指数与指数函数（考点清单+知识导图+15个考点清单与题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期（人教A版必修第一册）

清单07指数与指数函数

(个考点梳理+题型解读+提升训练)

考点侪单

指数与指数函数

【清单01】整数指数塞

1、正整数指数哥的定义："=gaa：aaa八其中，成N*

"个

2、正整数指数塞的运算法则：

①•屋=产"(m,neN*)

②a"'+a"=a"'f(a/0,m>n,m,n^N*)

③("=产(m,neN*)

@(aby^ambm(meN*)

m

@(-)m=—(bMmeN*1

bb",

【清单02】根式

1、"次根式定义：

一般地，如果x"=a，那么x叫做。的〃次方根，其中〃>1,且〃eN*.

特别的：

①当"是奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的九次方根是一个负数.这时，。的〃次方根用符号表

示标.

②当〃是偶数时，正数的〃次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数。的正的几次方根用符号标

表示，叫做a的,次算术根；负的，次方根用符号-折表示.正的〃次方根与负的〃次方根可以合并写成

土标(a>0).

③负数没有偶次方根；

④。的任何次方根都是0,记作而=0

2、根式：

式子标叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开方数.

在根式符号后中，注意：

①〃>1,ne2V*

②当〃为奇数时，而对任意aeR都有意义

③当〃为偶数时，而只有当a20时才有意义.

3、«石)"与防"的区别：

①当"为奇数时，(正)"=a(aeH)

②当〃为偶数时，(呵=a(a>0)

③当“为奇数时，且〃>1,=a

④〃为偶数时，且“>1,=\a\=[a，a~0

-a,a<0

【清单03】分式指数幕

m___

1、正数的正分数指数易的意义是(a〉0,m,neN*,〃>1)于是，在条件。>0,

m,neN\〃>1下，根式都可以写成分数指数塞的形式.

--11

2、正数的负分数指数塞的意义与负整数指数嘉的意义相仿，我们规定，a"=-==(。>(),

〃〃77]a

m,n&N*,>1).

3、0的正分数指数暴等于0,0的负分数指数幕没有意义.

【清单04]有理数指数塞

①(a>0,r,seQ)

②(a>0,r,seQ)

③(ab)，=aE(a>0,b>0reQ)

知识点05：无理数指数塞

①a"=cT'(a>0,r,seR)

②(a>0,r,seR)

③(ab)，=aE(a>Q,b>0rGR)

【清单05】指数函数的概念

1、一般地，函数了=优(。>0,且awl)叫做指数函数，其中指数x是自变量，底数。是一个大于0且不等

于1的常量，定义域是R.

2、学习指数函数的定义，注意一下几点

(1)定义域为：R

(2)规定。>0,且awl是因为：

①若a=l,则丁=优三1(恒等于1)没有研究价值；

②若a=0,则x>0时，y=/三0(恒等于0),而当xWO时，优无意义；

③若a<0,则中加为偶数，〃为奇数时，”无意义.

④只有当0<。<1或。>1时，即a>0,且awl,x可以是任意实数.,只有一个自变量

(3)函数解析式形式要求：系数《、底数大于0且不等于1

指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①小

的系数必须为1；②底数为大于。且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含

自变量的多项式.

【清单06】指数函数的图象与性质

1、函数y=a'(a>0,且awl)的图象和性质如下表：

底数a>l0<〃<1

y\y=ax丁

y=ax

图象

y=i

(0,1)

(0,1)

oX

0X

定义域R

值域(0,+co)

定点图象过定点(。,1)

性

单调性增函数减函数

质当%>0时，ax>1当x＞0时，0＜々，＜1

函数值的当x=0时，ax=1当x=0时，ax=l

变化情况

当x<0时，0<a*<l当x＜0时，ax＞1

对称性

函数y=优与y=（-）A的图象关于,轴对称

a

2、指数函数y=a%a〉O且awl）的底数。对图象的影响

观察图象，我们有如下结论：

2.1.底数。与1的大小关系决定了指数函数了=相（。＞0且口/1）图象的“升”与“降”.

（1）当。＞1时，指数函数的图象是“上升”的，且当x＞0时，底数。的值越大，函数的图象越“陡”，

说明其函数值增长的越快.

（2）当0＜。＜1时，指数函数的图象是“下降”的，且当光＜0时，底数。的值越小，函数的图象越“陡”，

说明其函数值减小的越快.

2.2.底数。的大小决定了图象相对位置的高低：不论是。＞1还是底数越大，在第一象限内的函

数图象越“靠上”.

在同一平面直角坐标系中，底数。的大小决定了图象相对位置的高低；

在V轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；

在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；

【清单07】指数函数的定义域与值域

1、定义域：

（1）指数函数了=优（。〉0且awl）的定义域为R

（2）y=afM（a＞0且。牛1）的定义域与函数y=f（x）的定义域相同

（3）y=/（优）的定义域与函数y=/（%）的定义域不一定相同.

2、值域

（1）指数函数v=a\a>0且a主1）的值域为（0,+co）

（2）求形如y=〃⑶的函数的值域，先求/（%）的值域，然后结合了=罐（。〉0且。彳1）得性质确定

y=afM的值域

（3）求形如>=/（相）的值域，转化为先求/=优（。〉0且awl）的值域，再将f的取值范围代入函数

y=/«）中.

【清单08】指数函数的图象变换

已知函数y=ax{a>0且a丰1）

1、平移变换

@y=ax向上平移上个单位长度,"°）>y=ax+k

xx

@y=a向下平移4个单位长度5>y=a-k

⑸向左平移个单位长度

x5-\ZyL4-X/I">0）ry_C4-x+h

/T\_x向右平移九个单位长度（%>0）、_x-/z

\3zy-ClTy-CL

2、对称变换

@y=ax关于丫轴对称>y=ax

②y=优关于X轴对称>y=_优

@y=ax关于原点对称>y=-a-x

3、翻折变换

①y=a"膏饕>丁=胪（去掉V轴左侧图象，保留V轴右侧图象；将V轴右侧图象翻折到V轴左侧）

②丁=优合>y="l（保留X轴上方的图象，将X轴下方的图象翻折到X轴上方）

题型侪单

【考点题型一】根式的化简求值

核心方法：①当〃为奇数时，函）"=a（aeR）

②当"为偶数时，班）"=a（a>0）

③当“为奇数时，且〃>1,

④〃为偶数时，且〃>1,"=|。|="'""。八

-a,a<0

【例1】（24-25高一上•上海浦东新•期中）当3<a<6时，化简yla2-6a+9+Va2-14fl+49=.

【答案】4

【知识点】根式的化简求值

【分析】将根式里面进行配方，结合a的范围即可化简.

【详解】因为3<a<7,所以a-3>0,a-7<0,

所以6a+9+Va2-14a+49=J（a-3f+«a-7?=（a-3）+（7-a）=4,

故答案为：4.

【变式1-1]（24-25高一上•江苏徐州•期中）已知。<1,则府加+"=（）

A.-1B.1C.2（z-lD.l-2a

【答案】B

【知识点】根式的化简求值

【分析】根据根式的性质化简求值即可.

【详解】因为。<1,

以Q（a-I）?+国“3—l|+a=l—a+o=l,

故选：B

【变式1-21（多选）（24-25高一上•浙江•期中）下列计算正确的是（）

A.31+VO.Ol=—B.（a，）=a，（a>0）

C.2闻（万-4『°”=4-7rD.«也脏=a（a>0）

【答案】CD

【知识点】根式的化简求值、指数塞的运算

【分析】根据指数易的运算法则即可判断.

【详解】对A,3-1+<01=1+^=^,故A错误；

对B,（a3）2=a6（a>0）,故B错误；

对C,20区（%_4产4=4—%,故C正确；

111

对D,y[ay/a\[a=a^®=a（a>0）»故D正确.

故选：CD.

【考点题型二】分数指数塞的化简求值

核心方法：根据分数指数塞定义

①6=（〃>0,m,neN,n>l）

--11

②""=~诟^（〃>。，m,neN*,几〉1）

【例2】（24・25高一上•天津•期中）计算下列各式:

⑴彳片（其中a>0,结果化为嘉的形式）；

/21「

旅侨-31加

(3)——(a>0,b〉0).

112

—a6b6

3

【答案】⑴/

⑵兀

（3）-9。

【知识点】指数募的运算、分数指数事与根式的互化、指数塞的化简、求值

【分析】（1）根据根式的运算与指数募的运算法则化简即可;

（2）根据根式的性质与指数事的运算法则化简即可；

（3）根据指数塞的运算法则化简即可.

a

1

【详解】（1）原式

a-a2

127171

(2)原式=-H-------1-71—3=----1■兀一3二兀；

88222

卜臣[一3T2一一5

(3)原式=<_\_2=_9凉+5%庐々飞=-9a.

1II

-a6b6

3

【变式2-1]（24-25高一上•广东深圳•期中）计算：（0.25）-。5+（：了一版=

【答案】3

【知识点】分数指数幕与根式的互化、指数塞的化简、求值

【分析】利用指数募的运算法则，结合根式与指数嘉的互化即可得解.

」_1

【详解】(0.25)45+((]_阮=2]2+2V-32s

-3x-5x-

=42+33-25=2+3-2=3-

故答案为：3.

（高一上•福建漳州•期中）计算:

【变式2-2]24-25[2]-(0.125#+(11-近)°=

io

【答案】---

27

【知识点】指数塞的化简、求值

【分析】根据分数指数幕运算法则计算可得结果.

3

【详解】易知原式=:（（。-5）3厂+1=5-（。5厂+1*-2+1=一1|;

19

故答案为：--

【考点题型三】条件求值

核心方法：完全平方公式；立方公式

2211

【例3】（24-25高一上•上海•期中）已知户+£§=5（%>0），那么J+ja等于.

【答案】币

【知识点】指数塞的化简、求值

/_£A22_2［］

【分析】根据X3+x3=x3+x3+2,再结合%>0时，则声即可求解.

\7

］__J_A22_2

（=/+”+2=5+2=7,

因为则户>0,%3〉0，

故产+%,>0，即得户+x§=",

故答案为：币.

【变式3-1］（24-25高一上•宁夏吴忠•期中）（1）已C知lICt一—J3,求下列各式的值：

①a+4一；

②/+a1.

【答案】①7；②47

【知识点】根式的化简求值、指数基的化简、求值

【分析】（1）根据分数指数塞以及根式的运算性质计算出结果；

「工」Y2

①由a+°T=/+”-2求解出结果；②由。2+。-2=（4+。-）--2求解出结果.

【详解】①因为/+/=3,所以1a2+a2>l=9,即〃+QT+2=9,所以Q+QT=7;

CtIH-J,

②由①知“+a-=7,两边平方得/+2+4-2=49,.•.6+0-2=47.

【变式3-2］（24-25高一上•江苏南通•阶段练习）已知。+广匕3,求下列各式的值:

①〃+々一1;

②a土

【答案】（1）7—49；（2）①7；②右

【知识点】根式的化简求值、指数塞的运算、指数塞的化简、求值

【分析】利用平方关系求解.

11（1」丫

【详解】①因为〃5+”7，所以屋+“2,即°+/+2=9,所以”+人=7

U-I-J|=9

\7

（11A1111

②因为a4+a4=a2+a2+2=3+2=5,又因为启+->0,所以万+户一、六

\7

【考点题型四】指数耨的综合运算

【例4】（23-24高一上•天津南开•期中）计算：

【答案】⑴-/

5

⑵°+相2

【知识点】指数塞的运算

【分析】根据塞的运算性质，可得答案.

=-+10^/5-1075-20+16=--.

99

（2）（=«J•

14^++y/jj=++

【变式4-1］（23-24高一上•山西太原•期中）计算下列各式的值

⑵Sa3b3c2a2b3H--4a6be2

【答案】（1）0

(2)-2Z;C2

【知识点】指数基的运算、指数塞的化简、求值

【分析】(1)根据指数运算公式直接求值；

(2)根据指数运算公式化简求值.

=1-3+4-2

=0；

C12L5

(2)8a3。5c5H--4a^bc，

IJ\7

__刍岩-i—+9M4)

4

=-2a0blc2

=-Ibc1.

_2

【变式4-2(23-24高一上•山东泰安•期中)(1)计算：3+(将x四)6;

(2)已知10,=2,10,=8,求"冶的值.

【答案】⑴108；(2)2

【知识点】指数塞的运算

【分析】根据指数的运算性质分别计算即可.

22

【详解】⑴原式=Q3)3x(3-3户+既)6*(伪6

3x2(-3)xf-1'|1x6-x6

=23义313j+yx22

=22X32+32X23=36+72=108;

y1

(2)因为10*=2,10V=8,所以]()2x=4,]0]=8)=2,

所以/4=1()2、后=2-

【考点题型五】指数函数的定义与求值(参数)

【例5】(24-25高一上•河北张家口•阶段练习)已知指数函数/(x)=(2/-5a+3)罐在R上单调递增，则

。的值为()

13

A.3B.2C.-D.-

22

【答案】B

【知识点】由指数(型)的单调性求参数、根据函数是指数函数求参数

【分析】令系数为1,解出。的值，又函数在R上单调递增，可得答案.

【详解】2。2_5。+3=1解得。=2,a=\,

2

又函数在R上单调递增，则。=2,=T

故选：B

【变式5-1](24-25高一上•云南红河•阶段练习)已知指数函数/(x)=(〃-24-2)a，，则/(3)的值

为.

【答案】27

【知识点】求函数值、根据函数是指数函数求参数

【分析】根据指数函数定义求得。=3,进而代入求解即可.

【详解】因为〃力=(片一2°-2)优为指数式，贝!)4一2。一2=1,解得a=3或。=一1,

又因为a>0且arl,可得a=3,即〃x)=3",

所以"3)=33=27.

故答案为：27.

【变式5-2](2024高三•全国•专题练习)函数y=(2/-3a+2)优是指数函数，则a的取值范围是

【答案】事

【知识点】根据函数是指数函数求参数

【解析】根据指数函数的定义要满足条件得到关于。的取值范围.

【详解】解：：函数y=(2/-3a+2)优是指数函数，，2a2_3a+2=l且。>0,由2a?一3。+2=1解得

a=l或二"：.所以a的取值范围为：

故答案为：

【点睛】本题考查指数函数定义的应用，属于基础题.

【考点题型六】指数函数的图象过定点

核心方法：a°-1

[例6](24-25高三上•河北•阶段练习)函数/(x)="-3+2x(°>0,awl)的图象恒过的定点为.

【答案】(3,7)

【知识点】指数型函数图象过定点问题

【分析】根据题意结合指数函数定点分析求解即可.

【详解】令x—3=0,解得x=3,且/(3)=7,

所以函数/(x)的图象恒过的定点为(3,7).

故答案为：（3,7）.

【变式6-1］（24-25高一上•福建龙岩•阶段练习）已知函数＞=a-+1（。＞0,awl）的图像恒过定点A,且点

A在直线y=（加,九＞0）上，则的最小值为（）

mn

A.4B.1C.2D.-

2

【答案】C

【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得以〃的关系，然后由基本不等式求得最小值.

【详解】由x-l=0得尤=1,又/⑴=2,所以定点为41,2）,

从而〃z+〃=2,

-+—==-（2+—+—）＞—（2+2J-------）=2,当且仅当"7="=彳时等节成乂，

nin2mn2nm2\nm2

故选：C

【变式6-2］（24-25高一上•上海•期中）已知函数y=a-+3（a＞0且"1）的图象恒过定点尸，尸点的

坐标是.

【答案】（2,4）

【知识点】指数型函数图象过定点问题

【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定尸的坐标.

【详解】令X—2=0,解得尤=2,此时y=a°+3=4,

，点尸的坐标为（2,4）.

故答案为：（2,4）.

【考点题型七】指数（型）函数图象的识别

【例7】（24-25高一上•北京•期中）函数y=3国的大致图象是（）

【知识点】判断指数型函数的图象形状

【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项.

【详解】|x|>0,所以3心1,排除AC,且3®=］；；：：。，排除口

故选：B

【变式7-1］（24-25高一上•江苏无锡•期中）函数>=出二的部分图象大致为（）

【答案】A

【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、指数函数图像应用

【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可.

【详解】/。）=\^定义域为口，且/（-x）=f^=-/（x）,则原函数为奇函数.排除B.

ee

心i—e-11

再取特殊值〃1）==且为正数.排除D.

ee

当x>0时，/（》）==二x越大函数值越接近1,排除C.

ee

故选:A.

【变式7-2］（24-25高三上•辽宁沈阳•阶段练习）函数/的大致图象是（）

【答案】D

【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、具体函数的定义域

【分析】由奇偶性及函数值即可判断.

尤2

【详解】由"工）=黄弟知：XX±1,

〃-》）=粤=鼻=〃止偶函数，AC错,

八2）=白

<0,B错,

故选：D

【变式7-3］（多选）（24-25高一上•广东•期中）函数〃尤）=,-4（"0且"I）的图象可能为（）

【答案】BC

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、指数函数图像应用

【分析】结合指数函数的图象性质，分。＞1,0＜。＜1分别研究单调性和渐近线，进而得到答案.

【详解】当时，小）=口一：":，

\a—a,x＜1

显然当X1时，函数单调递增，当尤＜1时，函数单调递减，

函数图象的渐近线为y=。，而。＞1,故A,B不符合；

对于C,D,因为渐近线为y=2,故。=2,故x=O时，y=l,故选项C符合，D不符合;

ax-a,x<l

当0＜。＜1时,〃x)=

a—ax,x>l

当时，函数单调递增，当x＜l时，函数单调递减，

函数图象的渐近线为y=。，而故B符合，A,C,D不符合;

故选：BC.

【考点题型八】画指数（型）函数图象

核心方法：根据函数图象变换方法

【例8】（2024高三•全国•专题练习）作出函数丁=-1的图象.

【答案】图象见解析

【知识点】指数函数图像应用

【分析】根据图象变换的知识，由y的图象进行图象变换，从而画出函数-1的图象.

【详解】设〃（x）=y=，j'〔i,其图象可看作由函数y=的图象向右平移1个单位,

再向下平移1个单位得到，

而片、［：1』其图象可由y=（g『的图象保留转0时的图象，

'；卜，尤<0

然后将该部分关于y轴对称得到，

【变式8-1］（24-25高一上•全国•课前预习）已知直线>=2。与函数、=|2*-2|的图象有两个公共点，求实

数。的取值范围.

【答案】（0,1）.

【知识点】画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用

【分析】依题意，作出函数y=|2'-2|的图象，要使两者有两个公共点，需使0<2a<2,即可求得参数范

围.

【详解】

由鹏-叫2。,二］，作出函数的图象如图・

由图知，要使直线y=2a与该图象有两个公共点，贝！］有。<2。<2,即0<a<l.

故实数。的取值范围为(0,1).

【变式8-2］(2023高三•全国•专题练习)已知，(x)=2*的图象，指出下列函数的图象是由“刈的图象通

过怎样的变换得到的.

(1)y=22；

Q)y=2*+1；

⑶y=2「，；

(4)y=2W.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

(4)答案见解析

【知识点】指数函数图像应用

【分析】直接根据函数图像的平移和对称法则得到答案.

【详解】(1)y=2前的图象是由y=2'的图象向左平移1个单位长度得到的.

(2)y=2'+1的图象是由丁=2工的图象向上平移1个单位长度得到的.

(3)>=27与、=2'的图象关于¥轴对称，

作y=2工的图象关于'轴的对称图形便可得到y=2r的图象.

(4)y=小为偶函数，其图象关于'轴对称，

故保留当x»O时，y=2,的图象，再作其关于>轴的对称图形，即可得到、=2忖的图象.

【考点题型九】利用指数函数的单调性比较大小

核心方法：根据指数函数的单调性

【例9】(多选)(24-25高一上•河南洛阳•期中)下列大小关系正确的是()

【答案】AC

【知识点】比较指数嘉的大小、判断一般塞函数的单调性

【分析】利用指数函数和塞函数单调性来比较各选项中数的大小.

【详解】对于A选项，对于指数函数>=。尸，因为指数函数单调递减.

又因为=3=9

26

所以仁户〈仁户，A选项正确.

12>=（1是单调递减函数，（｝具（了.

对于B选项，对于（/）5,

1=%在（°，+00）单调递增，（*5>（：）5，所以（3户>（：）'>（：»，B选项错误.

对于C选项，审=£，（，=存=4•

y=也是单调递增函数，|<1.所以（|鼠（|）：C选项正确.

y=G是单调递增函数,

所以§/<（》］，D选项错误.

故选：AC.

【变式9-1］（浙江省台州市山海协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知。=0」如，

6=0.1«。1,c=10《」，则下列正确的是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【知识点】比较指数累的大小

【分析】根据指数函数的单调性，即可判断.

【详解】a=0.r°」，6=0.i,c=O,l01,

y=0.F单调递减，0.1>-0.01>-0.1,

所以0.1°」<0,1^01<0.1-°1,即c<6<。.

故选：D

【变式9-2］（24-25高一上・天津南开・期中）若°=1.01°8,6=1.01。9,。=0.6°8,则（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

【知识点】比较指数塞的大小

【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法求解即可.

【详解】因为函数y=1.01’是增函数，

所以1.0产9>1,0评>1,即6>°>1,

又°=0.6。8<1,

所以

故选：D.

【考点题型十】利用指数函数的单调性解不等式

核心方法：根据指数函数的单调性

【例10](23-24高一上•重庆•阶段练习)已知函数〃X)=1-.为奇函数.

⑴求实数加的值及函数〃x)的值域；

⑵若./'(2/+1)+〃-4)<0,求实数f的取值范围.

【答案】(1)1,(TD

⑵y,i)

【知识点】由函数奇偶性解不等式、由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数

的单调性

【分析】(1)由奇函数的性质可得7(0)=。，即可求出机的值；由2"+1>1可得-2<-4<0,即可求

2+1

解；

(2)利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解.

【详解】(1)因为的定义域为R,且为奇函数，

m+1

则有"0)=1--—=0,即m=1,

经检验，符合题意，所以加=1.

122

又2,+1>1，则0<的<1，即0<^7T<2,即一2<-^7T<0，

则-1<1-乙<1,所以函数的值域为(-L1).

另解：显然f=2'+l是R上的增函数，且re(L”)，

由函数单调性的性质可得y=-：在(1,+8)上递增，

9

即y=l——也在(1,四)上递增,故当好1时,y=-l,同时

由增函数性质可得T<y<l,故函数的值域为(-L1).

(2)由/⑵+1)+/«-4)<0,可得〃2/+1)<-加一4),

又函数/(x)为奇函数，贝!!-/Q-4)=/(4T),

所以/(2，+l)</(4T),

2

又y=2,+1是R上的单调增函数，由函数单调性的性质可得V=已是R上的单调减函数，

2+1

2

即/(%)=1—^是R上的单调增函数，

2X+1

由/(2l+l)<〃4—)可化为2/+1<4一，即/<1,

所以实数f的取值范围为

【变式10-1](23-24高一上•广东深圳•期中)设函数/(力=丈44(«>0,且awl)是定义域为R

的奇函数，且了=〃尤)的图象过点上,

⑴求f和。的值；

(2)^VxeR,/(^-x2)+/(x-l)<0,求实数4的取值范围；

【答案】(1"=2,。=2

⑵(-3,1)

【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不等式恒

成立问题

【分析】(1)直接利用奇函数性质/(。)=。可得到f的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数

过点代入求a.

(2)利用奇函数的性质可得了(丘-尤2)</。-月，再由函数单调性脱去“/"，转化为二次不等式恒成立求解

即可.

【详解】(1)因为函数/⑺/二尸)(。>0,且“rl)是定义域为R的奇函数，

所以〃x)+〃—x)=O,所以2/(0)"⑼+"-0)=0,

所以/⑼=当』=0,解得仁2,

所以〃x)=F，

因为函数/(%)=。虫的定义域为R关于原点对称，且=V=-/M，

所以函数是奇函数，故r=2满足题意，

又因为y=的图象过点，

所以——-=—>a>0,且awl,

a2

解得4=2或4=（舍去），

综上f和a的值分别为2,2.

o2x_11

（2）由⑴可知函数〃力气「^一5是奇函数，

所以不等式VxeRJ（丘一》2）+〃*_1）＜。等价于八日_尤2）＜”1_"，

因为指数函数y=2,在R上单调递增，

2x

所以由复合函数单调性可知/（%）=2-1=丁-51在R上单调递增，

所以不等式/（依-/）＜“1-对等价于丘-/＜1-X,

即VxeR,不等式V一伙+1）彳+1＞0恒成立，

当且仅当A=（&+l）2-4＜0,解得一3＜女＜1,

所以实数左的取值范围为（-3,1）.

【变式10-2］（23-24高一上•福建厦门•期中）已知函数〃x）=^三4-1是奇函数.

⑴求”的值，并判断“X）的单调性（注：无需证明的单调性）；

（2）^/（3-3r）+/（r-2r+3）＜0,求f的取值范围.

【答案】（1）。=-1,/⑺在（0,+e）和（-8,0）上都是减函数.

⑵2＜r＜3.

【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性

解不等式

【分析】（1）由奇函数的定义求得参数4，再由单调性定义证明.

（2）利用奇函数性质变形不等式，再由单调性求解.

【详解】（1）由题意/（f）=-f（x）恒成立，即-1=-二±1,整理得（〃+1）（2,+1）=0,

2~x+a2x+a

，Q+1=0,a=—19

/（x）=々二=1+，它在（-8,0）和（0,+8）上都是减函数,

2%-12X-1

、.口3丁位,/、乙、2*+12巧+12（2出一2再）

设尤心％且均不为0,/（^）-/（^2）=---=（2X1_1）（2X2_1）,

若0＜%＜々,则1＜24＜2刍，2*-2为＞0,（2再一1）（2*-1）＞0,所以/（不）-八2）〉。，即。（石）＞/⑷,

.../（X）在（0,+/）上是减函数，

同理若为＜无2＜。，则1＜2甬＜2爸，2迎一2百＞0,（2』-1）（2*-1）＞0,所以/&）—〃z）＞0,即

/（王）＞/（尤2）,

.../(X)在(-8,。)上是减函数.

(2)==+尤>0时，/(%)>1,尤<0时，/(尤)<1,

2%-12%-1

/'(3-3。+/(?_2r+3)<0o/(?-2r+3)<-/(3-3f),/(%)是奇函数，贝!J/(r2-2r+3)</(3Z-3),

?-2/+3=(?-1)2+2>0,若3/-3<0,则，(*-2/+3)>>(3/-3),不合题意，

工31-3>0且>一2/+3<3/-3,解得2Vt<3.

1_9X

【变式10-3](22-23高一上•新疆乌鲁木齐•期末)已知〃尤)=是定义在R上的奇函数

⑴判断在R上的单调性，并用定义证明；

(2)^f(l-a)+/(l-a2)<0,求实数。的取值范围.

【答案】(D/(x)在R上单调递减，证明见解析；

⑵(-2,1)

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等

式、由函数奇偶性解不等式

【分析】(1)根据指数型复合函数单调性判断，再利用定义证明单调性的步骤，取值、作差、变形、定

号、下结论即可；

(2)根据奇函数和单调性原不等式等价于即可求解.

【详解】(D解：因为y=2'+i在R上单调递增，

所以“X)在R上单调递减，证明如下：

设V%<%,贝！|2独>2%>0)

112X2-2Xl

所以/(%)―/(马)_2为+]-2*+1―(2国+1)(2f+1)>0'

因为2也>2%>0,所以2也_24>0,(23+1)(2*+1)>0

所以f&)>/(%)，

所以〃x)在R上是减函数；

(2)解：因为函数“X)是奇函数，

所以〃1-4)+/(1一片)<0成立，等价于“1_°)<-/(1_1)=/(片_1)成立,

因为〃彳)在R上是减函数，

所以，a2-l<l-a,BPa2+a-2<0,解得：-2<a<l,

所以实数。的取值范围为

【考点题型十一】指数型复合函数的单调性

核心方法：复合函数单调性法则

【例11］（24-25高三上•四川广安•阶段练习）函数〉=（1）-?-2x+1的单调递增区间是

【答案】（T,+s）

【知识点】求函数的单调区间、判断指数型复合函数的单调性

【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求解即得.

【详解】函数y=（'*-2用的定义域为R,令&=一尤2-2元+1,

贝！I函数M=-尤2-2苫+1在（-应-1）上单调递增，在（-1,y）上单调递减，

而函数>=（5"在定义域上单调递减，

因此函数y=在上单调递减，在上单调递增,

所以函数y=—的单调递增区间是（-1,y）.

故答案为：（T,w）

z［、x2+4x+3

【变式11-1］（多选）（24-25高三上•海南省直辖县级单位•期中）已知函数y=：,则下列说法正

确的是（）

A.定义域为R

B.值域为（0,2］

C.在［-2,+s）上单调递增

D.在［-2,+QO）上单调递减

【答案】ABD

【知识点】求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性

【分析】根据函数的解析式可判断A；求出y=f+4x+3的值域再利用指数函数的单调性可判断B；根据

复合函数的单调性可判断CD.

z［xX2+4X+3

【详解】对于A,函数y=g的定义域为R,故A正确；

9（1«+4x+3

对于B,因为%之+4x+3=（%+2）—1>—1,所以0<［耳）<2,

z［xx2+4x+3

故函数y=：的值域为（0,2］,故B正确；

对于CD,因为y=（g）'在R上是减函数，

〃=X2+4》+3=(尤+2)2-1在(-00,-2)上是减函数，在[-2,上是增函数,

z[\+4x+3

所以函数y=3在[-2,+8)上单调递减，C错误，D正确.

故选：ABD.

【变式11-2](2024高一•全国•专题练习)设函数=">0且"1)在区间(1,a)上单调递

增，贝心的取值范围是()

A.(1,2]B.[2,+co)C.D.；,1)32,+⑹

【答案】A

【知识点】由指数(型)的单调性求参数、判断指数型复合函数的单调性

【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可.

_、a

2x-a,x>—

【详解】易知y=|2x-a|=，:,显然y=|2x_a|在号+eJ上单调递增,

a-2x,x<—

2

在「双u上单调递减,

因为/(X)在区间(1,+8)上单调递增，结合复合函数的单调性可知a>1,且

所以ae(L2].

故选：A

【考点题型十二】与指数函数(指数型复合函数)有关的值域

核心方法：换元法

【例12】(24-25高一上•广东广州•期中)已知函数了(幻=」2,函数g(x)=|x-a|+Y-l.

2+1

⑴若xe[l,+oo),求函数/(x)的最小值；

⑵若对都存在尤26[0,+8),使得求实数。的取值范围.

【答案】⑴;7

(131,.P131

⑵[一℃,-1Uy,+°°J

【知识点】求已知指数型函数的最值、函数不等式恒成立问题

【分析】(1)首先利用指数运算，化简函数/■(另=(2'+1)+了力-2,再利用换元，结合对勾函数的单

调性，即可求解函数的最值；

(2)首先将函数和g(x)在定义域的最小值设为。力，由题意可知cMb,首先求得c=2,g(O)>2,

确定〃的取值范围，再讨论去绝对值，求6,然后解不等式，即可求解.

【详解】(1)若xe［l,+e),

(2*+1『-2(2)+1)+4

4

〃％)=(2X+1)+-2,

2'+12A+1

因为xe［l,+oo),令/=2工+123,则'=/+；-2,(框3),

又因为y="；-2在［3,”)上单调递增，

7

当/=3,即尤=1时，函数取得最小值］;

(2)设“X)在［0,+oo)上的最小值为c,g(x)在上的最小值为6,

由题意可知，cWb,

若xe[O,4w),

(2X+1)2-2(2X+1)+4

〃x)=(2X+1)+———2,

2'+1''2A+1

因为xe［O,+<x>),令t=2工+122,则>=/+；-2,(/22),

又因为y=t+--2在［2,+向上单调递增，

当/=2,即x=0时，函数取得最小值2,即c=2；

所以g(x)在［-1』上的最小值6应该满足，b>2-,

因为g(O)=|a|-lN2,解得：或aW-3,

当a23时，且贝!]再一。<0,

/1]Y5

Pjg(%)=|玉一。|+%；—1=%；—玉+〃-1=[玉——I+6Z——,

可得g(xj的最小值为=则。一.22,解得：a>^-,

1444

当a4一3时，且Xiw[T,l],x1-a>0,

/「1Y5

口Jg(%)=|再一。[+其一]=耳+玉一CL—1=IXj+~I—