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文档简介
长沙市望城区第二中学2024-2025学年高一上学期12月期末考试
(练习卷)数学试卷
学校:___________姓名:班级:考号:
一、选择题
1.已知函数=y+,方程〃x)_i=o有两解,则。的取值范围是
(x+1)+2〃,元〉一1
()
A.(1,l)B.(0,1)C.(0,l)D.0,+8)
2.已知函数/(x)=ln2T—三,则不等式/(3—J)〉/。X—5)的解集为()
A.(T2)B.(—GO,2)
—2)(2,+oo)D.(^DO,—4)(2,+8)
3.已知函数/(x)=asinx+Z?cos%,其中QGR,b^R,如果对任意xcR,都有
/(x)2,那么在下列不等式中一定成立的是()
A.—4<〃+bv4人<4a2+b2<2a2+b2<4
4.已知角。的顶点在坐标原点,始边与无轴的非负半轴重合,终边经过点
〃)(f>0),则()
A.COS26>0B.COS26»<0C.sin26»>0D.sin26><0
5.下列函数是奇函数且在区间(0,1)上是增函数的是()
A.y=sinXB.y=3"C.y=x2D.y=—
6.已知集合4={—1,1,2,3,4,5},B={xeN|(x-l)(x-5)<0},则。3=()
A.{3}B,{2,3}C.{2,3,5}D.{-1,1,5}
7.已知锐角。满足百sin0-cos°=1.若要得到函数/'(x)=;-sin?(x+0)的图像,则
可以将函数y=;sin2x的图像().
A.向左平移4个单位长度B.向左平移E个单位长度
1212
C.向右平移办个单位长度D.向右平移2个单位长度
1212
8.“x<l"是±_4%+3>0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题
9.已知是定义在R上不恒为0的函数,/(x-1)的图象关于直线工=1对称,且函数
y=-^―的图象的对称中心也是/(力图象的一个对称中心,则()
A.点(-2,0)是"%)的图象的一个对称中心
B./(x)为周期函数,且4是/(%)的一个周期
C.〃4-力为偶函数
D./(31)+/(35)=2
10.已知定义在R上的函数/(%)满足:对
/(«+/?)+/(«-/7)=2/(«)/(/?),<=—1,贝I以下结论正确
的为()
B./(7i)=OC./(—”=D-/(%+TI)=/(%)
11.已知函数/(x)=也以^1―sin^cos1则()
A.函数/(%)的最小正周期为4兀
B.点l是函数八%)图象的一个对称中心
C.将函数/(力图象向左平移居个单位长度,所得到的函数图象关于y轴对称
D.函数”力在区间上单调递减
12.下列说法正确的是()
A?d>:是“a<b”的充分不必要条件
ab
B.A3=0.是4=0的必要不充分条件
22,
C.若a,"ceR,则“ac>bc”的充要条件是“a>b'
D.若岫GR,贝广I+/?2/是“同+网。0”的充要条件
三、填空题
13.已知sintz-J^cosa=百,则tanc的值是---
14.角,的终边经过点P(4,y),且sin6=-1,则tan8=.
15.己知是定义在R,且满足/(x+2)=/(x-2),当x«0,4)时,
/(%)=|%2-4%+3|,若函数y=/(x)-机在区间[T,6]上有10个不同零点,则实数加
的取值范围是—.
四,解答题
16.已知函数〃x)=log5(-必+2&+1)的定义域为。,g(x)=:’.
(1)若/=;,求函数/(X)的值域;
⑵若D=(m,〃),且[g(m)-g⑺丁<10,求实数九的取值范围.
17.如图为函数/(力=285(5+0)[0〉0,附<最的部分图像,且
⑴求。,(p的值;
(2)将/(力的图像上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变),再向右平移
里个单位长度,得到函数g(x)的图像,讨论函数丁=8(%)-a在区间-兀,工的零点个
42
数.
18.已知函数〃%)=2sinx(6cosx-sinx)+l,xeR-
⑴求曲线y=〃x)的对称中心;
(2)在锐角三角形AB。中,。,瓦c分别是内角A,B,C的对边,且=2.若b+cW%恒
成立,求实数上的最小值.
19.请解答以下问题,要求解决两个问题的方法不同.
(1)如图1,要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCO,如
何截取?并求出这个最大矩形的面积.
(2)如图2,要在一个长半轴为2米,短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最
大的矩形ABCD,如何截取?并求出这个最大矩形的面积.
AOB
图2
20.某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:
年份201420152016201720182019
人数/千人208221352203227623392385
⑴根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量,并描述该地人口数
量的变化趋势;
⑵研究人员用函数P⑺=2000+-------雪〜一拟合该地的人口数量,其中/的单位是
I,4.4878e-°-6554r+l
年,2014年初对应时刻/=0,尸⑺的单位是千人,设尸⑺的反函数为7⑺,求7(2400)的
值(精确到0]),并解释其实际意义.
21.在△ABC中,角A,3c的对边分别是。力©且A,民C成等差数列.
□
⑴若=b=5求a+c的值;
2
⑵求2sinA-sinC的取值范围.
参考答案
1.答案:B
解析:因为小)=卜?凡'"1,所以。〉0且分1,
(x+1)+2〃,x>-1
当0<QVl时,/(X)在X£(-00,-1]时单调递增,所以/(%)1mx=/(―1)=1;
又/(%)在工£(-1,+oo)时单调递增,且/(x)>f(-1)=2a,
因为方程“x)-l=0有两解,所以2〃<1,所以
当时,/(X)在x£(-oo,-l]时单调递减,/(x)^=/(-1)=1;
又〃%)在x£(-1,+co)时单调递增,/(x)>/(-1)=2a,
因为方程/(力-1=0要有两解,所以2〃<1,此时不成立.
综上可得ae(o,g],
故选:B.
2.答案:D
解析:由题意,XGR,/(x)=-xln2-x3)
易知函数/(x)在R上单调递减(减+减),而/(3-%2)>〃2X-5),
所以3—炉(2无一5=>(x-2)(x+4]0=>xe(-co,T)(2,+co).
故选:D.
3.答案:D
解析:当q=0时,f(x)=bcosx)
因为对任意xeR,都有/(x)w2,
所以码<2,所以-2<2<2,
所以一2<。+/?<2,-2<a-b<2>a2+b2<4}
、_____b
当〃w。时,/(%)=asinx+bcosx=y/a2+b2sin(x+cp),其中tan^7=—、
因为对任意xcR,都有/(x)w2,
所以Ja2+方2<2,所以片+》2<4,
综上,只有/+〃<4成立,
故选:D
4.答案:D
解析:由题意知,设坐标原点为。,则op=J/+(,t>0^
由三角函数的定义,得cos6=W=万2,sine=~=不工,
OPOP7^77
、-2[t
所以sin2。=2sin6cos。=----<0,
t+1
cos20=cos26-sin20--~-,
t+1
当0</<1时,cos2。<0;当/21时,cos20>0-
故选:D.
5.答案:A
解析:对于A:y=sinx是正弦函数且为奇函数,且在区间(0,1)上是增函数,
故A符合题意;
对于B:>=3-,是指数函数不是奇函数,故B不符合题意;
对于C:y=/是二次函数,且为偶函数不是奇函数,故C不符合题意;
对于D:y=J■是反比例函数且是奇函数,但在区间(0,1)上是减函数,故D不符合题
X
忌、.
故选:A.
6.答案:D
解析:B={xeN|(x-l)(%-5)<0}={%eN|l<%<5}={2,3,4},A={-1,1,2,3,4,5},
因此,^B={-1,1,5}.
故选:D.
7.答案:A
ITTTI
解析:由Gsin。—cos°=l知:2sin(°---)=1,即sin(9—)=—,
662
所以锐角夕=色,
3
x1.|71|1八2兀、
故〃%)=;—sin2X+67)——sin2XH———cos(2xH----)
'2I3J23
T71/C2兀1./c7T1./C7兀、
乂—COS(2JVH——)———sin(2x+—)——sin(2xH——)>
17兀
・•・/(x)=-sin(2x+—),
故f(x)是将y=gsin2x向左平移右个单位长度得到,
故选:A
8.答案:A
解析:解不等式丁―4%+3>0得x>3或%<1,
记A=(―co,1^_(3,+co),B,
因为所以“%<1”是“炉_©+3>0”的充分不必要条件.
故选:A
9.答案:AC
解析:因为函数/(x-1)的图象关于直线%=1对称,所以的图象关于y轴对称,即
"%)为偶函数.所以〃-x)=/(x).因为y=工的图象的对称中心为原点0(0⑼,所以
X
y=—的图象的对称中心为(2⑼,所以〃2+x)+/(2-力=0.对于A,由/(%)为偶函
x-2
数,知/(-2+x)+/(-2-x)=〃2-x)+/(2+x)=0,所以点(-2,0)是/(%)图象的一个
对称中心,A正确;对于B,由〃2+x)+/(2—x)=0,得“4+%)+/(—%)=0,所以
/(4+x)+〃x)=0,则/(x)=—〃x+4)=/(x+8),所以/(%)为周期函数,且8是该函数
的一个周期,B错误;对于C,由/(2+力+/(2—力=0,得"4-x)+/(x)=0,即
"4-x)=-/⑺,因为"%)为偶函数,所以"4-x)为偶函数,C正确;对于D,由
/(2+x)+/(2—x)=0,得/⑶+/⑴=0,所以
〃31)+/(35)=〃8x4—l)+/(8x4+3)=/(—l)+/(3)=〃3)+/⑴=0,D错误.故选
AC.
10.答案:ACD
解析:因为定义域为R的函数八%),有〃口+⑶+〃口—
令&=£=:,则/⑶+〃0)=2■划,又"0)=14升-1,
所以[:]=(),故A正确;
令。=夕=|",则/(兀)+/(0)=2/图,
所以/(兀)=1,故B错误;
令a=0,则/(0+/(-⑶=2/(0)/(/?),
得到/(-/?)=/(0,即R,
所以/(%)是偶函数,C正确;
44
则,)+1+〃力=/1+:+£|+/1+:—皆=2/1+:卜)卜0
所以+=-/(X),则〃x+兀)=-/fx+-|"|=f(x),D正确.
故选:ACD.
11.答案:BCD
解析:f(x)=A/3COS2^-sin-|cos-1=(1+cosx)—gsinx=cos[%+聿]+
/(x)的最小正周期为T=2兀,故A错误;
2兀兀2兀+4等,故B正确;
COS6T
将函数f(x)图象向左平移三57r个单位长度,
6
(57171)东为偶函数,故c正确;
所得到的函数y=COSXH---1--|+
I66
由xe[一看,0],可得%+6€,则f(x)在区间;o]上单调递减,故D正确.
故选:BCD.
12.答案:BD
解析:A选项:当「=22=-2时,满足工>』,但是不能推出a<加
ab
反之当a=—2,b=2时,满足a<b,但是不能推出,〉工,
ab
所以两者既不充分也不必要,故A错误;
B选项:当4={1},6={2},Ai3=0,但是不能推出4=0
当4=0时,AB=0,故B正确;
C选项:当c=0时,不能由a〉Z?推出a。?>o02,故C错误;
D选项:储+尸A。等价于awO,bwO等价于同+网*0,故D正确;
故选:BD.
13.答案:
2
解析:•:sina-J^cosa=J^sin(a-。)=班,其中tancp=^2-
.兀兀
sin(a-(p)=la-(p=—+2kMkwZ),a=0+,+2E(左eZ),
故tani=tan,0+P]=------=一^^・
I2)tan。2
故答案为:—交.
2
14.答案:—3
4
3y
解析:角,的终边经过点P(4,y),且sin”
5J16+/,
y=-3,则tanO=2=-3,
-44
故答案为一3.
4
15.答案:0(机<1
解析:由/(x+2)=/(x-2)得/(%+4)=/(九),
所以函数八%)的周期为4,
先作出y=/(%)在区间[-4,6]上图像:
又/(。)=3,〃2)=1,
则实数机的取值范围为0(根<1.
故答案为:0(根<1.
16.答案:(1)(-oo,2]
(2)[-3,3]
解析:(1)当2时,由—必+!》+1=(一%+2)]%+;]〉0解得一g<x<2,
32
令/=—+当%=——时/取最大值—+-x-+l=—,
22x(-1)4⑷2416
所以d。,!!,从而/(%)的值域为(-8,2】.
2
(2)由于£>=(m,n),MA=42+4>0,
所以方程一%之+2/lx+l=。的两根分别为机,n,且加+〃=2几,mn=-1,
又W(叨工。,即[需-黑卜。,
将根+〃=22,mn——1代入整理得
I--|2
1[/m—nn—m\\2_1mn2+.m—n3—n—m2n+.3m—n+m
41加2+1n2+1J4^m2+1)(^2+1)
从而(m+ri)2-4nm<40,
所以力-9<0o-3W2W3
即实数2的取值范围为[-3,3].
17.答案:(1)6y=2,(p=---,
6
(2)答案见解析.
解析:⑴根据题意得,:=;,故7=兀,①=半=2,故/(X)=2COS(2X+E).
将A|一2]代入,得2x1—+°兀+2E(&eZ),
解得夕—+2E(kGZ),
又|同<g,故夕=-g
2o
⑵依题意,g(x)=2cos[g[x-苧]=2cos[gx-笄).
函数y=g(x)-a在区间-兀弓的零点个数即为函数g(x)的图像与直线y=a在
-it,-上的交点个数.
_2.
当尤兀3]时,-x-—eF-—,--L结合余弦函数图像可知,
_2]33133_
当xe-兀,彳时,g(x)单调递减,当xe[-多方时,g(x)单调递增,
作出函数g(x)在―吟上的大致图像如图所示.
观察可知,当a=—2或-L<aWl时,y=g(x)—0有1个零点;
当—2<aW—1时,y=g(x)—a有2个零点;
当a<-2或a〉l时,y=g(力-a有0个零点.
18.答案:⑴1号程o],k。
(2)2.
解析:(1)由题意得/(x)=sinxcosx-2sin2x+1=V3sin2x+cos2x=2sin12x+彳
令2x+^=E,kGZ,得X=—■—+—,kGZ
6122
所以曲线产/(x)的对称中心为[精+keZ.
⑵/[T]=2sin^A+^=2,即sin[A+([=1
A是锐角三角形ABC的内角,.♦.4+乌=乌,A=--
623
由正弦定理得比=sin8+sinC
asinA
=[sin(A+C)+sinC]
0<C<-
2
在锐角三角形ABC中,,解得Ce
2nn
0<——C<—
32
得"£42,;.kN2,即实数左的最小值为2.
a
19.答案:(1)OA=Y1,面积最大为1;
2
Q)OB=BBC=昱,面积最大值为2.
2
解析:(1)设NBOC=i,(0<«<-);
2
:.OB-cosa,BC-since,
S=2OBBC,
S—Isinacosa—sinla,
当&=乌时,即04=变时,矩形面积最大为1;
42
2
(2)依题意可得:椭圆方程为:?+/=1(”0);
设:点C坐标为(加,制,即
S—2OB-BC=2mn
因为点C为椭圆上的点;
.
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