中考数学难点突破训练：二次函数中的特殊三角形问题（解析版）

专题42二次函数中的特殊三角形问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2021・四川成都•一模）如图，二次函数y=+桁+c（4*0）图象的顶点为。，其图像与

无轴的交点A、8的横坐标分别为-1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面四个结论中：

_1

@a=--c；

③只有当a=g时，△ABD是等腰直角三角形；

④使AACB为等腰三角形的。值可以有两个.其中正确的结论有

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】先根据图象与x轴的交点48的横坐标分别为-1,3确定出AB的长及对称轴，

再由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断。与。的关系，然后

根据对称轴及抛物线与无轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出。>0,

:图像与无轴的交点A、2的横坐标分别为-1,3,

对称轴x=l,

・••当x=l时，y<0,

a+b+cVO；

故①正确；

②•・•点A的坐标为（-1,0）,

••（X~。+c0,

又,：b=-2m

.,.6/-(-2a)+c=0,

・・c~~~3a,

._1

••a=—c

3

...结论②正确.

③如图1,连接A£>,BD,作轴于点E,

要使△ABD是等腰直角三角形，

则ZADB=9Q°,

：OE_L无轴，

...点E是AB的中点，

：.DE=BE,

即产c-%=lzUl=2,

4〃2

又■:b=-2a,c--3〃，

，|4。*(-34)(-24)a>o,

4〃

解得〃=g,

•••只有当时，△48。是等腰直角三角形,

结论③正确

④要使△ACB为等腰三角形，

则4B=BC=4,AB=AC=4,或AC=8C,

I、当AB=BC=4时，

在RtAOBC中，

V0B=3,BC=4,

OC2=BC2-0序=42-32=16-9=7,

即"7,

1/抛物线与y轴负半轴交于点C,

.*.c<0,c=S,

II、当AB=AC=4时，

在RtAOAC中，

VOA=1,AC=4,

OC2=AC2-OA2=42-12=16-1=15,

即C2=15,

•・•抛物线与y轴负半轴交于点C,

.*.c<0,c--y/15,

.Cy/15

••Cl==---.

33

IIL当AC=BC时，

丁OC.LAB.

・••点。是A3的中点，

：.AO=BO,

这与AO=1,5。=3矛盾，

・・・AC=5C不成立.

...使AACB为等腰三角形的。值可以有两个：立、巫.

33

结论④正确.

故答案选：D

【点睛】二次函数y=0+6x+c系数符号的确定：（1）。由抛物线开口方向确定：开口方向

h

向上，则。>0；否则。<0；（2）b由对称轴和。的符号确定：由对称轴公式x=-丁判断符，

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0；否则c<0；（4）b2-4ac

由抛物线与x轴交点的个数确定：①2个交点，b2-4ac>0；②1个交点，b2-4ac=0；③没

有交点，b2-4ac<0.

2.（2022•浙江•九年级专题练习）如图，抛物线y=V-2彳-3与>轴交于点C,点。的坐标

为（0,-1）,在第四象限抛物线上有一点P,若△PCD是以C。为底边的等腰三角形，则点

P的横坐标为（）

A.1+y/2B.1—y/2

C.V2-1D.1—g或1+夜

【答案】A

【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CO中点的纵坐标，然后根据等腰三角

形三线合一的性质可得点尸的纵坐标，然后代入抛物线求解即可.

【详解】令尸。，则y=-3,

所以，点C的坐标为（0,-3）,

•.•点D的坐标为（0,-1）,

线段CD中点的纵坐标为二9=-2,

「△PC。是以CQ为底边的等腰三角形，

...点P的纵坐标为-2,

.".X2-2X-3=-2,

解得，X2=1-，

•.•点P在第四象限，

•••点P的横坐标为1+后.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质

并确定出点P的纵坐标是解题的关键.

3.（2022・全国•九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点川-1,0）,4（4,0）,与y轴交于

点C（0,2）,P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线x=］；②抛

物线的最大值为苫；③NACB=90。；④。尸的最小值为逑.则正确的结论为（）

85

【分析】①由抛物线经过点3(-1,0),A(4,0)可得对称轴；②用待定系数法求出抛物线的函

数关系式，再求其最大值即可；③由抛物线求得4B、C的坐标，再求出BC,AC和AB,

由勾股逆定理即可得到NAC3是直角；④当。尸，AC时，OP取最小值，根据等面积求得

。尸即可.

【详解】解：..•抛物线经过点3(-1,0),4(4,0),

3

•1•抛物线的对称轴为直线%=

故①正确；

设抛物线关系式为：y=a(x+l)(x-4),

\•抛物线经过点C(0,2),

-4a=2,解得：a=——,

ii3

・•・抛物线关系式为：y———(x+l)(x—4)=+―-^+2,

313325

，当％=彳时，y有最大值=--x(―+1)x(~-4)=,

2222X

故②错误；

・••点3坐标为(-1,0),点A坐标为(4,0),

：.AB=5.

当x=0时，y=2,

・••点C坐标为(0,2),

JBC=J(-l-O1+(0—2)2二遥,人。:0)2+(0—2)2:,

・.・BC2+AC2=(后2+(2后)=25=6,

•••△A3C是直角三角形，且NAC5=90。,

故③正确；

当。尸_LAC时，O尸取最小值，

此时根据三角形的面积可得（。4-0C=1AC-0P,

22

-X2X4=-X2A/5XOP,

22

解得0P=迪，

5

，。产的最小值为逑.

5

故④正确；

故正确的有：①③④，

故选：D.

【点睛】此题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点，两点距离公式，等面积求高，解决此题

的关键是根据三角形的面积得。尸的长.

4.（2022•浙江・温州绣山中学九年级期中）如图，抛物线与x轴交于点A,B,与>轴交于

点G,正方形COE产的边CD在x轴上，E,尸在抛物线上，连结G4,GB,AABG是正三

角形，AB=2,则阴影部分的面积为（）

【答案】D

【分析】设血交8G于点H,根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为2s梯形Go.,

先求得抛物线的解析式为y=-瓜2+若，待定系数法求得直线BG的解析式为

>=-氐+百，根据对称性设后（根,2根），进而求得点E的坐标，点H的坐标，即可求解.

【详解】解：如图，设ED交BG于点、H,

AO=BO=1,OG=，松-协=6

.1.G（O,V3）,A（-1,O）,B（1,O）

设过A,B,G的抛物线解析式为y=ax2+后,

将点A代入，得0=＜7+3

a=—A/3

，抛物线解析式为y=-氐2+V3,

..•四边形CDE尸是正方形，且关于y轴对称,

/.OC=OD^-DE

2

设石（加,2M（祖＞0）,

,/f（m,2m）y=-y/3x2+A/3±,

•*-2m=—5/3^22+A/3,

解得叫==-6（舍去）

VG（0,^）,B（l,0）,

设直线BG的解析式为y=kx+b,

k+b=0

Jb=6

k=-#）

・•.]b=^

/.直线BG的解析式为y=-氐+73

•/H在DE上，

..•a的横坐标为"

3

代入y=-邪＞x+M

得y=-1+百

••・阴影部分面积为2s梯形^=2义；（退一1+6卜#=2—日

故选D

【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性

质，勾股定理，求得点//的坐标是解题的关键.

5.（2020•山东德州•二模）二次函数y=d的函数图象如图，点4位于坐标原点，点

4,4,&,4…在y轴的正半轴上，点瓦，％%%••在二次函数y=v位于第一象限的图象

上，A4修A，AA与a，A483A3,AA3B4A4…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，

则AA枢A的斜边长为（）

A.20B.200C.22D.22V2

【答案】C

【分析】由于必修4,0鸟4,刈&&都是等腰直角三角形，因此可得出直线A4：

y=x,求出与，a的坐标，得出4A的长；

利用A的坐标，得直线4%：y=x+2,求出&坐标，得出A&的长；用同样的的

方法可求得44，…的边长，然后根据各边长的的特点得出一般化规律，求得A。％的长.

【详解】解：：等腰直角三角形凹44，4为原点；.••直线44：y=x

...y=x,y=x2,4的坐标为（1,1）,则4为（0,2）

44=2

A为（0,2）,二直线4与：y=x+2

B2（2,4）,AAA,=4,贝I"（0,6）

A（0,6）,.,.直线4B3：y=x+6

B3（3,9）,AA=6,

由上面AoAi=2,AIA2=4,A2A3=6,可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的

斜边长依次加2

.,.△Al0BnAn的斜边长为2+10x2=22,

综上，由此可以推出A%=22.

故选C.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，

函数的交点，等腰直角三角形性质等知识点，解答此题的难点是推知ATA,的长.

6.（2022・浙江・杭州东方中学九年级阶段练习）小明发现，将二次函数、=以2一6依的图象

在x轴及其上方的部分向右平移得到C2,这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的logo.经

测量，该图案两个顶点间的距离B片与底部跨度。4的比值为2:5,点P是与C?的交点，

若APBBI恰好为等腰直角三角形，则。的值为（）

A.—0.5B.—1C.—2D.—2.5

【答案】A

【分析】根据二次函数解析式得到点A坐标，对称轴,根据平移的性质得到BBX=OOi=AA],

设8耳=2x,求出x值，得到平移距离，可得C2的解析式，令％=%求出点P坐标，根据

等腰直角三角形的性质得到2"=；刖：=4+16/,求出。值，根据开口方向得到结果.

【详解】解：***y=a^-6ax=cix^x-6）,

：.A（6,0）,对称轴为直线x=3,贝ijy=9〃-18〃=—9a,

BBX=OOX-AAj,

设BB[=2x,贝ijOAl=5x,

・.・OOX=BB]=M，

OOX=2x=AAX,

*/0A=5x,

=

••O[Axf

OA=3x=6,

x=2,

移动距离为2x=4,

2

C2:j=^(x-4)-6^(x-4),

22

y2=<7(X-4)-6«(X-4)=加-14ax+40〃,必=ax-6ax,

令％=%,贝Uox2—6ax=ax2—14ax+40a,

Sax=40a,

..尤=5,

:.尸(5,-5。),

BP2=(5—3)+[—5a—(―9a)]=4+16",

/.BP2=；BB；=^x42=4+16a2,

9.•Cl2_-J_,

4

•.•开口朝下，

**.a<09a=—=—0.5.

2

故选A.

八y

5(3,・9a)81(7,-9。)

O2xOi^A2xA\X

【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，

解题的关键是注意结合图像，求出平移距离.

7.(2022•浙江•九年级专题练习)如图，已知点A(6,2),3(0,1),射线AB绕点A逆时针

旋转30。，与x轴交于点C,则过A,B,C三点的二次函数>=G2+以+1中。，6的值分

5in©]2

A.〃=2,b=—A/3B.a=—,b=------C.a=3,b=—V3D.a=—,b=—V3

326333

【答案】A

【分析】先求出直线AB的函数解析式y=gx+l,再求出点C1-6,0),再根据三角函数

求NAGN=30。，则射线AB绕点A逆时针旋转30。，后NC2AN=30。，利用解直角三角形

求出C2,利用待定系数法即可求出答案4

【详解】解：如图所示，直线交x轴于点C,过点A作ANLx轴交x轴于点N,射线A3

8(0,1),代入，得:

k一2

解得：.3

b=l

”旦+1

-3

.•.点Gf,o)

又•.•4(62)

・AN243

••tan=-----=-产产=—

C1N73+733

NAC]N=30/[]NGAN=90°-30°=60°

•••射线A3绕点A逆时针旋转30。，交无轴于点C?,则NGAG=30。

ZC2AN=ZQAN-ZQAQ=60°-30°=30°

C2?/=tan30°A^=^^

OC2=ON-C2N=^-

VA(V3,2),3(0,1),C2,0代入>=以2+法+]

a=2

解得:b=N'

+1

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、解直角三角形的综合题目，能构造直角三角形是

解答此题的关键.

二、填空题

8.(2022・全国•九年级课时练习)如图，抛物线y=-Y-6x-5交x轴于A、B两点，交，轴

于点C,点。(加机+1)是抛物线上的点，则点。关于直线AC的对称点的坐标为.

【答案】(—5,—4)或(0,1)

【分析】先求出A、B、C、。的坐标，再将点。代入抛物线的解析式，得出7〃的值，确定D

的坐标，再根据点。的坐标分情况画图求解，即可求出点。关于直线AC的对称点坐标.

【详解】解：；抛物线>=-犬-6了-5交x轴于A、3两点，交》轴于点C,

••当y=_尤2_6x_5=0日寸，&=—1，无2=—5,

当x=0时，y=-5,

：.A(-5,0),B(-l,0),C(0,-5),

OA=OC=5,

ZACO=ZOAC=45°,

•.•。(/〃z+l)是抛物线上的点，

"2+1=—nr—6m-5，

解得〃（=T，m2=-6,

.,.当相=—1时，_D（—1,0）,

当〃?=-6时，＜0(-6,-5),

①当£)(-!,0)时，此时点D与点B重合，

如图1,设点。关于直线AC对称点为ZX,连接47,

:点。与点D关于直线AC对称，

AC是的垂直平分线，

AB=AD'=-l-(—5)=4,且NOAC=NC4D'=45°,

/OAZ7=90°,

/.。(-5,-4)；

②当0(-6,-5)时，

，CD〃x轴，

ZACD=ZOAC=45°

如图2,设点。关于直线AC的对称点为M,连接8,

1/点。关于直线AC的对称点为M,

：.AC是DM的垂直平分线，

/.ZACD=ZACM=45°,DC=CM,

在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形，

DC=CM=6,

：.OA/=CM-OC=6—5=1,

/.M(0,l).

综上可得：点D关于直线AC的对称点的坐标为(-5,-4)或(0,1).

故答案为:(-5,-4)或(0,1)

【点睛】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练

掌握二次函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键.

9.（2022.浙江.宁波市第七中学九年级阶段练习）已知：如图，抛物线的顶点为平行于

x轴的直线与该抛物线交于点A,2（点A在点B左侧），我们规定：当A/VWB为直角三角形

时，就称AAMB为该抛物线的“优美三角形”.若抛物线>=办2+区+6的“优美三角形”的斜

边长为4,求°的值______.

【答案】

2

【分析】设抛物线的顶点式，根据“优美三角形”的条件得AAMB为等腰直角三角形，得

AC=BC=MC=2,从而得出点B的坐标，将点6的坐标代入顶点式表达式即可求解.

【详解】解：设抛物线的顶点的坐标为M（九〃），

，抛物线的顶点式为：y=a（x-m）2+n,

又抛物线y=ax2+bx+6的“优美三角形”，

;.AABM为直角三角形，

根据抛物线的对称性质，可知A"=加0，

.1△ABM为等腰直角三角形，

设与对称轴交于点C,如图，

■.­AB=4,

：.AC=BC^MC=2

3(机+2,〃+2)或3(机+2,〃一2),

n+2=a(m+2—m)2+〃或〃—2=a(jn+2—m)2+n,

..a=—1或.a=1,

22

故答案为：±万.

【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，正确理解新定义“优美三角形”、熟练掌握二次函

数的顶点式、图像的对称性质以及图像上点的特征是解答此题的关键.

10.(2022・全国•九年级课时练习)如图，抛物线y=%2—2g+2加-1与X轴交于A、3两点，

且点A、8都在原点右侧，抛物线的顶点为点尸，当△树为直角三角形时，加的值为.

【答案】2

【分析】设点A(X/,yO,B(孙＞2)，贝A5=IX2-xjI,求出点尸(m,-(m-1)2),由抛

物线的对称性知AAB尸为等腰直角三角形，建立方程I九2mI=2(m-1)2,根据根与系数关

系可求得加值.

【详解】解：设点A(X/,山),B(%2，72)，则IX2-X1I,

令产。得/一2mx+2m-1=0,

222

•\xi+x2=2mfxrX2=2m-lf贝ljIX2-X1I=4m-8m+4=4(m-1),

由抛物线y=%2-2的+2加一1=(x-m)2—(m-1)2得顶点坐标为p(m,-(m-1)2),

抛物线的对称性知△A5尸为等腰直角三角形，

IX2-X1I=2(m-1)2,

即4(m-1)2=4(m-1)4,

解得：m=2或m=0或m=l,

•・•抛物线y=V-2mx+2m-1与％轴交于A、8两点，且点A、3都在原点右侧，

.•.2根＞0且根#1且2根-1＞0,即根■且相

••771=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、

解高次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.

11.(2020・北京延庆.九年级期中)如图，正方形0ABe的顶点B恰好在函数、=改2(。＞0)的

图象上，若正方形。4BC的边长为四，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15。，贝壮的值为

【答案】坦

【分析】作瓦Ux轴，连接。2,根据正方形性质可知。4=。8,NA=90。可得/8。。=60。,

再由勾股定理即可得B(1网,将点B代入;y=ax2(a>0)即可求解；

【详解】解：作8。，龙轴，连接。B,

ZAOB=45°,

'：ZAOD=15°,

：.ZBOD=60°,

OB=y/OA2+AB2=5/后+后=2

，O£)=cos60°-OB=-x2=l,BD=sin60°BB=—x2=^

22

/.蜘❷，

将点8代入丁="2(。>0)得，

A/3=a-l2>

解得：a=A/3.

故答案为：6

【点睛】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特

殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键.

12.（2021•山东滨州.九年级期末）二次函数>=耳/的图象如图所示，点4位于坐标原点,

2

点A/,A2,Aj,A202/在y轴的正半轴上，点&,&,&02/在二次函数y二§%2

位于第一象限的图象上，若△AoB/A/,△A1B2A2,△A233A3,…，△A2020&02/A202/都为等边

三角形，则4A2020B2021A2021的边长=.

【分析】分别过3人&,当作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C,设AoA/=。，AiA2=b,A2A3=c,

贝=BB2=g~b,再根据所求正三角形的边长，分别表示S,B,B

CB3=^C,23

222

2

的纵坐标，逐步代入抛物线中，求服。的值得出规律.

【详解】解：分别过&,&作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C.

设AoA尸"，A]A2=b,A2A3二c，

•••△AoBA/是等边三角形，

9=144，

AB】=J&B；_4A2=，

同理可得8&=且6,CB3=­C,

22

4

|）,代入中，得£=：.（ga）2,解得：斫1或斫0（舍

・••在正^AoBiAi中,4

去），即

在正△A!B2A2中，&（争，1+|）,代入y=宁中，得1+_|=|.（争）2,解得：b=2或b=-l（舍

去），即A*2=2,

在正△A283A3中，Bs（—c,3+g）,代入中，得3+-|=-|*（—c）2,解得：c=3或c=2（舍

去），即44=3,

.,.可以推出AnAn+i=n+1,

由此可得^A2020B2021A2021的边长=2021.

故答案为：2021.

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用

抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律.

13.（2022・山东.日照市高新区中学一模）二次函数y=f的函数图象如图，点Ao位于坐标

原点，点4,A2,A5,4,…在y轴的正半轴上，点B/,B2,B3,反，…在二次函数y=V

位于第一象限的图象上，AAoBiAi,AAIB2A2,AA2B3A3,AA3B4A4...,都是直角顶点在抛

物线上的等腰直角三角形，则4AioBnAn的斜边长为.

【分析】过点&,B3,…分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D、E...,分别写出

直线&瓦、4团、人,片的解析式，将它们与＞=/联立，求得点3，历,/的坐标，从而可

得4A=2,A4=4,44=6,得到规律这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜

边长依次加2,据此解题.

【详解】解：如图，过点氏，&,B3,均，…分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D、E...

Ao£

■■^AoBiAi,△A1B2A2,AA2B3A3,LA3B4A4...,都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角

形，

\?耳4A?当44?B3A,A345?

••・4瓦所在的直线为'=%

,ty=x，曰2

由12得无之=X

'ty=x

x(x—1)=0

*>X]—0,x?—1

\A)A=2B|C=2

\A(0,2)

:•直线4为为y=x+2,

fy—x+2

同理，由jy=/解得'与(2,4)

\A4=23/=4

\A(0,6)

直线人为为y=x+6,

ty=x+6

由上,解得鸟(3,9)

1产无

\A,A3=2B3E=6

\4(0,6)

由44=2,44=4,=6…可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜

边长依次加2,

AA10B11A11的斜边长2+10x2=22,

故答案为：22.

【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合题，涉及等腰直角三角形、解二元一次方程组等

知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键.

三、解答题

14.（2022・广东.广州市第八十九中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，“45C是直

角三角形，ZACB=90°,AC^BC,OA=1,OC=4,抛物线y=o?+至-34经过A,B

两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是直角AABC斜边上一动点（点A,B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点尸,

当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；

（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P,使是以防为直角边的直角三角

形？若存在，直接写出所有点尸的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】⑴尸/一2%-3

⑵点"[I线点77g5

⑶存在，片1一字,]

,4+冬1

7

【分析】（1）根据AC=3C，求出3c的长，进而得到A,8的坐标，利用待定系数法即可

求得抛物线的解析式；

（2）利用待定系数法求出直线A3的解析式，用含加的式表示出E、尸的坐标，求出所的

长度最大时机的值，即可求得E、尸的坐标；

（3）分两种情况，/尸£尸=90。和/耳声=90。时，分别求得点尸的坐标，将纵坐标代入抛

物线解析式，即可求得点尸的值.

【详解】(1)解：vAC^BC,OA=\,OC=4,

AA(-1,O),C(4,0),

/.BC=5,3(4,5),

a—b—3。=0

把A,B代入）=加+次-3a得:

16〃+4万-3a=5'

a=1

解得:

b=-2f

A抛物线解析式为y=x2-2x-3；

(2)•.•直线A3经过点A(TO),5(4,5)

设直线A3的解析式为：y=kx+c

-k+c=O

把A,B代入代入得:

4k+c=5

k=l

解得:

c=l

直线A3的解析式为：y=x+l

•••过点E作x轴的垂线交抛物线于点尸,

设E点横坐标为机，点E在线段A3上（点A,B除外）,

.,.点E(7",7"+l),(-1<m<4)

，点尸横坐标为机，点尸在抛物线上,

・••点F(^m,m2-2m-3),

据图知：点E在点F上方,

：•EF=+—2m—3)=-m2+3m+4=-[m——

I2

325

—＜。，开口向下，所有最大值，当“二时，政的最大值为彳.

.•・加+。=*,915

1=m92-2m-3=—3-3

224~4

35，点唱15

•••点E

252

（3）①当NEEP=90。时，点。的纵坐标为

2

即m=|,解得…=1+半’”=1一早,

./1_鼻、

12'2

7

②当HP=9。。，点尸的纵坐标为卡,

1513

即丁一2彳一3=-寸，解得匕=5，%=5(舍去)

•••点呜

综上所述，存在点尸，使△即P是以E尸为直角边的直角三角形，点尸的坐标为1-丫厂，5

V26*'£_15

或1+或2，-T

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握

二次函数的性质和分类讨论思想.

15.(2022・全国•九年级专题练习)如图，抛物线>=内2-弧-3与x轴交于点A、C,交y轴

于点8,OB=OC=3OA.

(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；

(2)如图，连接AB,点M是对称轴上一点且在第四象限，若AAMB是以为底角的等

腰三角形，求点M的坐标；

【答案】(1)抛物线的解析式为y=—-2x-3,对称轴方程为x=l；

⑵M坐标为(1,一#)或(1,-1)

【分析】(1)根据抛物线的解析式得出以0,-3),08=3,再由已知条件确定4(-1,0)、C(3,0),

利用待定系数法确定函数解析式，然后化为顶点式，即可确定对称轴；

(2)设根据坐标系中两点间的距离公式得出

MA1=4+m2,MB2=l+(m+3)\AB2=l+32=10,然后分两种情况：①若=②若

MB=MA,分别求解即可.

【详解】(1)解：在y=ax?-6x-3中，令x=0得y=-3,

5(0,-3),

03=3,

•/OB=OC=3OA,

：.OA=1,OC=3,

：.A(-l,0)>C(3,0),

把A(-LO)、C(3,0),代入y=-"一3得：

fa+b-3=0

|9«-3Z?-3=0，

抛物线的解析式为y=J-2x—3,

ffi]y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

对称轴方程为x=l；

(2)解：设M(l,机)，而A(T,0)、C(3,0),

AMA2=4+m2,MB?=1+(〃2+3)2,.=1+32=10,

AAMB是以/MBA为底角的等腰三角形,

分两种情况：

①若=则肱12=帅2,如图：

*,•4+m2=10,

解得m=任或机=-瓜,

VM是对称轴上一点且在第四象限，

**.M(1,-,

②若"B=M4,则MA2=Mg2,如图:

4+m2=l+(m+3)2,

解得m=-l,

AM(1,-1),

综上所述，M坐标为(1,-")或

【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括利用待定系数法确定函数解析式，确定特

殊图形的坐标及等腰三角形的定义等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

16.(2022.全国•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数

y=a(x+l)(x-3)的图象与x轴交于A,8两点(点A在点8的左侧)，与y轴交于C点，顶

点M的纵坐标为T.

(1)直接写出点A的坐标，点B的坐标；

(2)求出二次函数的解析式；

(3)如图1,在平面直角坐标系xQy中找一点。，使得AACD是以AC为斜边的等腰直角三角

形，试求出点。的坐标.

【答案】(1)(-1,0),(3,0)

(2)y=x2-2x-3；

⑶£)(1,一1)或(一2,-2).

【分析】(1)通过解方程a(x+l)(x-3)=0可得4、8点的坐标；

(2)先确定抛物线的顶点坐标为。，-4),然后把顶点坐标代入y=a(x+l)(x-3)求出.即

可；

(3)先确定C(0,-3),设。(尤，y),利用两点间的距离公式得到AC,=10,DC2=x2+(y+3)2,

Ar>2=(x+iy+y2,再根据等腰直角三角形得到2卜2+(>+3门=10,2[(X+1)2+/]=10,

然后解方程组得到。点坐标.

【详解】(1)解：当y=0时a(x+l)(x-3)=0,

解得人=-L%=3,

A(-LO),3(3,0)；

故答案为：(-1，0),(3,0)；

(2)解：•••抛物线的对称轴为直线x=l,

抛物线的顶点坐标为(1，-4),

把。，一4)代入y=a(x+l)(x_3)得a(l+l)(l_3)=T,解得a=l,

y=(x+l)(x-3),

即y=x2-2x-3；

(3)解:当x=0时，y=x2—2x—3=—3,则C(0,—3),

设。(x,y),

AAC2=l2+32=10,DC2=x2+(y+3)2,AD2=(x+l)2+y2,

「△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，

/.2[尤2+(y+3y]=10,2[(x+l)2+y2]=10,

解得x=i,y=-1或x=-2,y=-2,

D(l,—1)或(-2,-2).

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数

的性质、等腰直角三角形的性质；理解坐标与图象的性质，记住两点间的距离公式.

17.(2022•全国•九年级专题练习)在平面直角坐标系中，二次函数＞=双、云+2的图象与x

轴交于A(-3,0),3(1,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的关系解析式；

(2)在平面直角坐标系中，是否存在点Q,使△BCQ是以8C为腰的等腰直角三角形？若存

在，直接写出点。的坐标；若不存在，说明理由

24

【答案】⑴丫=-宁2-耳彳+2

(2)存在，(2,3),(3,1),(—1)—1)!(—2,1)

【分析】(1)将点A(-3,0),3(1,0)代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；

(2)以2C为边在两侧作正方形BCQ&、正方形3CQ2，则点9,2，Qv2为符合题意

要求的点.过2点作轴于点。，过点。2作无轴于点E，证明A。。。也ACB。，

得出2(2,3),2(-2,1)同理证明ACBO之ABQ*得出03(T，T)，。式一2,1),即可求解.

【详解】(1)解：•••抛物线丫=加+法+2过点4(-3,0),3(1,0),

.10=9。-36+2

'*I0=a+b+2

2

a=——

解得?

b=——

I3

74

，二次函数的关系解析式为y=-1无2-§X+2；

(2)解:如图2所示，以8C为边在两侧作正方形8a22、正方形BC2Q”则点

2,2，。3,。4为符合题意要求的点.过。点作轴于点O,过点。2作Q/，无轴于

点E,

VZl+Z2=90°,N2+N3=90。，Z3+Z4=90°,

Z1=Z3,Z2=Z4,

在与ACBO中，

"Z1=Z3

,QXC=BC,

.N2=N4

：.xgCD=^CBO,

AQlD=OC=2,CD=OB=1,

：.OD=OC+CD=3,

同理可得Q&(-2,1)；

同理可证ACBO0ABQE,

BE=OC=2,Q2E=OB=1,

：.OE=OB+BE=l+2=3,

，Q(3,1),

同理，03(T，T)，

存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.

。点坐标为:2(2,3),Q2(3，D，e3(-L-l),Q(-2,1).

【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式、全等三角

形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大.

13

18.(2022•全国•九年级专题练习)如图，已知二次函数＞=一/--%-4的图象与y轴交于

42

点C,与X轴交于A、8两点，其对称轴与X轴交于点。.

(1)点C的坐标为,点B的坐标为；

(2)连接3C,在线段5c上是否存在点E,使得△ED5为等腰三角形？若存在，求出所有符

合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

【答案】(1)(。，T),(8,0)；

(2)(0)-4),(8-2A/5,-A/5),[?，一二]

【分析】(1)分另U将尤=0、y=o代入函数解析式，求解即可；

(2)求出直线3c的解析式，分三种情况讨论BD=£B、ED=BE,BD=DE,分别求解

即可.

【详解】⑴解：y=-1x2-^3x-4,

42

当x=0时，y=T,C(0,-4),

i3

当y=0时，―i=0,

42

整理得：x2-6x-16=0,

变形得：(x-8)(x+2)=0,

解得士=-2,马=8,

2(8,0)

故答案为：(0,-4),(8,0)

(2)C(0,-4),B(8,0),

设5c解析式为y=Ax+"把C、5坐标代入得,

(b=-4

\Sk+b=O"

b=-4

解得<1,

k=—

I2

2c解析式为〉=gx-4,

△EZ)3为等腰三角形，点E在线段BC上，设E(x,(x-4),0(3,0),

以D3为底边，作30中垂线与2C交点为E,x=1(3+8)=5.5,^x-4=^x5.5-4=--,

2''224

当BD=£B=5时8E=J(8—=5,

(X-8)2=20,

x=8-2q或x=8+2退舍去，

一尤—4=4—^5—4=—,

2

E(8-2A/5,->/5)，

△£E>3为等腰三角形符合条件的点E的坐标为：（0,-4）,（8-26，-如），（蓝，-|j；

【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了二次函数与坐标轴的交点，等腰三

角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数基础性质，学会利用分类讨论的思想求解问题.

19.（2022・全国•九年级专题练习）如图，已知二次函数y=aV+bx+3的图象交x轴于点41,0）,

3（3,0）,交y轴于点C.

⑴求这个二次函数的表达式；

（2）直线》="分别交直线和抛物线于点M,N,当ABMN是等腰三角形时，直接写出机

的值.

【答案】⑴y=f-4x+3；

(2)机的值为0,一④，1,2

【分析】(1)根据待定系数法求解即可；

(2)分■MN=BM,BN=MN,BAf=3N三种情况讨论即可.

【详解】(1)解：将41,0),8(3,0)代入函数解析式，得

ja+b+3=0

9Q+3b+3