC的长，列出方程

AD=BE；DB=EC

【专题训练】

一.填空题（共1小题）

1.（2020•无锡）二次函数3依+3的图象过点A（6,0）,且与y轴交于点B,点/在该抛

3

物线的对称轴上，若是以A3为直角边的直角三角形，则点M的坐标为（二，-9）或

------2--------------

3

（一，6）.

一2-----------

33

【答案5,-9）或（5,6）

1

【解析】解：•••抛物线的对称轴为x=-2

2x（T）一七

3

设点M的坐标为：（5，m）,

当NABM=90°,

过5作30垂直对称轴于D,

则N1=N2,

tanZ2=tanZ1=4=2,

DM

/.----=2,

BD

・・・OM=3,

3

•*.M（一，6）,

2

当NM，AB=90°时，

・.八_M'N_八_6_。

••tanN3一二,—tan/I—可—2,

：.M'N=9,

3

：.M'(-,-9),

2

33

综上所述，点M的坐标为（-，-9）或（-,6）.

22

33

故答案为：（-，-9）或（-,6）.

22

二.解答题（共5小题）

2.（2019•白银）如图，抛物线>="2+加：+4交无轴于A（-3,0）,B（4,0）两点，与y轴交于点

C,连接AC,BC.点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为八

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点P作尸尤轴，垂足为点M,交BC于点。.试探究点P在运动过程中，是否存

在这样的点。使得以A,C,。为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点。的坐

标，若不存在，请说明理由；

（3）过点尸作PNLBC,垂足为点N.请用含机的代数式表示线段PN的长，并求出当机为何

值时PN有最大值，最大值是多少？

【解析】解：(1)由二次函数交点式表达式得：y=a(x+3)(x-4)=a(x2-x-12)=ax2-ax

-12af

即：-12a=4,解得：a=—

则抛物线的表达式为y=-p+J.r+4；

(2)存在，理由：

点A、B、C的坐标分别为(-3,0)、(4,0)、(0,4),

则AC=5/32+42=5,A2=4-(-3)=7,BC=4夜，NOBC=NOCB=45°,

设BC的解析式为y=fcc+6,将点8、C的坐标代入解得：

.•.y=-x+4…①，

设直线AC的解析式为尸Qx+沙，则有「寸”=°

解得卜'=I

⑦=4

直线AC的表达式为：y=$+4,

设线段AC的中点为K(一/2),过点M与CA垂直，直线的表达式中的上值为一,

同理可得过点K与直线AC垂直，直线的表达式为：y=-1x+l

①当4c=A。时，如图1,

则AC=AQ=5,

设：QM=A/B=",则AM=1-n,

由勾股定理得：（7-n）2+7=25,解得：w=3或4,

:点。在点8的左侧,

.\n=3

故点Q(1,3)；

②当AC=C。时，如图1,

CQ=5,贝I]2Q=BC-CQ=4或-5,

贝l|QM=MB=8一严

,,_5V28-5V2

故点。（-y，---）；

③当CQ=A。时,

联立①②并解得：x=竽（舍去）;

,、5V28-5V2

故点。的坐标为：。（1,3）或（乱—，—-—）；

(3)设点P(m,—^2+^m+4),则点。Qm,-m+4),

OB=OC,

ZABC=ZOCB=45°=NPQN,

:.PN=PQ&nNPQN=与（.-L^+LnU+m-4）=一（（m-2）2+绰，

乙D。U。

V-^<0,；.PN有最大值，

o

2V2

当机=2时，PN的最大值为：—.

3.（2019•乐陵市模拟）如图，关于尤的二次函数y=/+6x+c的图象与无轴交于点A（1,0）和点8,

与y轴交于点C（0,3）,抛物线的对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P,使△P2C为等腰三角形？若存在.请求出点尸的坐标；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在42上向点8运动，另一个点N从点、D

与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、

N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，面积最大，试求出最大面积.

【解析】解：（1）把A（1,0）和C（0,3）代入y=/+6x+c,

1+b+c=0

c=3

角毕得：b=-4,c=3,

二二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；

(2)令y=0,则,¥2-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

：.B(3,0),

.,.BC=3V2,

点P在y轴上，当△P8C为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1,

①当CP=CB时，PC=3V2,Z.OP=OC+PC=3+3V2^4OP=PC-OC=3V2-3

/.Pl(0,3+3V2),尸2(0,3-3V2)；

②当3尸=BC时，OP=OC=3,

：.Pi(0,-3)；

③当尸8=PC时，

:OC=OB=3

，此时P与。重合，

：.P4(0,0):

综上所述，点尸的坐标为：(0,3+3V2)或(0,3-3V2)或(0,-3)或(0,0)；

(3)如图2,设A运动时间为3由AB=2,得BM=2-3则DN=2f,

：.SAMNB=^x(2-t)X2t=-F+2t=-(f-1)2+l,

即当M(2,0)、N(2,2)或(2,-2)时△MNB面积最大，最大面积是1.

4.(2018•资阳)已知：如图，抛物线>=办2+6尤+。与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-

2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当点尸运动到什么位置时，的面积有最大值?

(3)过点尸作无轴的垂线，交线段A8于点再过点P做产石〃了轴交抛物线于点E,连接OE,

请问是否存在点尸使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理

由.

【解析】解：(1)•..抛物线过点8(6,0)、C(-2,0),

设抛物线解析式为y=a(x-6)(尤+2),

将点A(0,6)代入，得：-12〃=6,

解得：a=

所以抛物线解析式为y=(x-6)(X+2)=-^X2+2X+6；

(2)如图1,过点P作尸与点交AB于点、N,作AGLPM于点G,

设直线AB解析式为y=kx+b,

将点A(0,6)、B(6,0)代入，得:

则直线A2解析式为y=-x+6,

设尸(t,-1?+2/+6)其中0<7<6,

则NG,-Z+6),

PN=PM-MN=-1r+2r+6-(-z+6)=-1r+2r+6+r-6=-

:.S4PAB=SAPAN+S丛PBN

11

=^PN・AG+^PN・BM

1

=?N・QAG+BM）

=5PN・OB

=]X（一,d+3£）X6

=-y+%

=-1（r-3）2+冬

15

...当t=3时，P位于（3,y）时，的面积有最大值；

方法二：如图2,连接。尸，作PHLx轴于点H作尸G，y轴于点G,

设P(3一#+2什6)其中0y<6,

则尸”=一^2+2什6,PG=t,

SAPAB=S^PAO-^-S^PBO-S/\ABO

=x6Xt-\-2x6X(—2»+2/+6)—]X6X6

=-|?+9z

=-|(r-3)2+差

15

.•.当f=3时，即P位于(3,y)时，△心B的面积有最大值

(3)如图3,

若APDE为等腰直角三角形，

则PD=PE,

设点P的横坐标为a,点、E的横坐标为b,

11a+b2

PD=一方〃9+2〃+6一(-〃+6)=9------=----------7-,

2222x(-i)

贝！J6=4-a,

：.PE=\a-(4-a)|=|2a-4|=2|2-a|,

1，

*•—2“~+3a=2|2-a|,

解得：a=4或a=5-"7,

所以尸(4,6)或尸(5-V17,3V17-5).

5.(2018•兰州)如图，抛物线y=a?+b尤-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点，与y轴交于点C,

连接AB,AC,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：AB平分/CA。；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得是以为直角边的直角三角形，若存在,

求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】解：⑴将A(-3,0),8(5,-4)代入得：非一

解得：a=b=

oo

・・・抛物线的解析式为尸p-1x-4.

(2)・「AO=3,OC=4,

：.AC=5.

取。(2,0),则A0=AC=5.

由两点间的距离公式可知BD=J(5—24+(—4-0)2=5.

VC(0,-4),B(5,-4),

：.BC=5,

:.BD=BC.

在△ABC和△ABD中，AD=AC,AB=AB,BD=BC,

△ABCdABQ,

：.ZCAB=ZBAD,

：.AB平分/C4。；

证法二：VC(0,-4),B(5,-4),

：.BC//x^,

：.ZBAD=ZABC,

'：CA=CB,

：.ZCAB=ZABC,

：.ZCAB=ZBAD,

：.AB平分/CAO.

(3)如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F.

抛物线的对称轴为x=则AE=芋.

VA(-3,0),B(5,-4),

1

tanZEAB=才

VAM'A3=90°.

AE=2.

：.M'E=2AE=U,

5

：.M'（一，11）.

2

同理：tanNMB/=2.

又,・郎=1，

：.FM=5,

5、

：.M（-,-9）.

2

.•.点M的坐标为（3ii）或（9,-9）.

22

6.（2016•白银）如图，已知抛物线y=-/+6x+c经过A（3,0）,B（0,3）两点.

（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；

（2）如图①，动点E从。点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，

动点尸从A点出发，沿着A3方向以/个单位/秒的速度向终点8匀速运动，当E,产中任意一点

到达终点时另一点也随之停止运动，连接跖，设运动时间为f秒，当f为何值时，Z\AEF为直角

三角形？

（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A,B处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在

直线A2上方的抛物线上移动，动点尸与A,B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存

在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请

简要说明理由.

图①图②

【解析】解：(1):抛物线y=-/+6x+c经过A(3,0),B(0,3)两点,

.f-9+3b+c=0

••lc=3

•••{1，

9=3

••y—~X2+2X+3,

设直线AB的解析式为y=kx+nf

VA(3,0),B(0,3)

.(3k+n=0

,,In=3

•(k=-1

*in=3'

-x+3；

(2)由运动得，OE=t,AF=V2r,

VOA=3,

C.AE^OA-OE=3-t,

：△&£1/和△AOB为直角三角形，且NEAF=NOAB,

①如图1.

当时,

•AFAE

••—，

ABOA

.