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文档简介
专题42二次函数中的特殊三角形问题
【题型演练】
一、单选题
1.(2021・四川成都•一模)如图,二次函数y=+桁+c(4*0)图象的顶点为。,其图像与
无轴的交点A、8的横坐标分别为-1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面四个结论中:
_1
@a=--c;
③只有当a=g时,△ABD是等腰直角三角形;
④使AACB为等腰三角形的。值可以有两个.其中正确的结论有
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【分析】先根据图象与x轴的交点48的横坐标分别为-1,3确定出AB的长及对称轴,
再由抛物线的开口方向判断。与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断。与。的关系,然后
根据对称轴及抛物线与无轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
【详解】解:①由抛物线的开口方向向上可推出。>0,
:图像与无轴的交点A、2的横坐标分别为-1,3,
对称轴x=l,
・••当x=l时,y<0,
a+b+cVO;
故①正确;
②•・•点A的坐标为(-1,0),
••(X~。+c0,
又,:b=-2m
.,.6/-(-2a)+c=0,
・・c~~~3a,
._1
••a=—c
3
...结论②正确.
③如图1,连接A£>,BD,作轴于点E,
要使△ABD是等腰直角三角形,
则ZADB=9Q°,
:OE_L无轴,
...点E是AB的中点,
:.DE=BE,
即产c-%=lzUl=2,
4〃2
又■:b=-2a,c--3〃,
,|4。*(-34)(-24)a>o,
4〃
解得〃=g,
•••只有当时,△48。是等腰直角三角形,
结论③正确
④要使△ACB为等腰三角形,
则4B=BC=4,AB=AC=4,或AC=8C,
I、当AB=BC=4时,
在RtAOBC中,
V0B=3,BC=4,
OC2=BC2-0序=42-32=16-9=7,
即"7,
1/抛物线与y轴负半轴交于点C,
.*.c<0,c=S,
II、当AB=AC=4时,
在RtAOAC中,
VOA=1,AC=4,
OC2=AC2-OA2=42-12=16-1=15,
即C2=15,
•・•抛物线与y轴负半轴交于点C,
.*.c<0,c--y/15,
.Cy/15
••Cl==---.
33
IIL当AC=BC时,
丁OC.LAB.
・••点。是A3的中点,
:.AO=BO,
这与AO=1,5。=3矛盾,
・・・AC=5C不成立.
...使AACB为等腰三角形的。值可以有两个:立、巫.
33
结论④正确.
故答案选:D
【点睛】二次函数y=0+6x+c系数符号的确定:(1)。由抛物线开口方向确定:开口方向
h
向上,则。>0;否则。<0;(2)b由对称轴和。的符号确定:由对称轴公式x=-丁判断符,
(3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0;(4)b2-4ac
由抛物线与x轴交点的个数确定:①2个交点,b2-4ac>0;②1个交点,b2-4ac=0;③没
有交点,b2-4ac<0.
2.(2022•浙江•九年级专题练习)如图,抛物线y=V-2彳-3与>轴交于点C,点。的坐标
为(0,-1),在第四象限抛物线上有一点P,若△PCD是以C。为底边的等腰三角形,则点
P的横坐标为()
A.1+y/2B.1—y/2
C.V2-1D.1—g或1+夜
【答案】A
【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标,再求出CO中点的纵坐标,然后根据等腰三角
形三线合一的性质可得点尸的纵坐标,然后代入抛物线求解即可.
【详解】令尸。,则y=-3,
所以,点C的坐标为(0,-3),
•.•点D的坐标为(0,-1),
线段CD中点的纵坐标为二9=-2,
「△PC。是以CQ为底边的等腰三角形,
...点P的纵坐标为-2,
.".X2-2X-3=-2,
解得,X2=1-,
•.•点P在第四象限,
•••点P的横坐标为1+后.
故选:A.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,等腰三角形三线合一的性质,熟记性质
并确定出点P的纵坐标是解题的关键.
3.(2022・全国•九年级专题练习)如图,已知抛物线经过点川-1,0),4(4,0),与y轴交于
点C(0,2),P为AC上的一个动点,则有以下结论:①抛物线的对称轴为直线x=];②抛
物线的最大值为苫;③NACB=90。;④。尸的最小值为逑.则正确的结论为()
85
【分析】①由抛物线经过点3(-1,0),A(4,0)可得对称轴;②用待定系数法求出抛物线的函
数关系式,再求其最大值即可;③由抛物线求得4B、C的坐标,再求出BC,AC和AB,
由勾股逆定理即可得到NAC3是直角;④当。尸,AC时,OP取最小值,根据等面积求得
。尸即可.
【详解】解:..•抛物线经过点3(-1,0),4(4,0),
3
•1•抛物线的对称轴为直线%=
故①正确;
设抛物线关系式为:y=a(x+l)(x-4),
\•抛物线经过点C(0,2),
-4a=2,解得:a=——,
ii3
・•・抛物线关系式为:y———(x+l)(x—4)=+―-^+2,
313325
,当%=彳时,y有最大值=--x(―+1)x(~-4)=,
2222X
故②错误;
・••点3坐标为(-1,0),点A坐标为(4,0),
:.AB=5.
当x=0时,y=2,
・••点C坐标为(0,2),
JBC=J(-l-O1+(0—2)2二遥,人。:0)2+(0—2)2:,
・.・BC2+AC2=(后2+(2后)=25=6,
•••△A3C是直角三角形,且NAC5=90。,
故③正确;
当。尸_LAC时,O尸取最小值,
此时根据三角形的面积可得(。4-0C=1AC-0P,
22
-X2X4=-X2A/5XOP,
22
解得0P=迪,
5
,。产的最小值为逑.
5
故④正确;
故正确的有:①③④,
故选:D.
【点睛】此题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点,两点距离公式,等面积求高,解决此题
的关键是根据三角形的面积得。尸的长.
4.(2022•浙江・温州绣山中学九年级期中)如图,抛物线与x轴交于点A,B,与>轴交于
点G,正方形COE产的边CD在x轴上,E,尸在抛物线上,连结G4,GB,AABG是正三
角形,AB=2,则阴影部分的面积为()
【答案】D
【分析】设血交8G于点H,根据正方形与抛物线的对称性,可得阴影部分面积为2s梯形Go.,
先求得抛物线的解析式为y=-瓜2+若,待定系数法求得直线BG的解析式为
>=-氐+百,根据对称性设后(根,2根),进而求得点E的坐标,点H的坐标,即可求解.
【详解】解:如图,设ED交BG于点、H,
AO=BO=1,OG=,松-协=6
.1.G(O,V3),A(-1,O),B(1,O)
设过A,B,G的抛物线解析式为y=ax2+后,
将点A代入,得0=<7+3
a=—A/3
,抛物线解析式为y=-氐2+V3,
..•四边形CDE尸是正方形,且关于y轴对称,
/.OC=OD^-DE
2
设石(加,2M(祖>0),
,/f(m,2m)y=-y/3x2+A/3±,
•*-2m=—5/3^22+A/3,
解得叫==-6(舍去)
VG(0,^),B(l,0),
设直线BG的解析式为y=kx+b,
k+b=0
Jb=6
k=-#)
・•.]b=^
/.直线BG的解析式为y=-氐+73
•/H在DE上,
..•a的横坐标为"
3
代入y=-邪>x+M
得y=-1+百
••・阴影部分面积为2s梯形^=2义;(退一1+6卜#=2—日
故选D
【点睛】本题考查了抛物线的性质,待定系数法求解析式,正方形的性质,等边三角形的性
质,勾股定理,求得点//的坐标是解题的关键.
5.(2020•山东德州•二模)二次函数y=d的函数图象如图,点4位于坐标原点,点
4,4,&,4…在y轴的正半轴上,点瓦,%%%••在二次函数y=v位于第一象限的图象
上,A4修A,AA与a,A483A3,AA3B4A4…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形,
则AA枢A的斜边长为()
A.20B.200C.22D.22V2
【答案】C
【分析】由于必修4,0鸟4,刈&&都是等腰直角三角形,因此可得出直线A4:
y=x,求出与,a的坐标,得出4A的长;
利用A的坐标,得直线4%:y=x+2,求出&坐标,得出A&的长;用同样的的
方法可求得44,…的边长,然后根据各边长的的特点得出一般化规律,求得A。%的长.
【详解】解::等腰直角三角形凹44,4为原点;.••直线44:y=x
...y=x,y=x2,4的坐标为(1,1),则4为(0,2)
44=2
A为(0,2),二直线4与:y=x+2
B2(2,4),AAA,=4,贝I"(0,6)
A(0,6),.,.直线4B3:y=x+6
B3(3,9),AA=6,
由上面AoAi=2,AIA2=4,A2A3=6,可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的
斜边长依次加2
.,.△Al0BnAn的斜边长为2+10x2=22,
综上,由此可以推出A%=22.
故选C.
【点睛】本题主要考查了二次函数综合题,解题时,利用了二次函数图象上点的坐标特征,
函数的交点,等腰直角三角形性质等知识点,解答此题的难点是推知ATA,的长.
6.(2022・浙江・杭州东方中学九年级阶段练习)小明发现,将二次函数、=以2一6依的图象
在x轴及其上方的部分向右平移得到C2,这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的logo.经
测量,该图案两个顶点间的距离B片与底部跨度。4的比值为2:5,点P是与C?的交点,
若APBBI恰好为等腰直角三角形,则。的值为()
A.—0.5B.—1C.—2D.—2.5
【答案】A
【分析】根据二次函数解析式得到点A坐标,对称轴,根据平移的性质得到BBX=OOi=AA],
设8耳=2x,求出x值,得到平移距离,可得C2的解析式,令%=%求出点P坐标,根据
等腰直角三角形的性质得到2"=;刖:=4+16/,求出。值,根据开口方向得到结果.
【详解】解:***y=a^-6ax=cix^x-6),
:.A(6,0),对称轴为直线x=3,贝ijy=9〃-18〃=—9a,
BBX=OOX-AAj,
设BB[=2x,贝ijOAl=5x,
・.・OOX=BB]=M,
OOX=2x=AAX,
*/0A=5x,
=
••O[Axf
OA=3x=6,
x=2,
移动距离为2x=4,
2
C2:j=^(x-4)-6^(x-4),
22
y2=<7(X-4)-6«(X-4)=加-14ax+40〃,必=ax-6ax,
令%=%,贝Uox2—6ax=ax2—14ax+40a,
Sax=40a,
..尤=5,
:.尸(5,-5。),
BP2=(5—3)+[—5a—(―9a)]=4+16",
/.BP2=;BB;=^x42=4+16a2,
9.•Cl2_-J_,
4
•.•开口朝下,
**.a<09a=—=—0.5.
2
故选A.
八y
5(3,・9a)81(7,-9。)
O2xOi^A2xA\X
【点睛】本题考查了二次函数图像的平移,二次函数的图像和性质,等腰直角三角形的性质,
解题的关键是注意结合图像,求出平移距离.
7.(2022•浙江•九年级专题练习)如图,已知点A(6,2),3(0,1),射线AB绕点A逆时针
旋转30。,与x轴交于点C,则过A,B,C三点的二次函数>=G2+以+1中。,6的值分
5in©]2
A.〃=2,b=—A/3B.a=—,b=------C.a=3,b=—V3D.a=—,b=—V3
326333
【答案】A
【分析】先求出直线AB的函数解析式y=gx+l,再求出点C1-6,0),再根据三角函数
求NAGN=30。,则射线AB绕点A逆时针旋转30。,后NC2AN=30。,利用解直角三角形
求出C2,利用待定系数法即可求出答案4
【详解】解:如图所示,直线交x轴于点C,过点A作ANLx轴交x轴于点N,射线A3
8(0,1),代入,得:
k一2
解得:.3
b=l
”旦+1
-3
.•.点Gf,o)
又•.•4(62)
・AN243
••tan=-----=-产产=—
C1N73+733
NAC]N=30/[]NGAN=90°-30°=60°
•••射线A3绕点A逆时针旋转30。,交无轴于点C?,则NGAG=30。
ZC2AN=ZQAN-ZQAQ=60°-30°=30°
C2?/=tan30°A^=^^
OC2=ON-C2N=^-
VA(V3,2),3(0,1),C2,0代入>=以2+法+]
a=2
解得:b=N'
+1
故选:A.
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、解直角三角形的综合题目,能构造直角三角形是
解答此题的关键.
二、填空题
8.(2022・全国•九年级课时练习)如图,抛物线y=-Y-6x-5交x轴于A、B两点,交,轴
于点C,点。(加机+1)是抛物线上的点,则点。关于直线AC的对称点的坐标为.
【答案】(—5,—4)或(0,1)
【分析】先求出A、B、C、。的坐标,再将点。代入抛物线的解析式,得出7〃的值,确定D
的坐标,再根据点。的坐标分情况画图求解,即可求出点。关于直线AC的对称点坐标.
【详解】解:;抛物线>=-犬-6了-5交x轴于A、3两点,交》轴于点C,
••当y=_尤2_6x_5=0日寸,&=—1,无2=—5,
当x=0时,y=-5,
:.A(-5,0),B(-l,0),C(0,-5),
OA=OC=5,
ZACO=ZOAC=45°,
•.•。(/〃z+l)是抛物线上的点,
"2+1=—nr—6m-5,
解得〃(=T,m2=-6,
.,.当相=—1时,_D(—1,0),
当〃?=-6时,<0(-6,-5),
①当£)(-!,0)时,此时点D与点B重合,
如图1,设点。关于直线AC对称点为ZX,连接47,
:点。与点D关于直线AC对称,
AC是的垂直平分线,
AB=AD'=-l-(—5)=4,且NOAC=NC4D'=45°,
/OAZ7=90°,
/.。(-5,-4);
②当0(-6,-5)时,
,CD〃x轴,
ZACD=ZOAC=45°
如图2,设点。关于直线AC的对称点为M,连接8,
1/点。关于直线AC的对称点为M,
:.AC是DM的垂直平分线,
/.ZACD=ZACM=45°,DC=CM,
在y轴上,且△DCM是等腰直角三角形,
DC=CM=6,
:.OA/=CM-OC=6—5=1,
/.M(0,l).
综上可得:点D关于直线AC的对称点的坐标为(-5,-4)或(0,1).
故答案为:(-5,-4)或(0,1)
【点睛】本题考查了二次函数的性质,等腰直角三角形的判定与性质,轴对称的性质,熟练
掌握二次函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键.
9.(2022.浙江.宁波市第七中学九年级阶段练习)已知:如图,抛物线的顶点为平行于
x轴的直线与该抛物线交于点A,2(点A在点B左侧),我们规定:当A/VWB为直角三角形
时,就称AAMB为该抛物线的“优美三角形”.若抛物线>=办2+区+6的“优美三角形”的斜
边长为4,求°的值______.
【答案】
2
【分析】设抛物线的顶点式,根据“优美三角形”的条件得AAMB为等腰直角三角形,得
AC=BC=MC=2,从而得出点B的坐标,将点6的坐标代入顶点式表达式即可求解.
【详解】解:设抛物线的顶点的坐标为M(九〃),
,抛物线的顶点式为:y=a(x-m)2+n,
又抛物线y=ax2+bx+6的“优美三角形”,
;.AABM为直角三角形,
根据抛物线的对称性质,可知A"=加0,
.1△ABM为等腰直角三角形,
设与对称轴交于点C,如图,
■.AB=4,
:.AC=BC^MC=2
3(机+2,〃+2)或3(机+2,〃一2),
n+2=a(m+2—m)2+〃或〃—2=a(jn+2—m)2+n,
..a=—1或.a=1,
22
故答案为:±万.
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用,正确理解新定义“优美三角形”、熟练掌握二次函
数的顶点式、图像的对称性质以及图像上点的特征是解答此题的关键.
10.(2022・全国•九年级课时练习)如图,抛物线y=%2—2g+2加-1与X轴交于A、3两点,
且点A、8都在原点右侧,抛物线的顶点为点尸,当△树为直角三角形时,加的值为.
【答案】2
【分析】设点A(X/,yO,B(孙>2),贝A5=IX2-xjI,求出点尸(m,-(m-1)2),由抛
物线的对称性知AAB尸为等腰直角三角形,建立方程I九2mI=2(m-1)2,根据根与系数关
系可求得加值.
【详解】解:设点A(X/,山),B(%2,72),则IX2-X1I,
令产。得/一2mx+2m-1=0,
222
•\xi+x2=2mfxrX2=2m-lf贝ljIX2-X1I=4m-8m+4=4(m-1),
由抛物线y=%2-2的+2加一1=(x-m)2—(m-1)2得顶点坐标为p(m,-(m-1)2),
抛物线的对称性知△A5尸为等腰直角三角形,
IX2-X1I=2(m-1)2,
即4(m-1)2=4(m-1)4,
解得:m=2或m=0或m=l,
•・•抛物线y=V-2mx+2m-1与%轴交于A、8两点,且点A、3都在原点右侧,
.•.2根>0且根#1且2根-1>0,即根■且相
••771=2,
故答案为:2.
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、
解高次方程等知识,熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.
11.(2020・北京延庆.九年级期中)如图,正方形0ABe的顶点B恰好在函数、=改2(。>0)的
图象上,若正方形。4BC的边长为四,且边OA与x轴的正半轴的夹角为15。,贝壮的值为
【答案】坦
【分析】作瓦Ux轴,连接。2,根据正方形性质可知。4=。8,NA=90。可得/8。。=60。,
再由勾股定理即可得B(1网,将点B代入;y=ax2(a>0)即可求解;
【详解】解:作8。,龙轴,连接。B,
ZAOB=45°,
':ZAOD=15°,
:.ZBOD=60°,
OB=y/OA2+AB2=5/后+后=2
,O£)=cos60°-OB=-x2=l,BD=sin60°BB=—x2=^
22
/.蜘❷,
将点8代入丁="2(。>0)得,
A/3=a-l2>
解得:a=A/3.
故答案为:6
【点睛】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质,正确做出辅助线,利用特
殊角,应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键.
12.(2021•山东滨州.九年级期末)二次函数>=耳/的图象如图所示,点4位于坐标原点,
2
点A/,A2,Aj,A202/在y轴的正半轴上,点&,&,&02/在二次函数y二§%2
位于第一象限的图象上,若△AoB/A/,△A1B2A2,△A233A3,…,△A2020&02/A202/都为等边
三角形,则4A2020B2021A2021的边长=.
【分析】分别过3人&,当作y轴的垂线,垂足分别为A、B、C,设AoA/=。,AiA2=b,A2A3=c,
贝=BB2=g~b,再根据所求正三角形的边长,分别表示S,B,B
CB3=^C,23
222
2
的纵坐标,逐步代入抛物线中,求服。的值得出规律.
【详解】解:分别过&,&作y轴的垂线,垂足分别为A、B、C.
设AoA尸",A]A2=b,A2A3二c,
•••△AoBA/是等边三角形,
9=144,
AB】=J&B;_4A2=,
同理可得8&=且6,CB3=C,
22
4
|),代入中,得£=:.(ga)2,解得:斫1或斫0(舍
・••在正^AoBiAi中,4
去),即
在正△A!B2A2中,&(争,1+|),代入y=宁中,得1+_|=|.(争)2,解得:b=2或b=-l(舍
去),即A*2=2,
在正△A283A3中,Bs(—c,3+g),代入中,得3+-|=-|*(—c)2,解得:c=3或c=2(舍
去),即44=3,
.,.可以推出AnAn+i=n+1,
由此可得^A2020B2021A2021的边长=2021.
故答案为:2021.
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据正三角形的性质表示点的坐标,利用
抛物线解析式求正三角形的边长,得到规律.
13.(2022・山东.日照市高新区中学一模)二次函数y=f的函数图象如图,点Ao位于坐标
原点,点4,A2,A5,4,…在y轴的正半轴上,点B/,B2,B3,反,…在二次函数y=V
位于第一象限的图象上,AAoBiAi,AAIB2A2,AA2B3A3,AA3B4A4...,都是直角顶点在抛
物线上的等腰直角三角形,则4AioBnAn的斜边长为.
【分析】过点&,B3,…分别作y轴的垂线,垂足分别为C、D、E...,分别写出
直线&瓦、4团、人,片的解析式,将它们与>=/联立,求得点3,历,/的坐标,从而可
得4A=2,A4=4,44=6,得到规律这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜
边长依次加2,据此解题.
【详解】解:如图,过点氏,&,B3,均,…分别作y轴的垂线,垂足分别为C、D、E...
Ao£
■■^AoBiAi,△A1B2A2,AA2B3A3,LA3B4A4...,都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角
形,
\?耳4A?当44?B3A,A345?
••・4瓦所在的直线为'=%
,ty=x,曰2
由12得无之=X
'ty=x
x(x—1)=0
*>X]—0,x?—1
\A)A=2B|C=2
\A(0,2)
:•直线4为为y=x+2,
fy—x+2
同理,由jy=/解得'与(2,4)
\A4=23/=4
\A(0,6)
直线人为为y=x+6,
ty=x+6
由上,解得鸟(3,9)
1产无
\A,A3=2B3E=6
\4(0,6)
由44=2,44=4,=6…可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜
边长依次加2,
AA10B11A11的斜边长2+10x2=22,
故答案为:22.
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合题,涉及等腰直角三角形、解二元一次方程组等
知识,是重要考点,有难度,掌握相关知识是解题关键.
三、解答题
14.(2022・广东.广州市第八十九中学九年级期中)如图,在平面直角坐标系中,“45C是直
角三角形,ZACB=90°,AC^BC,OA=1,OC=4,抛物线y=o?+至-34经过A,B
两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是直角AABC斜边上一动点(点A,B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点尸,
当线段EF的长度最大时,求点E、F的坐标;
(3)在(2)的条件下:在抛物线上是否存在一点P,使是以防为直角边的直角三角
形?若存在,直接写出所有点尸的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】⑴尸/一2%-3
⑵点"[I线点77g5
⑶存在,片1一字,]
,4+冬1
7
【分析】(1)根据AC=3C,求出3c的长,进而得到A,8的坐标,利用待定系数法即可
求得抛物线的解析式;
(2)利用待定系数法求出直线A3的解析式,用含加的式表示出E、尸的坐标,求出所的
长度最大时机的值,即可求得E、尸的坐标;
(3)分两种情况,/尸£尸=90。和/耳声=90。时,分别求得点尸的坐标,将纵坐标代入抛
物线解析式,即可求得点尸的值.
【详解】(1)解:vAC^BC,OA=\,OC=4,
AA(-1,O),C(4,0),
/.BC=5,3(4,5),
a—b—3。=0
把A,B代入)=加+次-3a得:
16〃+4万-3a=5'
a=1
解得:
b=-2f
A抛物线解析式为y=x2-2x-3;
(2)•.•直线A3经过点A(TO),5(4,5)
设直线A3的解析式为:y=kx+c
-k+c=O
把A,B代入代入得:
4k+c=5
k=l
解得:
c=l
直线A3的解析式为:y=x+l
•••过点E作x轴的垂线交抛物线于点尸,
设E点横坐标为机,点E在线段A3上(点A,B除外),
.,.点E(7",7"+l),(-1<m<4)
,点尸横坐标为机,点尸在抛物线上,
・••点F(^m,m2-2m-3),
据图知:点E在点F上方,
:•EF=+—2m—3)=-m2+3m+4=-[m——
I2
325
—<。,开口向下,所有最大值,当“二时,政的最大值为彳.
.•・加+。=*,915
1=m92-2m-3=—3-3
224~4
35,点唱15
•••点E
252
(3)①当NEEP=90。时,点。的纵坐标为
2
即m=|,解得…=1+半’”=1一早,
./1_鼻、
12'2
7
②当HP=9。。,点尸的纵坐标为卡,
1513
即丁一2彳一3=-寸,解得匕=5,%=5(舍去)
•••点呜
综上所述,存在点尸,使△即P是以E尸为直角边的直角三角形,点尸的坐标为1-丫厂,5
V26*'£_15
或1+或2,-T
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,直角三角形的性质,解题的关键是掌握
二次函数的性质和分类讨论思想.
15.(2022・全国•九年级专题练习)如图,抛物线>=内2-弧-3与x轴交于点A、C,交y轴
于点8,OB=OC=3OA.
(1)求抛物线的解析式及对称轴方程;
(2)如图,连接AB,点M是对称轴上一点且在第四象限,若AAMB是以为底角的等
腰三角形,求点M的坐标;
【答案】(1)抛物线的解析式为y=—-2x-3,对称轴方程为x=l;
⑵M坐标为(1,一#)或(1,-1)
【分析】(1)根据抛物线的解析式得出以0,-3),08=3,再由已知条件确定4(-1,0)、C(3,0),
利用待定系数法确定函数解析式,然后化为顶点式,即可确定对称轴;
(2)设根据坐标系中两点间的距离公式得出
MA1=4+m2,MB2=l+(m+3)\AB2=l+32=10,然后分两种情况:①若=②若
MB=MA,分别求解即可.
【详解】(1)解:在y=ax?-6x-3中,令x=0得y=-3,
5(0,-3),
03=3,
•/OB=OC=3OA,
:.OA=1,OC=3,
:.A(-l,0)>C(3,0),
把A(-LO)、C(3,0),代入y=-"一3得:
fa+b-3=0
|9«-3Z?-3=0,
抛物线的解析式为y=J-2x—3,
ffi]y=x2-2x-3=(x-l)2-4,
对称轴方程为x=l;
(2)解:设M(l,机),而A(T,0)、C(3,0),
AMA2=4+m2,MB?=1+(〃2+3)2,.=1+32=10,
AAMB是以/MBA为底角的等腰三角形,
分两种情况:
①若=则肱12=帅2,如图:
*,•4+m2=10,
解得m=任或机=-瓜,
VM是对称轴上一点且在第四象限,
**.M(1,-,
②若"B=M4,则MA2=Mg2,如图:
4+m2=l+(m+3)2,
解得m=-l,
AM(1,-1),
综上所述,M坐标为(1,-")或
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题,包括利用待定系数法确定函数解析式,确定特
殊图形的坐标及等腰三角形的定义等,理解题意,熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
16.(2022.全国•九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数
y=a(x+l)(x-3)的图象与x轴交于A,8两点(点A在点8的左侧),与y轴交于C点,顶
点M的纵坐标为T.
(1)直接写出点A的坐标,点B的坐标;
(2)求出二次函数的解析式;
(3)如图1,在平面直角坐标系xQy中找一点。,使得AACD是以AC为斜边的等腰直角三角
形,试求出点。的坐标.
【答案】(1)(-1,0),(3,0)
(2)y=x2-2x-3;
⑶£)(1,一1)或(一2,-2).
【分析】(1)通过解方程a(x+l)(x-3)=0可得4、8点的坐标;
(2)先确定抛物线的顶点坐标为。,-4),然后把顶点坐标代入y=a(x+l)(x-3)求出.即
可;
(3)先确定C(0,-3),设。(尤,y),利用两点间的距离公式得到AC,=10,DC2=x2+(y+3)2,
Ar>2=(x+iy+y2,再根据等腰直角三角形得到2卜2+(>+3门=10,2[(X+1)2+/]=10,
然后解方程组得到。点坐标.
【详解】(1)解:当y=0时a(x+l)(x-3)=0,
解得人=-L%=3,
A(-LO),3(3,0);
故答案为:(-1,0),(3,0);
(2)解:•••抛物线的对称轴为直线x=l,
抛物线的顶点坐标为(1,-4),
把。,一4)代入y=a(x+l)(x_3)得a(l+l)(l_3)=T,解得a=l,
y=(x+l)(x-3),
即y=x2-2x-3;
(3)解:当x=0时,y=x2—2x—3=—3,则C(0,—3),
设。(x,y),
AAC2=l2+32=10,DC2=x2+(y+3)2,AD2=(x+l)2+y2,
「△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形,
/.2[尤2+(y+3y]=10,2[(x+l)2+y2]=10,
解得x=i,y=-1或x=-2,y=-2,
D(l,—1)或(-2,-2).
【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数
的性质、等腰直角三角形的性质;理解坐标与图象的性质,记住两点间的距离公式.
17.(2022•全国•九年级专题练习)在平面直角坐标系中,二次函数>=双、云+2的图象与x
轴交于A(-3,0),3(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以8C为腰的等腰直角三角形?若存
在,直接写出点。的坐标;若不存在,说明理由
24
【答案】⑴丫=-宁2-耳彳+2
(2)存在,(2,3),(3,1),(—1)—1)!(—2,1)
【分析】(1)将点A(-3,0),3(1,0)代入解析式,待定系数法求解析式即可求解;
(2)以2C为边在两侧作正方形BCQ&、正方形3CQ2,则点9,2,Qv2为符合题意
要求的点.过2点作轴于点。,过点。2作无轴于点E,证明A。。。也ACB。,
得出2(2,3),2(-2,1)同理证明ACBO之ABQ*得出03(T,T),。式一2,1),即可求解.
【详解】(1)解:•••抛物线丫=加+法+2过点4(-3,0),3(1,0),
.10=9。-36+2
'*I0=a+b+2
2
a=——
解得?
b=——
I3
74
,二次函数的关系解析式为y=-1无2-§X+2;
(2)解:如图2所示,以8C为边在两侧作正方形8a22、正方形BC2Q”则点
2,2,。3,。4为符合题意要求的点.过。点作轴于点O,过点。2作Q/,无轴于
点E,
VZl+Z2=90°,N2+N3=90。,Z3+Z4=90°,
Z1=Z3,Z2=Z4,
在与ACBO中,
"Z1=Z3
,QXC=BC,
.N2=N4
:.xgCD=^CBO,
AQlD=OC=2,CD=OB=1,
:.OD=OC+CD=3,
同理可得Q&(-2,1);
同理可证ACBO0ABQE,
BE=OC=2,Q2E=OB=1,
:.OE=OB+BE=l+2=3,
,Q(3,1),
同理,03(T,T),
存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.
。点坐标为:2(2,3),Q2(3,D,e3(-L-l),Q(-2,1).
【点睛】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数解析式、全等三角
形的判定与性质,正方形及等腰直角三角形的性质等知识,涉及面较广,难度较大.
13
18.(2022•全国•九年级专题练习)如图,已知二次函数>=一/--%-4的图象与y轴交于
42
点C,与X轴交于A、8两点,其对称轴与X轴交于点。.
(1)点C的坐标为,点B的坐标为;
(2)连接3C,在线段5c上是否存在点E,使得△ED5为等腰三角形?若存在,求出所有符
合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
【答案】(1)(。,T),(8,0);
(2)(0)-4),(8-2A/5,-A/5),[?,一二]
【分析】(1)分另U将尤=0、y=o代入函数解析式,求解即可;
(2)求出直线3c的解析式,分三种情况讨论BD=£B、ED=BE,BD=DE,分别求解
即可.
【详解】⑴解:y=-1x2-^3x-4,
42
当x=0时,y=T,C(0,-4),
i3
当y=0时,―i=0,
42
整理得:x2-6x-16=0,
变形得:(x-8)(x+2)=0,
解得士=-2,马=8,
2(8,0)
故答案为:(0,-4),(8,0)
(2)C(0,-4),B(8,0),
设5c解析式为y=Ax+"把C、5坐标代入得,
(b=-4
\Sk+b=O"
b=-4
解得<1,
k=—
I2
2c解析式为〉=gx-4,
△EZ)3为等腰三角形,点E在线段BC上,设E(x,(x-4),0(3,0),
以D3为底边,作30中垂线与2C交点为E,x=1(3+8)=5.5,^x-4=^x5.5-4=--,
2''224
当BD=£B=5时8E=J(8—=5,
(X-8)2=20,
x=8-2q或x=8+2退舍去,
一尤—4=4—^5—4=—,
2
E(8-2A/5,->/5),
△£E>3为等腰三角形符合条件的点E的坐标为:(0,-4),(8-26,-如),(蓝,-|j;
【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用,涉及了二次函数与坐标轴的交点,等腰三
角形的性质,解题的关键是熟练掌握二次函数基础性质,学会利用分类讨论的思想求解问题.
19.(2022・全国•九年级专题练习)如图,已知二次函数y=aV+bx+3的图象交x轴于点41,0),
3(3,0),交y轴于点C.
⑴求这个二次函数的表达式;
(2)直线》="分别交直线和抛物线于点M,N,当ABMN是等腰三角形时,直接写出机
的值.
【答案】⑴y=f-4x+3;
(2)机的值为0,一④,1,2
【分析】(1)根据待定系数法求解即可;
(2)分■MN=BM,BN=MN,BAf=3N三种情况讨论即可.
【详解】(1)解:将41,0),8(3,0)代入函数解析式,得
ja+b+3=0
9Q+3b+3
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