中考数学难点突破与训练：相似三角形中的“8”字型相似模型（含答案及解析）

专题10相似三角形中的“8”字型相似模型

【模型展示】

特点

DA乙----、C

结论A.B//AOBs△cOD'^m一一cry

【模型证明】

D

解决方案

BC

ZA=ZD<^AOBSADOC<^=^=然

【题型演练】

一、单选题

1.如图，正方形ABCD的对角线AC、3。相交于点O,E是8c的中点，DE交AC于点/，若DE=12,

则。产等于（）

C.6D.8

2.如图，在△ABC中，BC=6,—=动点P在射线EF上，8P交CE于点。，/C8P的平分线交CE

于点。，当CQ=；CE时，EP+8P的值为（）

A.9B.12C.18D.24

3.如图，在平行四边形ABC。中，/ABC的平分线交AC于点E,交AD于点孔交C。的延长线于点G,

若AP=2ED,则刍BF的值为（）

4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE平分NDCB交BD于点F,且NABC=60。，

AB=2BC,连接OE,下列结论：①/ACD=30。；②S平行四娜ABCD=AC8C；③OE：AC=1：4；④SAOCF

C.3个D.4个

5.如图，在平行四边形ABC。中，点E是上一点，AE=2ED,连接BE交AC于点G,延长BE交

的延长线于点片则空的值为（）

GF

6.如图，在口ABC。中，E为CD的中点，连接AE、80,且AE、8。交于点R则SAOEQS四边形.c为（）

2

D,

41-------------------------------------

A.1：5B.4：25C.4：31D.4：35

7.如图，在平行四边形ABC。中，E为边AD的中点，连接AC,BE交于点F.若AAEF的面积为2,则

△ABC的面积为（）

A.8B.10C.12D.14

8.如图，AB//CD,AE//FD,AE,ED分别交于点G,H,则下列结论中错误的是（）

一

c，ED

A也=里B0=空C更=空cFHBF

D.-----------

FHBH'DFCB'CECGAGFA

二、填空题

9.如图，G为ABC的重心，AG=12,则AD=__________.

/t\

BDC

10.如图在平行四边形ABC。中，E是CO的中点，尸是AE的中点,CF交BE于点、G,若8E=8,贝|GE=

3

DE

11.如图，在正方形ABC。中，点E在BC边上，连接AE,/D4E的平分线AG与CD边交于点G,与BC

的延长线交于点E设C三E=儿(%>0).

EB

(1)若AB=2,X=l,求线段CF的长为；

(2)连接EG,若EG_LAF,则九的值为.

12.如图，在RtZVIBC中，AB=BC,NABC=90。，点。是AB的中点，连结CO,过点B作BGLCD,分

别交8、C4于点E、F,与过点A且垂直于A3的直线相交于点G,连结。尸.给出以下五个结论：①

黑=誓；@ZADF=ZCDB；③点尸是GE的中点；④AF=^AB;⑤黑ABC=5S△曲.其中正确结论的序

ABFB3

号是.

13.如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，且CE=2BE,点尸为对角线3。上一点，且叱=2。尸,

连接AE交于点G,过点尸作于点H,若HG=2cm,则正方形ABCD的边长为cm.

4

三、解答题

14.如图，E为平行四边形ABCD的边延长线上的一点，连接BE.交AC于。，交AD于尸.

求证：BO2=OE.OF.

15.已知：如图，四边形ABC。是平行四边形，在边A8的延长线上截取BE=AB,点P在AE的延长线上,

CE和交于点M,BC和。P交于点N,联结2D

(1)求证：ABNDs工CNM；

(2)如果AD2=AB.AF,求证：CM・AB=DM・CN.

16.如图1,在正方形ABC。中，点E是C。上一点(不与C,。两点重合)，连接BE,过点C作CHLBE

于点凡交对角线8。于点G,交AQ边于点H,连接GE.

(1)求证：CH=BE；

(2)如图2,若点E是CD的中点，当8£=12时，求线段GE的长；

S.

(3)设正方形ABC。的面积为5/,四边形OEGH的面积为S2,点E将C。分成1：2两部分，求法的值・

17.如图，在平行四边形ABC。中，E为。C边的中点，连接AE,若AE的延长线和BC的延长线相交于点

F.

5

B

G

D

(1)求证：BC=CF；

(2)连接AC和BE相交于点为G,若aGEC的面积为2,求平行四边形45CD的面积.

18.综合与实践:

数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答.

问题情境：在OA5CD中，点尸是边AQ上一点.将△RDC沿直线PC折叠，点。的对应点为E.

“兴趣小组’'提出的问题是：如图1,若点P与点A重合,过点E作所〃AD,与PC交于点R连接。尸,

则四边形AEED是菱形.

图1图2图3

(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题;

(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2,当点尸为AD的中点时，延长CE交AB于点F连接尸尸.试

判断P尸与PC的位置关系，并说明理由.

请你帮助他们解决此问题.

⑶问题解决:“创新小组”在前两个小组的启发下,提出的问题是:如图3,当点E恰好落在A3边上时，AP=3,

PD=4,DC=10.则AE的长为..(直接写出结果)

19.如图，在等边，ABC边长为6,。是中心；在R/AWE中，ZADE=90°,ZDAE=60°,AD=2.将VADE

绕点A按顺时针方向旋转一周.

图1图2备用图1备用图2

6

(1)当AD、AE分别在AC、AB边上，连结O。、OE,求ODE的面积；

(2)设DE所在直线与「ABC的边AB或AC交于点孔当O、D、E三点在一条直线上，求AF的长；

(3)连结CE,取CE中点M,连结ZW,DM的取值范围为.

20.如图1,442C中，AB=AC,点。在BA的延长线上，点E在BC上，£>E=DC,点/是DE与AC的交

点.

(1)求证：ZBDE=ZACD；

(2)若DE=2DF,过点E作EG//AC交AB于点G,求证：AB=2AG；

(3)将“点。在8A的延长线上，点E在BC上”改为“点。在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是。E

与AC的交点”改为“点厂是矶»的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2.

①求证：ABBE=ADBC；

②若DE=4DF,请直接写出SAABC-.SADEC的值.

(1)如图①，若点C的横坐标为5,求点6的坐标；

CD

(2)如图②，若无轴恰好平分一胡C,3C交无轴于点过点C作CD，x轴于点。，求工的值；

(3)如图③，若点A的坐标为(T,0),点8在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、为边在第一、第二

象限中作等腰及OBF,等腰RtABE,连接斯交)轴于点尸，当点8在y轴上移动时，PB的长度是否发

生改变？若不变求尸8的值；若变化，求PB的取值范围.

22.如图1,在正方形ABC。中，点E是C。上一点(不与C,Z)两点重合)，连接BE,过点C作C8L8E

7

于点F,交对角线于点G,交边于点H,连接GE.

(1)求证：DH=CE；

(2)如图2,若点E是CD的中点，当BE=8时，求线段GH的长；

(3)设正方形A8CD的面积为S/,四边形。EG8的面积为S2,当g时，要值为.(直接

DE3S2---------------

写答案)

图1图2

23.(1)问题背景：如图1,正方形中，歹在直线CD上，E在直线BC上.若/瓦1尸=45。，求证：

BE+FD=EF；

(2)迁移应用：如图2,将正方形A8CD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且A。的对应

边EM交CD于F点、.若BE=3,EC=2,求EF的长；

(3)联系拓展：如图3,正方形4BCD中，E、。在CO上，F在8c上，若EF=EA,ZFQA=ZFEA.若

NCFQ=34°,则/QW=°.

24.在AABC中，AB^AC,N3AC=a，点尸为线段C4延长线上一动点，连接尸3,将线段尸2绕点P逆

时针旋转，旋转角为a,得到线段PD,连接。8,DC.

(1)如图1,当a=60。时，求证：PA^DC；

(2)如图2,当a=120。时，猜想出和DC的数量关系并说明理由.

(3)当a=120。时，若48=6,BP=屈,请直接写出点。到CP的距离.

8

图1

9

专题10相似三角形中的“8”字型相似模型

【模型展示】

特点A

结论AB//CD^AOBs2\coo十一一

【模型证明】

【题型演练】

一、单选题

1.如图，正方形ABCD的对角线AC、3D相交于点。，E是BC的中点，交AC于点厂,

【答案】D

【分析】因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=^AD,由相似三角形的判

定定理得出△CEF^AADF,再根据相似三角形的对应边成比例可得出.

【详解】解：•四边形ABCD是正方形，E是BC中点，

.•.CE==AD,

VAD/7BC,

ZADF=/DEC,ZAFD=ZEFC,

.'.△CEF^AADF,

.EF_CE

■■OF-AD-2

10

.12-DF1

DF~2

解得DF=8,

故选：D.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出

△CEF-AADF,再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键.

AF

2.如图，在△A3C中，BC=6,—=动点尸在射线所上，BP交CE于点D,ZCBP

EBFC

的平分线交CE于点。，当CQ=；CE时，EP+8P的值为（）

【答案】C

【分析】如图，延长所交8。的延长线于G.首先证明PB=PG,EP+PB=EG,由EG//BC,

推出头=黑=3,即可求出EG解决问题.

CJD

【详解】解：如图，延长所交的延长线于G.

..AEAF

・EB~FC

：.EG//BC,

：.ZG=ZGBC,

■:/GBC=/GBP,

:・/G=/PBG,

:・PB=PG,

：.PE+PB=PE+PG=EG,

;CQ=；EC,

.,.EQ=3C。，

,:EG〃BC,

:AEQGs丛CQB,

11

.EG_IQ_^

"CB

,:BC=6,

，EG=18,

：.EP+PB=EG=1S,

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和

性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

3.如图，在平行四边形ABC。中，NABC的平分线交AC于点E,交A。于点月交。的

BF

延长线于点G,若AF=2FD,则工的值为（）

【答案】C

【分析】由AF=2D尸，可以假设。/=左，则4/=2历AD=3k,证明尸=2%,DF=

DG=k,再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题.

【详解】解：由AF=2DR可以假设£＞尸=匕则AP=2%,AD=3k,

•/四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

：.ZAFB=ZFBC=ZDFG,ZABF=NG,

；BE平分/ABC,

NABF=/CBG,

：.ZABF=NAFB=ZDFG=ZG,

，A2=C£）=2左，DF=DG=k,

：.CG=CD+DG=3k,

\'AB//DG,

：.AABEs^CGE,

,BEAB2k2

"^G~'CG~Jk~3,

故选：C.

【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线

12

的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键.

4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE平分/DCB交BD于点F,

且/ABC=60°,AB=2BC,连接OE,下列结论：①/ACD=30°；②S平行四边彩ABCD=ACBC-,

③OE：AC=1：4；④SA℃F=2SAOEF.其中正确的有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得至叱ABC=NADC=60°,/BAD=120。，根据角

平分线的定义得到NDCE=NBCE=60。推出△CBE是等边三角形，证得NACB=90。，求出

NACD=NCAB=30。，故①正确；

由ACJ_BC,得至ijS。ABCD=AOBC,故②正确；

根据直角三角形的性质得到AC=gBC,根据三角形的中位线的性质得到OE=^BC,于是

得至UOE：AC=6：6,故③错误；

由三角形的中位线可得BC〃OE,可判断AOEFs^BCF,根据相似三角形的性质得到

d=g^=2,求得SAOCF=2SAOEF；故④正确.

EFOE

【详解】解：・・•四边形ABCD是平行四边形，

.*.ZABC=ZADC=60°,ZBCD=120°,

VCE平分NBCD交AB于点E,

・・・ZDCE=ZBCE=60°

AACBE是等边三角形，

・・・BE=BC=CE,

VAB=2BC,

AAE=BC=CE,

・•・ZACB=90°,

AZACD=ZCAB=30°,故①正确；

VAC±BC,

・・・S口ABCD=AC・BC,故②正确，

在R3ACB中，ZACB=90°,ZCAB=30°,

AC=6BC,

VAO=OC,AE=BE,

AOE=^BC,

13

•••OE：AC=G：6；故③错误；

VAO=OC,AE=BE,

；.OE〃BC,

/.△OEF^ABCF,

.CF_BC

・・---.......=2

EFOE

CF

SAOCF：SAOEF=-----=2,

EF

***SAOCF=2SAOEF;故④正确.

故选c.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵

活运用是解题的关键.

5.如图，在平行四边形ABC。中，点E是AO上一点，AE=2ED,连接BE交AC于点G,

延长BE交CD的延长线于点F,则要的值为（）

GF

【答案】A

【分析】先根据平行四边形的性质得到则可判断△ABGszXC尸G,Zk△。尸£1,

于是根据相似三角形的性质和AE=2ED即可得结果.

【详解】解：:四边形ABCO为平行四边形，

J.AB//CD,

：.丛ABGs丛CFG,

.BGAB

,9~GF~~CF

.AE_AB

,•而一而‘

・；AE=2ED,

：.AB=2DF,

.AB_2

••不一§，

.BG_2

•・而一“

14

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握

相似三角形的判定和性质进行解题.

6.如图，在口A8C。中，E为CQ的中点，连接AE、BD,且AE、BD交于点、F,贝”△即：

S四边形EfBC为()

A.1：5B.4：25C.4：31D.4：35

【答案】A

【分析】根据平行四边形对边互相平行可得AB//DE,然后求出/所和△B4F相似，再

根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4,设SDEF=S，

SBAF=4S,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出SAD尸=2S,然后表示出S

的面积，再根据平行四边形的性质可得S.c=S的,然后相比计算即可得解.

【详解】解：•四边形ABCO是平行四边形，

:.AB//DEfAB=CD

・・・E为C。的中点，

：.DE：CD=1：2

■:AB//DE

DEFsz\BAF,

•e-S.DEF•S5"=(DE:AB)2=1：4，EF'.A.F—\

设SDEF=S,贝IjSBAF=4s,

EF：AF=1：2,

•・S.DEF:S2尸=EF：AF=1：2，

••SADF=2s,

••SABD=SBAF+S*产=4S+2s=6S,

QBD是平行四边形ABCD的对角线，

••S.DBC=S.D，

••SDBC=6s,

SDEF：S四边形由c=S：5s=1：5.

故选A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的

判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三

角形的面积的比等于底边的比的应用.

15

7.如图，在平行四边形ABC。中，E为边的中点，连接AC,BE交于点F.若AAEF的

面积为2,则AABC的面积为（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】先利用平行四边形的性质得AD〃3C,AD=BC,由AE〃3C可判断AAEF^△CBF,

根据相似三角形的性质得《2=弟=生=:，然后根据三角形面积公式得沁=:，，则

BkCrDC2^AABC°

SAABC-6sA4E/-12.

【详解】•.•平行四边形ABC。

/.AD//BC,AD=BC

为边AO的中点

：.BC=2AE

'：AE//BC

：.ZEAC=ZBCA

又；NEFA=NBFC

：.AAEFsACBF

如图，过点尸作尸于点H,八7，水7于点6,

EFAFAEHF1

贝n！!l---=---=---=---=—,

BFCFBCFG2

2

「△AE尸的面积为2

SAABC=65AAEF=6X2=12

故选c.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题.

16

8.如图，AB//CD,AE//FD,AE,尸。分别交5C于点G,8,则下列结论中错误的是（）

PHCHGECGAFHGFH_BF

府一BH~DF~~CB~CE~~CGAG-FA

【答案】D

【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可.

【详解】解：・・・A3〃CD,

PHCH

A选项正确，不符合题目要求;

AE〃DF,

ZCGE=ZCHD,ZCEG=ZD,

丛CEGs丛CDH,

GECG

EGPH

~CG~~CH"

AB〃CD,

CHDH

DHDF

~CH~~CB，

GEDF

~CG~~CB"

GECG

~DF~~CB"

B选项正确，不符合题目要求;

AB//CD,AE〃DF,

四边形A瓦正是平行四边形，

AF=DE,

AE〃DF,

DEGH

~CE~~GC"

AF_HG

CE-CG；

17

・,・C选项正确，不符合题目要求；

•：AE〃DF,

，工BFHsABAG,

.FHBF

••一，

AGAB

'：AB>FA,

.,-F-H-土-B--F

"AGFA

...D选项不正确，符合题目要求.

故选D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定

理得出比例式是解此题的关键.

二、填空题

9.如图，G为ABC的重心，AG=12,贝UAD=

【答案】18

【分析】连接CG并延长交AB于点E,连接。E,根据题意，可以得到。E时△ABC的中位

线，从而可以得至UCE〃AC且。E=^AC,然后即可得到△DEGs/vlCG,由相似三角形的

性质得到。G和AG的比值，求出然后DG,即可得到结果.

【详解】解：如图，连接CG并延长交A3于点E,连接DE,

•.•点6是八ABC的重心，

/.点E和点。分别是AB和BC的中点,

；.DE是AABC的中位线，

：.DE//ACS.DE=；AC,

18

.MDEGsdACG,

.DEDG1

"AC~AG~2)

VAG=12,

：.DG=6,

：.AD=AG+GD=18.

故答案为：18.

【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题

意，利用数形结合的思想解答.

10.如图在平行四边形ABC。中,E是CO的中点，尸是AE的中点,CF交BE于点、G,若BE=8,

贝|JGE=—.

【答案】2

【分析】延长CR54交于根据已知条件得出EF=AF,CE=^DC,根据平行四边形

的性质得出。C〃A8,DC=AB,根据全等三角形的判定得出△CEF也根据全等三

角形的性质得出CE=AM,求出BM=3CE,根据相似三角形的判定得出△CEG^/^MBG,

根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可.

【详解】解：延长CP、A4交于

是8的中点，尸是AE的中点,

：.EF=AF,CE=^DC,

:四边形ABCD是平行四边形，

J.DC//AB,DC=AB,

：.CE=^AB,ZECF=ZM,

在^CEr和△A/A/中

ZEFC=NAMF

<ZECF=ZM,

EF=AF

19

.'.△CEF^AAMF(AAS),

・•・CE=AM,

*：CE=^AB,

:・BM=3CE,

*：DC//AB,

:.ACEGSAMBG,

.CEEG1

**-BG_3'

•・・3E=8,

.GE_1

••二一，

8-GE3

解得：GE=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三

角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

11.如图，在正方形ABC。中，点E在BC边上，连接AE,ND4E的平分线AG与C。边

CF

交于点G,与的延长线交于点凡设二=九(九＞0).

(1)若AB=2,X=l,求线段CF的长为；

(2)连接EG,EG±AF,则九的值为.

【分析】(1)根据48=2,入=1,可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得

到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线

段CF的长；

(2)证明AADG且△PGC,得出点G为边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和

加的比值，从而可以得到入的值.

【详解】解：(1):在正方形ABCD中，AD//BC,

.".ZDAG=ZF,

又：AG平分ND4E,

ZDAG=ZEAG,

：.ZEAG=ZF,

20

:・EA=EF,

a：AB=2,NB=90。，点E为3。的中点,

：.BE=EC=\,

•'-AE=Y/AB2+BE2=A/5，

・・・£/=石，

：.CF=EF-EC=y/5-1；

故答案为：邪-1;

(2)证明：・：EA=EF,EGLAF,

・・・AG=FG,

在△人。6和4尸CG中

ND=NGCF

<NAGD=/FGC,

AG=FG

：.AADG^/\FCG(A4S),

；.DG=CG,

设CO=2〃，则CG=a,

CF=DA—2a,

VEG±AF,ZGCF=90°,

.,.ZEGC+ZCGF=90°,ZF+ZCGF=90°,/ECG=/GCF=9U。,

：・NEGC=NF,

•••△EGCS/\GFC,

.ECGC

••一9

GCFC

,**GC=cifFC=2a,

.GC1

••—―,

FC2

.EC1

••=一,

GC2

EC=-^a,BE=BC-EC=2a-^a=—af

222

1

故答案为：—.

【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾

股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答.

21

12.如图，在RtZXABC中，AB^BC,NABC=90。，点。是AB的中点，连结CD,过点3作

BGLCD,分别交8、C4于点E、F,与过点A且垂直于A3的直线相交于点G,连结

DF.给出以下五个结论:①当=等,@ZADF=ZCDB；③点尸是GE的中点;④Af=；

ABFB3

⑤%.=5S△皿.其中正确结论的序号是.

【答案】①②④

【分析】根据题意证明“AFGjCFB,进而可确定①；由,AFG/△AED，可得GF=FD

由进而判断结论②，AFG/△AED可得AG=JAB=；8C,进而由

AF1AF1

一AFGs_CEB可得下=鼻，即可判断③，根据方二1，以及。是A8的中点即可判断⑤.

【详解】依题意得，ZABC=90°,G41AB,

・•.BC//AG,

:.^AFG^£\CFB,

.AGFG

…正一访’

又AB=BC,

.AGFG

…乱一耘’

故①正确；

如图，标记如下角，

BGLCD,ZABC=90°,

/.Zl+Z3=90°,Zl+Z4=90°,

...N3=N4,

在/ABG与△J3CD中,

22

N3=N4

<AB=BC

NBAG=/CBD=90。

，ABG沿ABCD(ASA),

/.AG=BD,

又,点。是A3的中点，

BD=AD,

:.AG=AD,

AB=BC,ZABC=90°,

:.ZDAF=45°f

ZGAB=90°,

ZGAF=45°9

..NGAF=NDAF,

在4AFG与△ATO中，

AG=AD

</FAG=/FAD

AF=AF

/.^AFG^AFD(SAS),

/.Z5=Z2,

Z5+Z3=Z1+Z3=9O°,

「.Z5=N1,

.•.N1=N2,

即ZADF=NCDB,

故②正确；

^AFG^AAFD,

:.FG=FD,

-PDE是直角三角形，

FD>FE，

:.FG>FE,

即点/不是线段EG的中点，

故③不正确；

ABC是等腰直角三角形，

AC=-JAB2+BC-=y/2AB，

AFG^Z\AFD，

AG=AD=-AB=-CB,

22

23

一AFGs一CFB,

.AGAF

'~BC~~FCJ

:.FC=2AF,

AF^-AC=—AB,

33

故④正确；

AF^-AC,

3

•S」S

一0ABF_3ABC，

「点。是A3的中点，

一•°qBDF_-_/PqABC，

D

即SABC=6sBDF,

故⑤错误.

综上所述，①②④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判

定，勾股定理，三角形中线的性质，证明_AFG丝△AH）和.AFW—CFB是解题的关键.

13.如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，且CE=23E,点F为对角线8。上一

点，且班'=2OF,连接AE交3D于点G,过点/作m_LAE于点H,若HG=2cm,则

正方形ABCD的边长为cm.

【分析】如图，过/作HL5c于/点，连接FE和阴，得到BIFBCD,设

BE=EI=IC=aanCE=/7=2acm,AB=3aa%求出FE,AH,AG,证明,BEGZMG得

至(JGE=』AG='—a+2cm,GE=HE-GH=(-a-2)cm,最后求值即可.

3312J2

【详解】如图，过/作HL5c于/点，连接FE和胡，

24

771BC,四边形ABC。为正方形,

:.FH/CD,

:._BIFBCD,

BF=2DF,

•BI_BF_2

:.I为3C的三等分点，

CE=2BE,

，E为3C的三等分点，

:.BE=EI=IC,

:•设BE=EI=IC=acm

AB=BC=3acm,

一BFI为等腰直角三角形，

/.BI=FI=2acm,

FE=Ja2+（2a）2-FC=FA=yfSacm,

：.H为AE的中点，

AE=^AB~+BE2=yja2+（3a）2=y/lOacm,

.1_y/10

..AH=HE=—AAEr=-----cicirif

22

AG=AH+GH=（半a+2）cm,

四边形ABC。为正方形，

.­.BE//AD,

BEGDAG,

25

GE_BE

AG-AD-3

4A/10

a-----，

5

:加3。。“且cm.

5

故答案为：誓

【点睛】本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判

定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是CE=22E,8P=2DF的利用

以及这些性质的熟记.

三、解答题

14.如图，E为平行四边形ABC。的边8延长线上的一点，连接BE.交AC于。，交

于尸.

求证：BO-=OE.OF.

【答案】见解析.

【分析】根据AO〃2C,得AAOFSACOB,由AB〃DC,得AAOBs^cOE,再根据相似

三角形对应变成比例即可.

【详解】证明：•.NBanc,

AAOB^ACOE

•OE_PC

"~OB~~OA

\'AD//BC,

△AOFsACOB

.OBPC

"OF~OA

26

.OEOBp

即1n80?'=°E.°D

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练应用相似三角形的性质与判定，找到两

组对应边的比例相等是解决本题的关键.

15.已知：如图，四边形A3C。是平行四边形，在边的延长线上截取3E=A3,点P在

AE的延长线上，CE和。B交于点和。尸交于点N,联结BZ）.

(1)求证：4BNDs丛CNM；

(2)如果求证：CM-AB=DM-CN.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD,AB//CD,再证明四边形BEC。为平行四

边形得到8D〃C£,根据相似三角形的判定方法，由可判断△BNDs/sCMW；

（2）先利用AD2=AB-AF可证明△ADBsAAFD，则N1=N凡再根据平行线的性质得N尸=N4,

Z2=Z3,所以N3=/4,加上NM0C=/CMr>,于是可判断△MNCs/\MCD,所以MC：

MD=CN：CD,然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论.

【详解】证明：（1）•四边形A8C。是平行四边形，

：.AB=CD,AB//CD,

而BE=AB,

：.BE=CD,

而BE//CD,

...四边形BECO为平行四边形,

J.BD//CE,

:CM〃DB,

:.丛BNDsACNM；

(2)'：AD2=AB>AF,

：.AD：AB=AF-.AD,

而

AADBsLAFD,

：.Zl=ZF,

VCD//AF,BD//CE,

：.ZF=Z4,Z2=Z3,

.\Z3=Z4,

27

而/NMC=NCMD,

：.AMNCSAMCD,

：.MC-.MD=CN：CD,

：.MC*CD=MD-CN,

而CD=AB,

：.CM-AB=DM-CN.

【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形

中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般

方法是通过作平行线构造相似三角形.在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段

的长.也考查了平行四边形的判定与性质.

16.如图1,在正方形中，点E是上一点(不与C,。两点重合)，连接BE,过

点C作于点尸，交对角线8。于点G,交AD边于点H,连接GE.

(1)求证：CH=BE；

(2)如图2,若点E是C。的中点，当BE=12时，求线段GE的长；

(3)设正方形A8CD的面积为5，四边形DEGH的面积为S2,点E将C。分成1：2两部

【答案】(1)见解析(2)4(3)5或8.

【分析】(1)可得NCHD=NBEC,根据A4s可证明A即可求解；

(2)由三角形全等与平行线的性质，可得瑞=黑=^.则GC=2GH,可求出的长，

故可得到GE的长；

(3)点E将C。分成1：2两部分得到①紫=金，②紫=可，再分别得到S和S2的关系

进行求解.

【详解】解：(1):四边形ABCD是正方形，

28

：.CD=BC,/HDC=/BCE=9。。,

：.ZDHC+ZDCW=90°,

■:CH2BE,

・・・NEFC=90。，

：.ZECF+ZBEC=90o,

；・NCHD=NBEC,

:.ADHC咨LCEB(A4S),

CH=BE；

(2)。：△DHg^CEB,

:,CH=BE,DH=CE,

•：CE=DE=*CD,CD=CB,

:・DH=^BC,

•；DH〃BC,

\NDGH^NBGC,

.PH_GH_1

，9~CB~'CG~2"

：.GC=2GH,

设GH=x,贝lj,则CG=2x,

A3x=12,

.•・x=4.

即GH=4

•：DH=DE,NHDG=/EDG=45。,DG=DG

：.AHDG^AEDG(SAS)

：.GE=GH=4；

(3)点石将CO分成1：2两部分

口CCE1^CE2

则①而②——二

CD3

当"K

,:DH=CE,DC=BC,

.PH1

••=一,

BC3

・：DH〃BC,

\YDGHRBGC,

.DHGH_1

"^C~~CG~3"

29

,uDGH_±_uDGH_

,•q-9，q—3，

uBCGyuDCGJ

设S』DGH=〃，则Sz5CG=9〃，SADCG=3a,

••SABCD—3。=12〃，

***S/=2S』BCD=24a,

■:SADEG：SACEG=2：b

**•SADEG'=2a,

••S2~~2a+ci--3〃.

••Si：S2=24a：3。=8.

当用圳

,:DH=CE,DC=BC,

.DH_2

••=一,

BC3

■:DH〃BC,

\YDGHEBGC,

.DH_GH_2

-CG-35

qq

,uDGHuDGH

°BCGuDCG

设SzDG〃=4q,贝iJS』3CG=9〃，SADCG=6a,

/.SABCD=9a+6a=15〃,

：.SI=2SABCD=3Ga,

*：SADEG：SACEG=1：2,

**•SADEG'=2a,

••S2~~2〃+4〃~~6a.

Si：S2=30。：6a=5.

故5〃S=5或8.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线

分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决

问题.

17.如图，在平行四边形ABC。中，E为QC边的中点，连接AE,若AE的延长线和5。的

延长线相交于点F.

30

B

D

(1)求证：BC=CF

（2）连接AC和BE相交于点为G,若&GEC的面积为2,求平行四边形A8CD的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）24.

【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到=再根据四边形ABC。是平行四

边形，可以得到NADE=NECF,再根据NAED=NC即，即可得到ADEmECF,则答案

可证;

4GAR1

⑵先证明。G"根据相似三角形的性质得出S.=8,4—进而得

出SBGC=4,由SABC=S,MG+S.BCG得以ABC=12,则答案可解.

【详解】（1）证明：：四边形A3。是平行四边形,

AD//BC,AD=BC,

・・・ZADE=ZECF,

・・,点石为。。的中点,

・・・DE=CE,

在VADE和八ECF中

ZADE=ZECF

<DE=CE

NAED=NCEF

；・_ADE-ECF（ASA）,

JAD=CF,

：.BC=CF；

（2）,・,四边形ABC。是平行四边形，点E为。。的中点,

AB//DC,AB=2EC,

：.ZGEC=ZABG,NGCE=NGAB,

:.一CEGABG,

•・,_GEC的面积为2,

r即S皿=4SCEL4X2=8,

•：-CEG一ABG

31

,AGAB1

"~GC~~CE^2'

SBGCABG=gx8=4,

•'•SABC=SABG+SBCG=8+4=12,

=

••SABCD2sABC=2x12=24.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和