与圆相关的压轴题-2022年中考数学试题分项汇编（第2期）解析版

专题20与圆相关的压轴题

解答题

1.(2022•湖北宜昌)已知，在AABC中，ZACB=90°,BC=6,以8C为直径的0。与AB交于点H,将AABC

沿射线AC平移得到ADEF,连接BE.

(1)如图1,DE与。。相切于点G.

①求证：BE=EG；

②求的值；

(2)如图2,延长"0与。。交于点K,将△DEF沿上折叠，点歹的对称点尸恰好落在射线BK上.

①求证：HK//EF'-,

②若KF』3,求AC的长.

【答案】(1)①见解析；②BECD=9

(2)①见解析；②AC的长为2宕

【分析】(1)①用切线角定理即可证

②连接OE,OD,OG,证明△ODGSAEOG,利用相似对应边成比例即可得到

⑵①延长交BE于点Q,设NABC=e,利用题目中平移，折叠的对应角相等，40。和4E尸用a

表示出来，得到ZBQO=ZBE产'即可

②连接尸尸'，交DE于点、N,证明△HBK/△EVF,设BK=x,利用△HBKsZXFCB,算出无；在RtAHBK

中，sinZBHK=—=-=-,在RAABC中，即可求出AC的长

KH62

(1)

①如第23题图1

图1

*/&4BC沿射线AC方向平移得到ADEF

?.BE//CF

,：NACB=90°

，ZCBE=ZACB=90°

方法一：连接。G,OE

,/DE与。。相切于点G

NOGE=90。

NOBE=NOGE=90。

•：OB=OG,OE为公共边

/.RtABOE^Rt/\GOE（HL）

：.BE=GE

方法二：YBC是。。的直径

物与。。相切于点8

「OE与。。相切于点G

BE=GE

②如第23题图2

图2

方法一：

过点。作DMJ_鹿于点"

NDMB=90。

由（1）已证NCBE=/3CF=90。

.,•四边形3CDM是矩形

CD=BM,DM=BC

由（1）己证：BE=GE

同理可证：CD=DG

设=CD=y

在README中，DM2+ME2DE2

（尤一y）2+62=（尤+y）2

：.xy=9

即3ECD=9

方法二：

图3,连接OE,OD,0G

图3

•••DE与。。相切于点G,8E与。。相切于点8,8与。。相切于点C

BE=GE,CD=DG,ZOEG=-ZBEG,ZODG=-ZCDG

22

丁BE//CF

・•・ZBEG+ZCZX7=18O°

・・・ZOEG+ZODG=90°

：.ZEOD=90°

：.ZDOG-vZGOE=90°

又「DE与O。相切于点G

JOG±DE

/DOG+/ODG=90。

：.ZGOE=ZODG

：.△ODGS^EOG

.OGEGRn2

..—=—,WOG2=DGEG

L)CJOCJ

oo的直径为6

，OG=3

：.BECD=9

(2)

①方法一：

如图4

延长HK交BE于点Q

设NABC=c

•.,在。。中，OB=OH

：.NBHO=NOBH=a

：.ZBOQ=ZBHO+ZOBH=2a

：.ZBQO=90°-2a

；AABC沿射线AC方向平移得到ADEF,ADEF沿DE1折叠得到△口£?，

Z.DEF=ZDEF'=ZABC=a

：.ZBEF'=90°-2«

ZBQO=ZBEF'

：.HK//EF'

方法二：

"/”是。。的直径，

：.ZHBK=90°,

设NABC=a,在O。中，OB=OH,

：.ZBHO=ZOBH=a,

：・/HKF'=900+a,

△ABC沿射线AC方向平移得到△DEF,

△DEF沿DE折叠得到ADEF',

・・・ZDEF=ZDEF1=ZABC=a,

，ZBEF'=900-2a,

・：NEBF=ZABC=a,

在△BEF冲，ZBF，E=180。一NEBF「NBEF，=90。+a,

・•・AHKF'=ZBF'E,

：.HK//EF1.

方法三：

如图，延长5尸交ON于点N

△ABC沿射线AC方向平移得到△DEF

:.AB//DE.AABC冬ADEF

ADEF沿DE折叠得到ADEF'

：./\DFF'^/\DFF

：.ADEF^AABC

：.ZABC=ZDEF\EF'=BC

,/HK=BC

：.EF'=HK

*：UK是直径

・•・ZABK=90°

,?AB//DE

：.ZABK=ZBNE=90。

：.ADEF'^AABC

：.NBKH=NEF'N

：.1800-ZBKH=1800-ZEF'N

即NHKF=NEF'K

HK//EF'

②连接尸尸，交.DE于点、N,如图6

•..△DEF沿£>E折叠，点尸的对称点为F

:.EDIFF',FN=-FF'

2

*/HK是。。的直径

ZHBK=90。，点3恰好落在射线BK上

BF'±AB

'：AASC沿射线AC方向平移得到AOEF

AB//DE,BC=EF

...点8在E尸的延长线上

.••点8,F,,/这三点在同一条直线上

而3C为。。的直径

?.HK=BC=EF

在AHBK和△E/VF中

/HBK=NENF；NBHO=NNEF；HK=EF

：.AHBK^AENF

：.BK=NF

设BK=x,贝ijM=5K+"'+b'尸=x+3+2x=3x+3

OB=OK

：.ZOBK=ZOKB

而NHBK=ZBCF=90。

：.AHBK^AFCB

.BKHK

**BC-BF

.x_6

63%+3

解得：石=3,%=-4（不合题意，舍）

J5K=3

在中，sinZBHK=-=-=-

KH62

：.NBHK=3。。

：.ZABC=30°

Ar1

在RtAABC中，tanZABC=tan30°=-----

BC

・•・AC=6-tan30°=6x—=273

3

即AC的长为2石

【点睛】本题考查折叠，三角形全等，三角形相似，圆的性质；巧妙构造辅助线，利用上题目所给条件是

本题的关键

2.（2022•贵州遵义）与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用

上述结论进行探究.

提出问题：

如图1,在线段AC同侧有两点8,D,连接AD,AB,BC,CD,如果NB=ND,那么A,B,C,D

四点在同一个圆上.

AC

图1

探究展示：

如图2,作经过点A,C,。的Q。，在劣弧AC上取一点E（不与A,C重合），连接AE,CE则

ZAEC+ZD=180°（依据1）

图2

•;NB=ND

.'.ZAEC+ZB=180°

•・•点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

二点8,。在点A,C,E所确定的。。上（依据2）

点A,B,C,E四点在同一个圆上

（1）反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：;依据2：.

（2）图3,在四边形中，Z1=Z2,Z3=45°,则/4的度数为

（3）展探究：如图4,已知AABC是等腰三角形，AB=AC,点。在BC上（不与3C的中点重合），连接AO.作

点C关于AD的对称点E,连接EB并延长交的延长线于尸，连接AE,DE.

A

图4

①求证：A,D,B,E四点共圆；

②若AB=2也,AZ>AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.

【答案】（1）圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等

（2）45°

（3）①见解析；②8

【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可；

（2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；

（3）①根据（1）中的结论证明=即可得证；②证明AaiDsAEAB,根据相似三角形的性质即

可求解.

（1）

如图2,作经过点A,C,。的。。，在劣弧AC上取一点E（不与A,C重合），连接AE,CE则

ZAEC+Zr>=180°（圆内接四边形对角互补）

图2

•.•ZB=ND

.".ZAEC+ZB=180°

，点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

二点8,。在点A,C,E所确定的。。上（同圆中，同弧所对的圆周角相等）

•・•点A,B,C,E四点在同一个圆上

故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等

⑵

•.•在线段。同侧有两点A,B,Z1=Z2

A,3,C,C四点共圆,

AD=AD

/.Z4=Z3=45°

故答案为：45°

(3)

•••AB=AC,

ZABC=ZACB,

•・・石点与C点关于AO对称，

.•.ZACD=ZAED,

:.ZAEB=ZABD,

.・.AD,瓦石四点共圆;

②AZ>AF=8,理由如下，

如图，氏E四点共圆，

"FBD=NDAE,

A瓦AC关于AD对称，

.\ZDAE=ZDACf

：・/DAC=/DBF,

\-ZADC=ZBDF,

:.NF=ZACD,

\-AB=ACf

.\ZABD=ZACD,

:.ZF=ZABD,

又NBAD=/FAB,

.,.ABAD^AFAB,

ABAD

,AF"AB)

:.ADAF^AB2>

■：AB=272,

:.ADAF=8.

【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质

与判定，掌握以上知识是解题的关键.

3.（2022•黑龙江哈尔滨）己知S是。。的直径，点A,点8是。。上的两个点，连接04,03,点。，点E

分别是半径。的中点，连接CD,CE,BH,且NAOC=2NCHB.

G

H图3

(1)如图1,求证：ZODC=ZOEC；

（2）如图2,延长CE交于点尸，若CDLQ4,求证：FC=FH；

（3）如图3,在（2）的条件下，点G是8〃上一点，连接AG,BG,"G,O。若AG:3G=5:3,HG=2,求OF

的长.

【答案】（1）见解析

(2)见解析

(3)<?F=—

3

【分析】(1)根据SAS证明ACOD三ACOE即可得到结论；

(2)证明=NECO即可得出结论；

(3)先证明OF_LCH,连接AH,证明=设AG=5x,BG=3x,在AG上取点M,使得AM=8G,

连接MH,证明△MHG为等边三角形，得MG=HG=2,根据AG=4W+MG可求出x=l,得AG=5,

BG=3,过点〃作HNLMG于点N,求出HB=M，再证5=20尸，根据=3。尸=晒可得结论.

(1)

如图1...•点。，点£分别是半径。4,。8的中点

图1

/.OD=-OA,OE=-OB

22

"?OA=OB,

：.OD=OE

:ZBOC=2NCHB,ZAOC=2NCHB

：.ZAOC=ZBOC

'：oc=oc

：.ACOD^ACOE,

/.NCDO=NCEO；

⑵

如图2.VCD1OA,

：.NCDO=90°

c

图2

由(1)得NCEO=NCDO=90°,

OF1

・・.sinZOCE=-=-

OC2

・・・NOCE=30。,

・・・ZCOE=90°-ZOCE=60°

・・・ZH=-ZBOC=-x60°=30°

22

ZH=ZECO,

:.FC=FH

(3)

如图3.•：CO=OH,

：.OFCH

・・・NFOH=90。

C

H

图3

连接AH.VZAOC=ZBOC=60°

：.ZAOH=ZBOH=120°,

:・AH=BH,ZAGH=60°

AG:BG=5:3

设AG=5x,

BG=3x

在AG上取点M,使得AM=3G,连接MH

•；ZHAM=ZHBG,

：.AHAM经AHBG

：.MH=GH,

・・・&WWG为等边三角形

:.MG=HG=2

AG=AM+MGf

5x=3x+2

••x—1,

・•・AG=5

：.BG=AM=3,

过点”作HNLMG于点N

MN=^-GM=1x2=1,HN=HG.sin60。=百

22

JAN=MN+AM=4,

•*-HB=HA=[NN+HN?=M

VZFOW=90°,NOHF=30。，

・•.ZOFH=60°

OB=OH,

・•・ZBHO=ZOBH=30°,

ZFOB=ZOBF=30°

・•・OF=BF,

在RMOFH中,NONF=30。，

:.HF=2OF

HB=BF+HF=3OF=V19,

・“M

•.OF=-----.

3

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形

的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.

4.（2022•黑龙江绥化）如图所示，在。。的内接AAMN中，NM4N=90。，AM=2AN,作于点

P,交。。于另一点8,C是痴上的一个动点(不与A,M重合)，射线MC交线段54的延长线于点

分别连接AC和BC,BC交MN于点、E.

D

(1)求证：△CWs/XCBZ).

⑵若MN=10,MC=NC，求3C的长.

3MF

(3)在点C运动过程中，当=：时，求——的值.

【答案】(1)证明见解析

⑵6否

(3)1

【分析】(1)利用圆周角定理得到NCAM=NABC,再利用两角分别相等即可证明相似；

(2)连接OC,先证明是直径，再求出A尸和NP的长，接着证明利用相似三角形的

性质求出0E和尸石，再利用勾股定理求解即可；

(3)先过C点作CGLMN,垂足为G,连接CN,设出GM=3x,CG=4x,再利用三角函数和勾股定理分别

表示出尸8和尸G,最后利用相似三角形的性质表示出EG,然后表示出ME和NE,算出比值即可.

(1)

解：\-ABLMN,

：.ZAPM=90°,

：.ZD+ZDMP=90°,

XVZDMP+ZNAC=1SO°,ZMAN=90°,

：.ZDMP+ZCAM=90°,

，NCAM=/D,

'：ZCMA=ZABC,

：.△CMA^ACBD.

⑵

连接OC,

,?/MAN=90。，

是直径，

；MN=10,

：.OM=ON=OC=5,

22

AM=2AN,且■+AN=MN,

AN=275,AM=4A/5,

"SAAMN-^AM.AN=^MN-AP,

・・.AP=4,

:.BP=AP=4,

•*-NP=YIAN2-AP2=2^

：.OP=5—2=3,

MC=NC，

：.OCLMN,

：.ZCOE=90°,

\-AB_LMN,

：./BPE=90。,

：.ZBPE=ZCOE,

又♦:/BEP=/CEO,

：.△COEsABPE

,CO_OE_CE

**BP-PE-BEy

nn5OECE

4PEBE

由OE+PE=OP=3,

54

：.0E=~,PE=-

33

JCE=doc?+OE?=(2+百*百，

BE=y/BP2+PE2=J42+f=|6，

(3)

过。点作CGLMN,垂足为G,连接CM

〈MN是直径，

ZMCN=90°,

：.NCNM+NDMP=9。。,

ZD+ZDMP=90°,

：.ZD=ZCNM,

3

tanZMDB=—,

4

3

AtanZCW=-,

4

设GAl=3x,CG=4x,

CM=5x,

・•.CN4,

NG普

.25x

：.NM=——

3

・•・OM=

AM=2AN,且J#?+.2=就2,

....575...1075

••AN=---x，A.M.=-------x,

33

-JS^^AM-AN^MN-AP,

AP=—x=PB,

3

：.NP=-x,

3

・・.PG5x-Ux,

333

ZCGE=ZBPE=90°,ZCEG=ZBEP,

：.ACGE^ABPE,

.CGGECE

**BP-PE-

4xGECE

即lO--PE-BE

——x

3

AGE=2x,PE=-x

3

1QY

：.ME=5x,NE=——,

3

：.ME:NE=3:2,

【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动

点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴

题.

5.(2022•黑龙江大庆)如图，己知3c是AABC外接圆。。的直径，8。=16.点。为。。外的一点,

NACD=N3.点E为AC中点，弦BG过点E.EF=2EG.连接OE.

⑴求证：。是。。的切线；

(2)求证：(OC+OEXOC-OE)=EGEF.

⑶当尸G||8C时，求弦BG的长.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)3733-3

【分析】(1)根据2C是AABC外接圆。。的直径，得乙BAC=90。，由因为/ACr>=/2,得/2(工>=90。，即

可得答案；

PPAp

(2)先证△产E4s△CEG,得——二——，又因为AE=",EF=2EG,得CE^ZEG2,得0C2-0氏",即

CEEG

可得答案；

(3)作ONLFG,延长FG交线段于点W,得四边形OAWC为矩形，得NG=L5EG,NE=0.5EG,

EW=8-1.5EG+£G=8-0.5EG,得(8-0.5EG)2+64-2EG2-^EG2=2£G2,得EG=^-1,即可得答案.

(1)

解：是AABC外接圆。。的直径，

Z.ZBAC=90°,

・•.ZB+ZACB=90°f

丁ZACD=ZB,

：.ZACD+ZACB=90°,

：.ZBCD=90°,

•・・OC是00的半径,

：.CD是。。的切线；

(2)

如下图，连接ARCG,

・•・NAFE=/ECG,

•.*/AEF=/CEG,

：.AFEAsMEG,

.EF_AE

…在一访’

・・,点£为AC中点，

：.AE=CE,

♦:EF=2EG,

.2EGCE

CE~~EG"

：.CE2=2EG,

・・・NA4C=90。，点E为AC中点,

:.EO//AB9

：.ZOEC=90°,

：.OC2-OE2=EC2,

：.OC^OE^IEG2,

・•.(OC+OE)(OC-OE)=EGEF；

(3)

作ON，尸G,延长尸G交线段于点W,

VBC=16,

008,

,:FG〃BC,

・•・四边形ONWC为矩形，

•:EF=2EG,

:・FG=3EG,

：.NG=1.5EG9NE=05EG,EW=8-1.5EG+EG=8-0.5EG,

由(2)可知：OC2-OE2M2EG2,

：.CE2=2EG,

：.OE^b^-lEG2,OAP=64-2EG2--EG2,EM=(8-0.5EG)2,

4

(8-0.5£G)2+64-2EG2--EG2=2EG2,

4

解得EG=闻-1,

:.FG=3EG=3底-3.

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩

形的性质，解题的关键是作合适的辅助线.

6.(2022・湖南长沙)如图，四边形ABC。内接于。。，对角线AC,8。相交于点E,点尸在边AD上，连接

EF.

⑴求证：AABE^ADCE；

AEDEAFFE

⑵当DC=CB,NO/E=2NC03时，则大—一--------1---------

BECEABAD

11____1

.(直接将结果填写在相应的横线上)

ABADAF

(3)①记四边形ABC。，的面积依次为S，S，S2,若满足班=质+后，试判断，AABEACDE

的形状，并说明理由.

②当DC=CB，AB=m,AD=n,C£)=p时，试用含相，孔,p的式子表示AE・CE.

【答案】(1)见解析

(2)0,1,0

(3)①等腰三角形，理由见解析，②存

p-\-rnn

【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证；

AFr)F

(2)由(1)的结论，根据相似三角形的性质可得AE-CE=3E・DE,即可得出不匚=0,根据已知条

BECE

件可得EF//AB,FA=FE,即可得出ADEESAZMB根据相似三角形的性质可得空=空，根据恒等式变

ABAD

形，进而即可求解.

(3)①记△ADE,△EBC的面积为S3，S4，则S=S1+S?+S3+S4,StS2=S3S4,根据已知条件可得邑=S4,进

而可得'.0=5/碇，得出CD〃AB,结合同弧所对的圆周角相等即可证明△A3E,A£»CE是等腰三角形;

②证明AD4csADCES^CD,根据相似三角形的性质，得出EA-AC+CE.AC=AC?+,

[CZ)2,2ITIVI

则4C=J〃"Z+02,EC=K=,,AE=AC-CE=计算即可求解.

AC/rm+p-1nm+p-

(1)

证明：AD=AD>

ZACD=ZABD,

即/4fiE=NDCE,

又NDEC=NAEB,

，AABE^ADCE；

(2)

AABE^ADCE,

.ABBE_AE

,~DC~~CE~~DE'

.•.AECE=BEDE,

AEDEAECE-BEDE八

-----------=----------------------=0,

BECEBECE

・.・ZCDB+ZCBD=180°-ZBCD=ZDAB2ZCDB,

・•ZDFE=2ZCDB,

:.ZDFE=ZDAB,

:.EF//AB,

,\ZFEA=ZEAB,

DC=CB,

.\ZDAC=ZBAC

,\ZFAE=ZFEA,

;.FA=FE,

•：EF//AB,

:ADFES力AB,

EF_DF

AB-AD

AFFEEFAFDFAFAD

I—i=--------1-------=

ABADABADADADAD

AFAFAFEF

-----1----------H-----=1,

ABADABAD

AFAF

-----1-----：=1,

ABAD

111

——+-----=0,

ABADAF

故答案为：0,1,0

(3)

①记AADE,AEBC的面积为s3,s4,

则S=Sx+S2+S3+S4,

・S3S2DE'

S£=s3s4①

•.•凤西+病，

即5=耳+32+2£^,

二$3+$4=2柄瓦②

由①②可得其+邑=2s店，

即（S-四丫=。,

.t.83=84,

•CIC_C_|_C

…Ta&ADE—°AABE丁0AEBC，

即SJBD=IAOC，

:.CD//AB,

ZACD=ABAC,ZCDB=/DBA,

•/ZACD=ZABD,/CDB=/CAB,

:.NEDC=NECD=NEBA=NEAB,

「.△ABE,aCE都为等腰三角形；

②:DC=BC，

.\ZDAC=ZEAB,

•;ZDCA=/EBA,

:.ADAC^^EAB,

.ADAC

,,迈一瓦’

,/AB=m,AD=n,CD=p,

EA・AC=DAxAB=rm,

・.・ZBDC=ABAC=ADAC,

.\ZCDE=ZCAD,

又/ECD=/DCA,

..ADCES4ACD,

,CD_CE

,•三—方‘

:.CECA=CD2=p2,

:.EAAC+CEAC=AC2=mn+p2,

CD2

则AC=y]mn+p?,EC=

~AC

m

?.AE=AC-CE=2L

Q/mn+p1

.厂厂.mnp2

,AE•EC=.

mn+p

【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，对于相似恒等式的推导是解题的关键.

7.(2022.湖南娄底)如图，已知5。是心的角平分线，点。是斜边A5上的动点，以点。为圆心，OB

长为半径的经过点。，与Q4相交于点E.

3

(1)判定AC与。O的位置关系，为什么？(2)若3C=3,CD=-,①求sinNDBC、sinNABC的值；②试用

sinNDNC和cosND5C表示sinNABC,猜测sin2a与sina,cosa的关系，并用a=30°给予验证.

【答案】(1)相切，原因见解析

(2)(1)sinZDBC=—,sinZABC=；②sin2a=2sinacosa,验证见解析

53

【分析】(1)连接。。根据角之间的关系可推断出OD〃3C,即可求得NOD4的角度，故可求出圆与边的

位置关系为相切；

(2)①构造直角三角形，根据角之间的关系以及边长可求出sin/D3C,sinNABC的值；②先表示出来

sinZDBC>cos/DBC和sinNABC的关系，进而猜测sin2a与since,cosa的关系，然后将a=30°代入进

去加以验证.

（1）

解：连接o。，如图所示

:即为ZA3C的角平分线

?.ZABD=ZCBD

又丁。。过点3、D,设半径为广

：.OB=OD=r

：.ZODB=Z.OBD=Z.CBD

：.ODHBC（内错角相等，两直线平行）

OD±AC

/.AC与QO的位置关系为相切.

⑵

3

①CO=-

/.BD=[BC2+CD2=—

2

..///D小

••sin/DBC==—

BD5

：.CD=DF（角平分线的性质定理）

:.BF=BC=3

3

：,OF=BF-OB=3-r,OF=CD=-

2

3

/.OD2=OF2+DF2即r2=(3-r)2+(-)2

.15

.•r=一

8

OD//BC

ZABC=ZFOD

DF4

：.sinZABC=sinZFOD=——二—

OD5

sinZDBC=,sinZABC=—

55

@cosZDBC=—=—

BD5

/.sinZDBCxcosZDBC=—x也=-

555

sinZABC=2sinZDBCxcosZDBC

猜测sin2a=2sinacosa

当a=30。时2a=60。

sin2a=sin60°=

2

sina=sin30°=—

2

COS6Z=COS30°=—

2

/.sin2a=2sin6zcoscr=2x-x—=—=sin2cr

222

sin2a=2sinacosa.

【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系、切线的判定、三角函数之间的关系，解题的关键在于找到角与

边之间的关系，进而求出结果.

8.（2022・四川凉山）如图，己知半径为5的。M经过无轴上一点C,与y轴交于A、B两点，连接AM、AC,

AC平分NOAM,AO+CO=6

⑴判断0M与x轴的位置关系，并说明理由；

(2)求AB的长；

(3)连接8M并延长交圆M于点。，连接C。，求直线。的解析式.

【答案】(DOM与x轴相切，理由见解析

(2)6

⑶y=-；x+2

【分析】(1)连接CM,证CALLx即可得出结论；

(2)过点M作于N,证四边形0cMN是矩形，得MN=0C,0N=0M=5,设AN=x,则0A=5-x,

MN=OC=6-(5-x)=l+x,利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得A8=2AN即可求解；

(3)连接BC,CM,过点。作。PLCM于P,得直角三角形BCD,由(2)知：AB=6,OA=2,OC=4,所

以。8=8,C(4,0),在放ABOC中，ZBOC=90°,由勾股定理，求得BC=4布,在RdBCD中，ZBCD=90°,

由勾股定理，即可求得C。，在放ACPO和在aAMP。中，由勾股定理，求得CP=2,PD=4,从而得出点。

坐标，然后用待定系数法求出直线C。解析式即可.

(1)

解：0M与x轴相切，理由如下：

9：MC=MA,

：.ZMCA=ZMAC,

〈AC平分NOAM,

・•・ZMAC=ZOAC,

：.ZMCA=ZOACf

,?ZOAC+ZACO=90°,

：.ZMCO=ZMCA+ZACO=ZOAC+ZACO=90°,

・・,MC是。M的半径，点。在x轴上，

・•・(DM与x轴相切；

(2)

解：如图，过点M作MNLA8于N,

由(1)知，ZMCO=90°,

,.・河348于乂

AZMNO=90°,AB=2AN,

ZCON=90°,

：.ZCMN=90°,

・•・四边形OCMN是矩形，

:・MN=OC,ON=CM=5,

VOA+OC=6f

设4V=x,

OA=5-xfMN=OC=6-(5-x)=l+x,

在放中，/MNA=9。。,由勾股定理，得

x2+(l+x)2=52,

解得：X7=3,X2=-4(不符合题意，舍去)，

・・・AN=3,

：.AB=2AN=6；

(3)

解：如图，连接8C,CM,过点。作DP_LCM于P,

・・・05=8,C(4,0)

在放ASOC中，ZBOC=90°,由勾股定理，得

BC=sjoB^+OC-=V82+42=4A/5，

：2D是。/的直径，

AZBCD=90°,80=10,

在放ABCD中，ZBCD=90°,由勾股定理，得

CD=^BD1-BC1=J102-(4A/5)2=2后，即CD2=20,

在放△CPD中，由勾股定理，得PD2=cD2_cp2=2»CP2,

在RdMPD中，由勾股定理，得PD2=MQ2_MP2=MD2一(MC-MP)2=52-(5-CP)2=10CP+-CP2,

.•.20-CP2=10CP-CP2,

：.CP=2,

：.PD2=20-CP2=20-4=l6,

：.PD=4,即。点纵坐标为OC+PD=4+4=8,

：.D(8,-2),

设直线CD解析式为卜=入+6,把C(4,0),D(8,-2)代入，得

=」

4左+6=0k

8-‘解得：’2,

6=2

直线C。的解析式为：y=-^x+2.

【点睛】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定系数法求一次函

数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键.

9.(2022•浙江宁波)如图1,。。为锐角三角形A3c的外接圆，点。在BC上，AD交BC于点、E,点尸在AE

上，满足NA尸3—尸G〃AC交于点G,BE=FG,连结AD,DG.设=

图1图2

(1)用含。的代数式表示NBFD.

(2)求证：ABDE冬AFDG.

⑶如图2,为。。的直径.

①当A8的长为2时，求4c的长.

②当。':OE=4:11时，求cosa的值.

【答案】⑴/丽=90°-5

(2)见解析

⑶①3；②cosa=，

O

【分析】(1)^,^ZAFB-ZBFD=ZACB=a,NAFB+N3ED=180。即可求解；

(2)由(1)的结论，FGUAC、证△BOE也ATOGBAS)即可；

3a

(3)①通过角的转换得/ABC=ZA2。-/DBG=5-,即可求AC的长；②连结3。，vEABDG^ABOF,

设。尸=4x,则OE=llx,DE=DG=4kx,由相似的性质即可求解；

(1)

VZAFB-ZBFD=ZACB=a,①

XVZAFB+ZBFD=180°,②

②-①，得2N3FD=180°—tz,

ZBFD=90°.

2

(2)

(~y

由(1)得N3/X>=90。—一,

2

ZADB=ZACB=a,

：.ZFBD=180°-ZADB-ZBFD=90°-—,

2

:.DB=DF.

•：FG//AC,

:.ZCAD=ZDFG.

ZCAD=ZDBE,

：.ZDFG=ZDBE.

•:BE=FG,

・•・ABDE^/\FDG(SAS).

(3)

①,?ABDE*LFDG,

:.ZFDG=ZBDE=a,

：.NBDG=ZBDF+ZEDG=2a.

,:DE=DG,

1zy

NOGE=E(180。-"£>6)=90。-三,

44

・・・在△BDG中，/DBG=180。—ZBDG-ZDGE=90°-—

2

•・•AD为G)O的直径,

・•・ZABD=90°.

3cf

ZABC=ZABD-/DBG=—.

2

二AC与AB的度数之比为3：2.

AC与AB的的长度之比为3:2,

：AB=2，

,,AC=3•

②如图，连结30.

A

,:OB=OD,

：.ZOBD=ZODB=a,

JZBOF=NOBD+NODB=2a.

ZBDG=2a,

：.ZBOF=ZBDG.

・.,ZBGD=/BFO=90°-—,

:.△BDG^ABOF,

设^BDG与MF的相似比为k,

.DGBD

..OF4

OE11

・,・设。尸=4x,则OE=llx,DE=DG=4kx,

：.OB=OD=OE+DE-4kx,

BD=DF=15元+4版,

,BD_15x+4Ax_15+4Z:

BOllx+4fct11+4左

,15+4^

由nr薪=k,得4左？+7左一15=0,

解得左=+，&=-3（舍），

OD—1lx+4Ax=16x,B£）=15x+4Ax=20x,

AD=2OD=32x,

在RtZXABD中，cosZADB=—

AD32x8

【点睛】本题主要考查圆的性质、三角函数、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是

解题的关键.

10.(2022.浙江温州)如图1,AB为半圆。的直径，C为54延长线上一点，8切半圆于点。，BELCD,

交CO延长线于点E,交半圆于点E已知BC=5,3E=3.点P,。分别在线段AB,BE上(不与端点重合),

Ap5

且满足三方=彳.设8Q=x,CP=y.

(1)求半圆。的半径.

(2)求y关于x的函数表达式.

(3)如图2,过点尸作尸R1.CE于点R,连结PQ,RQ.

①当AP”为直角三角形时，求尤的值.

②作点/关于QR的对称点尸，当点尸落在BC上时，求名的值.

BF

【答案】⑴7

O

55

⑵产片

⑶①］9或f?!j;②三IQ

【分析】⑴连接O。，设半径为r,利用△C8s/\CBE,得当=凄，代入计算即可;

(2)根据CP=AP十AC,用含x的代数式表示AP的长，再由(1)计算求AC的长即可;

⑶①显然/PRQ<90。，所以分两种情形，当"尸。=90。时，则四边形RPQE是矩形，当ZPQR=90°

时，过点P作PHL8E于点则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案;

②连接AEQ尸，由对称可知。尸=Qk，4FQ?=NEQR=45。，利用三角函数表示出8广和族的长度，从

而解决问题.

⑴

解：如图1,连结0D.设半圆。的半径为八

E

图1

•「CD切半圆。于点。,

ODLCD.

丁BE工CD,

：.OD//BE.

：.△CODs^CBE,

,OPCO

r5-r

即Rn丁丁,

.♦./=浮，即半圆。的半径是号.

OO

⑵

由（1）得：CA=CB-AB=5-2x—=-.

84

AP5n八

•/——=-,BQ=x,

AP=-x.

4

,/CP=AP+AC,

⑶

①显然/PRQ<90。，所以分两种情况.

i）当NRPQ=90。时，如图2.

,/PRLCE,

・•・ZERP=90°.

•・•NE=90。，

・・・四边形HP。石为矩形，

：.PR=QE,

333

・・・PR=PCsmC=-y=-x+-

544f

.33r

・・一XH—=3—X,

44

.,.x=—9.

7

ii)当NPQH=90。时，过点尸作P//_L跳;于点凡如图3,

图3

则四边形PHER是矩形，

:.PH=RE,EH=PR.

・：CB=5,BE=3,

•,CE=A/52—32=4•

4

*.*CR-CP-cosC=—y=x+1,

5

・,.PH=RE=3—x=EQ,

：.ZEQR=ZERQ=45°,

：.ZPQH=45°=ZQPH,

：.HQ=HP=3-x,

33

由EH=PR得:(3—x)+(3—x)=—%+心,

44

._21

,•x——.

11

综上所述，尤的值是I•或号.

②如图4,连结AEQ9,

图4

由对称可知°尸=。「，NFQR=/EQR

U：BEA.CE,PRICE,

:・PR〃BE,

：./EQR=/PRQ,

VBQ=XCP=-x+-

944y

EQ=3-x,

•；PR〃BE,

：.ACPRsACBE,

.CP_CB

••赤一瓦’

55

即：4X+4^5,

CR~4

解得：CR=x+l,

：.ER=EC-CR=3-x,

即：EQ=ER

：.ZEQR=ZERQ=45°,

：.ZF'QR=ZEQR=45°

：.NBQF'=90°,

4

QF=QFf=BQtanB=—x.

,/是半圆。的直径，

・•.ZAFB=90°,

9

BF=AB•cosB=—,

.CF'_BC-BF'_BC]_31_19

•,赤—一BF'——而7-一二~~9'

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数

等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键.

11.(2022•浙江丽水)如图，以A3为直径的O。与相切于点A,点C在AB左侧圆弧上，弦CD_LAB交

于点。，连接AC,AD.点A关于CD的对称点为E,直线CE交。。于点尸，交A/7于点G.

(1)求证：ZC4G=ZAGC；

FF2DP

(2)当点E在AB上，连接AF交8于点P,若受=[,求胃的值；

CA5Cr

⑶当点E在线段AB上，AB=2,以点A,C,O,尸为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)7

⑶3-小或2-应

2

【分析】(1)设CD与AB相交于点由。。与AH相切于点A,得到？BAG90°,由CD_LAB,得到

ZAMC=9(T,进而得到AG〃CD,由平行线的性质推导得，？C4G?ACD,1AGC?FCD,最后由点A

关于CD的对称点为E得到/FCD=ZACD即可证明.

(2)过尸点作于点K,设与CD交于点N,连接。E证明/FAD=NADC得到OP=AP,再

KEEF2

证明△CPA2得到PF=PC；最后根据AKEFsANEC及△APNS/\AFK得到==和

ENCE5

P4AN5

等=芸=2，最后根据平行线分线段成比例求解•

AFAK12

(3)分情况进行讨论.

⑴

证明：如图，设CQ与AB相交于点M,

B

。。与AH相切于点A,

/.?BAG90。，

CD1AB,

：.ZAMC=90°,

JAG//CD,

：.?CAG?ACD,2AGC1FCD,

•・•点A关于CD的对称点为E,

：.ZFCD=ZACD,

：.ZCAG=ZAGC.

(2)

解：过尸点作FKLAB于点K,设A5与。。交于点N,连接。尸，如下图所示:

由同弧所对的圆周角相等可知：?FCD1FAD,

TAg为OO的直径，且由垂径