直线与圆锥曲线综合-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第11讲直线与圆锥曲线综合

【人教A版2019】

1.直线与椭圆的位置关系

(1)直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.

(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：

A>0G台直线与椭圆相交。今有两个公共点；

A=O弋合直线与椭圆相切。今有且只有一个公共点;

A<0<?=>直线与椭圆相离"今无公共点.

2.直线与双曲线的位置关系

(1)研究直线与双曲线的位置关系：

y=kx+m,®

式_zi一伪的解的个数进行判断.

{百一百2

①代入②得(62—a2k2)x"-2a2mkx—a2m2—a2b2=0.

当b2—a2k2=0,即左=±2时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.

a

当〃一。之后2，0,即厚时，△=(-1a2mkx)2—4(Z>2—a2k2)■(-a2m2—a2b2).

△>0O直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；

A=0O直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；

A<0O直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.

(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：

(A>0

①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件(x,+x2>0；

[XiX2>0

'A>0

②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件，/+冷<0；

、%1%2>0

③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件

Kxlx2<U

3.直线与抛物线的位置关系

(1)直线与抛物线的三种位置关系：

(2)设直线/:产fcc+m，抛物线:/=2叫3>0),将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于尤的方程

k2x2+(2km—2p)x+m2=0.

①若原0,当A>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当△=()时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当A<0时，直线与抛物线相离，无交点.

②若仁0,直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

►题型归纳

【题型1判断直线与圆锥曲线的位置关系】

22

【例1.1]（23-24高二上•重庆・期末）已知直线/的方程为加久+旷+2爪=1,椭圆C的方程为"+?=1,则

直线1与椭圆C的位置关系为（）

A,相离B.相交C.相切D.不能确定

【例1.2]（23-24高二上.全国•课后作业）已知直线=k（x+l）,抛物线C:y2=4x,/与C有一个公共点

的直线有（）

A.1条B.2条C.3条

D.1条、2条或3条

【变式1.1]（23-24高二上•辽宁大连•期中）已知椭圆C:9+y2=1,直线%-2y+/=0,贝〃与C的位

置关系为（）

A.相交B.相切C.相离D.以上选项都不对

【变式1.2]（24-25高二上•全国•假期作业）过点P（-1,2）的直线与双曲线9-*=1的公共点只有1个，则

满足条件的直线有（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

【题型2根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数】

【例2.1]（23-24高二下•山东烟台•阶段练习）已知直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆7n/+2y2=2m总

有公共点，则小的取值范围（）

A.（0,1）B.&2）C.&1）D.[1,2）

【例2.2】（23-24高二下•上海•阶段练习）如果直线/经过双曲线9/一4y2=36的中心，且与该双曲线不相

交，贝〃的斜率的取值范围是（）

A-[-?!]B.（-8,—,u[|,+8）C.[o,|]D,[-j,o]

【变式2.1]（23-24高三•辽宁沈阳•阶段练习）设抛物线必=舐的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线I与

抛物线有公共点，则直线/的斜率的取值范围是（）

A.[-B.[―2,2]C.[―1»1]D.[―4,4]

【变式2.21（24-25高三上•湖南•开学考试）已知直线/:%=m（y-3）与曲线C:%=汽4-y2有两个公共点,

则m的取值范围是（）

A•（-半弯）B-（T。］C.（.W，。）D.（T。］

模块三_

►知识梳理

1.椭圆的弦长问题

（1）定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

（2）弦长公式：设直线l\y=kx+m交椭圆定+*=1（a>fr>0）于尸i（%Qi），尸2但,为）两点，

/

则出p2\=vi+P|x1-X2|或IRBI=,1+表=-列.

2.双曲线的弦长问题

①弦长公式：直线广丘+b与双曲线相交所得的弦长d=一x?|=’1+工公一.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直

线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在天轴上还

是在y轴上，双曲线的通径总等于2子b之.

3.抛物线的弦长问题

设直线与抛物线交于4（%,%,2（尤2,%）两点，则

|AB|=，（1+左2）（西一）2=•，01+必）2—4%也或

|AB|=J（1+1）QL力尸=J+}+为尸—依为直线的斜率，厚0）.

►题型归纳

【题型3椭圆的弦长问题】

【例3.1］（23-24高二上•浙江绍兴•期末）已知椭圆C:=+y2=1,过原点。且倾斜角为;的直线交椭圆于力,B

两点，则依例二（）

V1O口2V10Q3V10门4710

AA.D.-----C.---D.-------

5555

【例3.2】（23-24高二上.浙江•期中）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》

一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，

后来，人们把这条直线称为欧拉线.已知AABC的顶点C（0,3，S.AC=BC,贝必ABC的欧拉线被椭圆E:J+

y2=1截得的弦长的最大值为（）

AV79DV23cV30cV122

A.D.C.D.--------

4224

【变式3.1]（23-24高二下.江苏南京.期末）已知椭圆C:，+^=l（a>b>0）的左、右焦点分别为后4,

上顶点为A,丽•布=0.

（1）求C的离心率；

（2）若射线26交椭圆。于点B，且2B=（,求a的值.

【变式3.2]（23-24高二下.湖南•期末）已知椭圆C:5+《=l（a>b〉0）过点且离心率为冬

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线2过点Q（0,-1）,且与C交于4B两点，当|力用最大时，求直线[的方程.

【题型4双曲线的弦长问题】

【例4.1]（23-24高二上.天津河西•期末）过双曲线1的右焦点尸2,倾斜角为30。的直线交双曲线于

A,2两点，则|4洌的值为（）

A.-V3B.-V3C.—V3D.—V3

5555

【例4.2]（2024•山东•模拟预测）过双曲线/—y2=2的左焦点作直线1,与双曲线交于4,8两点，若|4B|=4,

则这样的直线，有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【变式4.1]（2024•安徽蚌埠•模拟预测）已知双曲线E:/-箕=l（a>0">0）的左顶点是4（一1,0）,一条

渐近线的方程为y=x.

（1）求双曲线E的离心率;

（2）设直线y=2x—T与双曲线E交于点P,Q,求线段P。的长.

22

【变式4.2］（2024・安徽•一模）已知双曲线C：5-巳=1（。>°，6>。）的离心率为2.且经过点（2,3）.

⑴求C的方程；

⑵若直线/与C交于A,B两点,且瓦5・加=0（点。为坐标原点），求|AB|的取值范围.

【题型5抛物线的弦长问题】

【例5.1］（2024•山东聊城•三模）已知抛物线C:久2=2py（p>0）的焦点F到其准线的距离为2,过F的直线I

与C交于4,B两点，则|4B|的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【例5.2］（2024•全国•模拟预测）已知抛物线p=2px（p>0）的一条弦4B恰好以P（l,l）为中点，弦4B的长

是vn贝！jp=（）

A.1B.2C.3D.4

【变式5.1］（23-24高二下.贵州黔南.期中）已知抛物线必=6乃过点4（4,1）作一条直线交抛物线于B,C两

点，且点4为线段BC的中点.

（1）求线段BC所在的直线方程.

（2）求线段8c的长.

【变式5.2］（23-24高二下•湖北孝感.开学考试）已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点尸与定点

F(1,O)的距离比它至Uy轴的距离大1.

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)若直线/经过点孔与曲线C交于A,8两点，S.\AB\=8,求直线/的方程.

【题型6圆锥曲线中的面积问题】

【例6.11(24-25高三上•江苏南通・开学考试)分别过椭圆C：0+<=1的左、右焦点％,尸2作两条平行直线,

与C在x轴上方的曲线分别交于点P,Q.

(1)当尸为C的上顶点时，求直线P。的斜率；

(2)求四边形P&F2Q的面积的最大值.

【例6.2](2024•陕西安康•模拟预测)已知抛物线必=2Px(p>0)上的动点与M(2,0)距离的最小值为旧.

⑴求P；

(2)过点Q(2,l)的直线I交抛物线于4B两点，直线厂平行于I,且与抛物线仅有一个公共点N,求AABN面积的

最小值.

22

【变式6.1](2024•甘肃酒泉•三模)已知双曲线C+一a=l(a>0/>0)的一条渐近线方程为x+2y=0,

且焦点到渐近线的距离为1.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若双曲线C的右顶点为4,B(0,-6),过坐标原点的直线1与C交于E,尸两点，与直线A8交于点M,且点

E,M都在第一象限，AAFM的面积是AAEM面积的5倍，求直线Z的斜率.

【变式6.2]（2024•陕西宝鸡•三模）已知椭圆E:\+《=l（a>b>0）和圆C:/+y2=1,C经过E的右焦点

F,点48为E的右顶点和上顶点，原点。到直线的距离为率.

⑴求椭圆E的方程；

（2）设D,力是椭圆E的左、右顶点，过F的直线/交E于M,N两点（其中M点在无轴上方），求AM4F与ADNF的

面积之比的取值范围.

【题型7圆锥曲线中的向量问题】

2

【例7.1]（23-24高二上•北京•期中）已知椭圆v+V=1的上、下顶点为A,B,过点P（0,2）的直线/与椭

圆M相交于两个不同的点C,D（C在线段PD之间），则方•南的取值范围为（）

A.（-1,16）B.[-1,16]C.（-1,^）D.[-1,^）

【例7.2]（2024•湖北黄石•二模）已知用Oo/o）为双曲线/—y2=4上的动点，x0>0,y0>0,直线

尤oX-y°y=4与双曲线的两条渐近线交于P,Q两点（点P在第一象限），R与Q在同一条渐近线上，则而•而

的最小值为（）

A.-8B.-4C.0D.-2

【变式7.1]（2024•全国•模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点,对称轴为坐标轴，且过4（一2,0）,B（-4,3）

两点.

⑴求C的方程；

（2）设尸，M,N三点在C的右支上，BM||AP,AN||BP,证明：

（i）存在常数人满足丽+ON=AOP；

（ii）△MNP的面积为定值.

【变式7.2］（23-24高二下.上海•阶段练习）设点6，/分别是椭圆。5+券=1（t〉0）的左、右焦点，

且椭圆C上的点到点尸2的距离的最小值为2近-2点M,N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量物

与向量取平行.

（1）求椭圆C的方程；

（2）当瓦N•取=0时，求点N的坐标；

⑶当|可|-|物|=遍时，求直线F?N的方程.

A课局鼾（19题）

一、单选题

22

1.（23-24高二上.江西•期末）直线2+7=1与椭圆京+a=l（a>6>0）的位置关系为（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

2.（23-24高三下•四川绵阳•阶段练习）过双曲线C：/一?=1左焦点为尸和点力（。之四）直线呜双曲线c的

交点个数是（）

A.0B.1C.2D.3

3.（2024.安徽马鞍山•模拟预测）已知抛物线C:y2=4”的焦点为F,准线与x轴交于点M,直线1过其焦点产

且与C交于A,B两点，若直线4M的斜率为《，则|4B|=（）

A.—B.—C.4D.5

55

4.（2024•广西桂林•三模）已知椭圆C：。+<=1的右焦点为凡过尸的直线与C交于A、8两点，其中

43

点A在无轴上方且方=2而，则8点的横坐标为（）

2

5.（23-24高二上.江苏泰州•期中）已知双曲线C：二v―y2=i的右焦点为尸，过尸的直线/与双曲线C交

4

于A,8两点，若|48|=4,则这样的直线/有（）

A.。条B.2条C.3条D.4条

6.（23-24高二下•陕西渭南•期末）已知直线-y+1=0与椭圆=1交于a,B两点，当|48|取

4

最大值时小的值为（）

A.+—B.+—C.+—D.+-

~2~2~2~2

7.（2024・重庆・模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过尸且斜率为1的直线与抛物线交于4、B两

点（4在久轴上方），过点4、B作准线的垂线，垂足分别为4、B'线段4次中点为E,四边形44EF和四边形

BB,EF的面积分别记为SiS，贝U科=（）

A.3-2V2B.3-V2C.3+V2D.3+2或

8.（2024•陕西榆林.模拟预测）如图，抛物线E：/=2px（p>0）的焦点为R过点M（p,0）的直线4,"与

E分别相交于力（久1，乃），8（久2，先）和心。两点，直线经过点「当直线A8垂直于x轴时，\AF\=3.下

列结论正确的是（）

B.y，2=-6

C.若AD,BC的斜率分别为k2,则灯=2卜2

D.若△凡4B的面积为2&,则AFCD的面积为

二、多选题

9.（23-24高二下.河北唐山・期末）已知抛物线C过点4（1,-4）,则（）

A.抛物线C的标准方程可能为必=16%

B.挞物线C的标准方程可能为/=-ly

4

C.过点4与抛物线只有一个公共点的直线有一条

D.过点4与抛物线只有一个公共点的直线有两条

10.（2024・安徽・模拟预测）已知双曲线C：/_?=1的左、右焦点分别为尸1，F2,直线八x-my-l（meR）

与C的左、右两支分别交于N两点（点N在第一象限），点2（，见）在直线I上，点。在直线NF2上，

且Q&IIPF2,则（）

A.C的离心率为3B.当根=W时，|MN|=学

C.NP&M=NNF2PD.IQF2I为定值

22

11.（23-24高二上•浙江台州•期中）已知椭圆C：a+S=l（a>6>0）的左，右两焦点分别是尻,F2，其中

\FrF2\=2c.直线=k（x+c）（fceR）与椭圆交于4B两点，则下列说法中正确的有（）

A.△ABB的周长为4a

2

B.若AB的中点为M,则岫时/=h*

C.若丽・丽=4c2,则椭圆的离心率的取值范围是[彳,g]

D.若k=l时，则△力8F2的面积是呼鬻

三、填空题

22

12.（2024高二上•江苏•专题练习）直线y=-—k+ladR）与焦点在无轴上的椭圆篙+±=1总有公共

点，则机的取值范围是.

13.（24-25高二上•上海•课堂例题）已知双曲线C：2x2-y2=2,过点P（l,2）的直线/与双曲线C交于M、

N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|=.

14.（24-25高三上•河南•开学考试）如图，已知抛物线E：/=4y,点p是E的准线/上一动点，过点P作E的

两条切线，切点分别为M,