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文档简介

专题42二次函数中的特殊三角形问题

【题型演练】

一、单选题

1.(2021・四川成都•一模)如图,二次函数y=+桁+c(4*0)图象的顶点为。,其图像与

无轴的交点A、8的横坐标分别为-1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面四个结论中:

_1

@a=--c;

③只有当a=g时,△ABD是等腰直角三角形;

④使AACB为等腰三角形的。值可以有两个.其中正确的结论有

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】先根据图象与x轴的交点48的横坐标分别为-1,3确定出AB的长及对称轴,

再由抛物线的开口方向判断。与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断。与。的关系,然后

根据对称轴及抛物线与无轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.

【详解】解:①由抛物线的开口方向向上可推出。>0,

:图像与无轴的交点A、2的横坐标分别为-1,3,

对称轴x=l,

・••当x=l时,y<0,

a+b+cVO;

故①正确;

②•・•点A的坐标为(-1,0),

••(X~。+c0,

又,:b=-2m

.,.6/-(-2a)+c=0,

・・c~~~3a,

._1

••a=—c

3

...结论②正确.

③如图1,连接A£>,BD,作轴于点E,

要使△ABD是等腰直角三角形,

则ZADB=9Q°,

:OE_L无轴,

...点E是AB的中点,

:.DE=BE,

即产c-%=lzUl=2,

4〃2

又■:b=-2a,c--3〃,

,|4。*(-34)(-24)a>o,

4〃

解得〃=g,

•••只有当时,△48。是等腰直角三角形,

结论③正确

④要使△ACB为等腰三角形,

则4B=BC=4,AB=AC=4,或AC=8C,

I、当AB=BC=4时,

在RtAOBC中,

V0B=3,BC=4,

OC2=BC2-0序=42-32=16-9=7,

即"7,

1/抛物线与y轴负半轴交于点C,

.*.c<0,c=S,

II、当AB=AC=4时,

在RtAOAC中,

VOA=1,AC=4,

OC2=AC2-OA2=42-12=16-1=15,

即C2=15,

•・•抛物线与y轴负半轴交于点C,

.*.c<0,c--y/15,

.Cy/15

••Cl==---.

33

IIL当AC=BC时,

丁OC.LAB.

・••点。是A3的中点,

:.AO=BO,

这与AO=1,5。=3矛盾,

・・・AC=5C不成立.

...使AACB为等腰三角形的。值可以有两个:立、巫.

33

结论④正确.

故答案选:D

【点睛】二次函数y=0+6x+c系数符号的确定:(1)。由抛物线开口方向确定:开口方向

h

向上,则。>0;否则。<0;(2)b由对称轴和。的符号确定:由对称轴公式x=-丁判断符,

(3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0;(4)b2-4ac

由抛物线与x轴交点的个数确定:①2个交点,b2-4ac>0;②1个交点,b2-4ac=0;③没

有交点,b2-4ac<0.

2.(2022•浙江•九年级专题练习)如图,抛物线y=V-2彳-3与>轴交于点C,点。的坐标

为(0,-1),在第四象限抛物线上有一点P,若△PCD是以C。为底边的等腰三角形,则点

P的横坐标为()

A.1+y/2B.1—y/2

C.V2-1D.1—g或1+夜

【答案】A

【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标,再求出CO中点的纵坐标,然后根据等腰三角

形三线合一的性质可得点尸的纵坐标,然后代入抛物线求解即可.

【详解】令尸。,则y=-3,

所以,点C的坐标为(0,-3),

•.•点D的坐标为(0,-1),

线段CD中点的纵坐标为二9=-2,

「△PC。是以CQ为底边的等腰三角形,

...点P的纵坐标为-2,

.".X2-2X-3=-2,

解得,X2=1-,

•.•点P在第四象限,

•••点P的横坐标为1+后.

故选:A.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,等腰三角形三线合一的性质,熟记性质

并确定出点P的纵坐标是解题的关键.

3.(2022・全国•九年级专题练习)如图,已知抛物线经过点川-1,0),4(4,0),与y轴交于

点C(0,2),P为AC上的一个动点,则有以下结论:①抛物线的对称轴为直线x=];②抛

物线的最大值为苫;③NACB=90。;④。尸的最小值为逑.则正确的结论为()

85

【分析】①由抛物线经过点3(-1,0),A(4,0)可得对称轴;②用待定系数法求出抛物线的函

数关系式,再求其最大值即可;③由抛物线求得4B、C的坐标,再求出BC,AC和AB,

由勾股逆定理即可得到NAC3是直角;④当。尸,AC时,OP取最小值,根据等面积求得

。尸即可.

【详解】解:..•抛物线经过点3(-1,0),4(4,0),

3

•1•抛物线的对称轴为直线%=

故①正确;

设抛物线关系式为:y=a(x+l)(x-4),

\•抛物线经过点C(0,2),

-4a=2,解得:a=——,

ii3

・•・抛物线关系式为:y———(x+l)(x—4)=+―-^+2,

313325

,当%=彳时,y有最大值=--x(―+1)x(~-4)=,

2222X

故②错误;

・••点3坐标为(-1,0),点A坐标为(4,0),

:.AB=5.

当x=0时,y=2,

・••点C坐标为(0,2),

JBC=J(-l-O1+(0—2)2二遥,人。:0)2+(0—2)2:,

・.・BC2+AC2=(后2+(2后)=25=6,

•••△A3C是直角三角形,且NAC5=90。,

故③正确;

当。尸_LAC时,O尸取最小值,

此时根据三角形的面积可得(。4-0C=1AC-0P,

22

-X2X4=-X2A/5XOP,

22

解得0P=迪,

5

,。产的最小值为逑.

5

故④正确;

故正确的有:①③④,

故选:D.

【点睛】此题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点,两点距离公式,等面积求高,解决此题

的关键是根据三角形的面积得。尸的长.

4.(2022•浙江・温州绣山中学九年级期中)如图,抛物线与x轴交于点A,B,与>轴交于

点G,正方形COE产的边CD在x轴上,E,尸在抛物线上,连结G4,GB,AABG是正三

角形,AB=2,则阴影部分的面积为()

【答案】D

【分析】设血交8G于点H,根据正方形与抛物线的对称性,可得阴影部分面积为2s梯形Go.,

先求得抛物线的解析式为y=-瓜2+若,待定系数法求得直线BG的解析式为

>=-氐+百,根据对称性设后(根,2根),进而求得点E的坐标,点H的坐标,即可求解.

【详解】解:如图,设ED交BG于点、H,

AO=BO=1,OG=,松-协=6

.1.G(O,V3),A(-1,O),B(1,O)

设过A,B,G的抛物线解析式为y=ax2+后,

将点A代入,得0=<7+3

a=—A/3

,抛物线解析式为y=-氐2+V3,

..•四边形CDE尸是正方形,且关于y轴对称,

/.OC=OD^-DE

2

设石(加,2M(祖>0),

,/f(m,2m)y=-y/3x2+A/3±,

•*-2m=—5/3^22+A/3,

解得叫==-6(舍去)

VG(0,^),B(l,0),

设直线BG的解析式为y=kx+b,

k+b=0

Jb=6

k=-#)

・•.]b=^

/.直线BG的解析式为y=-氐+73

•/H在DE上,

..•a的横坐标为"

3

代入y=-邪>x+M

得y=-1+百

••・阴影部分面积为2s梯形^=2义;(退一1+6卜#=2—日

故选D

【点睛】本题考查了抛物线的性质,待定系数法求解析式,正方形的性质,等边三角形的性

质,勾股定理,求得点//的坐标是解题的关键.

5.(2020•山东德州•二模)二次函数y=d的函数图象如图,点4位于坐标原点,点

4,4,&,4…在y轴的正半轴上,点瓦,%%%••在二次函数y=v位于第一象限的图象

上,A4修A,AA与a,A483A3,AA3B4A4…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形,

则AA枢A的斜边长为()

A.20B.200C.22D.22V2

【答案】C

【分析】由于必修4,0鸟4,刈&&都是等腰直角三角形,因此可得出直线A4:

y=x,求出与,a的坐标,得出4A的长;

利用A的坐标,得直线4%:y=x+2,求出&坐标,得出A&的长;用同样的的

方法可求得44,…的边长,然后根据各边长的的特点得出一般化规律,求得A。%的长.

【详解】解::等腰直角三角形凹44,4为原点;.••直线44:y=x

...y=x,y=x2,4的坐标为(1,1),则4为(0,2)

44=2

A为(0,2),二直线4与:y=x+2

B2(2,4),AAA,=4,贝I"(0,6)

A(0,6),.,.直线4B3:y=x+6

B3(3,9),AA=6,

由上面AoAi=2,AIA2=4,A2A3=6,可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的

斜边长依次加2

.,.△Al0BnAn的斜边长为2+10x2=22,

综上,由此可以推出A%=22.

故选C.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合题,解题时,利用了二次函数图象上点的坐标特征,

函数的交点,等腰直角三角形性质等知识点,解答此题的难点是推知ATA,的长.

6.(2022・浙江・杭州东方中学九年级阶段练习)小明发现,将二次函数、=以2一6依的图象

在x轴及其上方的部分向右平移得到C2,这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的logo.经

测量,该图案两个顶点间的距离B片与底部跨度。4的比值为2:5,点P是与C?的交点,

若APBBI恰好为等腰直角三角形,则。的值为()

A.—0.5B.—1C.—2D.—2.5

【答案】A

【分析】根据二次函数解析式得到点A坐标,对称轴,根据平移的性质得到BBX=OOi=AA],

设8耳=2x,求出x值,得到平移距离,可得C2的解析式,令%=%求出点P坐标,根据

等腰直角三角形的性质得到2"=;刖:=4+16/,求出。值,根据开口方向得到结果.

【详解】解:***y=a^-6ax=cix^x-6),

:.A(6,0),对称轴为直线x=3,贝ijy=9〃-18〃=—9a,

BBX=OOX-AAj,

设BB[=2x,贝ijOAl=5x,

・.・OOX=BB]=M,

OOX=2x=AAX,

*/0A=5x,

=

••O[Axf

OA=3x=6,

x=2,

移动距离为2x=4,

2

C2:j=^(x-4)-6^(x-4),

22

y2=<7(X-4)-6«(X-4)=加-14ax+40〃,必=ax-6ax,

令%=%,贝Uox2—6ax=ax2—14ax+40a,

Sax=40a,

..尤=5,

:.尸(5,-5。),

BP2=(5—3)+[—5a—(―9a)]=4+16",

/.BP2=;BB;=^x42=4+16a2,

9.•Cl2_-J_,

4

•.•开口朝下,

**.a<09a=—=—0.5.

2

故选A.

八y

5(3,・9a)81(7,-9。)

O2xOi^A2xA\X

【点睛】本题考查了二次函数图像的平移,二次函数的图像和性质,等腰直角三角形的性质,

解题的关键是注意结合图像,求出平移距离.

7.(2022•浙江•九年级专题练习)如图,已知点A(6,2),3(0,1),射线AB绕点A逆时针

旋转30。,与x轴交于点C,则过A,B,C三点的二次函数>=G2+以+1中。,6的值分

5in©]2

A.〃=2,b=—A/3B.a=—,b=------C.a=3,b=—V3D.a=—,b=—V3

326333

【答案】A

【分析】先求出直线AB的函数解析式y=gx+l,再求出点C1-6,0),再根据三角函数

求NAGN=30。,则射线AB绕点A逆时针旋转30。,后NC2AN=30。,利用解直角三角形

求出C2,利用待定系数法即可求出答案4

【详解】解:如图所示,直线交x轴于点C,过点A作ANLx轴交x轴于点N,射线A3

8(0,1),代入,得:

k一2

解得:.3

b=l

”旦+1

-3

.•.点Gf,o)

又•.•4(62)

・AN243

••tan=-----=-产产=—

C1N73+733

NAC]N=30/[]NGAN=90°-30°=60°

•••射线A3绕点A逆时针旋转30。,交无轴于点C?,则NGAG=30。

ZC2AN=ZQAN-ZQAQ=60°-30°=30°

C2?/=tan30°A^=^^

OC2=ON-C2N=^-

VA(V3,2),3(0,1),C2,0代入>=以2+法+]

a=2

解得:b=N'

+1

故选:A.

【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、解直角三角形的综合题目,能构造直角三角形是

解答此题的关键.

二、填空题

8.(2022・全国•九年级课时练习)如图,抛物线y=-Y-6x-5交x轴于A、B两点,交,轴

于点C,点。(加机+1)是抛物线上的点,则点。关于直线AC的对称点的坐标为.

【答案】(—5,—4)或(0,1)

【分析】先求出A、B、C、。的坐标,再将点。代入抛物线的解析式,得出7〃的值,确定D

的坐标,再根据点。的坐标分情况画图求解,即可求出点。关于直线AC的对称点坐标.

【详解】解:;抛物线>=-犬-6了-5交x轴于A、3两点,交》轴于点C,

••当y=_尤2_6x_5=0日寸,&=—1,无2=—5,

当x=0时,y=-5,

:.A(-5,0),B(-l,0),C(0,-5),

OA=OC=5,

ZACO=ZOAC=45°,

•.•。(/〃z+l)是抛物线上的点,

"2+1=—nr—6m-5,

解得〃(=T,m2=-6,

.,.当相=—1时,_D(—1,0),

当〃?=-6时,<0(-6,-5),

①当£)(-!,0)时,此时点D与点B重合,

如图1,设点。关于直线AC对称点为ZX,连接47,

:点。与点D关于直线AC对称,

AC是的垂直平分线,

AB=AD'=-l-(—5)=4,且NOAC=NC4D'=45°,

/OAZ7=90°,

/.。(-5,-4);

②当0(-6,-5)时,

,CD〃x轴,

ZACD=ZOAC=45°

如图2,设点。关于直线AC的对称点为M,连接8,

1/点。关于直线AC的对称点为M,

:.AC是DM的垂直平分线,

/.ZACD=ZACM=45°,DC=CM,

在y轴上,且△DCM是等腰直角三角形,

DC=CM=6,

:.OA/=CM-OC=6—5=1,

/.M(0,l).

综上可得:点D关于直线AC的对称点的坐标为(-5,-4)或(0,1).

故答案为:(-5,-4)或(0,1)

【点睛】本题考查了二次函数的性质,等腰直角三角形的判定与性质,轴对称的性质,熟练

掌握二次函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键.

9.(2022.浙江.宁波市第七中学九年级阶段练习)已知:如图,抛物线的顶点为平行于

x轴的直线与该抛物线交于点A,2(点A在点B左侧),我们规定:当A/VWB为直角三角形

时,就称AAMB为该抛物线的“优美三角形”.若抛物线>=办2+区+6的“优美三角形”的斜

边长为4,求°的值______.

【答案】

2

【分析】设抛物线的顶点式,根据“优美三角形”的条件得AAMB为等腰直角三角形,得

AC=BC=MC=2,从而得出点B的坐标,将点6的坐标代入顶点式表达式即可求解.

【详解】解:设抛物线的顶点的坐标为M(九〃),

,抛物线的顶点式为:y=a(x-m)2+n,

又抛物线y=ax2+bx+6的“优美三角形”,

;.AABM为直角三角形,

根据抛物线的对称性质,可知A"=加0,

.1△ABM为等腰直角三角形,

设与对称轴交于点C,如图,

■.­AB=4,

:.AC=BC^MC=2

3(机+2,〃+2)或3(机+2,〃一2),

n+2=a(m+2—m)2+〃或〃—2=a(jn+2—m)2+n,

..a=—1或.a=1,

22

故答案为:±万.

【点睛】此题考查了二次函数的综合应用,正确理解新定义“优美三角形”、熟练掌握二次函

数的顶点式、图像的对称性质以及图像上点的特征是解答此题的关键.

10.(2022・全国•九年级课时练习)如图,抛物线y=%2—2g+2加-1与X轴交于A、3两点,

且点A、8都在原点右侧,抛物线的顶点为点尸,当△树为直角三角形时,加的值为.

【答案】2

【分析】设点A(X/,yO,B(孙>2),贝A5=IX2-xjI,求出点尸(m,-(m-1)2),由抛

物线的对称性知AAB尸为等腰直角三角形,建立方程I九2mI=2(m-1)2,根据根与系数关

系可求得加值.

【详解】解:设点A(X/,山),B(%2,72),则IX2-X1I,

令产。得/一2mx+2m-1=0,

222

•\xi+x2=2mfxrX2=2m-lf贝ljIX2-X1I=4m-8m+4=4(m-1),

由抛物线y=%2-2的+2加一1=(x-m)2—(m-1)2得顶点坐标为p(m,-(m-1)2),

抛物线的对称性知△A5尸为等腰直角三角形,

IX2-X1I=2(m-1)2,

即4(m-1)2=4(m-1)4,

解得:m=2或m=0或m=l,

•・•抛物线y=V-2mx+2m-1与%轴交于A、8两点,且点A、3都在原点右侧,

.•.2根>0且根#1且2根-1>0,即根■且相

••771=2,

故答案为:2.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、

解高次方程等知识,熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.

11.(2020・北京延庆.九年级期中)如图,正方形0ABe的顶点B恰好在函数、=改2(。>0)的

图象上,若正方形。4BC的边长为四,且边OA与x轴的正半轴的夹角为15。,贝壮的值为

【答案】坦

【分析】作瓦Ux轴,连接。2,根据正方形性质可知。4=。8,NA=90。可得/8。。=60。,

再由勾股定理即可得B(1网,将点B代入;y=ax2(a>0)即可求解;

【详解】解:作8。,龙轴,连接。B,

ZAOB=45°,

':ZAOD=15°,

:.ZBOD=60°,

OB=y/OA2+AB2=5/后+后=2

,O£)=cos60°-OB=-x2=l,BD=sin60°BB=—x2=^

22

/.蜘❷,

将点8代入丁="2(。>0)得,

A/3=a-l2>

解得:a=A/3.

故答案为:6

【点睛】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质,正确做出辅助线,利用特

殊角,应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键.

12.(2021•山东滨州.九年级期末)二次函数>=耳/的图象如图所示,点4位于坐标原点,

2

点A/,A2,Aj,A202/在y轴的正半轴上,点&,&,&02/在二次函数y二§%2

位于第一象限的图象上,若△AoB/A/,△A1B2A2,△A233A3,…,△A2020&02/A202/都为等边

三角形,则4A2020B2021A2021的边长=.

【分析】分别过3人&,当作y轴的垂线,垂足分别为A、B、C,设AoA/=。,AiA2=b,A2A3=c,

贝=BB2=g~b,再根据所求正三角形的边长,分别表示S,B,B

CB3=^C,23

222

2

的纵坐标,逐步代入抛物线中,求服。的值得出规律.

【详解】解:分别过&,&作y轴的垂线,垂足分别为A、B、C.

设AoA尸",A]A2=b,A2A3二c,

•••△AoBA/是等边三角形,

9=144,

AB】=J&B;_4A2=,

同理可得8&=且6,CB3=­C,

22

4

|),代入中,得£=:.(ga)2,解得:斫1或斫0(舍

・••在正^AoBiAi中,4

去),即

在正△A!B2A2中,&(争,1+|),代入y=宁中,得1+_|=|.(争)2,解得:b=2或b=-l(舍

去),即A*2=2,

在正△A283A3中,Bs(—c,3+g),代入中,得3+-|=-|*(—c)2,解得:c=3或c=2(舍

去),即44=3,

.,.可以推出AnAn+i=n+1,

由此可得^A2020B2021A2021的边长=2021.

故答案为:2021.

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据正三角形的性质表示点的坐标,利用

抛物线解析式求正三角形的边长,得到规律.

13.(2022・山东.日照市高新区中学一模)二次函数y=f的函数图象如图,点Ao位于坐标

原点,点4,A2,A5,4,…在y轴的正半轴上,点B/,B2,B3,反,…在二次函数y=V

位于第一象限的图象上,AAoBiAi,AAIB2A2,AA2B3A3,AA3B4A4...,都是直角顶点在抛

物线上的等腰直角三角形,则4AioBnAn的斜边长为.

【分析】过点&,B3,…分别作y轴的垂线,垂足分别为C、D、E...,分别写出

直线&瓦、4团、人,片的解析式,将它们与>=/联立,求得点3,历,/的坐标,从而可

得4A=2,A4=4,44=6,得到规律这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜

边长依次加2,据此解题.

【详解】解:如图,过点氏,&,B3,均,…分别作y轴的垂线,垂足分别为C、D、E...

Ao£

■■^AoBiAi,△A1B2A2,AA2B3A3,LA3B4A4...,都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角

形,

\?耳4A?当44?B3A,A345?

••・4瓦所在的直线为'=%

,ty=x,曰2

由12得无之=X

'ty=x

x(x—1)=0

*>X]—0,x?—1

\A)A=2B|C=2

\A(0,2)

:•直线4为为y=x+2,

fy—x+2

同理,由jy=/解得'与(2,4)

\A4=23/=4

\A(0,6)

直线人为为y=x+6,

ty=x+6

由上,解得鸟(3,9)

1产无

\A,A3=2B3E=6

\4(0,6)

由44=2,44=4,=6…可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜

边长依次加2,

AA10B11A11的斜边长2+10x2=22,

故答案为:22.

【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合题,涉及等腰直角三角形、解二元一次方程组等

知识,是重要考点,有难度,掌握相关知识是解题关键.

三、解答题

14.(2022・广东.广州市第八十九中学九年级期中)如图,在平面直角坐标系中,“45C是直

角三角形,ZACB=90°,AC^BC,OA=1,OC=4,抛物线y=o?+至-34经过A,B

两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点E是直角AABC斜边上一动点(点A,B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点尸,

当线段EF的长度最大时,求点E、F的坐标;

(3)在(2)的条件下:在抛物线上是否存在一点P,使是以防为直角边的直角三角

形?若存在,直接写出所有点尸的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】⑴尸/一2%-3

⑵点"[I线点77g5

⑶存在,片1一字,]

,4+冬1

7

【分析】(1)根据AC=3C,求出3c的长,进而得到A,8的坐标,利用待定系数法即可

求得抛物线的解析式;

(2)利用待定系数法求出直线A3的解析式,用含加的式表示出E、尸的坐标,求出所的

长度最大时机的值,即可求得E、尸的坐标;

(3)分两种情况,/尸£尸=90。和/耳声=90。时,分别求得点尸的坐标,将纵坐标代入抛

物线解析式,即可求得点尸的值.

【详解】(1)解:vAC^BC,OA=\,OC=4,

AA(-1,O),C(4,0),

/.BC=5,3(4,5),

a—b—3。=0

把A,B代入)=加+次-3a得:

16〃+4万-3a=5'

a=1

解得:

b=-2f

A抛物线解析式为y=x2-2x-3;

(2)•.•直线A3经过点A(TO),5(4,5)

设直线A3的解析式为:y=kx+c

-k+c=O

把A,B代入代入得:

4k+c=5

k=l

解得:

c=l

直线A3的解析式为:y=x+l

•••过点E作x轴的垂线交抛物线于点尸,

设E点横坐标为机,点E在线段A3上(点A,B除外),

.,.点E(7",7"+l),(-1<m<4)

,点尸横坐标为机,点尸在抛物线上,

・••点F(^m,m2-2m-3),

据图知:点E在点F上方,

:•EF=+—2m—3)=-m2+3m+4=-[m——

I2

325

—<。,开口向下,所有最大值,当“二时,政的最大值为彳.

.•・加+。=*,915

1=m92-2m-3=—3-3

224~4

35,点唱15

•••点E

252

(3)①当NEEP=90。时,点。的纵坐标为

2

即m=|,解得…=1+半’”=1一早,

./1_鼻、

12'2

7

②当HP=9。。,点尸的纵坐标为卡,

1513

即丁一2彳一3=-寸,解得匕=5,%=5(舍去)

•••点呜

综上所述,存在点尸,使△即P是以E尸为直角边的直角三角形,点尸的坐标为1-丫厂,5

V26*'£_15

或1+或2,-T

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,直角三角形的性质,解题的关键是掌握

二次函数的性质和分类讨论思想.

15.(2022・全国•九年级专题练习)如图,抛物线>=内2-弧-3与x轴交于点A、C,交y轴

于点8,OB=OC=3OA.

(1)求抛物线的解析式及对称轴方程;

(2)如图,连接AB,点M是对称轴上一点且在第四象限,若AAMB是以为底角的等

腰三角形,求点M的坐标;

【答案】(1)抛物线的解析式为y=—-2x-3,对称轴方程为x=l;

⑵M坐标为(1,一#)或(1,-1)

【分析】(1)根据抛物线的解析式得出以0,-3),08=3,再由已知条件确定4(-1,0)、C(3,0),

利用待定系数法确定函数解析式,然后化为顶点式,即可确定对称轴;

(2)设根据坐标系中两点间的距离公式得出

MA1=4+m2,MB2=l+(m+3)\AB2=l+32=10,然后分两种情况:①若=②若

MB=MA,分别求解即可.

【详解】(1)解:在y=ax?-6x-3中,令x=0得y=-3,

5(0,-3),

03=3,

•/OB=OC=3OA,

:.OA=1,OC=3,

:.A(-l,0)>C(3,0),

把A(-LO)、C(3,0),代入y=-"一3得:

fa+b-3=0

|9«-3Z?-3=0,

抛物线的解析式为y=J-2x—3,

ffi]y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

对称轴方程为x=l;

(2)解:设M(l,机),而A(T,0)、C(3,0),

AMA2=4+m2,MB?=1+(〃2+3)2,.=1+32=10,

AAMB是以/MBA为底角的等腰三角形,

分两种情况:

①若=则肱12=帅2,如图:

*,•4+m2=10,

解得m=任或机=-瓜,

VM是对称轴上一点且在第四象限,

**.M(1,-,

②若"B=M4,则MA2=Mg2,如图:

4+m2=l+(m+3)2,

解得m=-l,

AM(1,-1),

综上所述,M坐标为(1,-")或

【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题,包括利用待定系数法确定函数解析式,确定特

殊图形的坐标及等腰三角形的定义等,理解题意,熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

16.(2022.全国•九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数

y=a(x+l)(x-3)的图象与x轴交于A,8两点(点A在点8的左侧),与y轴交于C点,顶

点M的纵坐标为T.

(1)直接写出点A的坐标,点B的坐标;

(2)求出二次函数的解析式;

(3)如图1,在平面直角坐标系xQy中找一点。,使得AACD是以AC为斜边的等腰直角三角

形,试求出点。的坐标.

【答案】(1)(-1,0),(3,0)

(2)y=x2-2x-3;

⑶£)(1,一1)或(一2,-2).

【分析】(1)通过解方程a(x+l)(x-3)=0可得4、8点的坐标;

(2)先确定抛物线的顶点坐标为。,-4),然后把顶点坐标代入y=a(x+l)(x-3)求出.即

可;

(3)先确定C(0,-3),设。(尤,y),利用两点间的距离公式得到AC,=10,DC2=x2+(y+3)2,

Ar>2=(x+iy+y2,再根据等腰直角三角形得到2卜2+(>+3门=10,2[(X+1)2+/]=10,

然后解方程组得到。点坐标.

【详解】(1)解:当y=0时a(x+l)(x-3)=0,

解得人=-L%=3,

A(-LO),3(3,0);

故答案为:(-1,0),(3,0);

(2)解:•••抛物线的对称轴为直线x=l,

抛物线的顶点坐标为(1,-4),

把。,一4)代入y=a(x+l)(x_3)得a(l+l)(l_3)=T,解得a=l,

y=(x+l)(x-3),

即y=x2-2x-3;

(3)解:当x=0时,y=x2—2x—3=—3,则C(0,—3),

设。(x,y),

AAC2=l2+32=10,DC2=x2+(y+3)2,AD2=(x+l)2+y2,

「△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形,

/.2[尤2+(y+3y]=10,2[(x+l)2+y2]=10,

解得x=i,y=-1或x=-2,y=-2,

D(l,—1)或(-2,-2).

【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数

的性质、等腰直角三角形的性质;理解坐标与图象的性质,记住两点间的距离公式.

17.(2022•全国•九年级专题练习)在平面直角坐标系中,二次函数>=双、云+2的图象与x

轴交于A(-3,0),3(1,0)两点,与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的关系解析式;

(2)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以8C为腰的等腰直角三角形?若存

在,直接写出点。的坐标;若不存在,说明理由

24

【答案】⑴丫=-宁2-耳彳+2

(2)存在,(2,3),(3,1),(—1)—1)!(—2,1)

【分析】(1)将点A(-3,0),3(1,0)代入解析式,待定系数法求解析式即可求解;

(2)以2C为边在两侧作正方形BCQ&、正方形3CQ2,则点9,2,Qv2为符合题意

要求的点.过2点作轴于点。,过点。2作无轴于点E,证明A。。。也ACB。,

得出2(2,3),2(-2,1)同理证明ACBO之ABQ*得出03(T,T),。式一2,1),即可求解.

【详解】(1)解:•••抛物线丫=加+法+2过点4(-3,0),3(1,0),

.10=9。-36+2

'*I0=a+b+2

2

a=——

解得?

b=——

I3

74

,二次函数的关系解析式为y=-1无2-§X+2;

(2)解:如图2所示,以8C为边在两侧作正方形8a22、正方形BC2Q”则点

2,2,。3,。4为符合题意要求的点.过。点作轴于点O,过点。2作Q/,无轴于

点E,

VZl+Z2=90°,N2+N3=90。,Z3+Z4=90°,

Z1=Z3,Z2=Z4,

在与ACBO中,

"Z1=Z3

,QXC=BC,

.N2=N4

:.xgCD=^CBO,

AQlD=OC=2,CD=OB=1,

:.OD=OC+CD=3,

同理可得Q&(-2,1);

同理可证ACBO0ABQE,

BE=OC=2,Q2E=OB=1,

:.OE=OB+BE=l+2=3,

,Q(3,1),

同理,03(T,T),

存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.

。点坐标为:2(2,3),Q2(3,D,e3(-L-l),Q(-2,1).

【点睛】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数解析式、全等三角

形的判定与性质,正方形及等腰直角三角形的性质等知识,涉及面较广,难度较大.

13

18.(2022•全国•九年级专题练习)如图,已知二次函数>=一/--%-4的图象与y轴交于

42

点C,与X轴交于A、8两点,其对称轴与X轴交于点。.

(1)点C的坐标为,点B的坐标为;

(2)连接3C,在线段5c上是否存在点E,使得△ED5为等腰三角形?若存在,求出所有符

合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;

【答案】(1)(。,T),(8,0);

(2)(0)-4),(8-2A/5,-A/5),[?,一二]

【分析】(1)分另U将尤=0、y=o代入函数解析式,求解即可;

(2)求出直线3c的解析式,分三种情况讨论BD=£B、ED=BE,BD=DE,分别求解

即可.

【详解】⑴解:y=-1x2-^3x-4,

42

当x=0时,y=T,C(0,-4),

i3

当y=0时,―i=0,

42

整理得:x2-6x-16=0,

变形得:(x-8)(x+2)=0,

解得士=-2,马=8,

2(8,0)

故答案为:(0,-4),(8,0)

(2)C(0,-4),B(8,0),

设5c解析式为y=Ax+"把C、5坐标代入得,

(b=-4

\Sk+b=O"

b=-4

解得<1,

k=—

I2

2c解析式为〉=gx-4,

△EZ)3为等腰三角形,点E在线段BC上,设E(x,(x-4),0(3,0),

以D3为底边,作30中垂线与2C交点为E,x=1(3+8)=5.5,^x-4=^x5.5-4=--,

2''224

当BD=£B=5时8E=J(8—=5,

(X-8)2=20,

x=8-2q或x=8+2退舍去,

一尤—4=4—^5—4=—,

2

E(8-2A/5,->/5),

△£E>3为等腰三角形符合条件的点E的坐标为:(0,-4),(8-26,-如),(蓝,-|j;

【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用,涉及了二次函数与坐标轴的交点,等腰三

角形的性质,解题的关键是熟练掌握二次函数基础性质,学会利用分类讨论的思想求解问题.

19.(2022・全国•九年级专题练习)如图,已知二次函数y=aV+bx+3的图象交x轴于点41,0),

3(3,0),交y轴于点C.

⑴求这个二次函数的表达式;

(2)直线》="分别交直线和抛物线于点M,N,当ABMN是等腰三角形时,直接写出机

的值.

【答案】⑴y=f-4x+3;

(2)机的值为0,一④,1,2

【分析】(1)根据待定系数法求解即可;

(2)分■MN=BM,BN=MN,BAf=3N三种情况讨论即可.

【详解】(1)解:将41,0),8(3,0)代入函数解析式,得

ja+b+3=0

9Q+3b+3

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