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文档简介
专题26三角形的外接圆(基础)
一.选择题
1.如图,。。是等边△ABC的外接圆,其半径为3,图中阴影部分的面积是()
371
A.nB.—C.2irD.3TI
2
2.如图,△ABC是。。的内接三角形,A5是。。的直径,点。在。。上.若N8CD=36°,则NACD的
度数为()
鼻
D
A.36°B.44°C.54°D.64°
3.如图,已知。。是△ABC的外接圆,A0是。0的直径,若AZ)=8,ZB=30°,则AC的长度为()
B
A.3B.4C.4V2D.4V3
4.如图,ZVIBC内接于。。,射线AO交BC边于点Q,4。平分/54C,若AZ)=BC=8,则。。的半径长
为()
A
山
A.3B.4C.5D.6
5.如图,。。是△ABC的外接圆,连接OC、OB,ZBOC=100°,则/A的度数为()
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为(0,3),点8为(2,1),点C为(2,-3).则经画图操作
可知:△ABC的外心坐标应是()
7.边长为2的正三角形的外接圆的半径是()
8.如图,是AABC外接圆的直径.若NB=64°,则/ZMC等于()
A
A.26°B.28°C.30°D.32°
9.如图,正方形ABC。和等边/都内接于圆O,EF与BC、CO分别相交于点G、H.若AE=6,则
F
A.V3B.3-V3C.V2D.2百一3
10.如图,点。、E分别是O。的内接△ABC的A8、AC边上的中点,若。。的半径为2,NA=45°,则
A.V3B.V2C.1D.—
2
11.已知△ABC内接于O。,连接49并延长交2C于点D,若NC=50°,则NA4。的度数是()
12.如图,。。为△ABC的外接圆,已知NABC为130°,则NAOC的度数为()
D
A.50°B.80°C.100°D.115°
二.填空题
13.如图,ZVIBC内接于圆。,NA=50°,则/。等于.
14.如图,。。为AABC的外接圆,ZA=36°,则/BOC的度数为
A
15.如图,A。是△ABC的外接圆O。的直径,若/BC4=50°,贝!
16.如图,。。是△ABC的外接圆,ZA=45°,则cos/OCB的值是
17.如图,ZkABC内接于。0,8。是。。的直径,ZCBD=21°,则NA的度数为.
18.如图,等边三角形ABC内接于OO,点。在。。上,ZABD=25°,则/BAZ)=
19.如图,△ABC内接于O。,Z(9BC=40°,则NA的度数为
20.如图,。0是△ABC的外接圆,ZABC=30°,AC=4,则弧AC的长为
21.如图,△ABC内接于O。,点、M,N分别是CO,AB的中点,ZC4B=80°,NCBA=40°,则NOMN
的度数是.
三.解答题
22.如图,ZVIBC是。。的内接三角形,BC=4,ZA=30°,求。。的直径.
23.如图,在直角坐标系中,已知点A(0,4),8(-4,0),C(2,0),过A,B,C作外接圆,。为圆
上一动点,求逐OO+ZM的最小值.
24.已知:如图,△ABC内接于O。,AE是O。的直径,于点。,NA4E与/C4。相等吗?若相
等,请给出证明;若不相等,请说明理由.
25.如图,。。是AABC的外接圆,CA=CB,连接8。并延长交AC于点D
(1)求证:/C=2NCBD;
(2)若AB=6,sinC=f,求O。的半径.
26.如图,已知△ABC内接于O。,点C在劣弧A8上(不与点A,B重合),点。为弦2C的中点,DEL
BC,与AC的延长线交于点E,射线49与射线以交于点R与。。交于点G,若/2。4=90°,
CD=3,AABE的面积为△ABC的面积的4倍,求。。半径的长.
27.如图,△ABC内接于O。,AB,CD为。。的直径,DE1AB,垂足为E,BC=1,AC=瓜求/。的
度数.
28.如图,ZkABC内接于O。,AOJ_BC于。,8E_LAC于E,AD交。。于R交BE于H,连QE,试探
究DE与直径CG有无特殊的位置关系?
29.如图,在△ABC中,AB=AC,。。是△ABC的外接圆,点。在BC上,的延长线交。。于点E,
连接CE.
(1)求证:ZADC=ZACE;
(2)若。。的半径为2次,丽的度数为90°,DE=2,求A。的长.
30.如图,△ABC内接于O。,AB是OO的直径,C是疝中点,弦CELAB于点X,连接A。,分别交CE、
BC于点P、Q,连接2D
(1)求证:尸是线段AQ的中点;
(2)若。。的半径为5,O是我的中点,求弦CE的长.
专题26三角形的外接圆(基础)
一.选择题
1.如图,。。是等边△ABC的外接圆,其半径为3,图中阴影部分的面积是()
A
371
A.nB.—C.2irD.3TI
2
【分析】先根据等边三角形的性质得到NA=60°,再利用圆周角定理得到N20C=120。,然后根据扇
形的面积公式计算图中阴影部分的面积.
【解答】解::△ABC为等边三角形,
ZA=60°,
:.ZBOC=2ZA=120°,
2
•••图中阴影部分的面积=12寄=3。
故选:D.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆.三角
形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.
2.如图,△ABC是O。的内接三角形,是的直径,点。在上.若NBCr>=36°,则/AC。的
度数为()
C
A.36°B.44°C.54°D.64°
【分析】根据圆周角定理得到NACB=90°,然后利用互余计算出/AC。的度数.
【解答】解:是。。的直径,
ZACB=90°,
':ZBCD^36°,
乙4c0=90°-ZBCD=54°.
故选:c.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,
叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.
3.如图,已知。。是△ABC的外接圆,是。。的直径,若A£>=8,/8=30°,则AC的长度为()
A.3B.4C.4V2D.4V3
【分析】由圆周角定理可得NACD=90°,/8=/。=30°,即可求解.
【解答】解:连接CD
:AO是。。的直径,
/.ZACD=9Q°,
又;NB=/D=30°,
1
:.AC=别)=4,
故选:B.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,灵活运用这些性质是本题的关键.
4.如图,△ABC内接于。。,射线AO交BC边于点Q,平分/BAC,若AZ)=8C=8,则。。的半径长
为()
A.3B.4C.5D.6
【分析】连接02.由A。平分NA4C,得BD=CD=^BC=4,设半径为r,利用勾股定理列
出方程(8-r)2+42=^,从而求出半径.
【解答】解:如图,连接02.
平分NBAC,
:.AD±BC,
1
BD=CD=声。=4,
设半径为r,
在RtZiODB中,
0Er+BD1=0B2,
即(8-r)2+42=/,
解得r=5
故选:C.
【点评】本题考查了圆的相关计算,熟练运用垂径定理是解题的关键.
5.如图,。。是AABC的外接圆,连接OC、OB,ZB0C=100°,则NA的度数为()
A.30°B.40°C.50°D.60°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.
【解答】解::,。。是△ABC的外接圆,ZB0C=100°,
1
AZA=^ZBOC=50°.
故选:C.
【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条
弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为(0,3),点2为(2,1),点C为(2,-3).则经画图操作
可知:△ABC的外心坐标应是()
A.(0,0)B.(1,0)C.(-2,-1)D.(2,0)
【分析】首先由AABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,所以在平面直角坐标系中作AB与BC
的垂线,两垂线的交点即为△A8C的外心.
【解答】解::△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,
.•.作图得:
尸与的交点即为所求的△ABC的外心,
.,.△ABC的夕卜心坐标是(-2,-1).
【点评】此题考查了三角形外心的知识.注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点.解此题
的关键是数形结合思想的应用.
7.边长为2的正三角形的外接圆的半径是()
2V3V3
A.2V3B.2D.
2
【分析】等边三角形的边长是其外接圆半径的百倍,据此直接算出答案.
【解答】解:如图,等边AABC中,三边的垂直平分线交一点。,则。是△ABC外接圆的圆心,
1
:.ZOBC=ZOCB=30°,BF=CF=^BC=1,
:.0F=^-BF,
;.0B=20F=竽.
故选:C.
【点评】本题主要考查等边三角形及其外接圆的性质,知道等边三角形边长与其外接圆半径的倍数关系
是解答关键.
8.如图,是AABC外接圆的直径.若/8=64°,则/D4C等于()
A
A.26°B.28°C.30°D.32°
【分析】根据圆周角定理得到NACD=90°,ZADC=ZB=64°,然后利用互余计算/D4c的度数.
【解答】解:为直径,
AZACD=90°,
VZADC=ZB=64°,
;.NZMC=90°-64°=26°.
故选:A.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,
叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.
9.如图,正方形A3C。和等边跖都内接于圆。,EF与BC、CD分别相交于点G、H.若AE=6,则
A.V3B.3-V3C.V2D.2V3-3
【分析】连接AC、BD、OF,AC与交于P点,则它们的交点为。点,如图,利用正方形和等边三
角形的性质得到NCO尸=60°,ACL2。,NBC4=45°,利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP=
*OF=*OC,OP=^PF=W,从而得至IJPC=OP=®然后利用APCG为等腰直角三角形得到尸G=
PC=®从而得到EG的长.
【解答】解:连接AC、BD、OF,AC与所交于尸点,则它们的交点为。点,如图,
•.,正方形ABCO和等边/都内接于圆O,
:.ZCOF=60°,AC±BD,ZBCA=45°,
■:EF//BD,
:.ACLEF,
1
;・PE=PF=^EF=3,
在RtZXO尸产中,0P=^OF=^OC,
0P=空尸尸=V3,
:.PC=0P=V3,
•••△PCG为等腰直角三角形,
:.PG=PC=A/3,
:.EG=PE-PG=3-四.
故选:B.
F
【点评】本题考查了三角形的外心与外接圆:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,
叫做三角形的外心.也考查了等边三角形和正方形的性质.
10.如图,点。、E分别是。。的内接△ABC的A3、AC边上的中点,若。。的半径为2,ZA=45°,则
。石的长等于()
B
LLV2
A.V3B.V2C.1D.一
2
【分析】连接OB,OC,根据圆周角定理得到/BOC=2NA=90。,根据等腰直角三角形的性质得到BC=
V2OB=2^2,由三角形的中位线定理即可得到结论.
【解答】解:连接OB,OC,
':ZA=45°,
AZBOC=2ZA=90Q,
":OB=OC=2,
:.BC^V2OB=2V2,
;D、E分别是O。的内接△ABC的A3、AC边上的中点,
.,.DE是△ABC的中位线,
:.DE=%BC=Ix2V2=V2,
故选:B.
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心,直角三角形的性质,圆周角定理,三角形的中位线的性质,
正确的作出辅助线是解题的关键.
11.已知AABC内接于。。,连接AO并延长交8C于点。,若/C=50°,则NBA。的度数是()
A.40°B.45°C.50°D.55°
【分析】连接。8,根据圆周角定理和圆的半径相等即可解决问题.
【解答】解:如图,连接08,
VZC=50°,
:.ZA(9B=2ZC=100°,
,:OA=OB,
:.ZOAB=ZOBA=40°,
则NBA。的度数是40°.
故选:A.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心性质.
12.如图,为AABC的外接圆,已知/ABC为130°,则/AOC的度数为()
A.50°B.80°C.100°D.115°
【分析】作公所对的圆周角/AOC,如图,先利用圆内接四边形的性质得到/AOC=50°,然后根据圆
周角定理得到/AOC的度数.
【解答】解:作公所对的圆周角/AOC,如图,
VZADC+ZABC^1SO°,
而乙48c=130°,
ZA£)C=180°-130°=50°,
:.ZAOC^2ZADC=100°.
故选:C.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,
叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.
二.填空题
13.如图,ZkABC内接于圆O,ZA=50°,则NQ等于50°.
【分析】由圆周角的定理可求解.
【解答】解:NA与ND所对的弧都是元,
.•.—50°,
故答案为:50°.
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心,圆周角定理,掌握同弧所对的圆周角相等是本题的关键.
14.如图,。。为△ABC的外接圆,NA=36°,则/BOC的度数为72°.
【分析】直接利用圆周角定理求解.
【解答】解::。。为△ABC的外接圆,/A和4BOC都对比,
:.ZBOC=2ZA=2X36°=72°.
故答案为72.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,
叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.
15.如图,是△ABC的外接圆O。的直径,若/BCA=50°,则50
【分析】根据圆周角定理即可得到结论.
【解答】解::人。是AABC的外接圆。。的直径,
.,.点A,B,C,。在。。上,
':ZBCA=50°,
:.ZADB=ZBCA=50°,
故答案为:50.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
V2
16.如图,是△ABC的外接圆,ZA=45°,则cos/OCB的值是二-.
【分析】先利用圆周角定理得到/BOC=90°,则可判断△02C为等腰直角三角形,所以NOCB=45°,
然后利用特殊角的三角函数值得到cosNOCB的值.
【解答】解::/BOC=2/A=2X45°=90°,
而OB=OC,
.••△OBC为等腰直角三角形,
.,.ZOCB=45°,
;•cosN0C2=5.
故答案为V?2.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,
叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.
17.如图,AABC内接于OO,8。是。。的直径,ZCBD=21°,则NA的度数为69°.
0
【分析】直接利用圆周角定理得出NBCZ)=90°,进而得出答案.
【解答】解::△ABC内接于O。,瓦)是O。的直径,
ZBCD=90°,
':ZCBD=2l°,
AZA=ZD=90°-21°=69°.
故答案为:69°
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心,正确掌握圆周角定理是解题关键.
18.如图,等边三角形ABC内接于。0,点。在上,ZABD=25°,则/54£)=95
【分析】根据等边三角形的性质得到NACB=60°,根据圆周角定理得到NACr>=NA2r>=25°,然后
根据圆内接四边形的性质计算NBA。的度数.
【解答】解:•••△•(:为等边三角形,
AZACB=60°,
VZACD=ZAB£>=25°,
AZBCD=60°+25°=85°,
':ZBAD+ZBCD=180°,
:.ZBAD=1SO°-85°=95°.
故答案为95.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,
叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理和等边三角形的性质.
19.如图,△ABC内接于。0,ZOBC=40°,则乙4的度数为50°
【分析】根据三角形内角和定理求出N50C,根据圆周角定理解答即可.
【解答】解:・・・。3=0。,
:.ZOCB=ZOBC=40°,
:.ZBOC=1SO°-40°-40°=100°,
由圆周角定理得,ZA=1ZBOC=50°,
故答案为:50°.
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握等腰三角形的性质、圆周角定理是解题的关键.
4
20.如图,。。是△ABC的外接圆,NABC=30°,AC=4,则弧AC的长为f
-3
【分析】连接OC,根据圆周角定理可得,△AOC是等边三角形,利用弧长公式即可求得结论.
【解答】解:如图,连接。4,OC,
,.•/A2C=30°,
:.ZAOC=60°,
\'OA=OC,
.,.△AOC是等边三角形,
:.OA=OC=AC=4,
则弧AC的长为:曙=*
4
故答案为:7T.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,弧长的计算,解决本题的关键是掌握弧长计
算公式.
21.如图,/XABC内接于点N分别是CO,48的中点,ZCAB=80°,ZCBA=40°,则NOMN
的度数是20°.
【分析】由圆周角定理可求出/4。3=120°,/AOC=80°,证得△ODV是等边三角形,得出OD=
ON=OM,由三角形内角和定理可得出答案.
【解答】解:如图,连接OA,OB,ON,取。4的中点连接。N,
VZCAB=80°,ZCBA=40°,
ZACS=180°-ZCAB-ZCBA=180°-80°-40°=60°,
:.ZAOB=120°,ZAOC=80°,
:点M是OC的中点,点。是OA的中点,
1
:.OD=OM=^OA,
•・•点N是A8的中点,且乙4。3=120°,
:.ON±AB,ZAON=ZBON=60°,
•・,点。是。4的中点,且NONA=90°,
:・DN=DO,
是等边三角形,
1
,OD=件,
:・OD=ON=OM,
•・・NMON=NCOA+NAON=800+60°=140°,
14O0
:・/OMN=/NOM=:=20°.
故答案为:20°.
【点评】本题考查了圆周角定理,垂径定理,等边三角形的判定与性质,直角三角形的性质,熟练掌握
等边三角形的判定与性质是解题的关键.
三.解答题
22.如图,/XABC是。。的内接三角形,8C=4,NA=30°,求O。的直径.
【分析】连接。2,OC,根据圆周角定理得到N2OC=60°,根据等边三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:连接OB,OC,
VZA=30°,
ZBOC=60°,
':OB=OC,
:.AOBC是等边三角形,
:.OC=BC=4,
•••O。的直径=8.
B
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,等边三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关
键.
23.如图,在直角坐标系中,已知点A(0,4),8(-4,0),C(2,0),过A,B,C作外接圆,。为圆
上一动点,求逐D0+D4的最小值.
【分析】如图,设AABC的外接圆的圆心为E连接EO并且延长交AC的延长线于凡连接。F.则E(-
1,1).首先证明△£)EOs△尸£D,得到一=—,推出DF=^DO,所以遮£)。+£)4=。/+。4,由两
DEDF
边之和大于第三边得,DF+DA^AF,推出当点。和点C重合时,。尸+D4最小,即逐。O+D4最小,求
出AF的长即可解决问题.
【解答】解:如图,设△ABC的外接圆的圆心为E连接石。并且延长交AC的延长线于F,连接。足则
E(-1,1).
VA(0,4),8(-4,0),C(2,0),£(-1,1)
直线OE的解析式为y=-x,直线AC的解析式为y=-2x+4,
由{江二"4解喏乙
.•.尸(4,-4),
:.DE=V10,EO=V2,EF=5近,
DEV10r-EF5V2
—==V5,—=~^=
EO迎DEV10
DEEF
•/NE=ZE
EO~DE9
:・ADEOs/\FED,
・EODO
••=,
DEDF
:.DF=V5DO,
:.s/SDO+DA=DF+DA,由两边之和大于第三边得,DF+DA^AF,
当点。和点C重合时,。尸+D4最小,即小CO+D4最小,
:.^DO+DA最小值J42+(-4-4产=4V5.
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识,解题
的关键是利用相似三角形的性质,把问题转化为两点之间线段最短解决问题,题目比较难,掌握辅助线
的添加方法是解题的关键,属于中考填空题中的压轴题.
24.已知:如图,△ABC内接于O。,AE是O。的直径,于点。,NA4E与NCA。相等吗?若相
等,请给出证明;若不相等,请说明理由.
【分析】首先连接8E,由AE是。。的直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得NABE=90°,又由
ADLBC,NE=NC,即可证得/C4£>.
【解答】解:ZBAE=ZCAD.
理由:连接BE,
是。。的直径,
ZAB£=90°,
:.ZBA£=90°-NE,
\'AD±BC,
:.ZA£)C=90°,
:.ZCAD=9Q°-ZC,
VZE=ZC,
:.ZBAE=ZCAD.
【点评】此题考查了圆周角定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
25.如图,OO是△ABC的外接圆,CA=CB,连接80并延长交AC于点D
(1)求证:ZC=2ZCBD;
(2)若A8=6,sinC=j,求。。的半径.
D
O
B
【分析】(1)连接CO,AO,可证△CO4也△COB,所以NACO=N8CO,因为OC=OB,所以NBCO
=/CBD,即可得出NC=2NC8O;
(2)作。。的直径AK,连接BK,贝IJNA8K=9O°,NC=NK,在RtZkA3K中,利用锐角三角函数的
定义即可得出。。的半径.
【解答】解:(1)如图1,连接CO,AO,
•:CA=CB,OA=OB,OC=OC,
:./\COA^/\COB(SSS),
・・・/ACO=NBCO,
・・•OC=OB,
:・/BCO=/CBD,
(2)如图2,作。。的直径AK,连接3K,
则NA5K=90°,NC=NK,
':AB=6,sinC=
・•n36
・・smK=【通’
:.AK=10,
.•・O。的半径为5.
【点评】本题考查圆周角定理,三角形全等的判定和性质,锐角三角函数的定义.作。。的直径是解决
(2)问的关键.
26.如图,已知△ABC内接于O。,点C在劣弧A8上(不与点A,B重合),点。为弦8C的中点,DEL
BC,OE与AC的延长线交于点E,射线AO与射线E8交于点尸,与。。交于点G,若/8。4=90°,
CD=3,△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,求O。半径的长.
【分析】根据/8。4=90°,可得NBCE=45°,NBEC=90°,由于△ABE的面积为AABC的面积的
4倍,所以二,根据勾股定理即可求出AE、AC的长度,从而可求出A3的长度,再由勾股定理即可求
出。0的半径八
【解答】解:・.・。是8。的中点,DELBC,
・•・0E是线段BC的垂直平分线,
:・BE=CE,/BED=NCED,NEDC=90°,
■:/BCA=NEDC+/CED,
:.ZACB=90°+NC即,
:・NCED=NGAB,
:・NCED=/OBA,
JO、A、E、5四点共圆,如图所示,
:.ZBEC=90°,
,:ZBOA=90°,ZBCE=45°,
VAABE的面积为△ABC的面积的4倍,
AE
/.—=4,
AC
CE
—=3,
AC
设CE=3x,AC=x,
由(1)可知:BC=2CD=6,
VZBCE=45°,
CE=BE=3x,
由勾股定理可知:(3x)2+(3x)2=$2,
元=A/2,
:.BE=CE=3近,AC=V2,
:.AE=AC+CE=^y[2,
在RtAAB£中,
由勾股定理可知:AF=(3A/2)2+(4V2)2
:.AB=5^2,
VZBAO=45°,
:.ZAOB=90°,
在RtZ\AOB中,设半径为r,
由勾股定理可知:AB2=2r2,
/.r=5,
,。。半径的长为5.
【点评】本题考查圆的综合问题,涉及圆周角定理,勾股定理,解方程,垂直平分线的性质等知识,综
合程度较高,需要学生灵活运用所学知识.
27.如图,△ABC内接于AB,CD为的直径,DELAB,垂足为E,BC=1,AC=V3,求/。的
度数.
_AC—
【分析】由AB是直径,推出NAC2=90°,由BC=l,AC=g,推出tanNB=等=,,推出NB=60°,
由O8=OC,推出△OBC是等边三角形,由此即可解决问题.
【解答】解:是直径,
AZACB=90°,
':BC=1,AC=V3,
;.tan/B=益=V3,
;.N2=60°,
":OB=OC,
△OBC是等边三角形,
:.ZDOE=ZBOC=60°,
":DE±AB,
:.ZDEO=90°,
:.ZD=90°-ZDOE=3QQ.
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,解题的关
键是灵活运用所学知识,学会寻找特殊三角形解决问题,属于中考常考题型.
28.如图,△ABC内接于AD_LBC于。,于£,交。。于E交BE于H,连。E,试探
究DE与直径CG有无特殊的位置关系?
【分析】结论:DELCG.由△CAOs2XcBE,推出一=—,推出一=—,由NEC£)=/BC4,推出
CBCECDCE
△ECDS^BCA,推出NC£D=NA2C=/G,由CG是直径,推出/G4C=90°,推出/G+NACG=
90°,推出NACG+/OEC=90°,即可证明/EKC=90°.
【解答】解:结论:DELCG.
理由:如图,连接AG,DE交CG于K.
VAZ)±BC,BE±AC,
・・・NAEB=ZBEC=ZADB=ZA£)C=90°,
•.*ZAHE=NBHD,
:.ZCAD=ZCBE,
:ACA
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