浙江省杭州市2024-2025学年高二12月月考数学质量检测试题（含解析）

浙江省杭州市2024-2025学年高二12月月考数学质量

检测试题

-选择题8小题5分40分.在每小题给出的四个选项中

1.已知直线，经过点M(—1,0),N(0,7),则直线Z的方程为()

A.7x+y+7—0B.7x+y—7—QC.7x—y—7—QD.7x—y+7—0

2.若椭圆1+W=l(a>通)的长半轴长等于其焦距，则a=()

a2J

A.2B.2V2C.2V3D.4

3.已知直线，1：26+3,—1=0与。：3力+(?n+l)g+2=0垂直,则实数()

A.3B.-3C.2D.1

4.抛物线g=—2025/的准线方程为()

3.,=2025

A-=等C.7/=—^—D.y—

24y4050y8100

5.在四面体ABCD中，E为棱AD的中点，点F为线段BE上一点，且/=4诟，设泰=前，前=落

用=工则和=()

A.—n—1B.--m—n+~~tC.-^m+n—1D.yrm-n+~^t

55555555

6.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天

心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9

块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含

天心石)()

A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

7.已知点P为圆。:侬一2)2+靖="(r>0)上一动点,若直线2―遮夕+6=0上存在两点满足队目

【数学试卷第1页(共14页)】

=4,且/APB=90°,则r的最小值为)

A.4B.3C.2D.1

8.已知正方体ABCD—45GD1的棱长为1,河为棱AQi的中点，G为侧面CCDiG的中心，点P,。分

别为直线AD,AB上的动点，且PGLMQ,当户初取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（）

A.萼B.乎C.1口.乌

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.设Z,小是两条不同直线，a,丑是两个不同平面，下列命题为真命题的是（）

A.若2_L0"J_a,则&〃0B.若/〃a,m〃a,则Z〃?n

C.若a_1_6"_La,则，〃0或ZU0D.若/_Lm,Z则?n〃a或?nUa

10.一般地,对于数列｛册｝,如果存在一个正整数t,使得当n取每一个正整数时，都有an+t=an,那么数列

｛4｝就叫作周期数列，t叫作这个数列的一个周期,则下列结论正确的是（）

A.对于数列｛%｝,若&G｛l,2｝（i=l,2,3,…），则｛飙｝为周期数列

B.若｛aj满足：a3D=a3&+2>a2"T=a2n+i（neN*）,则｛aj为周期数列

C.若｛aj为周期数列，则存在正整数“，使得<河恒成立

D.已知数列｛4｝的各项均为非零整数，Sn为其前几项和，若存在正整数“，使得|SJ<”恒成立,则

｛an｝为周期数列

11.己知点F为抛物线。:靖=2pa;（p>0）的焦点，点P为抛物线。上位于第一象限内的点，直线Z为抛物线

。的准线，点Q在直线Z上,若|PF|=2+2,|QF|=2,/PFQ=90°,且直线PF与抛物线。交于另一

点则下列结论正确的是（）

A.直线PF的倾斜角为60°B.抛物线。的方程为靖=2c

C.邛^=3+2方D.点Q在以线段为直径的圆上

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.在等差数列｛an｝中，若。3+。9=10，则。2+。5+Q11=.

13.已知E，鸟是双曲线/一£=l（a>b>0）的左、右焦点，以E为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐

azb

近线交于4B两点，若21ABi=|月月I，则双曲线的离心率是.

(力+2,6V—Q,

22

14.已知a>0,函数/(力)=<Va—rr,—力设F(g,/(g)),Q(T4,f(x4))，其中x3<—af64>—a,若

a.

\PQ\存在最小值，则a的取值范围是

【数学试卷第2页（共14页）】

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知双曲线的中心在原点，右焦点为（2,0）,过点,1）.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线y=—1）与双曲线有且只有一个公共点，求实数k的值.

16.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,ZABC=60°,PA_L平面ABCD,PA=3,

且刀=2屈，怒=语屈=3砺.

（1）求直线AP与直线CM所成角的余弦值;

（2）证明：M,C,G,H四点共面.

17.记Sn为数列｛an｝的前n项和，bn为数列｛SJ的前几项积，已知善+==2.

bnbn

⑴证明:数列｛心｝是等差数列；

（2）求｛%｝的通项公式.

【数学试卷第3页（共14页）】

18.如图，在矩形ABCD中，点分别在线段AB,AD上，AE=EB=AF==4.沿直线EF将

O

△AEF翻折成△AEF，使平面AEF±平面BEF.

Af

__B

（1）证明

（2）求二面角A'-FD-C的余弦值；

（3）点、M,N分别在线段FD、BC上,若沿直线AW将四边形MNCD向上翻折，使。与4重合，求线段

的长.

19.己知点A（x1,y1）,_8（狈夕2），定义A，B的“倒影距离”为[A,B]=\x1—y2\+|电—，我们把到两定点

砥—2,0）,顼2,0）的“倒影距离”之和为6的点”的轨迹。叫做“倒影椭圆”.

⑴求“倒影椭圆”。的方程;

（2）求“倒影椭圆”。的面积；

（3）设O为坐标原点，若“倒影椭圆”。的外接椭圆为E,D为外接椭圆E的下顶点，过点（0,2）的直线与椭

圆E交于P,Q两点（均异于点D），且ADPQ的外接圆的圆心为H（异于点O）,证明:直线OH与PQ的斜

率之积为定值.

【数学试卷第4页（共14页）】

参考答案

I.D

【分析】首先求出直线的斜率,再由斜截式得到直线方程，最后化为一般式即可.

因为直线I经过点M（-1,O）,N（0,7）,

所以用==7,所以直线，的方程为?/=7c+7,即7x-y+7=0.

故选

2.A

【分析】依题意可得a=2而/，解得即可.

因为椭圆U1（«>V3）的长半轴长等于其焦距，

azJ

所以a=2Va2—3,解得a=2.

故选：A

3.B

【分析】利用两条直线垂直的充要条件计算即可得解。

因为。,所以3X2+3（?71+1）=0,所以772——3o

故答案为：B

4.D

【分析】将方程化为标准式,即可求出其准线方程.

抛物线y=-2025d即x^--L-y,

则抛物线的准线为

olUU

故选：。

5.B

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

因为E为棱AD的中点，所以凝=金—毋=/力—存，

因为加=4屋,所以加'=3显==（《力—毋）=3国5—二荏，

55~2755

又怎=存_而

所以和=无+屈=怎一正+§国一34

55

=-^AB—AC+yrAD=--m—n+-7-1.

5555

故选：B

6.C

【分析】第九环天石心块数为5，第一层共有外环，则｛斯｝是以9为首项，9为公差的等差数列，

设&为｛斯｝的前n项和，由题意可得$3“一$29=$2”—Sn+729,解方程即可得到n,进一步得到S3n.

设第n环天石心块数为％,第一层共有n环，

则｛册｝是以9为首项，9为公差的等差数列，厮=9+（n—l）x9=9"，

设&为｛厮｝的前九项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

别为SniS2n-Sn）S^n~S2九，因为下层比中层多729块，

所以S3n—S2n=S2n~Sn+729，

即3n（9+27n）2n（9+18n）_2n（9+18n）n（9+9n）+729

即94=729,解得11=9,

【数学试卷第5页（共14页）】

诉“aa27(9+9x27)

所以$3“=$27=---------------j--------=3402.

故选：C

【点晴】本题主要考查等差数列前几项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

7.C

【分析】设线段AB的中点河(冲力一6,。,求出以点M为圆心，2为半径的圆，此圆与圆。有公共点求出

的取值范围即可求得最小值.

由点A3在直线①一，^y+6=0上，且|人引=4,设线段的中点—6,t)，

由乙4。0=90°,得点。在圆河：3—〃^+6)2+(沙一力)2=4上，

圆。:Q—2)2+才=产—>0)的圆心。⑵0),半径而点P在圆。上，

即圆。与圆河有公共点，则|r-2|W\CM\Wr+2,解得\CM\-2<r<\CM\+2,

而|CW|=V(V3^-8)2+t2=2V(/：-2A/3)2+4>4,当且仅当t=273时取等号，

因此r>2,当且仅当以线段AB的中点朋X0,2遍)为圆心，2为半径的圆与圆。外切时取等号，

所以r的最小值为2.

故选：C.

8.A

【分析】建立空间直角坐标系，设P(2,0,0),Q(l,?/,0),根据PG，,得到㈤•诚=0,从而得到g=2

+L再由向量模的坐标表示求出忸动的最小值及此时z、y的值，最后利用空间向量法求出点到平面的

距离.

如图，建立空间直角坐标系，则加(：,0,1),设P(,,0,0),Q(l,y,0),

所以PG=,y)>MQ=(y,y,-1),

因为PG_LMQ,所以PG♦MQ=―+-^-y—=0,即①—沙+1=0,所以夕=c+l,

又PQ=(1—2,2+1,0),所以\PQ\=J(l—2)2+(1+C)2=V2a?2+2>V2,当且仅当a;=0时取等号，此时

rh-PG--7vb-\--77C—0

设平面PMG的法向量为庆=(a,6,c),所以，一：2，取庆=(2,1,—1),

\m-MQ\

所以当|所|取得最小值时,点Q到平面PMG的距离d=_3_V6

hl一娓—2.

【数学试卷第6页(共14页)】

【分析】根据线线、线面、面面关系逐项判断可得答案.

垂直于同一直线的两平面平行，故A正确；

平行于同一平面的两直线可能相交、平行或异面，故3错误；

垂直于同一平面的平面和直线可能平行，可能线在面内，故。正确；

垂直于同一直线的平面和直线可能平行，可能线在面内，故。正确.

故选：ACD

10.BC

【分析】举反例可说明选项A错误；根据数列｛源｝的奇数项都相等，偶数项都相等可得选项B正确；由

｛飙｝为周期数列可知一个周期内必存在最大值，选项。正确;举反例可说明选项。错误.

4取数列｛册｝：1,2,1,221,2,2,2,1,2,2,2,2,1,…,满足痣€｛l,2｝(i=l,2,3,…),但数列｛&｝不是周期数

歹!J,选项A错误.

B.由于｛<1„｝满足：——1+2,d2n-l=a2n+l^N)，不妨令O,2n=a2n+2=a2n-l=d2n+l=a'

则数列｛a“｝为a,b,a,6,a,b,…，故an=an+2,数列｛厮｝是周期数列，选项B正确.

C.由于｛斯｝为周期数列,不妨设周期为noSo'l,noCN*),则数列｛册｝中的项是为个重复出现的数，

设这为个数中最大的数为小，所以存在正整数”>小，使得|以恒成立，选项。正确.

D令5=2,当n>2时，令飙=(―l)n,

则当九为奇数时，S”=2,当几为偶数时，S”=3,

取河=4,则|SJ<河恒成立,但数列｛时｝不是周期数列,选项D错误.

故选：BC.

W.BD

【分析】过点P作PPLZ,垂足为P,根据抛物线的定义知|PP|=|PF|,得到/FPQ=/PPQ,利用二倍

角的正切公式求出NPTF=45°可判断A；根据△QEK为等腰直角三角形,可求出p=1可判断8将直

线PF的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出\MF\的值可判断C；设线段PM的中点为E(g,%),

求出E的坐标，得到=2|QE|可判断D

对于A选项，如图，过点P作PPLZ,垂足为P,

由抛物线的定义知\PP'\=\PF\,

所以R3FQ与Rt/\PP'Q全等,则AFPQ=AP'PQ,

因为|PF|=2+2,|QF|=〃，/PFQ=90°,

所以tan/PFQ=------pr=-s/2—1,

2+v2

2tan/PFQ2(H1)

则tan/PPF=tan2/PFQ=

l-tan2ZPFQ1-(V2-1)2

则AP'PF=45°,所以直线PF的倾斜角为45°,故A错误;

对于B选项,设直线I与x轴交于点K,则|KF|=p,

由上可知，/QFK=45°,则为等腰直角三角形,

因为|QF|=2,则22+22=2,得p=1,

所以抛物线方程为靖=2c,故B正确；

【数学试卷第7页(共14页)】

对于。选项，由上可知，直线PF的方程为“=，—：，

设。（的,加、加（如功），|PF|=为+e=2+方,则，1=母+V2,

联立［"="一十，整理得d―3,+；=0,

则+g=3,所以灰="|—V2,则\MF\=a;2+=2—V2,

所以书＞=2子=3—2嚣，故。错误；

\PF\2+V2

对于。选项，设线段PW的中点为E（g,%）,

则20=叼;g=_|_,%=g__^_=］,则凤_!_,］），

由上可知Q（—则|QE|=2,

又\PM\=\PF\+\FM\=2+V2+2-V2=4=2\QE\,

所以点Q在以线段PN为直径的圆上，故。正确.

故选：BD

【点睛】方法点睛:抛物线定义的两种应用：

（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛

物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；

（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转

化，即化折线为直线解决最值问题.

12.15

【分析】利用等差数列的通项公式的基本运算求解.

在等差数列｛4｝中，因为&3+ag=10,

所以2。6=。3+。9=10，解得。6=5,

所以02+。5+如=3（Qi+5d）=3。6=15，

故答案为：15

122A/10UH2OYY

13.---##—V10

55

【分析】利用月点到直线沙=22的距离，建立关于a,b,c的齐次式，即可求出离心率.

a

如图，以E为圆心，a为半径的圆与双曲线的渐近线g=交于两点，

砥c,0）,2|4B|=|瓦项=2c,所以|4B|=c,

F2点到直线y——X的距离为、/〃一5-=—a

aV41+彩

Va

222

可得Q2———=b=c—a,2a2=——,

44

所以乌■，可得e=3誓.

a?55

【数学试卷第8页（共14页）】

故答案为：2号.

5

14.(0,1)

【分析】先分析/(2)的图象,结合图象可知,要使\PQ\取得最小值，则点P在/Q)=2+2(c<—a)上,点

Q在/(2)=〃《?—/(―a《c《a),分析可解.

依题意，a>0,

当/<—a时，/(,)=，+2,易知其图象为一条端点取不到的单调递增的射线；

当一aWrrWa时，/(c)=G^,易知其图象是，圆心为(0,0),半径为a的圆在c轴上方的图象(即半

圆)；

当c>a时,/(,)=-四一1,易知其图象是一条端点取不到的单调递减的曲线；

因为P(x3,f(x3))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4>-a),

结合图象可知，要使|PQ|取得最小值，则点P在/O)=rc+2O<—a)上，

点Q在/(2)=Ja?—22(―a42；4a),

同时\PQ\的最小值为点0到/(。)=/+2(,<—a)的距离减去半圆的半径a,

此时，因为/(rc)—y—x+2(a;<—a)的斜率为1,则kOP——l,

故直线0P的方程为夕=-2，

联立上=-：解得卜=；1,则p(T,l),

[y^x+2lg=l

显然要保证P(-l,l)在/(c)=2+2(^<-a)上，才能满足|PQ取得最小值，

所以只需—a>—1,即aC(0,1)都可满足题意,保证|PQ|min=d—a—#1—a,

否则\PQ\无最小值，故ae(0,1).

故答案为：(0,1)

【点睛】关键点点睛:本题解决的关键求出F(-l,l)，且/(,)=c+2(c<—a)上,从而可得a的取值范围.

15-⑴万一万=1

(2)fc=±A/2或k=±1

【分析】(1)设双曲线的方程为：(—耳=l(a>0,b>0),由a?+〃=4,代入点(遍,1),可得a?=〃=2

a2b-

的值，可得双曲线标准方程；

(2)联立直线与双曲线，可得(1—k2)x2+2k2x——2=0,然后分二次项系数为零和二次项系数不为零,

两种情况求解即可求A:的取值范围.

【小问1详解】

由双曲线的中心在原点，焦点在力轴上，c=2,过点(V3.1)，

设双曲线的方程为：《一¥=l(a>0,b>0),由a2+〃=4,

过点(遍,1),可得三―[=1,可得a?=2,即得a2=〃=2,

azb

【数学试卷第9页(共14页)】

故双曲线标准方程为：苧-去=1;

【小问2详解】

（y=k（x—l）

由（炉婿_］，得（1—k2）x2+2k2x—取—2=0

由题意得—火）（—/—2）=0廨得―土方，

当1—%2=0,即^=±1时，直线与双曲线的渐近线y=±c平行，直线与双曲线只有一个公共点,

所以k=±V2或k=±1.

16.⑴,

（2）证明见解析

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标,得到方向向量，借助向量夹角余弦值公式计算即可;

（2）借助向量法，运用空间向量共面的基本定理验证即可.

【小问1详解】

连接AC,因为四边形ABCD为菱形，

又AABC=60°,所以△48。为等边三角形，

取BC的中点E,连接AE,则AELBC,所以AD.

因为_R4_L平面ABCD,4DU平面4BCD,AEu平面ABGD,所以_R4_L40,24_LAE.

以A为原点，以所在直线分别为力轴、沙轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz.

则A（0,0,0）,P（0,0,3）,。（孤,1,0）,0（0,2,0）,助=（0,0,3）,由屈=3而，

可知加（0,宗2）,所以CM=（―V3,—"^-,2）,

AP-CM63

于是cos〈AP,CM)=

3x14

故直线AP与直线CM所成角的余弦值为卷.

【小问2详解】

因为M=2存，前=屈，所以G,H分别为中点，

则G（乎,—；,0）,凤0,0,"1）,连接CG,CH,则宙=（一四—1,*）,历=（—乎,—

【数学试卷第10页（共14页）】

设闻=〃五+4或，由⑴知近=(-V3,-y,2),

贝(-V3,-l,y)—//(——1-,0)+/1(-A/3,—y,2),

一吟u-4人=-瓜

则一畀一H=T，

2/1得

解得〃==今，

所以曲=《五+学而，

24

故M,C,G,H四点共面.

17.(1)证明见解析

y>(«=l)

(2)a„=

一而力'm>2)

【分析】(1)先求出仇,然后当n>2时，由题意可得d=S”,代入春+；=2中化简可得bi―

y,从而可得｛bn｝是以仇='为首项，以y为公差的等差数列,

⑵由题意可得的=”，由⑴可得⑥="署，从而可求出凡="兽，再由a.=S”—S“T可求出册,检

验Ql=|■是否满足，从而可求出数列｛Qj的通项公式

【小问1详解】

当口=1时，瓦=$1，易得仇=等,

n

当71>2时，—Sn代入VF=2消去,

13九bn

2bT

得71+4=2，化简得吼一八1

bn2

所以，数列｛6„｝是以瓦=方为首项，以y为公差的等差数列;

【小问2详解】

n+2

易得Qi=Si=仇=,,由(1)可得bn=

2

当九>2时，Sn=和可得S”=71+2

源一1n+1

71+271+11

Q八一SR—S—i

nn+1nn(n+l)

显然的不满足该式,

,，(九=1)

所以a

n(n>2)

(n(n+l)J

18.⑴证明见解析

⑶彳

【分析】(1)取EF中点H,连接AH,AH,通过EF±AH,EF1.得到EF±平面AAH,进而得到

A'A±EF.

【数学试卷第11页(共14页)】

（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求平面A'FD与平面FDC的法向量,根据面面角的向量公式可得结

果.

⑶设府=,，则MQ+4,0,0）,根据折叠得"，利用空间中两点间的距离公式可得结果.

【小问1详解】

取EF中点H,连接AH,AH.

•••AE=AF,EF_LAff,由折叠得EF_LAH.

•：AHAA'H=H,AH,AHd平面A'AH,：.EF±平面A'AH.

•••ArAc平面A'AH,：.A'A_LEF.

【小问2详解】

,/平面AEF_L平面BEF,平面A'EFA平面BEF=EF,A'H^平面A:EF,AH±EF,：.A'H±平面

BEF.

•；AE=EB=AF=QD=4ZEAF=N

AB=8,FD=6,AD=10,EF=4〃,AH=fEF=272.

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则F(4,0,0),E(0,4,0),H⑵2,0),4(2222),0(10,0,

0),(7(10,8,0),

.•.丽=(6,0,0),W=(2,-2,-2V2),

设平面的法向量为五=(c,/z),则=0'取方=(°’—

由题意得,平面FDC的法向量为m=（0,0,l）,

m,n1Vc

cosm,n==

|m||n|V3xl—3

由图可得二面角A'-FD—C的平面角为锐角，二二面角A-FD-C的余弦值为空.

【小问3详解】

连接

设FM=rc（0<a;<6）,则M^x+4,0,0）.

•.•翻折后。与4重合，A'M=CM,

由（2）得，4（2,2,22），。（10,8,0）,

（c+2）2+（―2）2+（—22y=（c—6）2+（—8y+02,解得2=号，即号.

19.⑴2国+|沙+2|+4—2|=6

⑵1。

（3）证明见解析

【分析】（1）根据“倒影距离”和“倒影椭圆”的定义求解即可；

（2）分类讨论去绝对值符号，作出“倒影椭圆”的图象，再结合图象求面积即可；

⑶先求出椭圆E的方程，设直线PQ的方程为夕=for+2,P（g,m）,Q（>2,纺），联立方程，利用韦达定理求

【数学试卷第12页（共14页）】

出电+电,必巡2，再分别求出线段。ROQ的中垂线的方程，设ADFQ的外接圆的圆心H的坐标为

(0,.)，由这两条中垂线方程得出k,x0,