直线与圆的最值问题专练【16类题型】（原卷版）-2024-2025学年人教版高二数学上学期

直线与圆的最值问题【16类题型汇总】

求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，与圆有关的最值问题主要表现在求

几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问

题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化，今天我们一起来学习一下直线与圆相关最值问题的

所有题型！

总览题型解读

【题型1】点到含参直线距离最值.................................................2

【题型2］过定点的弦长最短......................................................3

【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围.......................................5

【题型4】点圆型最值问题........................................................7

【题型5】斜率型最值问题........................................................9

【题型6】圆上的点到直线的距离为定值的个数（教材原题改编）...................12

【题型7】与基本不等式结合求最值..............................................19

【题型8】隐圆型最值问题.......................................................24

【题型9】阿氏圆...............................................................28

【题型10】与切点弦有关的最值问题.............................................35

【题型11】过定点的弦与圆心所围成的三角形面积最值............................41

【题型12］半圆与直线交点问题.................................................47

【题型13］三角换元求最值......................................................51

【题型14］圆的轨迹类问题......................................................52

【题型151点到直线距离公式为背景的最值问题...................................57

【题型16】张角最大问题........................................................64

题型汇编[知识梳理与常考题型

【题型1】点到含参直线距离最值

基础知识1

点P到含参直线/距离最大值即尸点到定点/的距离

如图，直线/绕定点A旋转，易知PHWPA

/“典型例题/

1.点（0,-1）到直线>=网》+1）距离的最大值为（）

A.1B.41C.百D.2

/“巩固练习/

【巩固练习】已知直线/方程为（2+机）％+（1-2相）丁+4-3加=0,那加为时，点0（3,4）到直线/

的距离最大，最大值为

【题型2】过定点的弦长最短

/核心•技巧/

设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径

垂垂直的弦弦长为

2.已知直线/：加-了-2+1=0和圆Cd+j?-4y=0交于48两点，贝”//的最小值为()

A.2B.72C.4D.2-72

/“巩固练习/

【巩固练习1】过点(1,1)的直线/与圆C：/一4x+r=o相交于z、8两点，贝|)|//的最小值是

【巩固练习2】(24-25高三上・江苏苏州•开学考试)已知直线/:(2左+l)x-。-l=0(其中左为常

数)，圆。:/+/=8,直线/与圆。相交于/,8两点，则长度最小值为.

【巩固练习3】(23-24高二下•广东茂名•阶段练习)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=9,直线

/:(m+3)x-(加+2万+加=0.则直线/被圆C截得的弦长的最小值为()

A.2aB.V10C.272D.V6

【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围

/核心•技巧/............

在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系

已知点河(后,九)和圆的一般式方程oc：X2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+£2-4F>0),

则点M(%,%)与圆的位置关系：

2

①点M(Xg,为)在QC外Q*x0~+y0+Dx0+Ey0+F>0

2

②点M(XQ,JVQ)在OC上xQ++Dx0+Ey0+尸=0

③点M(xo,%)在0c内XQ++DXQ+Ey0+F<0

注意：做题时不要漏掉。2+后2一4/〉o这个不等式

/“典型例题/

3,若点在圆/+/_2④-4=0的内部，则。的取值范围是().

A.a>\B.0<a<1C.—1<tz<一D.a<1

5

/“巩固练习/

【巩固练习1】若点/(2,1)在圆x2+y2_2e-2y+5=0(加为常数)外，则实数机的取值范围为

()

A.(-oo,2)B.(2,+co)C.(-co,-2)D.(-2,+oo)

【巩固练习2】若点(0,1)在圆/+/-2办-2尸0+1=0外，则实数4的取值范围为.

【巩固练习3］过点尸。,1)可以向圆好+/+2工-4了+左-2=0引两条切线，则左的范围

【题型4】点圆型最值问题

核心•技巧

圆C上的动点P到直线/距离的最大值等于点C到直线/距离的最大值加上半径，最小值等于点C

到直线距离的最小值减去半径

/“典型例题/

4,若实数满足/+/=1,则J(x-1)?+(y-l)2的最大值是.

/“巩固练习/

【巩固练习1]若点P（xj）在圆/+力-4），+1=0上，则（-2的最小值为________.

【巩固练习2]若点尸（X/）是圆。：/+/一8》+6了+16=0上一点，则f+/的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【巩固练习3】已知圆C:（x-3）2+（y-4）2=l,点与8（0,1）,P为圆C上动点，

当|上4「+1尸"『取最大值时点P坐标是.

【题型5】斜率型最值问题

....................................................................................................

形如M=2二2的最值问题，可转化为点（X，V）与定点（。，6）的动直线斜率的最值问题

x-a

/“典型例题/

5,已知实数％，N满足方程0-2）2+/=3,求上的最大值和最小值

X

6.（24-25高二上•江西上饶•开学考试）已知两点双-3,2）,8（2,1）,过点尸的直线/与线段

AB（含端点）有交点，则直线/的斜率的取值范围为（）

A.B.[-1,1]C.ju[l,+oo）D.-j,l

7.若点尸在曲线。「“2-2-6>1=。上运动，则忘的最大值为——

/“巩固练习/

【巩固练习1】(22-23高二上•安徽马鞍山•阶段练习)已知直线斜率为左，-MkM立,那么倾

3

斜角。的取值范围是()

八兀］F7i2兀、「八兀］「2兀［「八兀］「2兀、「八兀［「兀23

A.0,-uB.0,-u—,7iC.0,-u—,7TD.0,-u

L6JL23JL3」L3)L6」L3)L3」|_23J

【巩固练习2】如果实数％,V满足(％-2)2+/=2,则?的范围是()

A.(-I」)B.[-1,1](-oo,-l)u(l,+oo)D.(-oo,-l]U[l,+oo)

【巩固练习3】已知两点/(3,0),5(0,4),动点p(x,y)在线段43上运动，则二的范围是.

(x+1)2+/的范围是.

【题型6】圆上的点到直线的距离为定值的个数(教材原题改编)

/核心•技巧/

教材原题改编：选择性必修第一册第99页

国拓广探索

；13.已知圆/+，=4,直线/：y=z+6.为何值时，回上恰有三个点到直线/的距离都等于1?

圆心C到直线1的距离为d,圆C上的动点P到直线的距离为d',则

⑴直线与圆有公共点时，此时dWr

①当d>d+r(d/r)时，点P个数为0/\

［d\

②当d=d+r(d.r)时，点P个数为1Id1Q］

③当r—d<d，<r+d(dWr)时，点P个数为2/

④当d=r-d(dWr)时，点P个数为30

⑤当OVdVr—d(dsr)时，点P个数为4-------f-----------------

(2)当直线与圆无公共点时，此时d>rd\^

①当d，<d—r(d>r)时，点P个数为0

②当d=d—r(d>r)时，点P个数为1

③当d—r<dyd+r(d>r)时，点P个数为2

/“典型例题/

8.己知点尸在圆(x-4)2+(y-5)2=16上，点/(4,0),5(0,2).求点尸到直线距离的最大值

9.(多选)在平面直角坐标系xQy中,已知圆/+V=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的

距离为1,则实数。的取值可能是()

A.14B.-13C.12D.-10

10.若圆(x-3产+(y-5)2=r\r>0)上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为5,则一的取值

范围是.

11.已知圆C：%2+/=4,直线/：x+y+m=Q,若圆C上有且仅有两个不同的点到直线/的距离

为1,则加的取值范围是.

12.(24-25高二上•江苏徐州•开学考试)已知圆C：(x+l)2+(y-l)2=4,若直线歹=丘+5上总存在

点P,使得过点P的圆C的两条切线夹角为60。，则实数k的取值范围是

/“巩固练习/

【巩固练习1】(2024•广东珠海•一模)己知点-1,0),8(0,3),点尸是圆(x-3y+V=l上任意一

点，贝鼠尸48面积的最小值为()

A.6B.—C.-D.6--

222

【巩固练习2】已知点尸为圆/+产=1上一点，记”为点尸到直线x-叼-2=0的距离.当加变化时，d

的最大值为.

【巩固练习3】在圆（x-2）2+/=4上有且仅有两个点到直线3x+4y+a=0的距离为1,则a的取值

范围为•

【巩固练习4】若圆（》-1）2+（丁+1）2=夫2上有且仅有两个点到直线4工+3了=11的距离等于1,则半径

R的取值范围是.

【巩固练习5】设圆C：（》-1）2+5+1）2=/&>0）上有且仅有两个点到直线x-y+2=0的距离等

于JL则圆半径厂的取值范围是.

【巩固练习6】已知直线/：y=x+6,圆。：/+「=4,圆O上恰有4个点到直线/的距离为1,则

b的取值范围为.

【题型7】与基本不等式结合求最值

「核心•技巧/.......................................................

基本不等式：如果。>。，6>0,那么JabW---,当且仅当a=b时，等号成立.（仅限和与积）

常用不等式：若a，bsR,则"”+6）《4!汇,当且仅当a=b时取等号；（从左至右为积，

42

和，平方和）

13.若。，6为正实数，直线2x+(2a-3)y+2=0与直线队+2>一1=0互相垂直，则好的最大值为

14.设直线/的方程为(a+l)x+y+2-a=0(xeR),若/与x轴正半轴的交点为/,与了轴负半轴的

交点为5,求人4。8(。为坐标原点)面积的最小值.

15.(23-24高二上•贵州铜仁•期中)已知圆/-4&+/-2y=5关于直线2ax+y+b-3=。(°,6为

大于0的数)对称，则:的最小值为____，此时直线方程为_____.

ab

16,(2024•安徽•模拟预测)已知尸(-2凡0),。(aab)(a>0,6>0),动圆a)?+(y=/&>0)

经过原点，且圆心在直线x+2y=2上.当直线P。的斜率取最大值时，r=()

AV2r2V2rV3n2行

3333

17.(23-24高二上•陕西西安・期中)已知圆。的半径为2,过圆。外一点尸作圆。的两条切线，切

点为A,B,那么强.丽的最小值为()

A.-16+4&B.-12+4后C.-12+8&D.-16+872

/“巩固练习/

【巩固练习1】过点4L1)的动直线4和过点3(4,5)的动直线4交于点尸(点尸异于/、B),且

I』，贝“尸图」尸切的最大值是()

A.—B.5C.-D.—

222

【巩固练习2】过点尸(3,4)的直线/,求/与叼正半轴相交，交点分别是/、民当A4O2面积最小时

的直线方程.

【巩固练习3】（23-24高二上•江苏无锡・期中）若圆一+/+2尤一4>+1=0被直线

2"-如+2=0（。>0,6>0）平分，则,+1的最小值为（）

ab

11

A.-B.9C.4D.一

49

【巩固练习4】已知圆。的方程为/+/=1,过第一象限内的点P（a,b）作圆。的两条切线尸工,PB,

切点分别为43,若丽.9=8,则6的最大值为（）

A.20B.3C.3拒D.6

【巩固练习5】（23-24高二下•山西长治•阶段练习）已知直线/：x+/y+5=0,圆

C:x2+y2-2x-Amy=0,当圆心C到直线/的距离最小时，圆C的周长为（）

A.2石兀B.2遍兀C.2e兀D.40兀

【巩固练习6】（23-24高三下•安徽黄山•阶段练习）已知圆C|：X2+J?=4和圆。2乂X-2）2+（/-2）2=4,

若点尸（加,"）（加>0,〃>0）在两圆的公共弦上，则加A/-""的最小值为.

【题型8】隐圆型最值问题

/核心•技巧/........................................................

一、定点定长得圆

在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点

轨迹，并进行计算

二、直角的对边是直径

前世：在。0中，AB为直径，则始终有AB所对的NC=90°

今生：若有力B是固定线段，且总有NZCB=90°,则C在以ZB为直径径的圆上.（此类型本来

属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类）

/II典型例题/

18.设点”(1,0),N(-2,3),直线/:x+ay+2a-l=0,/Ml/于点则的最大值为,

19.已知机eR,直线4：机x+y+2加=0与4：x-叼+4加=0的交点尸在圆C：

(x-3)2+(^-4)2=r2(r>0)±,则-的最大值是()

A.40B.3也C.2行D.3#>

20.(23-24高二上•湖南•期中)设加£R,直线4:、=以x-4加+2与直线4:x+即一6加一2=0相交于

点P，线段C£>是圆/+产=9的一条动弦，且口必=4,|京+而|的最小值为.

/“巩固练习/

【巩固练习1】已知直线/：2妙+(加+〃)y+2〃=0,点8(3,3),点A在直线/上的射影

为H,则线段2〃长度的取值范围为.

【巩固练习2］已知直线4：mx-y+2=0,Z2：x+my+2=0,weR,若4和"交于点M,则|<W|

的最大值是.

【巩固练习3】已知加，«eR,m2+n2v=0,记直线"x+便y-"=0与直线加=0的交点为

P,点。是圆C：(x+2y+(y-2)2=4上的一点，若尸。与C相切，则归。|的取值范围是()

A.[272,714]B."6,2币]

C.[2,V14]D.[2,2仞

【题型9】阿氏圆

心•技巧/

借助阿氏圆探究最值问题：若43为两定点，动点P满足归/|=川尸同，则彳=1时，动点尸的轨迹为

直线；当4>0且时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗

尼斯圆，转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值.

【模型解读】

2

如图1所示，。。的半径为R,点力、B都在。。夕卜，P为。。上一动点，已知R=《OB,

2

连接24、PB,则当“尸/+1必”的值最小时，P点的位置如何确定？

2

解决办法：如图2,在线段0B上截取0C使OC=~^R,则可说明△BP。与△PC。相似，则有

22

-PB=PC。故本题求“P4+wPB”的最小值可以转化为“尸"+尸C”的最小值，其中与4与C为定点，

P为动点，故当4、P、C三点共线时，“R4+P。'值最小。

///典型例题/

21.（23-24高二上•福建龙岩・期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点43的

距离之比为定值"％片1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系xOy中,

IpaI1

4-1,0）,3（2,0）,点尸满足品=5,则点P到直线X+岛=4的距离的最小值为（）

I卜⑴，

A.1B.V2C.2D.3

22.(23-24高二上•广东佛山•阶段练习)已知点/(-2,0)、j,0L直线丁=6+3上存在点X,

使得|K4|=2|7kffi|,则实数上的取值范围是.

23.(23-24高三上•河北沧州•期末)已知尸(0,4),。为直线y=x-3上的动点，R^O:x2+y2=4

上的动点,则|R。|+:依|的最小值为.

24.已知圆：V+必=1和点^(-1,0)，点5(1,1)，加为圆。上动点,^2\MA\+\MB\的最小值为一.

25.(24-25高三上•山东德州•开学考试)已知点A为直线3x+4y-7=0上一动点，点8(4,0),且

尸(x,y)满足/+/+无一2=0,则3|4P|+|四的最小值为()

671321

A.—B.—C.—D.—

5555

/u巩固练习/

【巩固练习1】(23-24高二上•山东泰安•期中)己知。为坐标原点，A,2均在直线x-y-6=0上，

M=2,动点尸满足|尸4卜血忸目,则|。尸|的最小值为.

【巩固练习2】在平面直角坐标系xQy中，已知点3(0,4).若直线2》-了+。=0上存在点2，

使得尸8=2尸/,则实数。的取值范围是()

A.(―V5,V5)B.[―V5,A/5]

C.(-26,2病D.[-2遥,2石]

【巩固练习3】已知点41,0),/为圆/+/=4上一动点，N为直线2x-y+7=0上一点，贝|

2MMi+1AW|的最小值为.

Q

【巩固练习4】已知半径为|的圆C的圆心在J轴的正半轴上，且直线12x-9了-1=0与圆。相

切.

(1)求圆C的标准方程.

(2)已知N(/o,-1、),尸为圆C上任意一点，试问在>轴上是否一存在定点B(异于点A),使得\P扁B\为

定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在(2)的条件下，若点。(4,6),试求4尸4|+|尸。的最小值.

【题型10］与切点弦有关的最值问题

基础知识

1、切点弦方程（二级结论）：圆外一点。（/，/）向圆龙2+了2=/作切线，两个切点A,B的连线方

程为x0x+%1y=/（类似的其余圆锥曲线都有此类方程）

2、双切线性质：OP_L/时候

①切线长最小

②切点四边形面积最小

③切点弦AB最短

④切线夹角最大

⑤AB平行I

3、切点弦的方程的常规求法：如图，易知力。3四点共圆，且PO为圆的直径，而AB为两圆的公

共弦

/“典型例题/

26.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界

光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数左（左＞0且上H1）

的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点E（板,0）,

F（2V2,0）,则满足忸下|=8|/狎的动点尸的轨迹记为圆E.

（1）求圆E的方程；

⑵过点。（3,3）向圆E作切线QS,QT,切点分别是S,T,求直线ST的方程.

27.（高二下•浙江温州•期末）己知圆C：V+V=4,点尸为直线x+y-4=0上一动点，过点P向

圆C引两条切线P4,PB,A,2为切点，则线段初长度的最小值为（）

A.272B.3A/2C.4D.472

28.已知圆C:x2+/-2x-4y-4=0,尸为直线/：x+»+2=0上一点，过点尸作圆C的两条切线,

切点分别为A和2,当四边形尸NC5的面积最小时，则直线"的方程为.

///巩固练习/

【巩固练习1】（23-24高二上・浙江•期末）已知圆C:X2-2X+J/=。与直线/：夕=,加+2加（加>0）,

过/上任意一点P向圆C引切线，切点为A和5,若线段4s长度的最小值为收，则实数用的值为

（）

R5

A,史D.--------

77

【巩固练习2】（高二上•湖北黄石•期末）已知点尸是直线/：x+>=4上的一点，过点p作圆

。:/+/=2的切线，切点分别为A、B,则直线也恒过定点,四边形尸面积的最小

值______.

【巩固练习3】（23-24高二上•辽宁・期末）已知。“：/+/+2彳一44+1=0,直线/：x-y-1=0,尸为

/上的动点.过点P作GW的切线尸4尸8,切点分别为43,当归时限同最小时，点P的坐标

为，直线4B的方程为.

【题型11］过定点的弦与圆心所围成的三角形面积最值

/核心•技巧/

当圆心角为90°时，面积有最大值，此时圆心到直线的距离为一―，注意验证圆心到直线的距离是

2

否可以取

29.已知直线/：V=H与圆C:x2+/-4x+2=0交于两点跖N,当ACW面积最大时，斜率先值为

()

A.±V3B.±72C.±1D.土2

3

30.已知圆。：一+/-瓜-4-4=0关于直线y=x+l对称，且(4,2)在圆上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线/：(切+1•-(2加+l)y-优-2=0与圆C交于点/,B,求。8C面积的最大值，并求此时直

线/的方程.

/“巩固练习/

【巩固练习1】已知直线/：(小一l)x+(加+1)了-3加+1=0与圆。：/+/=9交于48两点，则103

的面积的最大值为()

A.2及B.2A/3C.2A/5D.|

【巩固练习2】已知直线ax+y+a-l=0与圆C:x2+y2-2x-8y+b=0,(a,bwR),交于A,3两

点，若△4BC的面积的最大值为4,求此时仍=.

［巩固练习3］已知圆C:(x—1)2+(y_2『=9,直线+加+l)y—加一2=0.

(1)求证：直线/与圆C恒有两个交点；

(2)若直线/与圆C交于点/,B,求△C4B面积的最大值，并求此时直线/的方程.

【巩固练习4】已知线段48的端点3的坐标是(6,8),端点A在圆/+丁=16上运动，X是线段48

的中点，且直线/过定点（1,。）.

（1）求点M的轨迹方程，并说明它是什么图形；

（2）记（I）中求得的图形的圆心为C：

（力若直线/与圆C相切，求直线/的方程；

（而）若直线/与圆C交于尸，。两点，求ACP。面积的最大值，并求此时直线/的方程.

【题型12］半圆与直线交点问题

核心•技巧

一、半圆方程

例：化简曲线C：x—j4—y2=o

移项后两边平方得f=4—/nf+r=4,通过方程看曲线是整圆，但要满足xNO的条件

所以曲线其实是右半圆.这就提醒我们，比如：“两边平方”、“分式化整”、“实际问题情境”等，要留意

是否恒等变形.

二、观察交点个数

观察动直线是斜率为定值还是直线过定点.当直线斜率为定值时，此直线在平移的过程

中，利用图形，抓关键点，什么时候是有一个和两个公共点，相交相切位置要清楚，然

后利用点到直线的距离与半径的不等关系得出参数的范围.当直线恒过定点时，直线在

旋转，方法和平移类似，抓关键点和位置

/“典型例题/

31.直线，：V=x+加与曲线C：x+6二3=0有两个公共点，则加的取值范围是（）

A.[1冏B.(1,V2]C.(3,3@D.

32,若曲线＞=1+“^?（-24》42）与直线歹=左（》-2）+4有两个交点，则实数后的取值范围

是.

/“巩固练习/

【巩固练习13直线x+y+a=O与半圆了=_打_/有两个交点，则。的值是

【巩固练习2】若曲线＞+（-2Vx42）与直线x-y+："=O有两个交点，则实数机的取值范

围是.

【巩固练习3】若直线辰+V+2-24=0与曲线j4-（y-l『+l=x有两个不同的交点,则实数上的取

值范围是.

【题型13】三角换元求最值

核心•技巧

x=rcos0+a

圆（X-Q）2+（y-bp=r2的参数方程

y=rsin0+b

33.已知实数x,N满足*2+9=4（了20）,则加=岳+＞的取值范围是（）

A.（一26，4）B.[-273,4]C.[-4,4]D.[-4,273]

/“巩固练习/

【巩固练习1】若x,＞满足/+「=1,则+y的最大值为

【巩固练习2］已知实数x,＞满足方程（x-2r+/=3.

（1）求歹一X的最大值和最小值（2）求+/的最大值和最小值.

【题型14］圆的轨迹类最值问题

核心•技巧;

求与圆有关轨迹方程的常用方法

1.定义法

当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.

2.直译法

直接将题目条件翻译成代数方程，求解轨迹方程.

3.直接法

当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.

4.几何法

利用图形的几何性质，确定等量关系，设点、列式，求解轨迹方程.

5.代入法（或相关点法）

当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关

系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程

/“典型例题/

34.在平面直角坐标系X。中，已知点/（2,0）,若点又满足MT+MO=IO,则点m的轨迹方程

是—.

35.已知圆C：（X-6）2+/=9,点M的坐标为（2,4）,过点N（4,0）作直线/交圆C于48两点，则

|疝+砺|的取值范围为

36.已知4■.mx-y-,im+\=Q^l2：x+:即_3心_]=0相交于点尸线段初是圆C：(x+l>+(>+1了=4

的一条动弦，且|/用=2右则|方+而|的范围为

/u巩固练习/

【巩固练习1】（24-25高二上・江苏徐州•阶段练习）已知动点M与两个定点。（0,0）,43,0）的距离之

比为2,那么直线。朋■的斜率的取值范围是（）

A.〔2跖6近］B.一日，春T-|

'->,I,ID.

33

【巩固练习2】已知定点4L0）,m（o:x2+y2=4,M,N为。上的动点，满足|近|=2括，则而.诉

的取值范围为.

【巩固练习3】已知直线/：x->+8=0与x轴相交于点/,过直线/上的动点尸作圆/+「=16的

两条切线，切点分别为C,。两点，则直线CD恒过定点坐标为；记河是CD的中点，则

\AM\的最小值为.

【题型15】点到直线距离公式为背景的最值问题

/核心•技巧/

对于卜天+勿1+。|这类式子，可以利用点到直线距离的几何意义，把问题转化为为“（国,必）到直线

QX+勿+C=0距离

/“典型例题/

37,（23-24•浙江宁波・期末）实数xj满足/+了2=2》_2',则|x7+3|的最小值为（）

A.3B.7C.-V2D.3+V2

38.（2024・湖南岳阳•二模）已知点4（三,必）,25,%）是圆/+/=16上的两点，若408=（则

|西+乂-2|+四+%-2|的最大值为（）

A.16B.12C.8D.4

39.已知实数百"2，%,%满足=4,其+只=4,xlx2+yly2=Q,则+乂一4|+"+%的

最大值是.

40.（22-23高二上•四川南充・期中）对于圆（x-4+（7-6）2=5上任意一点P（x,y）,

—2y+7〃|+|x—2y+l|（机w1）的值与x,了无关，则加的范围为（）

A.[1,+®）