直线与圆锥曲线的位置关系综合问题（7题型+高分技法+限时提升练）原卷版-2025年天津高考数学复习专练

重难点07直线与圆锥曲线的位置关系综合问题

明考情・知方向

三年考情分析2025年考向预测

2022年，第19题，考察椭圆中三角形面积

圆锥曲线综合问题是天津高考数学的重难点内容。常

2023年，第18题，考察椭圆中三角形（四边形）面

见的考点有定点、定值、定直线、最值范围、证明及

积

存在性问题，以及三角形（四边形）面积问题，主要

2024年，第18题，考察向量的应用

在解答题的第2问中进行考查，难度较大。在今年的

高考中依旧是命题的热点方向。

重难点题型解读

题型1圆锥曲线的弦长问题

:y=与圆锥曲线相交与A、3两点，/4（匹,％）,3（%2，%）则：

弦长Aq=’（匹—0Y+GI—%了_%2）2+（左.一左马）？=J1+k2,—|

=+左之J（%]+%2）2—4九]1?

弦长|4目=

这里I占-/I，IM-%I,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

1%-9|=呢+々）2-4%々；1%-%1=&%+%）2-4%%

_____________________________________________________________________________________________________j

1.（24-25高二上天津•阶段练习）已知椭圆=+==1（。＞6＞0）的半焦距为c,离心率e=3，直线y=x+4

a2b23

交椭圆于尸，。两点，若|尸。=苧，求椭圆的方程.

2.（24-25高二上•天津•期中）已知椭圆C:二+《=1（。＞人＞0）的离心率为亚，左、右焦点分别为尸|、F2,

过右焦点尸2的直线与椭圆交于尸、。两点，且^PQ耳的周长为46.

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点々的直线与椭圆C相交于A,B两点.且w同=孚，求的面积.

3.（24-25高二上•天津红桥•阶段练习）已知椭圆C：m■+卫=l（a＞b＞O）的离心率是",椭圆C的一个顶

ab2

点为（2,0）,直线/:y=©x+1）（左＞0）与椭圆C相交于A。1,％）,Bk,%）两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若线段A3的中点的横坐标为求直线/的斜率以及弦长|相|

4.（24-25高二上•天津和平・期中）已知双曲线C：3-/=1伍＞0）的焦距为2后且左右顶点分别为4,4,

过点7（4,0）的直线/与双曲线C的右支交于M,N两点.

⑴求双曲线的方程；

（2）若直线跖V的斜率为#，求弦长

5.（2024高二上•天津南开•专题练习）曲线C上的每一点到定点/（2,0）的距离与到定直线/：x=-2的距离

相等.

⑴求出曲线C的标准方程；

⑵若直线y=x-2与曲线C交于A8两点，求弦的长.

题型2圆锥曲线中三角形（四边形）面积问题

（1）直线AB方程：y=kx+m

A/A\kxQ-yQ+m\_4^\kxa-y0+m\

网A/ITI72⑷

（2）最值，范围问题常涉及基本不等式、对勾函数，或二次函数，或求导

22

1.（2023・天津津南•模拟预测）在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆C:5+e=1（。＞6＞0）的长轴为4,

ab

过坐标原点的直线交C于八。两点，若48分别为椭圆C的左、右顶点，且直线E4与直线尸8的斜率之积为

1

"2,

（1）求椭圆的标准方程；

⑵若点P在第一象限，PELx轴，垂足为E,连并延长交C于点G,

（i）证明：PQG为直角三角形；

（ii）若尸呢的面积为蓝，求直线PQ的斜率.

2.（2023•天津南开•二模）已知椭圆，+（=1（。＞6＞0）的离心率为乎，左、右顶点分别为A,B,上顶

点为。，坐标原点。到直线AD的距离为2叵.

5

（1）求椭圆的方程；

（2）过A点作两条互相垂直的直线”，AQ与椭圆交于尸，Q两点，求VBPQ面积的最大值.

3.（2023•天津・二模）已知椭圆［+卫=1（。＞。＞0）右焦点为尸，已知椭圆短轴长为4,离心率为交

ab2

（1）求椭圆的方程;

⑵若直线/：尸质w0）与椭圆相交于M、N两点，线段垂直平分线与直线I及％轴和y轴相交于点D、

_S,

E、G,直线G/与直线X=4相交于点“，记三角形瓦6与三角形GDH的面积分别为邑，S2,求”的值.

d2

22

4.（22-23高二上•重庆沙坪坝•阶段练习）已知椭圆方程与+==1（。>人>0）,长轴为短轴的两倍，抛物线

a2b-v7

方程：丁=2加（p>o）,。为坐标原点，P是抛物线的焦点，过尸的直线/与抛物线交于42两点，如图

所示.

（1）证明：直线。4,的斜率乘积为定值，并求出该定值；

（2）反向延长OA,OB分别与椭圆交于C,。两点，且|OC『+|OD|2=5,求椭圆方程;

⑶在（2）的条件下，若学幽的最小值为1,求抛物线方程.

》OCD

5.（22-23高三上•云南昆明•阶段练习）已知过点pg,等）的椭圆C，+*l（a>b>0）的离心率为率

如图所示，过椭圆右焦点尸的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A3两点，直线/：x=2与x轴相交于

点、H,过点A作垂足为£）.

（1）求四边形。刖（。为坐标原点）的面积的最大值;

（2）求证：直线过定点E,并求出点E的坐标.

22

6.（24-25高三上•天津滨海新•阶段练习）在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆E：三+==1（。＞。＞0）的

ab

离心率是短轴长为2,若点A8分别是椭圆E的左右顶点，动点U＞A/2）,直线AM交椭圆E

于P点.

⑴求椭圆£的方程；

⑵（i）求证：5尸是定值；

（ii）设的面积为S],四边形Oi5Mp的面积为$2，求”的最大值.

d2

题型3圆锥曲线中定点问题

i.求解（或证明）直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量》,y视作常数，把方程一

边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样

就得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数

何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与

变量无关.

1.（2024•天津河北•一模）设椭圆E:,抛物线V=4y的焦点厂是椭

圆E的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点.

⑴求椭圆E的方程；

⑵动点尸、。为椭圆上异于A、B的两点，设直线的斜率分别为配质,且履=2勺，求证：直线P。经过

定点.

2.（2024•天津•一模）已知椭圆l（a>b>0）的右焦点为F,左、右顶点分别为A,B,离心率为5,

过点尸且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）若Af为直线/:x=l上一动点，且直线AM,分别与椭圆交于尸，。两点（异于A,8两点），证明:

直线尸。恒过一定点.

3.（2022•陕西西安•二模）已知椭圆C：/+3=1伍>5>0）的左、右焦点月,F?恰好是双曲线/=1

的左右顶点，椭圆C上的动点M满足+|叫|=2|耳可，过点F?的直线/交椭圆C于A,8两点.

（I）求椭圆C的标准方程；

⑵椭圆C上是否存在点M使得四边形Q4MB（0为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点”的坐标;

若不存在，请说明理由.

4.（2023・天津・模拟预测）已知椭圆C：三+4=1（°＞。＞0）的离心率为电，直线/：x=l与C交于

a~b22

两点，且|MV|=#.

⑴求c的方程；

⑵若C的左、右顶点分别为AB,点ZX不同于M,N）为直线/上一动点，直线池,应»分别与C交于点

P，Q,证明：直线P0恒过定点，并求出该定点的坐标.

22

5.（24-25高三上•江苏•期末）已知点乙，尸2分别为双曲线及二-2=l（a＞0,b＞0）的左、右焦点，点片

ab

到双曲线E的渐近线的距离为2虎，点A为双曲线E的右顶点，且A4=2A&.

（1）求双曲线E的标准方程；

⑵若四边形ABC。为矩形，其中点8,。在双曲线E上，求证：直线即过定点.

22

6.（24-25高二上•上海•阶段练习）已知双曲线C：［一==1（。＞0力＞0）的离心率为内，且过点（6,2）

ab

切

(i)求双曲线c的方程；

⑵过左焦点尸且倾斜角为60。的直线交双曲线于A,8两点，求线段|明长；

2

⑶若尸，。是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线"P与"Q的斜率之积为-证明：直线P。恒

过定点，并求出该定点的坐标.

7.(24-25高二上•辽宁沈阳•阶段练习)已知抛物线C：V=2川(p>0)的焦点为F，点在抛物线

上，且歹的面积为2(。为坐标原点).

4

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)点A、B是抛物线C上异于原点。的两点，直线。4、的斜率分别为尤、k2,若k/z=-2,求证：直

线A3恒过定点.

题型4圆锥曲线中定值问题

1.解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或

某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.常见定值

问题的处理方法：

（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示

I

（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常■

数.

2.定值问题的处理技巧：

（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般

情况的处理提供一个方向.

（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢

I

（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算

i

f«1

1.（2024・天津北辰•三模）已知椭圆C：当=1（4>匕>0）的离心率为左、右焦点分别为耳，B，

上、下顶点分别为4，4,且四边形4耳&月的面积为26.

（1）求椭圆c的标准方程；

⑵直线/：>=Ax+a（加>0）与椭圆C交于尸,。两点，且P,。关于原点的对称点分别为M,N,若+|OQ「

是一个与加无关的常数，则当四边形PQMN面积最大时，求直线/的方程.

22

■VV1

2.（2024.天津滨海新.三模）已知椭圆彳+当=1Ca>b>0）的离心率为不，人与分别为椭圆的左

ab乙

顶点和上顶点，/为左焦点,，且的面积为,.

⑴求椭圆M的标准方程；

⑵设椭圆M的右顶点为C,P是椭圆M上不与顶点重合的动点.

①若点P。,%）（%>。），点。在椭圆”上且位于x轴下方，设△APC和的面积分别为M，S2.若

3

-S2=-,求点。的坐标；

②若直线与直线CP交于点。，直线成交x轴于点N,设直线QN和直线QC的斜率为与心勺c,求证：

2%N-左加为定值，并求出此定值.

22

3.（2024•天津南开•一模）已知椭圆C：a+a=ig>6>（））的一个焦点与抛物线y?=4x的焦点厂重合,

抛物线的准线被C截得的线段长为近.

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点P作直线/交C于A,3两点，试问：在无轴上是否存在一个定点使为定值？若存在,

求出M的坐标；若不存在，请说明理由.

22f8、

4.（2024•湖北武汉•二模）已知椭圆「言+方=1（°>10）的左焦点为£（-1,0）,且过点A’,}

（1）求椭圆「的标准方程；

（2）过耳作一条斜率不为o的直线尸。交椭圆r于尸、。两点，。为椭圆的左顶点，若直线OP、22与直线

/:x+4=0分别交于M、N两点，/与无轴的交点为R,则是否为定值？若为定值，请求出该定

值；若不为定值，请说明理由.

22

5.(2023.天津河东.二模)设椭圆C:「+2=l(a>6>0)的一个顶点与抛物线f=8y的焦点重合，K,B

ab

分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=半，过椭圆右焦点F?的直线/与椭圆C交于“，N两点.

⑴求椭圆C的方程；

⑵若OM.ON=-3,求直线/的方程；

(3)已知直线/斜率存在，若是椭圆C经过原点。的弦，且AB///,求证：隐为定值.

6.(24-25高二上•河北张家口•期末)已知抛物线C:/=4y的焦点为尸，过点>0)的直线/与抛物

线C交于A8两点，抛物线C在点A8处的切线分别为44,其斜率分别为匕,用，交点为

(1)当直线/过焦点/时，证明：44互相垂直.

⑵当f=2时，设弦4B的中点为M.

①点。是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.

②求\^\的最大值.

7.（24-25高三上•河北•阶段练习）已知双曲线0二-3=1（°>0力>0）的焦点到渐近线的距离为1,右顶

ab

点到点尸CM）的距离是也.动圆尸（点P为圆心）与。交于四个不同的点A8,C,£>,且直线AC,AO的斜率

分别为勺，卷.

（1）求。的方程.

⑵设直线=

①判断点（2太㈤是否在双曲线为2->2=1上，并说明理由.

②若左=4,求直线A5的一般式方程.

③试问必隹是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

题型5圆锥曲线中定直线问题

定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方i

法，如定义法、消参法、交轨法等.

i

22

1.（22-23高三上•天津滨海新•阶段练习）已知椭圆C：・+[=l（a>6>0）的左、右顶点分别为右

ab

焦点为F，且"=3,以下为圆心，0P为半径的圆尸经过点心

⑴求C的方程；

⑵过点A且斜率为左化主0）的直线/交椭圆C于尸，

OH40

（i）设点P在第一象限，且直线/与>=一》交于8.若一sinZHAO,求上的值；

PH5

（ii）连接尸尸交圆尸于点T,射线AP上存在一点Q,且为定值，已知点。在定直线上，求。所在

定直线方程.

，v21（p-也、

2.（24-25高三上•河北承德•阶段练习）已知椭圆（7:斗+2=1（。>6>0）的离心率为且过点瓜三.

⑴求椭圆C的方程.

⑵已知是椭圆内一点，过点M任作一条直线与椭圆交于A,B两点，求以M为中点的弦所在

的直线方程.

⑶设点。为椭圆的右顶点，是否存在过点G（-l,0）的直线/交椭圆C于P,。两点，使得直线OP,。。的

斜率之和等于-1?若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.

3.（2023・安徽安庆・一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜

22

面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:?-、=lS>0）的左、右焦点分别

3

为耳、尸2,从尸2发出的光线经过图2中的A、与两点反射后，分别经过点。和。，且tanNC45=-“

⑵设4、4为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P(4,0)的直线/与双曲线C交于M、N两点，试探究直线

4"与直线的交点。是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由.

4.(2024・全国•模拟预测)已知抛物线「：y2=2px(p>0),点尸为抛物线r的焦点，过P作直线44分别

交抛物线r于点民C和点A,。，如图所示.当直线人的斜率为1时，忸典-|〈的=40.

(1)求抛物线r的方程；

⑵延长BAOC交于点延长AC3。交于点N,求直线的方程.

22

5.(2024.河北衡水•模拟预测)已知椭圆C:二+2=1(a>6>0)的左、右焦点分别为£,月,“(1,1)是(7上一

ab

点，且点M到点耳，居的距离之和为2月.

(1)求C的方程；

(2)斜率为g的直线/与C交于A,B两点，则的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；

若不在，请说明理由.

题型6圆锥曲线中向量问题

（1）常涉及到韦达定理

（2）最常用到向量数量积

_________________________________________________________________.-j

22

1.（2023•天津和平・二模）在平面直角坐标系xQy中，椭圆C:1r+%=1（。＞人＞0）的左、右焦点分别为耳、

F2,椭圆与y轴正半轴的交点为点8,且月2月为等腰直角三角形.

⑴求椭圆C的离心率；

（2）已知斜率为1的直线/与椭圆C相切于点尸，点尸在第二象限，过椭圆的右焦点歹2作直线/的垂线，垂足为

点//,若耳”石，求椭圆C的方程.

22

2.（2022・天津南开•模拟预测）已知从椭圆之+斗=1,＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点K,

cib

设椭圆的离心率为e,左、右顶点分别为A,B,且归耳|=2e,%＞期=1+«.

（1）求椭圆的方程；

⑵过椭圆右焦点F?且斜率为左的直线与椭圆交于C，。两点.若AC.£）B+AZ）.CB=8，求％的值.

3.（2022•天津红桥•二模）已知椭圆C：二+==1（a＞匕＞0）的离心率6=变，点4（。,0）、3（0,。）之

ab2

间的距离为后.

（I）求椭圆C的标准方程；

⑵若经过点（。,四）且斜率为左的直线/与椭圆C有两个不同的交点P和。，则是否存在常数%,使得

。尸+0。与A8共线？如果存在，求上的值；如果不存在，请说明理由.

4.（24-25高二上•福建宁德•阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为辰-2y=0,且点（-2&,君）在双

曲线上.

（1）求双曲线标准方程；

（2）若双曲线的左顶点为A,右焦点为心,P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.

22

5.（24-25高二上•全国•课后作业）设双曲线3-'=16＞0）的焦点分别为尸「尸2,离心率为2.

⑴求此双曲线的渐近线4，4的方程；

⑵若A,8分别为4,6上的点，且21ABi=5闺求线段的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲

线；

⑶过点N（l,0）能否作出直线/,使/与双曲线交于P,。两点，且OPOQ=0?若存在，求出直线/的方程；

若不存在，请说明理由.

6.(2025•云南昆明•模拟预测)已知圆C：x2+(j-l)2=r2(r>l),A：为圆C与y轴负半轴的交点，过点A

作圆C的弦AM,并使弦AM的中点B恰好落在x轴上，点M的轨迹为曲线E,。为直线y=T上的动点.

⑴求曲线E的方程；

(2)过点。作曲线E的切线，切点分别为D,G.

①求CQQG的值；

②求QDG面积的最小值.

7.(24-25高二上•甘肃・期末)已知点P(l,2)是抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点，点、M,N是C上异于

点尸的不同的两点.

⑴求C的方程；

⑵若直线PM,PN的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值；

(3)若直线PMLRV,试判断直线MN是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

题型7圆锥曲线中参数范围问题

：00既0

构建所求几何量的含参一元函数，形如AB=/(左)，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即

所求几何量的范围，常见的函数有：

n

(1)二次函数；(2)"对勾函数"y=x+—(。>0)；(3)反比例函数；(4)分式函数.若出现非常：

x

规函数，则可考虑通过换元"化归"为常规函数，或者利用导数进行解决.这里找自变量的取值范围在A>0

;或者换元的过程中产生.除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：

II

①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系.

ii

③利用基本不等式求出参数的取值范围.

④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.

ii

22_

1.(2023•天津河西•模拟预测)已知椭圆C:=+[=l(a>6>0)上右顶点到右焦点的距离为2-0,且右

ab

2

焦点到直线x=2的距离等于短半轴的长.

C

(1)求椭圆C的方程；

(2)设尸(4,0),A2是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接尸2交椭圆C于另一点E,证明

直线AE与x轴相交于定点Q；

⑶在（2）的条件下，过点。的直线与椭圆C交于M、N两点，求OM-ON的取值范围.

2.（24-25高二上•天津和平期末）已知椭圆+）=l（a>b>0）的离心率为*月，丹分别是椭圆的左

右焦点，过点月的直线交椭圆于M，N两点，且必与的周长为4«.

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点尸（0,2）作斜率为可左中0）的直线/与椭圆C交于两点A,B,判断在x轴上是否存在点。，使得，ADB

是以A3为底边的等腰三角形？若存在，求点。横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.

22

3.（24-25高三上•天津红桥・期末）已知椭圆C：3+}=l（a>/7>0）,以两个焦点和短轴的两个端点为顶

cib

点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设经过点尸（T0）的直线/与椭圆C相交于点A8,若线段48的中点加落在正方形Q内（包括边界）时，

求直线/的斜率的取值范围.

4.（24-25高二上•天津红桥•期中）已知椭圆C：工+二=1（々>。>0）的离心率为且，椭圆C与y轴交于A,

a2b-2

2两点，且|阴=2.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设点尸是椭圆C上一个动点，且点P在y轴右侧，直线尸A,与直线x=4交于M,N两点，若以

为直径的圆与x轴交于E,尸两点，求点尸横坐标的取值范围.

I"2d1

5.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）已知椭圆C:=+\=l（a>b>0）的离心率为左、右焦点分别

ab/

为耳工，上、下顶点分别为4、B2,且四边形四月与耳的面积为2g.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）已知点M0,,直线/：丫=履+根（初?/0）与椭圆C交于P、。两点，与y轴交于点N,^\MP\=\MQ\,

求△"£与面积的取值范围.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

fV21

1.（2023.天津红桥.一模）设椭圆c：［+•=l（a>b>0）的左、右焦点分别为月、工，离心率e=：,长轴

ab-2

为4,且过椭圆右焦点尸2的直线/与椭圆C交于M、N两点.

⑴求椭圆C的标准方程；

Q）若OM.ON=-2,其中。为坐标原点，求直线/的斜率；

⑶若A3是椭圆C经过原点。的弦，且MN//A3,判断巴是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，

\MN\

请说明理由.

2.（24-25高三上・天津红桥•期末）已知椭圆C:J+j=l（a>6>0）的焦距为2,且经过点

⑴求椭圆C的方程；

（2）点瓦/是椭圆C上的两个动点，若直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明直线EE的斜率为

定值，并求出该定值.

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3.（24-2