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专题26三角形的外接圆(基础)

一.选择题

1.如图,。。是等边△ABC的外接圆,其半径为3,图中阴影部分的面积是()

371

A.nB.—C.2irD.3TI

2

2.如图,△ABC是。。的内接三角形,A5是。。的直径,点。在。。上.若N8CD=36°,则NACD的

度数为()

D

A.36°B.44°C.54°D.64°

3.如图,已知。。是△ABC的外接圆,A0是。0的直径,若AZ)=8,ZB=30°,则AC的长度为()

B

A.3B.4C.4V2D.4V3

4.如图,ZVIBC内接于。。,射线AO交BC边于点Q,4。平分/54C,若AZ)=BC=8,则。。的半径长

为()

A

A.3B.4C.5D.6

5.如图,。。是△ABC的外接圆,连接OC、OB,ZBOC=100°,则/A的度数为()

6.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为(0,3),点8为(2,1),点C为(2,-3).则经画图操作

可知:△ABC的外心坐标应是()

7.边长为2的正三角形的外接圆的半径是()

8.如图,是AABC外接圆的直径.若NB=64°,则/ZMC等于()

A

A.26°B.28°C.30°D.32°

9.如图,正方形ABC。和等边/都内接于圆O,EF与BC、CO分别相交于点G、H.若AE=6,则

F

A.V3B.3-V3C.V2D.2百一3

10.如图,点。、E分别是O。的内接△ABC的A8、AC边上的中点,若。。的半径为2,NA=45°,则

A.V3B.V2C.1D.—

2

11.已知△ABC内接于O。,连接49并延长交2C于点D,若NC=50°,则NA4。的度数是()

12.如图,。。为△ABC的外接圆,已知NABC为130°,则NAOC的度数为()

D

A.50°B.80°C.100°D.115°

二.填空题

13.如图,ZVIBC内接于圆。,NA=50°,则/。等于.

14.如图,。。为AABC的外接圆,ZA=36°,则/BOC的度数为

A

15.如图,A。是△ABC的外接圆O。的直径,若/BC4=50°,贝!

16.如图,。。是△ABC的外接圆,ZA=45°,则cos/OCB的值是

17.如图,ZkABC内接于。0,8。是。。的直径,ZCBD=21°,则NA的度数为.

18.如图,等边三角形ABC内接于OO,点。在。。上,ZABD=25°,则/BAZ)=

19.如图,△ABC内接于O。,Z(9BC=40°,则NA的度数为

20.如图,。0是△ABC的外接圆,ZABC=30°,AC=4,则弧AC的长为

21.如图,△ABC内接于O。,点、M,N分别是CO,AB的中点,ZC4B=80°,NCBA=40°,则NOMN

的度数是.

三.解答题

22.如图,ZVIBC是。。的内接三角形,BC=4,ZA=30°,求。。的直径.

23.如图,在直角坐标系中,已知点A(0,4),8(-4,0),C(2,0),过A,B,C作外接圆,。为圆

上一动点,求逐OO+ZM的最小值.

24.已知:如图,△ABC内接于O。,AE是O。的直径,于点。,NA4E与/C4。相等吗?若相

等,请给出证明;若不相等,请说明理由.

25.如图,。。是AABC的外接圆,CA=CB,连接8。并延长交AC于点D

(1)求证:/C=2NCBD;

(2)若AB=6,sinC=f,求O。的半径.

26.如图,已知△ABC内接于O。,点C在劣弧A8上(不与点A,B重合),点。为弦2C的中点,DEL

BC,与AC的延长线交于点E,射线49与射线以交于点R与。。交于点G,若/2。4=90°,

CD=3,AABE的面积为△ABC的面积的4倍,求。。半径的长.

27.如图,△ABC内接于O。,AB,CD为。。的直径,DE1AB,垂足为E,BC=1,AC=瓜求/。的

度数.

28.如图,ZkABC内接于O。,AOJ_BC于。,8E_LAC于E,AD交。。于R交BE于H,连QE,试探

究DE与直径CG有无特殊的位置关系?

29.如图,在△ABC中,AB=AC,。。是△ABC的外接圆,点。在BC上,的延长线交。。于点E,

连接CE.

(1)求证:ZADC=ZACE;

(2)若。。的半径为2次,丽的度数为90°,DE=2,求A。的长.

30.如图,△ABC内接于O。,AB是OO的直径,C是疝中点,弦CELAB于点X,连接A。,分别交CE、

BC于点P、Q,连接2D

(1)求证:尸是线段AQ的中点;

(2)若。。的半径为5,O是我的中点,求弦CE的长.

专题26三角形的外接圆(基础)

一.选择题

1.如图,。。是等边△ABC的外接圆,其半径为3,图中阴影部分的面积是()

A

371

A.nB.—C.2irD.3TI

2

【分析】先根据等边三角形的性质得到NA=60°,再利用圆周角定理得到N20C=120。,然后根据扇

形的面积公式计算图中阴影部分的面积.

【解答】解::△ABC为等边三角形,

ZA=60°,

:.ZBOC=2ZA=120°,

2

•••图中阴影部分的面积=12寄=3。

故选:D.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆.三角

形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

2.如图,△ABC是O。的内接三角形,是的直径,点。在上.若NBCr>=36°,则/AC。的

度数为()

C

A.36°B.44°C.54°D.64°

【分析】根据圆周角定理得到NACB=90°,然后利用互余计算出/AC。的度数.

【解答】解:是。。的直径,

ZACB=90°,

':ZBCD^36°,

乙4c0=90°-ZBCD=54°.

故选:c.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

3.如图,已知。。是△ABC的外接圆,是。。的直径,若A£>=8,/8=30°,则AC的长度为()

A.3B.4C.4V2D.4V3

【分析】由圆周角定理可得NACD=90°,/8=/。=30°,即可求解.

【解答】解:连接CD

:AO是。。的直径,

/.ZACD=9Q°,

又;NB=/D=30°,

1

:.AC=别)=4,

故选:B.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,灵活运用这些性质是本题的关键.

4.如图,△ABC内接于。。,射线AO交BC边于点Q,平分/BAC,若AZ)=8C=8,则。。的半径长

为()

A.3B.4C.5D.6

【分析】连接02.由A。平分NA4C,得BD=CD=^BC=4,设半径为r,利用勾股定理列

出方程(8-r)2+42=^,从而求出半径.

【解答】解:如图,连接02.

平分NBAC,

:.AD±BC,

1

BD=CD=声。=4,

设半径为r,

在RtZiODB中,

0Er+BD1=0B2,

即(8-r)2+42=/,

解得r=5

故选:C.

【点评】本题考查了圆的相关计算,熟练运用垂径定理是解题的关键.

5.如图,。。是AABC的外接圆,连接OC、OB,ZB0C=100°,则NA的度数为()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.

【解答】解::,。。是△ABC的外接圆,ZB0C=100°,

1

AZA=^ZBOC=50°.

故选:C.

【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条

弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

6.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为(0,3),点2为(2,1),点C为(2,-3).则经画图操作

可知:△ABC的外心坐标应是()

A.(0,0)B.(1,0)C.(-2,-1)D.(2,0)

【分析】首先由AABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,所以在平面直角坐标系中作AB与BC

的垂线,两垂线的交点即为△A8C的外心.

【解答】解::△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,

.•.作图得:

尸与的交点即为所求的△ABC的外心,

.,.△ABC的夕卜心坐标是(-2,-1).

【点评】此题考查了三角形外心的知识.注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点.解此题

的关键是数形结合思想的应用.

7.边长为2的正三角形的外接圆的半径是()

2V3V3

A.2V3B.2D.

2

【分析】等边三角形的边长是其外接圆半径的百倍,据此直接算出答案.

【解答】解:如图,等边AABC中,三边的垂直平分线交一点。,则。是△ABC外接圆的圆心,

1

:.ZOBC=ZOCB=30°,BF=CF=^BC=1,

:.0F=^-BF,

;.0B=20F=竽.

故选:C.

【点评】本题主要考查等边三角形及其外接圆的性质,知道等边三角形边长与其外接圆半径的倍数关系

是解答关键.

8.如图,是AABC外接圆的直径.若/8=64°,则/D4C等于()

A

A.26°B.28°C.30°D.32°

【分析】根据圆周角定理得到NACD=90°,ZADC=ZB=64°,然后利用互余计算/D4c的度数.

【解答】解:为直径,

AZACD=90°,

VZADC=ZB=64°,

;.NZMC=90°-64°=26°.

故选:A.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

9.如图,正方形A3C。和等边跖都内接于圆。,EF与BC、CD分别相交于点G、H.若AE=6,则

A.V3B.3-V3C.V2D.2V3-3

【分析】连接AC、BD、OF,AC与交于P点,则它们的交点为。点,如图,利用正方形和等边三

角形的性质得到NCO尸=60°,ACL2。,NBC4=45°,利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP=

*OF=*OC,OP=^PF=W,从而得至IJPC=OP=®然后利用APCG为等腰直角三角形得到尸G=

PC=®从而得到EG的长.

【解答】解:连接AC、BD、OF,AC与所交于尸点,则它们的交点为。点,如图,

•.,正方形ABCO和等边/都内接于圆O,

:.ZCOF=60°,AC±BD,ZBCA=45°,

■:EF//BD,

:.ACLEF,

1

;・PE=PF=^EF=3,

在RtZXO尸产中,0P=^OF=^OC,

0P=空尸尸=V3,

:.PC=0P=V3,

•••△PCG为等腰直角三角形,

:.PG=PC=A/3,

:.EG=PE-PG=3-四.

故选:B.

F

【点评】本题考查了三角形的外心与外接圆:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,

叫做三角形的外心.也考查了等边三角形和正方形的性质.

10.如图,点。、E分别是。。的内接△ABC的A3、AC边上的中点,若。。的半径为2,ZA=45°,则

。石的长等于()

B

LLV2

A.V3B.V2C.1D.一

2

【分析】连接OB,OC,根据圆周角定理得到/BOC=2NA=90。,根据等腰直角三角形的性质得到BC=

V2OB=2^2,由三角形的中位线定理即可得到结论.

【解答】解:连接OB,OC,

':ZA=45°,

AZBOC=2ZA=90Q,

":OB=OC=2,

:.BC^V2OB=2V2,

;D、E分别是O。的内接△ABC的A3、AC边上的中点,

.,.DE是△ABC的中位线,

:.DE=%BC=Ix2V2=V2,

故选:B.

【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心,直角三角形的性质,圆周角定理,三角形的中位线的性质,

正确的作出辅助线是解题的关键.

11.已知AABC内接于。。,连接AO并延长交8C于点。,若/C=50°,则NBA。的度数是()

A.40°B.45°C.50°D.55°

【分析】连接。8,根据圆周角定理和圆的半径相等即可解决问题.

【解答】解:如图,连接08,

VZC=50°,

:.ZA(9B=2ZC=100°,

,:OA=OB,

:.ZOAB=ZOBA=40°,

则NBA。的度数是40°.

故选:A.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心性质.

12.如图,为AABC的外接圆,已知/ABC为130°,则/AOC的度数为()

A.50°B.80°C.100°D.115°

【分析】作公所对的圆周角/AOC,如图,先利用圆内接四边形的性质得到/AOC=50°,然后根据圆

周角定理得到/AOC的度数.

【解答】解:作公所对的圆周角/AOC,如图,

VZADC+ZABC^1SO°,

而乙48c=130°,

ZA£)C=180°-130°=50°,

:.ZAOC^2ZADC=100°.

故选:C.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

二.填空题

13.如图,ZkABC内接于圆O,ZA=50°,则NQ等于50°.

【分析】由圆周角的定理可求解.

【解答】解:NA与ND所对的弧都是元,

.•.—50°,

故答案为:50°.

【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心,圆周角定理,掌握同弧所对的圆周角相等是本题的关键.

14.如图,。。为△ABC的外接圆,NA=36°,则/BOC的度数为72°.

【分析】直接利用圆周角定理求解.

【解答】解::。。为△ABC的外接圆,/A和4BOC都对比,

:.ZBOC=2ZA=2X36°=72°.

故答案为72.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

15.如图,是△ABC的外接圆O。的直径,若/BCA=50°,则50

【分析】根据圆周角定理即可得到结论.

【解答】解::人。是AABC的外接圆。。的直径,

.,.点A,B,C,。在。。上,

':ZBCA=50°,

:.ZADB=ZBCA=50°,

故答案为:50.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

V2

16.如图,是△ABC的外接圆,ZA=45°,则cos/OCB的值是二-.

【分析】先利用圆周角定理得到/BOC=90°,则可判断△02C为等腰直角三角形,所以NOCB=45°,

然后利用特殊角的三角函数值得到cosNOCB的值.

【解答】解::/BOC=2/A=2X45°=90°,

而OB=OC,

.••△OBC为等腰直角三角形,

.,.ZOCB=45°,

;•cosN0C2=5.

故答案为V?2.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

17.如图,AABC内接于OO,8。是。。的直径,ZCBD=21°,则NA的度数为69°.

0

【分析】直接利用圆周角定理得出NBCZ)=90°,进而得出答案.

【解答】解::△ABC内接于O。,瓦)是O。的直径,

ZBCD=90°,

':ZCBD=2l°,

AZA=ZD=90°-21°=69°.

故答案为:69°

【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心,正确掌握圆周角定理是解题关键.

18.如图,等边三角形ABC内接于。0,点。在上,ZABD=25°,则/54£)=95

【分析】根据等边三角形的性质得到NACB=60°,根据圆周角定理得到NACr>=NA2r>=25°,然后

根据圆内接四边形的性质计算NBA。的度数.

【解答】解:•••△•(:为等边三角形,

AZACB=60°,

VZACD=ZAB£>=25°,

AZBCD=60°+25°=85°,

':ZBAD+ZBCD=180°,

:.ZBAD=1SO°-85°=95°.

故答案为95.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,

叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理和等边三角形的性质.

19.如图,△ABC内接于。0,ZOBC=40°,则乙4的度数为50°

【分析】根据三角形内角和定理求出N50C,根据圆周角定理解答即可.

【解答】解:・・・。3=0。,

:.ZOCB=ZOBC=40°,

:.ZBOC=1SO°-40°-40°=100°,

由圆周角定理得,ZA=1ZBOC=50°,

故答案为:50°.

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握等腰三角形的性质、圆周角定理是解题的关键.

4

20.如图,。。是△ABC的外接圆,NABC=30°,AC=4,则弧AC的长为f

-3

【分析】连接OC,根据圆周角定理可得,△AOC是等边三角形,利用弧长公式即可求得结论.

【解答】解:如图,连接。4,OC,

,.•/A2C=30°,

:.ZAOC=60°,

\'OA=OC,

.,.△AOC是等边三角形,

:.OA=OC=AC=4,

则弧AC的长为:曙=*

4

故答案为:7T.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,弧长的计算,解决本题的关键是掌握弧长计

算公式.

21.如图,/XABC内接于点N分别是CO,48的中点,ZCAB=80°,ZCBA=40°,则NOMN

的度数是20°.

【分析】由圆周角定理可求出/4。3=120°,/AOC=80°,证得△ODV是等边三角形,得出OD=

ON=OM,由三角形内角和定理可得出答案.

【解答】解:如图,连接OA,OB,ON,取。4的中点连接。N,

VZCAB=80°,ZCBA=40°,

ZACS=180°-ZCAB-ZCBA=180°-80°-40°=60°,

:.ZAOB=120°,ZAOC=80°,

:点M是OC的中点,点。是OA的中点,

1

:.OD=OM=^OA,

•・•点N是A8的中点,且乙4。3=120°,

:.ON±AB,ZAON=ZBON=60°,

•・,点。是。4的中点,且NONA=90°,

:・DN=DO,

是等边三角形,

1

,OD=件,

:・OD=ON=OM,

•・・NMON=NCOA+NAON=800+60°=140°,

14O0

:・/OMN=/NOM=:=20°.

故答案为:20°.

【点评】本题考查了圆周角定理,垂径定理,等边三角形的判定与性质,直角三角形的性质,熟练掌握

等边三角形的判定与性质是解题的关键.

三.解答题

22.如图,/XABC是。。的内接三角形,8C=4,NA=30°,求O。的直径.

【分析】连接。2,OC,根据圆周角定理得到N2OC=60°,根据等边三角形的性质即可得到结论.

【解答】解:连接OB,OC,

VZA=30°,

ZBOC=60°,

':OB=OC,

:.AOBC是等边三角形,

:.OC=BC=4,

•••O。的直径=8.

B

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,等边三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关

键.

23.如图,在直角坐标系中,已知点A(0,4),8(-4,0),C(2,0),过A,B,C作外接圆,。为圆

上一动点,求逐D0+D4的最小值.

【分析】如图,设AABC的外接圆的圆心为E连接EO并且延长交AC的延长线于凡连接。F.则E(-

1,1).首先证明△£)EOs△尸£D,得到一=—,推出DF=^DO,所以遮£)。+£)4=。/+。4,由两

DEDF

边之和大于第三边得,DF+DA^AF,推出当点。和点C重合时,。尸+D4最小,即逐。O+D4最小,求

出AF的长即可解决问题.

【解答】解:如图,设△ABC的外接圆的圆心为E连接石。并且延长交AC的延长线于F,连接。足则

E(-1,1).

VA(0,4),8(-4,0),C(2,0),£(-1,1)

直线OE的解析式为y=-x,直线AC的解析式为y=-2x+4,

由{江二"4解喏乙

.•.尸(4,-4),

:.DE=V10,EO=V2,EF=5近,

DEV10r-EF5V2

—==V5,—=~^=

EO迎DEV10

DEEF

•/NE=ZE

EO~DE9

:・ADEOs/\FED,

・EODO

••=,

DEDF

:.DF=V5DO,

:.s/SDO+DA=DF+DA,由两边之和大于第三边得,DF+DA^AF,

当点。和点C重合时,。尸+D4最小,即小CO+D4最小,

:.^DO+DA最小值J42+(-4-4产=4V5.

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识,解题

的关键是利用相似三角形的性质,把问题转化为两点之间线段最短解决问题,题目比较难,掌握辅助线

的添加方法是解题的关键,属于中考填空题中的压轴题.

24.已知:如图,△ABC内接于O。,AE是O。的直径,于点。,NA4E与NCA。相等吗?若相

等,请给出证明;若不相等,请说明理由.

【分析】首先连接8E,由AE是。。的直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得NABE=90°,又由

ADLBC,NE=NC,即可证得/C4£>.

【解答】解:ZBAE=ZCAD.

理由:连接BE,

是。。的直径,

ZAB£=90°,

:.ZBA£=90°-NE,

\'AD±BC,

:.ZA£)C=90°,

:.ZCAD=9Q°-ZC,

VZE=ZC,

:.ZBAE=ZCAD.

【点评】此题考查了圆周角定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

25.如图,OO是△ABC的外接圆,CA=CB,连接80并延长交AC于点D

(1)求证:ZC=2ZCBD;

(2)若A8=6,sinC=j,求。。的半径.

D

O

B

【分析】(1)连接CO,AO,可证△CO4也△COB,所以NACO=N8CO,因为OC=OB,所以NBCO

=/CBD,即可得出NC=2NC8O;

(2)作。。的直径AK,连接BK,贝IJNA8K=9O°,NC=NK,在RtZkA3K中,利用锐角三角函数的

定义即可得出。。的半径.

【解答】解:(1)如图1,连接CO,AO,

•:CA=CB,OA=OB,OC=OC,

:./\COA^/\COB(SSS),

・・・/ACO=NBCO,

・・•OC=OB,

:・/BCO=/CBD,

(2)如图2,作。。的直径AK,连接3K,

则NA5K=90°,NC=NK,

':AB=6,sinC=

・•n36

・・smK=【通’

:.AK=10,

.•・O。的半径为5.

【点评】本题考查圆周角定理,三角形全等的判定和性质,锐角三角函数的定义.作。。的直径是解决

(2)问的关键.

26.如图,已知△ABC内接于O。,点C在劣弧A8上(不与点A,B重合),点。为弦8C的中点,DEL

BC,OE与AC的延长线交于点E,射线AO与射线E8交于点尸,与。。交于点G,若/8。4=90°,

CD=3,△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,求O。半径的长.

【分析】根据/8。4=90°,可得NBCE=45°,NBEC=90°,由于△ABE的面积为AABC的面积的

4倍,所以二,根据勾股定理即可求出AE、AC的长度,从而可求出A3的长度,再由勾股定理即可求

出。0的半径八

【解答】解:・.・。是8。的中点,DELBC,

・•・0E是线段BC的垂直平分线,

:・BE=CE,/BED=NCED,NEDC=90°,

■:/BCA=NEDC+/CED,

:.ZACB=90°+NC即,

:・NCED=NGAB,

:・NCED=/OBA,

JO、A、E、5四点共圆,如图所示,

:.ZBEC=90°,

,:ZBOA=90°,ZBCE=45°,

VAABE的面积为△ABC的面积的4倍,

AE

/.—=4,

AC

CE

—=3,

AC

设CE=3x,AC=x,

由(1)可知:BC=2CD=6,

VZBCE=45°,

CE=BE=3x,

由勾股定理可知:(3x)2+(3x)2=$2,

元=A/2,

:.BE=CE=3近,AC=V2,

:.AE=AC+CE=^y[2,

在RtAAB£中,

由勾股定理可知:AF=(3A/2)2+(4V2)2

:.AB=5^2,

VZBAO=45°,

:.ZAOB=90°,

在RtZ\AOB中,设半径为r,

由勾股定理可知:AB2=2r2,

/.r=5,

,。。半径的长为5.

【点评】本题考查圆的综合问题,涉及圆周角定理,勾股定理,解方程,垂直平分线的性质等知识,综

合程度较高,需要学生灵活运用所学知识.

27.如图,△ABC内接于AB,CD为的直径,DELAB,垂足为E,BC=1,AC=V3,求/。的

度数.

_AC—

【分析】由AB是直径,推出NAC2=90°,由BC=l,AC=g,推出tanNB=等=,,推出NB=60°,

由O8=OC,推出△OBC是等边三角形,由此即可解决问题.

【解答】解:是直径,

AZACB=90°,

':BC=1,AC=V3,

;.tan/B=益=V3,

;.N2=60°,

":OB=OC,

△OBC是等边三角形,

:.ZDOE=ZBOC=60°,

":DE±AB,

:.ZDEO=90°,

:.ZD=90°-ZDOE=3QQ.

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,解题的关

键是灵活运用所学知识,学会寻找特殊三角形解决问题,属于中考常考题型.

28.如图,△ABC内接于AD_LBC于。,于£,交。。于E交BE于H,连。E,试探

究DE与直径CG有无特殊的位置关系?

【分析】结论:DELCG.由△CAOs2XcBE,推出一=—,推出一=—,由NEC£)=/BC4,推出

CBCECDCE

△ECDS^BCA,推出NC£D=NA2C=/G,由CG是直径,推出/G4C=90°,推出/G+NACG=

90°,推出NACG+/OEC=90°,即可证明/EKC=90°.

【解答】解:结论:DELCG.

理由:如图,连接AG,DE交CG于K.

VAZ)±BC,BE±AC,

・・・NAEB=ZBEC=ZADB=ZA£)C=90°,

•.*ZAHE=NBHD,

:.ZCAD=ZCBE,

:ACA

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