中考数学复习：最值模型-胡不归问题

专题10最值模型一胡不归问题

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化

归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的胡不归

问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之

间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家2之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老

人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

【模型解读】一动点尸在直线外的运动速度为Vi，在直线MN上运动的速度为V2,且匕〈匕，4、

5为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使生+生的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）

匕匕

1）—+—=—（BC+^-Ac],记上=乜，即求3C+hlC的最小值.

%匕hl%J匕

2）构造射线AD使得sin/ZMN=Z,—=k,将问题转化为求BC+CH最小值.

AC

3）过B点作交跖V于点C,交AO于H点，此时BC+CH取到最小值，即8C+fc4c最小.

【解题关键】在求形如“鬼+狂生”的式子的最值问题中，关键是构造与相等的线段，将“B4+叱8”型问

题转化为“B4+PC'型.（若左＞1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

例1.（2022•内蒙古•中考真题）如图，在0ABe中，AB=AC=4,0C4B=3O°,ADSiBC,垂足为。，P为线

段上的一动点，连接尸3、PC.则B4+2P8的最小值为.

例2.（2022•湖北武汉•一模）如图，在△ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,半径为5的。O经过点C,CE

是圆。的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点。是线段AC上任意一点（不含端点），则OD+：。的

2

最小值为.

例3.（2021•眉山市•中考真题）如图，在菱形ABC。中，AB=AC=10,对角线AC、相交于点。,

点M在线段AC上，且40=3,点尸为线段3。上的一个动点，则的最小值是.

例4.（2022•山东淄博•二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（。，2）,点。的坐标是（0,-2）,点

B（x,0）是x轴上的动点，点2在x轴上移动时，始终保持AABP是等边三角形（点尸不在第二象限），连接

PC,求得AP+：PC的最小值为（）

A.46B.4C.273D.2

例5.（2021•资阳市•中考真题）抛物线丁=-必+法+。与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且

B（-l,0）,C（0,3）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP

与AC相交于点E,当尸E：6E=1:2时，求点P的坐标；（3）如图2,点。是抛物线的顶点，将抛物线

沿CD方向平移，使点。落在点处，且DD'=2CD,点M是平移后所得抛物线上位于OC左侧的一点，

跖V//y轴交直线于点N,连结CN.当X5D'N+CN的值最小时，求的长.

图1图2

例6.（2020・湖南•中考真题）已知直线丁=丘-2与抛物线,=必一。v+。（b,c为常数，/?>0）的一个

交点为A（—l,0）,点M（m,0）是X轴正半轴上的动点.（1）当直线丁=区-2与抛物线丁=必—笈+c（b,

c为常数，/?>0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k,b,c的值及抛物线顶点E的坐标；

,1270

uH—/--------------

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为2,当12AM+2DM的最小值多4时，求b的值.

k

例7.（2022•四川成都・中考模拟）6.如图，已知抛物线>=3（尤+2）（犬-4）々为常数，且左>0）与x轴从左

O

至右依次交于A,3两点，与y轴交于点C,经过点3的直线y=+6与抛物线的另一交点为。.

（1）若点。的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点尸，使得以A,

B,P为顶点的三角形与AABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设尸为线段上一点（不含

端点），连接AF,一动点加从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到尸，再沿线段£0以

每秒2个单位的速度运动到。后停止，当点歹的坐标是多少时，点〃在整个运动过程中用时最少？

课后专项训练

1.（2022・河北•九年级期中）如图，在△ABC中，NA=15°,A2=2,尸为AC边上的一个动点（不与4、

C重合），连接BP,则返AP+P3的最小值是（）

2

A.V2B.V3C.返D.2

2

2.（2022•江苏•九年级月考）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AB=4,点。、/分别是

边AB,8C上的动点，连接CZ）,过点A作AELCO交8C于点E,垂足为G,连接GF,则3尸+工尸8的

A.V3-1B.V3+1C.D.^Zl+1

22

3.（2022•山东•九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=N-2x+c的图象与x轴交于A、C

两点，与y轴交于点8（0,-3）,若尸是x轴上一动点，点。（0,1）在y轴上，连接尸。，则0PD+

尸。的最小值是（）

32

A.4B.2+20C.2yf2D.-+-A/2

4.（2022•重庆・九年级期中）如图所示，菱形ABCO的边长为5,对角线03的长为4石，P为上一动

A.4B.5C.2石D.3A/5

5.（2022•浙江宁波・九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数、=¥彳-6分别交x轴、y

轴于A、8两点，若C为无轴上的一动点，贝I]28C+AC的最小值为.

6.（2022・湖南•九年级月考）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,NA=60°,AB=6,△BCD为等边三

角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点后作E河〃A8,交直线AC于点M作EN〃AC交

直线AB于点N,则1•AN+AM的最大值为.

2

D

7.（2022・湖北武汉•九年级期末）如图，13ABe£＞中/A=60。，AB=6,AD=2,尸为边CD上一点，则

43PD+2PB的最小值为

8.（2022•成都市七中育才九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线/分别交x、y轴于夙C两点,

点A、C的坐标分别为（3,0）、（0,-3）,且团OCB=60。，点尸是直线/上一动点，连接4P,则AP+^PC

2

的最小值是.

9.（2022•四川自贡•一模）如图，AABC中，M=AC=10,tanA=2,8£，4。于点£,。是线段班上

的一个动点，则CD+且8D的最小值是.

5

10.（2022•广东・一模）已知抛物线y=f-4x+3与X轴交于A,2两点（A在B点左侧），与y轴正半轴交

于点C,点P是直线8C上的动点，点。是线段OC上的动点.

（1）求直线BC解析式.⑵如图①，求OP+9的和取最小值时点尸的坐标.

⑶如图②，求AQ+QP的最小值.（4）如图③，求的最小值.

--2

11.（2022•江苏・中考模拟）如图，抛物线＞=；/+妙+“与直线＞=-：工+3交于4,3两点，交x轴于。，

C两点，连接AC,BC,已知4。,3）,C（3,0）.（I）求抛物线的解析式和tanZBAC的值；（II）在（I）

条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接上4,过点P作尸。,私交y轴于点Q,问：是否存在

点P使得以A,P,。为顶点的三角形与AACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若

不存在，请说明理由.（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE,一动点M从点。出发，沿线

段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段E4以每秒3个单位的速度运动到A后停止，当点E的

坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

12.（2020•四川乐山市•中考真题）已知抛物线丁=以2+法+。与》轴交于4—1,0）,8（5,0）两点，C

4

为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点。，连结5C,且tanNCBD=3,如图所示.（1）求抛物

线的解析式；（2）设尸是抛物线的对称轴上的一个动点.①过点尸作x轴的平行线交线段于点后,

过点E作石尸，。石交抛物线于点R,连结FB、FC,求A3CF的面积的最大值；②连结。5,求

3

二尸。+尸3的最小值.

13.（2021•四川达州市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-必+6%+。交X轴于点A和

C（l,o）,交y轴于点8（0,3）,抛物线的对称轴交X轴于点E,交抛物线于点

（1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OEL旋转角为

a（0°<a<90°）,连接AELBE',求AE'的最小值.（3）般为平面直角坐标系中一点，在

抛物线上是否存在一点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N

的横坐标；若不存在，请说明理由；

14.（2022•广西•南宁三中一模）如图，二次函数y=#+6无+1的图象交x轴于点A（-2,0）、5（1,0）,交一轴

于点C,点。是第四象限内抛物线上的动点，过点。作小〃y轴交x轴于点£,线段CB的延长线交DE于

点、M,连接OM、BD交于点、N,连接AD.（1）求二次函数的表达式；（2）当SA°EM=S®E时，求点。的

坐标及sin/DAE；（3）在（2）的条件下，点P是x轴上一个动点，求DP+^AP的最小值.

15.（2022•广东•东莞市三模）已知，如图，二次函数y=o%2+bx+c图像交x轴于4-1,0）,交y交轴于点

C（0,3）,。是抛物线的顶点，对称轴O尸经过x轴上的点尸（1,0）.（1）求二次函数关系式；（2）对称轴D尸

与5c交于点M，点P为对称轴D尸上一动点.①求AP+^-PD的最小值及取得最小值时点尸的坐标；

②在①的条件下，把沿着无轴向右平移/个单位长度（。4,44）时，设AAPF与VM3尸重叠部分面积

记为S,求S与/之间的函数表达式，并求出S的最大值.

16.（2022・天津・中考模拟）如图，在4ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。经过点C,且圆的直径AB在线

段AE上.（1）证明：CE是。。的切线；（2）若4ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示0。的

直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD,当CD+OD的最小值为6时，求。

0的直径AB的长.

Z(

AE

O

专题10最值模型一胡不归问题（解析版）

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化

归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的胡不归

问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之

间线段最短”，虽然从他此刻位置/到家6之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老

人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

【模型解读】一动点尸在直线外的运动速度为Vi，在直线MN上运动的速度为V2,且匕〈匕，4、

5为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使生+生的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）

匕匕

1）—+—=—（BC+^-Ac],记上=乜，即求3C+hlC的最小值.

%匕hl%J匕

2）构造射线AD使得sin/ZMN=Z,—=k,将问题转化为求BC+CH最小值.

AC

3）过B点作交跖V于点C,交AO于H点，此时BC+CH取到最小值，即8C+fc4c最小.

【解题关键】在求形如“鬼+狂生”的式子的最值问题中，关键是构造与相等的线段，将“B4+叱8”型问

题转化为“B4+PC'型.（若左＞1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

例1.(2022•内蒙古•中考真题)如图，在0ABe中，AB=AC=4,0C4B=3O°,ADSiBC,垂足为。，P为线

段上的一动点，连接尸3、PC.则B4+2P8的最小值为.

【答案】4拒

【分析】在/BAC的外部作/CAE=15°,作BF_LAE于F,交AD于P,此时PA+2PB=2、尸4+尸2

1(PF+PB)=2BF,通过解直角三角形ABF,进一步求得结果.

【详解】解：如图，

在/BAC的外部作/CAE=15。，作BF_LAE于F,交AD于P,

此时PA+2PB最小，.•./AFB=90°:AB=AC,AD_LBC,

AZCAD=ZBAD=-ABAC=-x30°=15°,ZEAD=ZCAE+ZCAD=30°,：.PF=-PA,

222

；.PA+2PB==g(PF+P3)=2BF,在RtZ\ABF中，AB=4,ZBAF=ZBAC+ZCAE=45°,

万

；.BF=AB,sin45°=4x—=2&,；.(PA+2PB)最大=2BF=4夜，故答案为：4&.

2

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线.

例2.(2022•湖北武汉•一模)如图，在"CE中，CA^CE,/C4E=30。，半径为5的。。经过点C,CE

是圆。的切线，且圆的直径A3在线段AE上，设点。是线段AC上任意一点(不含端点)，则的

最小值为.

【分析】过点C作关于AE的平行线，过点。作Q”垂直于该平行线于可将1。转化为此时

2

就等于OD+。"，当QC归共线时，即为所要求的最小值.

2

【详解】解：如图所示，过点C作关于AE的平行线，过点。作D"垂直于该平行线于H,

-.•CH//AB,/C1E=3O°,OC=OA,ZHCA=ZOCA=30°,

sinZHCD=-=-,AHCO=6Q°,:.-CD=HD,:.OD+-CD=OD+DH,

CD222

•.,当。，D,H三点共线，即在图中H在/T位置，。在。位置的时候有OD+DH最小，

当。，D,H三点共线时，OD+'c。有最小值，此时O/T=OCxsin///CO=OCxsin6()o=5x3=三叵,

222

.•.OD+[CD的最小值为述，故答案为述.

222

【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将goo进行转换.

例3.(2021•眉山市・中考真题)如图，在菱形ABCD中，AB=AC=10,对角线AC、相交于点。,

点航在线段AC上，且A"=3,点P为线段3。上的一个动点，则+的最小值是.

【答案】

【分析】过M点作垂直8C于H点，与。8的交点为P点，此时+的长度最小为MH,再算

2

出MC的长度，在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得

【详解】过M点作/WM垂直BC于”点，与0B的交点为P点，此时MP+’M的长度最小

2

•.,菱形ABCD中，AB=AC=10：.AB=BC=AC=10,ZkABC为等边三角形

AZPBC=30°,//。8=60°・・・在直角408〃中,ZPBH=30°：.PH=-PB

2

二此时得到最小值，MP+-PB=MP+PH=MH

22

"：AC=10,A/W=3,；.MC=7又N/WPC=60°；.M，=/WCsin60°=Zg'故答案为：-A/3

22

【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.

例4.(2022•山东淄博•二模)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2),点C的坐标是(0,-2),点

8(x,0)是x轴上的动点，点2在x轴上移动时，始终保持尸是等边三角形(点尸不在第二象限)，连接

A.4拒B.4C.26D.2

【答案】C

【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD,连接PD,过点D作DEJ_OA于E,先求出点D的

坐标，然后证明△BA。之4PAD得到NPDA=/BOA=90°,则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动,

当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为(0,-2)从而求出直线PD的解析式；如图3

所示，作点A关于直线PD的对称点G,连接PG,过点P作PFLy轴于F,设直线PD与x轴的交点为H,

先求出点H的坐标，然后证明/HCO=30。，从而得到AP+：PC=GP+PF,贝I］当G、P、F三点共线时,

GP+尸产有最小值，即AP+JPC有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求.

【详解】解：如图1所示，以0A为边，向右作等边△AOD,连接PD,过点D作DE_LOA于E,

:点A的坐标为（0,2）,.\OA=OD=2,/.OE=AE=1,ADE=ylOD2-OE2=73,...点D的坐标为（石1卜

「△ABP是等边三角形，Z^AOD是等边三角形，...AB=AP,ZBAP=60°,AO=AD,ZOAD=60°,

：.ZBAP+ZPAO=ZDAO+ZPAO,即NBAO=/PAD,A△BAOPAD（SAS）,NPDA=/BOA=90°,

点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，

当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点c重合，

「△ABP是等边三角形，BO±AP,.•.AO=PO=2,

此时点P的坐标为（0,-2）,设直线PD的解析式为、=履+。,

y/3k+b=l.k=5/3

直线PD的解析式为y=氐-2；

b=-2，"[b=-2

如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G,连接PG,过点P作PFLy轴于F,连接CG,设直线PD与

x轴的交点为H,

二点H的坐标为（孚，。），：.tanNOCH=^=*,，/OCH=30°,...尸F=gpC,由轴对称的性质可

知AP=GP,AAP+-PC^GP+PF,

2

...当G、P、F三点共线时，GP+P尸有最小值，即AP+gpC有最小值，

,:A、G两点关于直线PD对称，且NADC=90。，；.AD=GD,即点D为AG的中点，

:点A的坐标为（0,2）,点D的坐标为（G1）,.26=2人。=20人=4,

：AC=4,/CAG=60°,...△ACG是等边三角形，

V0C=0A,A0G1AC,即点G在x轴上，,由勾股定理得OG=代-展=2®

二当点P运动到H点时，GP+PP有最小值，即AP+JPC有最小值，最小值即为0G的长，

AP+；PC的最小值为2囱，故选：C.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴

对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键.

例5.（2021•资阳市•中考真题）抛物线丁=-f+法+。与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且

B（-l,0）,C（0,3）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP

与AC相交于点E,当。£:5£=1:2时，求点P的坐标；（3）如图2,点。是抛物线的顶点，将抛物线

沿CD方向平移，使点D落在点处，且DD'=2CD,点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，

脑V/勺轴交直线。。'于点M连结CN.当或。'N+CN的值最小时，求"N的长.

5

【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点P的坐标为「（0,-/+2。+3）,先利用待定系数法求出

直线AC的解析式，再根据尸E:BE=1:2可得点E的坐标，代入直线AC的解析式求解即可得；

（3）先根据。£>'=2CD求出点DC的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，

设点M的坐标，从而可得点N的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得且。'N+CN，最后根据两

5

点之间线段最短、垂线段最短求解即可得.

—1—b+c—0

【详解】解：⑴由题意，将点5（—L0）,C（0,3）代入y=-f+6x+c得：\",

c=3

b=2

解得｛c,则抛物线的解析式为y=-/+92X+3；

c=3

(2)对于二次函数y=——+2X+3,当y=。时，—三+2%+3=0,解得x=—1或l=3,二A(3,0),

设点P的坐标为P(。,—/+2。+3)(0＜。＜3),点石的坐标为E(%i，%)，

a-x

x21

=—a——

x+1233

PE:BE^1:2,:2八c，解得〈

—a+2〃+3—%122)

%=—a~\—。+2

%—0233

2124

—a2+—a+2),设直线AC的解析式为y—kx+t,

3左+/=0'k=-1

将点A(3,0),C(0,3)代入得：.,解得《C,则直线AC的解析式为y=-X+3,

t=3t=3

21242124

将点E(—a—,—a2H—a+2)代入得：—a1-3=—a2H—a+2,解得a=l或a=2,

33333333

当a=l时，一°2+2a+3=—1+2+3=4,此时尸(1,4),

当。=2时，一〃+2a+3=-4+2x2+3=3，止匕时尸(2,3),

综上，点P的坐标为尸(L4)或尸(2,3)；

(3)二次函数y=—x2+2x+3=—(x—1)2+4的顶点。坐标为。(1,4),设点oC的坐标为。'(9，％)，

^1=2

“=；刀(3,6),

DD'=2CD,C(0,3),D(l,4),J°,，解得＜

2二2[%=6

4-3

则平移后的二次函数的解析式为y=—(x—+6=—£+6*—3,

设直线的解析式为＞=将点。'(3,6)代入得：3左o=6,解得％=2,

则直线OD'的解析式为y=2%,

设点M的坐标为-m~+6m-3)(m＜3),则点N的坐标为N(rn,2加),

如图，连接A。'，过点N作人丁，AD于点尸，过点。作CGLA。'于点G,交。。'于点M,连接C尸，

由两点之间线段最短得：FN+CN的最小值为CF,

由垂线段最短得：当点R与点G重合时，b取得最小值CG,此时点N与点N'重合，

3

则点N'的纵坐标与点。的纵坐标相等，即2加=3,解得机=1，

则ACV=卜机2+6加—3—2司=卜苏+4根一31，=~（~）2+4x^-3,=：.

【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识

点，较难的是题（3）,正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键.

例6.（2020・湖南•中考真题）已知直线丁=履-2与抛物线y=必—bx+c（b,c为常数，b>0）的一个

交点为4—1,0）,点M（瓶,0）是x轴正半轴上的动点.（1）当直线，=履—2与抛物线丁=必—法+。（b,

c为常数，/?>0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k,b,c的值及抛物线顶点E的坐标；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为。+工，当J5AM+2DM的最小值多空2时，求b的值.

24

【答案】（1）-2,2,-3,（1,M）；（2）4或6；（3）3

【分析】（1）由题意可知直线丁=区—2经过4-1,0）,因而把A（—1,0）代入直线y=Ax—2即可求出k

2

的值,然后把A-L0）代入抛物线得出含b的代数式表达c,再根据直线y=区-2与抛物线y^x-bx+c

（b4-c-b2

（b,c为常数，b>0）的另一个交点得出抛物线的顶点坐标E——,并代入直线y=-2x—2,

（24J

解方程即可求出b的值，代入即可求解；

（2）将点D的横坐标。+g代入抛物线y=/—0x+c（b,c为常数，b>0）,根据点A的坐标得到含b

-i3（]3、

的代数式表达c,求出点D的纵坐标为——可知点D6+彳,-q-:在第四象限，且在直线x=b的

24I224）

右侧，取点N（0,l）,过点D作直线AN的垂线，垂足为G,DG与X轴相交于点M,过点D作QH，x轴于

点H,则点在RtAMDH中，可知NQMZ=NMDH=45°，由题意可知点知（加,0）

,用含b的代数式表示m,因0AM+2。加=之也，可得方程，求解即可得出答案.

4

【详解】解：（1）•••直线丁=米一2经过A（—l,0）,

.•.把4-1,0）代入直线丁=米—2,可得0=—左―2,解得左=—2；

•••抛物线y=尤2—历c+c（b,c为常数，/?>0）经过4-1,0）,

.•.把4-1,0）代入抛物线,=7一灰+。，可得c=-6-l,

•.•当直线丁=区—2与抛物线y=f—6x+c（b,c为常数，b>0）的另一个交点为该抛物线的顶点E,

（b4c-b2}（b4c-b2}__

顶点E的坐标为一--,把E一--代入直线y=-2x—2,

（24J（24J

可得一2x2—2=^^,,2X--2=4^-/?-^-Z?2,解得=

2424

">'/?>0,Z?=2,c=—2—l——3,顶点E的坐标为（L-4）.

,1

（2）:•点D在抛物线y=广—岳t+C（b,c为常数，b>0）±,且点D的横坐标为。+],

.•.y。=（b+；]—>（b+g）+c,A（—l,0）在抛物线y=%2—fot+c（b,C为常数，b>0）上，

（—l）2+b+c=O,Bpc=—b—1,——，

f,1b3}“

可知点Db+-在第四象限，且在直线x=b的右侧.

I224)

Vs/2AM+2DM=2^AM+DM，，可取点N(O,1),

如图2,过点D作直线AN的垂线，垂足为G,DG与X轴相交于点M,；.NGAM=45°，得二一AM=GM,

2

则此时点M满足题意，过点D作QH_Lx轴于点H,则点

在RtAMDH中，可知N£)MH=NMDH=45°，DH=MH,DM=®MH,

,点M("z,0),•*-=+解得：m=]

I24JI2J24

■：y/2AM+2DMAV2+2-72卜+；卜《—£|=Z^1,:.b=3

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、

三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式.

例7.（2022,四川成都•中考模拟）6.如图，已知抛物线y="x+2）（x-4）建为常数,且。＞0）与x轴从左

至右依次交于A,3两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=-日x+b与抛物线的另一交点为。.

（1）若点。的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点尸，使得以A,

B,尸为顶点的三角形与AABC相似，求左的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含

端点），连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到产，再沿线段PD以

每秒2个单位的速度运动到。后停止，当点P的坐标是多少时，点A1在整个运动过程中用时最少？

【答案】⑴y=^-(x+2)(x-4)；(2)%=忘或飙；(3)F(-2,2®

【分析】(1)根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出b

的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、上的值得到抛物线的函数表达式；

(2)分△PABS/\ABC和△PABS/\BAC两种情况讨论即可；

(3)过点D作DHLy轴于点H,过点A作AGLDH于点G,交BD于点F,则点F即为所求，理由是，由

于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直

线BD的倾斜角是30°知道/G=；ED,又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直

角三角形的性质求解即可.

解：(1)抛物线y=«(x+2)(尤-4),令y=0,解得x=-2或x=4,A(-2,0),2(4,0).

8

...直线y=一日x+b经过点B(4,0),，一日x4+b=0,解得。=华，

直线解析式为：y=-x+^-.当x=—5时，y=3也,.-.0(-5,3上).

•.•点。(一5,3石)在抛物线y=A(x+2)(x-4)上，-(-5+2)(-5-4)=3^/3,:.k=—.

889

抛物线的函数表达式为：>=@(尤+2)(彳-4).即〉=@尤2一2叵,8一还.

9999

(2)由抛物线解析式，令x=0,得>=一4，.-.C(.0,-k),OC=k.

因为点尸在第一象限内的抛物线上，所以NABP为钝角.

因此若两个三角形相似，只可能是AABCSA4PB或A45csM4B.

①若AABCSAAPB,则有NE4C=NE4B,如答图2-1所示.

设尸(x,y),过点P作尸轴于点N,则ON=x,PN=y.

kvk

tanABAC=tanZPAB,即：—=----,:.y=—x+k.

2x+22

.•.P(x，ZX+Q,代入抛物线解析式y=g(x+2)(x-4),

28

得一(x+2)(%—4)=—x+女，整理得：x2-6x-16=0,

82

解得：x=8或尤=-2（与点A重合，舍去），,尸（8,5左）.

ACAB^2+46

AABC^/^APB,——=——，即nn------=/=解得:

ABAP6725V+1005

②若AABCSA/^B,则有4BC=NE4J5,如答图2-2所示.

设P(x,y),过点P作尸N，x轴于点N,则ON=x,PN=y.

kvkk

tanZABC=tanZPAB,即：一二----,y=—x+—.

kkk

...p(x,：%+4，代入抛物线解析式y=£(%+2)(%-4),

428

kkk

得一(x+2)(x-4)=—x+—,整理得：x2-4x-12=0,

842

解得：x=6或尤=一2(与点A重合，舍去)，，尸(6,2©.

AB_CB6也娈，解得人±0,

AABC^ARAB

APAB'364+4/6

■.-k>o,:.k=厄,综上所述，左=逑或%=也.

5

（3）方法一：如答图3,由（1）知：2）（-5,3招），

如答图2—2,过点。作DNLx轴于点N,则DN=3