长沙市望城区某中学2024-2025学年高一年级上册12月期末考试（练习卷）数学试卷（含答案）

长沙市望城区第二中学2024-2025学年高一上学期12月期末考试

(练习卷)数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.已知函数=y+,方程〃x)_i=o有两解，则。的取值范围是

(x+1)+2〃,元〉一1

()

A.(1,l)B.(0,1)C.(0,l)D.0,+8)

2.已知函数/(x)=ln2T—三，则不等式/(3—J)〉/。X—5)的解集为()

A.(T2)B.(—GO,2)

—2)(2,+oo)D.(^DO,—4)(2,+8)

3.已知函数/(x)=asinx+Z?cos%,其中QGR，b^R，如果对任意xcR,都有

/(x)2,那么在下列不等式中一定成立的是()

A.—4<〃+bv4人<4a2+b2<2a2+b2<4

4.已知角。的顶点在坐标原点，始边与无轴的非负半轴重合，终边经过点

〃)(f>0),则()

A.COS26>0B.COS26»<0C.sin26»>0D.sin26><0

5.下列函数是奇函数且在区间(0,1)上是增函数的是()

A.y=sinXB.y=3"C.y=x2D.y=—

6.已知集合4={—1,1,2,3,4,5}，B={xeN|(x-l)(x-5)<0},则。3=()

A.{3}B,{2,3}C.{2,3,5}D.{-1,1,5}

7.已知锐角。满足百sin0-cos°=1.若要得到函数/'(x)=；-sin?(x+0)的图像，则

可以将函数y=；sin2x的图像().

A.向左平移4个单位长度B.向左平移E个单位长度

1212

C.向右平移办个单位长度D.向右平移2个单位长度

1212

8.“x<l"是±_4%+3>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多项选择题

9.已知是定义在R上不恒为0的函数,/(x-1)的图象关于直线工=1对称,且函数

y=-^―的图象的对称中心也是/(力图象的一个对称中心，则()

A.点(-2,0)是"%)的图象的一个对称中心

B./(x)为周期函数，且4是/(%)的一个周期

C.〃4-力为偶函数

D./(31)+/(35)=2

10.已知定义在R上的函数/(%)满足：对

/(«+/?)+/(«-/7)=2/(«)/(/?),<=—1,贝I以下结论正确

的为()

B./(7i)=OC./(—”=D-/(%+TI)=/(%)

11.已知函数/(x)=也以^1―sin^cos1则()

A.函数/(%)的最小正周期为4兀

B.点l是函数八%)图象的一个对称中心

C.将函数/(力图象向左平移居个单位长度，所得到的函数图象关于y轴对称

D.函数”力在区间上单调递减

12.下列说法正确的是()

A?d>:是“a<b”的充分不必要条件

ab

B.A3=0.是4=0的必要不充分条件

22，

C.若a,"ceR,则“ac>bc”的充要条件是“a>b'

D.若岫GR,贝广I+/?2/是“同+网。0”的充要条件

三、填空题

13.已知sintz-J^cosa=百，则tanc的值是---

14.角，的终边经过点P(4,y),且sin6=-1，则tan8=.

15.己知是定义在R，且满足/(x+2)=/(x-2),当x«0,4)时,

/(%)=|%2-4%+3|,若函数y=/(x)-机在区间［T,6］上有10个不同零点，则实数加

的取值范围是—.

四,解答题

16.已知函数〃x)=log5(-必+2&+1)的定义域为。，g(x)=：’.

(1)若/=；，求函数/(X)的值域；

⑵若D=(m,〃)，且［g(m)-g⑺丁<10,求实数九的取值范围.

17.如图为函数/(力=285(5+0)［0〉0,附<最的部分图像，且

⑴求。，(p的值；

(2)将/(力的图像上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移

里个单位长度，得到函数g(x)的图像，讨论函数丁=8(%)-a在区间-兀，工的零点个

42

数.

18.已知函数〃%)=2sinx(6cosx-sinx)+l,xeR-

⑴求曲线y=〃x)的对称中心；

(2)在锐角三角形AB。中，。，瓦c分别是内角A,B,C的对边，且=2.若b+cW%恒

成立，求实数上的最小值.

19.请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.

(1)如图1,要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCO，如

何截取？并求出这个最大矩形的面积.

(2)如图2,要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最

大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

AOB

图2

20.某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:

年份201420152016201720182019

人数/千人208221352203227623392385

⑴根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数

量的变化趋势；

⑵研究人员用函数P⑺=2000+-------雪〜一拟合该地的人口数量，其中/的单位是

I，4.4878e-°-6554r+l

年,2014年初对应时刻/=0,尸⑺的单位是千人，设尸⑺的反函数为7⑺,求7(2400)的

值(精确到0]),并解释其实际意义.

21.在△ABC中，角A,3c的对边分别是。力©且A,民C成等差数列.

□

⑴若=b=5求a+c的值;

2

⑵求2sinA-sinC的取值范围.

参考答案

1.答案：B

解析：因为小)=卜?凡'"1,所以。〉0且分1，

(x+1)+2〃,x>-1

当0<QVl时,/(X)在X£(-00,-1]时单调递增,所以/(%)1mx=/(―1)=1；

又/(%)在工£(-1,+oo)时单调递增，且/(x)>f(-1)=2a，

因为方程“x)-l=0有两解，所以2〃<1，所以

当时，/(X)在x£(-oo,-l]时单调递减,/(x)^=/(-1)=1;

又〃%)在x£(-1,+co)时单调递增，/(x)>/(-1)=2a，

因为方程/(力-1=0要有两解，所以2〃<1，此时不成立.

综上可得ae(o,g],

故选：B.

2.答案：D

解析：由题意，XGR,/(x)=-xln2-x3)

易知函数/(x)在R上单调递减(减+减)，而/(3-%2)>〃2X-5),

所以3—炉(2无一5=>(x-2)(x+4]0=>xe(-co,T)(2,+co).

故选：D.

3.答案：D

解析：当q=0时，f(x)=bcosx)

因为对任意xeR,都有/(x)w2,

所以码<2,所以-2<2<2,

所以一2<。+/?<2，-2<a-b<2>a2+b2<4}

、_____b

当〃w。时，/(%)=asinx+bcosx=y/a2+b2sin(x+cp)，其中tan^7=—、

因为对任意xcR,都有/(x)w2,

所以Ja2+方2<2，所以片+》2<4，

综上，只有/+〃<4成立，

故选：D

4.答案：D

解析：由题意知，设坐标原点为。，则op=J/+(,t>0^

由三角函数的定义，得cos6=W=万2，sine=~=不工，

OPOP7^77

、-2[t

所以sin2。=2sin6cos。=----<0，

t+1

cos20=cos26-sin20--~-，

t+1

当0</<1时,cos2。<0；当/21时,cos20>0-

故选：D.

5.答案：A

解析：对于A：y=sinx是正弦函数且为奇函数，且在区间(0,1)上是增函数，

故A符合题意；

对于B：>=3-，是指数函数不是奇函数，故B不符合题意；

对于C：y=/是二次函数，且为偶函数不是奇函数，故C不符合题意；

对于D：y=J■是反比例函数且是奇函数，但在区间(0,1)上是减函数，故D不符合题

X

忌、.

故选：A.

6.答案：D

解析：B={xeN|(x-l)(%-5)<0}={%eN|l<%<5}={2,3,4},A={-1,1,2,3,4,5}，

因此，^B={-1,1,5}.

故选：D.

7.答案：A

ITTTI

解析：由Gsin。—cos°=l知：2sin(°---)=1，即sin(9—)=—，

662

所以锐角夕=色,

3

x1.|71|1八2兀、

故〃%)=；—sin2X+67)——sin2XH———cos(2xH----)

'2I3J23

T71/C2兀1./c7T1./C7兀、

乂—COS(2JVH——)———sin(2x+—)——sin(2xH——)>

17兀

・•・/(x)=-sin(2x+—)，

故f(x)是将y=gsin2x向左平移右个单位长度得到，

故选：A

8.答案：A

解析：解不等式丁―4%+3>0得x>3或％<1，

记A=(―co,1^_(3,+co),B，

因为所以“％<1”是“炉_©+3>0”的充分不必要条件.

故选：A

9.答案：AC

解析：因为函数/(x-1)的图象关于直线％=1对称，所以的图象关于y轴对称，即

"%)为偶函数.所以〃-x)=/(x).因为y=工的图象的对称中心为原点0(0⑼，所以

X

y=—的图象的对称中心为(2⑼，所以〃2+x)+/(2-力=0.对于A,由/(%)为偶函

x-2

数，知/(-2+x)+/(-2-x)=〃2-x)+/(2+x)=0,所以点(-2,0)是/(%)图象的一个

对称中心,A正确;对于B,由〃2+x)+/(2—x)=0,得“4+%)+/(—%)=0,所以

/(4+x)+〃x)=0,则/(x)=—〃x+4)=/(x+8),所以/(%)为周期函数，且8是该函数

的一个周期,B错误;对于C,由/(2+力+/(2—力=0,得"4-x)+/(x)=0,即

"4-x)=-/⑺,因为"%)为偶函数，所以"4-x)为偶函数,C正确;对于D,由

/(2+x)+/(2—x)=0,得/⑶+/⑴=0,所以

〃31)+/(35)=〃8x4—l)+/(8x4+3)=/(—l)+/(3)=〃3)+/⑴=0,D错误.故选

AC.

10.答案：ACD

解析：因为定义域为R的函数八％),有〃口+⑶+〃口—

令&=£=：,则/⑶+〃0)=2■划，又"0)=14升-1，

所以［：］=(),故A正确；

令。=夕=|",则/(兀)+/(0)=2/图，

所以/(兀)=1,故B错误；

令a=0，则/(0+/(-⑶=2/(0)/(/?),

得到/(-/?)=/(0，即R,

所以/(%)是偶函数,C正确；

44

则，)+1+〃力=/1+：+£|+/1+：—皆=2/1+：卜)卜0

所以+=-/(X)，则〃x+兀)=-/fx+-|"|=f(x),D正确.

故选:ACD.

11.答案：BCD

解析：f(x)=A/3COS2^-sin-|cos-1=(1+cosx)—gsinx=cos[%+聿]+

/(x)的最小正周期为T=2兀，故A错误；

2兀兀2兀+4等,故B正确;

COS6T

将函数f(x)图象向左平移三57r个单位长度,

6

(57171)东为偶函数，故c正确;

所得到的函数y=COSXH---1--|+

I66

由xe[一看,0],可得%+6€，则f（x）在区间；o]上单调递减，故D正确.

故选：BCD.

12.答案：BD

解析：A选项：当「=22=-2时，满足工＞』，但是不能推出a＜加

ab

反之当a=—2，b=2时，满足a＜b，但是不能推出，〉工，

ab

所以两者既不充分也不必要，故A错误；

B选项：当4={1},6={2},Ai3=0,但是不能推出4=0

当4=0时，AB=0，故B正确；

C选项：当c=0时，不能由a〉Z?推出a。？＞o02,故C错误；

D选项：储+尸A。等价于awO，bwO等价于同+网*0，故D正确;

故选：BD.

13.答案：

2

解析：•:sina-J^cosa=J^sin（a-。）=班，其中tancp=^2-

.兀兀

sin（a-（p）=la-（p=—+2kMkwZ），a=0+,+2E（左eZ），

故tani=tan，0+P]=------=一^^・

I2）tan。2

故答案为：—交.

2

14.答案：—3

4

3y

解析：角，的终边经过点P（4,y）,且sin”

5J16+/，

y=-3,则tanO=2=-3，

-44

故答案为一3.

4

15.答案：0（机＜1

解析：由/(x+2)=/(x-2)得/(%+4)=/(九),

所以函数八％)的周期为4,

先作出y=/(%)在区间［-4,6］上图像：

又/(。)=3，〃2)=1，

则实数机的取值范围为0(根<1.

故答案为：0(根<1.

16.答案：(1)(-oo,2]

(2)[-3,3]

解析：(1)当2时，由—必+!》+1=(一%+2)]%+；]〉0解得一g<x<2,

32

令/=—+当％=——时/取最大值—+-x-+l=—,

22x(-1)4⑷2416

所以d。，!!，从而/(%)的值域为(-8,2】.

2

(2)由于£>=(m,n),MA=42+4>0,

所以方程一%之+2/lx+l=。的两根分别为机，n,且加+〃=2几，mn=-1,

又W(叨工。,即[需-黑卜。,

将根+〃=22,mn——1代入整理得

I--|2

1[/m—nn—m\\2_1mn2+.m—n3—n—m2n+.3m—n+m

41加2+1n2+1J4^m2+1)(^2+1)

从而(m+ri)2-4nm<40,

所以力-9<0o-3W2W3

即实数2的取值范围为[-3,3].

17.答案：(1)6y=2，(p=---,

6

(2)答案见解析.

解析：⑴根据题意得，：=；，故7=兀，①=半=2,故/(X)=2COS(2X+E).

将A|一2]代入，得2x1—+°兀+2E(&eZ),

解得夕—+2E（kGZ）,

又|同<g，故夕=-g

2o

⑵依题意，g(x)=2cos[g[x-苧]=2cos[gx-笄).

函数y=g(x)-a在区间-兀弓的零点个数即为函数g(x)的图像与直线y=a在

-it,-上的交点个数.

_2.

当尤兀3]时，-x-—eF-—,--L结合余弦函数图像可知，

_2]33133_

当xe-兀,彳时，g(x)单调递减，当xe[-多方时，g(x)单调递增,

作出函数g(x)在―吟上的大致图像如图所示.

观察可知，当a=—2或-L<aWl时，y=g(x)—0有1个零点；

当—2<aW—1时，y=g(x)—a有2个零点；

当a<-2或a〉l时，y=g(力-a有0个零点.

18.答案：⑴1号程o],k。

(2)2.

解析：(1)由题意得/(x)=sinxcosx-2sin2x+1=V3sin2x+cos2x=2sin12x+彳

令2x+^=E，kGZ，得X=—■—+—，kGZ

6122

所以曲线产/(x)的对称中心为[精+keZ.

⑵/[T]=2sin^A+^=2,即sin[A+([=1

A是锐角三角形ABC的内角，.♦.4+乌=乌，A=--

623

由正弦定理得比=sin8+sinC

asinA

=[sin(A+C)+sinC]

0<C<-

2

在锐角三角形ABC中,,解得Ce

2nn

0<——C<—

32

得"£42，；.kN2,即实数左的最小值为2.

a

19.答案：（1）OA=Y1,面积最大为1;

2

Q）OB=BBC=昱,面积最大值为2.

2

解析：（1）设NBOC=i，（0<«<-）;

2

:.OB-cosa，BC-since，

S=2OBBC，

S—Isinacosa—sinla,

当&=乌时，即04=变时，矩形面积最大为1；

42

2

（2）依题意可得：椭圆方程为：?+/=1（”0）；

设：点C坐标为（加，制，即

S—2OB-BC=2mn

因为点C为椭圆上的点；

.