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文档简介
专题02整式及其因式分解(分层训练)
讲台
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1.(22・23上・陇南•期中)对单项式-|町/2说法正确的是()
A.-|初2的系数是|,次数是2
B.-|到2的系数是一|,次数是3
C.-|xy2的系数是2,次数是2
D.—|xy2的系数是一2,次数是3
【答案】B
【分析】根据单项式系数和次数的概念解答即可,单项式中的数字因数是单项式的系数,单项式中所有字
母的指数和叫单项式的次数.
【详解】解:一|孙2的系数是一|,次数是3.
故选:B.
【点睛】本题考查单项式系数和次数的概念,将单项式中的数字因数与字母准确分离是解题的关键,注意兀
是数字,而不是字母.
2.(22・23上・鹤壁,期中)多项式3/y2z-12//—6x3y3z的公因式是()
A.3x2y2B.x2y2C.3x2y2zD.3x3y2z
【答案】A
【分析】根据多项式的公因式的确定方法,即可求解.
【详解】解:多项式3%2y2z-12/y4-6%3y3z的公因式是3%2y2.
故选:A.
【点睛】本题考查了公因式的定义.确定多项式中各项的公因式,可概括为三"定":①定系数,即确定各
项系数的最大公约数;②定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);③定指数,即各项
相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幕.
3.(2223上•巴中,期末)下列四个等式中正确的是()
A.a2+a2=a4B.(a2)3=a6C.(2a)3=6a3D.a84-a2=a4
【答案】B
【分析】根据合并同类项、幕的乘方,积的乘方,同底数幕的除法法则计算即可.
【详解】解:A.a2+a2=2a2,故选项错误,不符合题意;
B.(a2)3=a6,故选项正确,符合题意;
C.(2a)3=8a3,故选项错误,不符合题意;
D.a8^a2=a6,故选项错误,不符合题意;
故选:B.
【点睛】本题考查合并同类项、幕的乘方,积的乘方,同底数塞的除法,掌握上述运算法则是解题的关键.
4.(22-23上・荆州•阶段练习)已知久=2是一元二次方程/3+6=0的解,则4a+2b+1的值是()
A.-5B.-6C.-7D.-8
【答案】C
【分析】把%=2代入一元二次方程/+ax+6=0,可得2a+b=—4,再代入,即可求解.
【详解】解:Ex=2是一元二次方程/+ax+b=0的解,
04+2a+b=0,
02a+b=-4,
04a+2b+1=2(2a+6)+1=2X(-4)+1=-7.
故选:C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义,求代数式的值,熟练掌握能使方程左右两边同时成立
的未知数的值是方程的解是解题的关键.
5.(21-22下・昆明•二模)下列计算正确的是()
A.(x+y)2—x2+y2B.|xy3^=^x2y6
C.—~x3y2(—6x2y)=-3x5y3D.x+y=
2JJx2-y2y2-x2x-y
【答案】B
【分析】根据整式和分式的计算规则,分别计算判断即可;
【详解】A:(X+y)2=/+2xy+y2,选项错误;
B:|xy3^=12y6,选项正确;
C:-|x3y2(—6x2y)=3x5y3,选项错误;
D:$+忐=W,选项错误―
故选:B
【点睛】本题考查整式和分式的计算,牢记相关运算规则是解题重点.
6.(22-23下•毕节•期中)计算(-0.25)2022x42021的结果是()
A.-1B.1C.4D.0.25
【答案】D
【分析】利用幕的乘方与积的乘方的法则进行计算,即可得出结果.
【详解】解:(一0.25)2°22x42021
=(—0.25)2021x42021x(—0.25)
=[(-0,25)x4]2021x(-0.25)
=(-1)2021X(-0.25)
=(—1)x(—0.25)
=0.25,
故选:D.
【点睛】本题考查了哥的乘方与积的乘方,掌握累的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键.
7.(22-23上•长春•阶段练习)下列计算正确的是()
A.x3-x3=x9B.a44-2a3=2aC.2x2+3x3=5x5D.(%5)2=%10
【答案】D
【分析】利用同底数幕乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幕的乘方等运算法则分别计算,判断即可.
【详解】解:A、/原式计算错误,不符合题意;
B、a42a3=p原式计算错误,不符合题意;
C、2/和3炉不是同类项,不能合并,原式计算错误,不符合题意;
D、(迪)2=炉0,计算正确,符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查了底数募乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幕的乘方等知识点,熟练掌握相关运
算法则是解本题的关键.
8.(2223上源山•阶段练习)计算(-0.75)2022x(/—A1\)2023的结果是()
A.-4B.-4-C.0.75D.-0.75
33
【答案】B
【分析】直接把原式变形为[(—JX(一X(一J)进行求解即可.
/4、2023
【详解】解:(-0.75)2022x(-9
4
-3’
故选B.
【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算,同底数累乘法的逆运算,熟知相关计算法则是解题的关键.
9.(2223上•保定,期末)计算(3支3尸的结果是()
A.9久9B.9x6C.6久9D.6%6
【答案】B
【分析】根据积的乘方和幕的乘方法则进行计算求解.
【详解】解:原式=9尤6,
故选:B.
【点睛】本题考查积的乘方,掌握乘方和幕的乘方法则是解题基础.
10.(2223下•哈尔滨•一模)下列运算中,一定正确的是()
A.(a7)2=a14B.a7-a2—a14
C.2a2+3a3=5a5D.(ah)2=ab2
【答案】A
【分析】根据累的乘方、同底数累的乘法、合并同类项、积的乘方的运算法则,对选项一一进行分析,即
可得出答案.
【详解】解:A、(a7)2=a】4,故A正确;
B、a7-a2=a9,故B错误;
C、2a2与3a3不是同类项,不能合并,故C错误;
D、(ab)2=a2b2,故D错误.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了整式运算,熟练掌握塞的乘方与积的乘方,同底数幕的乘法,以及合并同类项法
则,是解本题的关键.
11.(21-22下•青岛•模拟预测)下列计算中,正确的是()
A.(―2x2)3-6x6B.x3yxy=x2
C.(x+y)2=x2+y2D.x2-x3=x6
【答案】B
【分析】根据积的乘方和幕的乘方、单项式除以单项式、完全平方公式以及同底数幕的乘法运算法则分别
计算出各项的结果再进行判断即可得到答案.
【详解】解:4(—2/)3=—8一,原选项计算错误,故不符合题意;
B.x3y^xy-x2,计算正确,符合题意;
C.(x+y)2=/+2盯+外,原选项计算错误,故不符合题意;
D.%2.%3=%5,原选项计算错误,故不符合题意;
故选:B.
【点睛】此题主要考查了积的乘方和嘉的乘方、单项式除以单项式、完全平方公式以及同底数幕的乘法运
算,熟练掌握公式和运算法则是解答此题的关键.
12.(21-22上•南通•期中)下列各式计算正确的是()
A.c^+^—a5B.a2*a3—a6
C.(a'b?)3=a6b5D.(a2)』(-/)2
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、同底数幕的乘法、积的乘方以及暴的乘方逐一判断即可.
【详解】解:A、/与不是同类项,不能合并,故A错误;
B、a2»a3—a5,故B错误;
C、(a3b2)3=a9b6,故c错误;
D、(/)3=(-冷2,正确;
故答案为:D.
【点睛】本题主要考查了合并同类项法则、同底数幕的乘法、积的乘方、幕的乘方等知识点,灵活运用相
关运算法则成为解答本题的关键.
13.(2223上•三门峡・期末)比较图1和图2你可以得到①,如图3,点C是线段2B上的一点,以AC,CF
为边向两边作正方形,设4B=8,两正方形的面积和S1+S2=26,求图中阴影部分的面积是②()
图1
A.①(a+6)2=(a—b)2+4ab②26B.①(a+6)2—(a—6产=+4ab②/
C.(T)(cz+b)(a—b)=a2—b2②芳D.①(a+6)2-(a-b/=+4ab②26
【答案】B
【分析】①利用等面积法,大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积,得到关系式,②用
数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题.
【详解】①大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积,故可表示为:4ab+(a-6)2,
大正方形边长为a+b,故面积也可以表达为:(a+b)2,
因此(a+bp—(a—bp+4ab,
即(a+b)2—(a—b)2=+4ab;
②设4c=a,CF=b,
因为4B=8,S1+S2=26,
所以a+b=8,+=26,
因为(a+b^2=a2+b2+2ab,
所以64=26+2ab,解得ab=19,
由题意:AACF=90°,
所以S阴影=gab=/,
故选B.
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和正方形的性质,利用数形结合思想对完全平方公式以及变式理解.
14.(22-23下•泰安•三模)下列运算中,正确的是()
A.-2(x—3y)=—2x+3yB.(1—x)(x—1)=-1+2%—x2
22
C.(—a)+(—a)-1D.(—2x)3=g%3
【答案】B
【分析】根据单项式乘以多项式运算法则,多项式乘以多项式运算法则,积的乘方与哥的乘方运算法则以
及单项式除以单项式运算法则化简各项后再进行判断即可.
【详解】解:A、-2(%-3y)=-2x+6y,故选项A计算错误,不符合题意;
B>(1-x)(x-1)=-1+2%-x2,计算正确,符合题意;
C、(-a)2-(-a2)=a2^(-a2)=-1,故选项C计算错误,不符合题意;
D、(-2x)3--8*,故选项D计算错误,不符合题意;
故选:B.
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式运算,多项式乘以多项式运算,积的乘方与幕的乘方运算以及
单项式除以单项式运算,熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键.
15.(22-23上,邢台•期末)多项式%2y2一y2—/+i因式分解的结果是()
A.(x2+l)(y2+1)B.(%—1)(%+l)(y2+1)
C.(x2+l)(y+l)(y—1)D.(x+l)(x—l)(y+l)(y-1)
【答案】D
【分析】直接将前两项提取公因式分解因式,进而利用平方差公式分解因式得出即可.
【详解】解:x2y2-y2-x2+l
—y2(x2—1)—(x2—1)
=(y2-i)(x-i)(x+1)
=(y-l)(y+l)(x-l)(x+1).
故选:D.
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式,正确分组是解题关键.
16.(2223上•重庆•期中)如图,按照程序图计算,当输入正整数无时,输出的结果是71,则输入的x的值
可能是()
【答案】B
【分析】分别计算出直接输出结果、两次才输出结果、三次才输出结果的尤的值即可解答.
【详解】解:如果直接输出结果,则3x+2=71,解得:x=23;
如果两次才输出结果:贝i」3x+2=23,解得:x=7;
如果三次才输出结果:则3乂+2=7,解得:x=|(不是正整数,不符合题意).
故选:B.
【点睛】本题主要考查代数式求值、一元一次方程等知识点,掌握逆向思维是解本题的关键.
17.(2223上•沙坪坝•阶段练习)有"个依次排列的整式:第1项是的=乂2一”,用第1项的加上(广1)得到
瓦,将瓦乘以x得到第2项a2,再将第2项a2加上O1)得到历,将历乘以x得到第3项。3,…,以此类推,
下面四个结论中正确的个数为()
①方程。4=0的实数解为±1;②69=(乂一1)(刀9+刀8+%7+...+久+1).③第2023项。2023=久2°24-%;④当
x=-3时,则詈(X力1)的值为上甘丝.
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
n+1
【分析】根据题意可以得出规律,an=x-x,小=/+1-1,根据规律逐项求解判断即可.
【详解】解团团内=/_%,用第1项期加上(%-1)得到瓦,将比乘以%得到第2项怒,
回力1=%2—%+%—1=x2—1,
团将第2项的加上(%-1)得到历,将历乘以%得到第3项的,
3334
Bb2=x—x+x—l=x—l,a3=(x—l)x=x—%
n+1
以止匕类推,贝!Ja九=%九十1—%,bn=x—l,
回。4=%5—%,
团当方程。4=。时,有%5-%=0,解方程%5一%=0,得久=0或%=±1,故结论①错误;
n+1
^\bn=x—l,
团为=%1。-1=(%—1)(%9+%8+%7+%6+x5+%4+炉+为2+%+1),故结论②正确;
n+1
^lan=x—x,
团第2023项。2023=%2024_%,故结论③正确;
n+1
[?]hn=x-l,
回尻=/+l—1=(%—1)(%"+/Td---1■久+1),
当x=—3时,则々=(—3y+(—3)1+…+(—3)+1=生畔=二字二故结论④正确.
回正确的结论为团②③④,共3个.
故选I3C.
n+1
【点睛】本题主要考查数据的规律类问题,准确找出题目中的两组数据的规律厮=针+1-x,bn=x-l,
是解答此题的关键,.
18.(22-23下•泰安・期末)如图,大正方形由四个相同的长方形和一个小正方形组成,设长方形的两边长为
m,nCm>n),大小正方形的边长分别为x,y.观察图案,则以下关系式:①/—y2=4mn;②/-I=xy;
③2??2=(x—y)2;④*+n2='J,其中正确的个数是()
【答案】B
【分析】根据长方形的长和宽,结合图形进行判断,即可求解.
【详解】解:由图形可知:大正方的面积-小正方形的面积=4x长方形的面积,即/一y2=4.,故①正确,
团大正方形的边长x=;w+m小正方形的面积产/w-m
0(m+n)(m-n)=xy,即^^一声二万、,故②正确,
0x-y=2",
04n2=(x-y)2;故③错误;
0(m+n)2=x2,(m—n)2=y2,
2
回两式相加可得爪2+n=亨,故④正确.
回正确的为①②④.
故选:B.
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景,主要考查学生的计算能力和观察图形的能力.
19.(22・23下哈肥・期中)如图,点M是线段的中点,点尸在MB上.分别以AP、PB为边,在4B同侧作
正方形APCD和正方形PBEF,连接MD和ME.设AP=a、BP=b,且a+b=8,ab=15,则图中阴影部
分的面积为()
A.24B.20C.18D.16
【答案】C
【分析】根据两个正方形的面积和,减去两个空白的直角三角形的面积,即为阴影部分的面积.
【详解】解::a+b=8,ab=15,
JS阴影=S正方形APCO+S正方形BERP-S/kAMo-
1a+b1a+b
=az+—~a--b---
2222
=a2+人^!
4
/、:>(a+b)2
=(a+b)2—2ab---------
4
82
=892-2x15一下
4
=64-30-16
=18
故选:C.
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用,理解图形面积之间的关系是得出正确答案的前提,正确表示各
个图形的面积是正确解答的关键.
20.(2223上•龙岩•期中)将一列有理数-1,2,-3,4,-5,6,......,如图所示有序排列.根据图中的排列
规律可知,“峰1”中峰顶的位置(C的位置)是有理数4,那么,"峰6”中C的位置是有理数,2022
应排在4、B、C、D、E中的位置.正确的选项是()
4-9C
八八夕、
-3-5810BD
7\夕N/N
-1->26f-7-11—>—>AE—>
峰1峰2峰n
A.-29,AB.30,DC.-29,BD.-31,A
【答案】A
【分析】观察发现,每个峰排列5个数,求出5个峰排列的数的个数,再求出"峰6"中C位置的数的序数,
然后根据排列的奇数为负数,偶数为正数解答;用(2022-1)除以5,根据商和余数的情况确定2022所在
峰中的位置即可.
【详解】解:回每个峰需要5个数,
05x5=25,
25+1+3=29,
回"峰6"中C位置的数的是-29,
0(2022-1)5=404……1,
EI2022应排在4B、C.D、E中A的位置,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了数字变化规律问题,熟练掌握数字在峰图形中的分别规律,观察出每个峰图形中
有几个数,是解题的关键.
二、填空题
21.(22-23上滁州,阶段练习)已知.、>互为相反数,c、d互为倒数,则踪3+b)+2022cd=.
【答案】2022
【分析】根据相反数,倒数的意义可得a+b=0,cd=l,然后代入式子中进行计算即可解答.
【详解】解:b互为相反数,c、d互为倒数,
a+b—0,cd—1,
2021
A—(a+b)+2022cd
2021
——x0+2022x1
2022
=0+2022
=2022,
故答案为:2022.
【点睛】本题考查了有理数的混合运算,熟练掌握相反数,倒数的意义是解题的关键.
22.(2324上•厦门•期中)若10nl=20,10n=5,则zn+n—1=.
【答案】1
【分析】利用同底数嘉的乘除法则求出io优+.T=10,可得结果.
【详解】解:E10m=20,10n=5,
n
01om+n-l=10mX104-10=20X54-10=10,
Bm+n-1=1
故答案为:1.
【点睛】本题主要考查了同底数累的乘除法,解题的关键是逆用运算法则求出10皿+nT=10.
23.(21-22上•漳州•阶段练习)若5x=18,5y=3,贝U5x_2y=
【答案】2
【分析】先把5龙勺化成5"(5y)2,再代值计算即可得出答案.
【详解】解:B5x=18,5y=3,
EI5x-2y=5x+52y=5x+(5y)2=18-?32=2.
故答案为:2.
【点睛】此题考查了同底数塞的除法和幕的乘方,熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.
24.(2223上•长宁•期中)因式分解:-m2-m+1=
4
【答案】;(m-2)2
【分析】先提取公因式;,再利用完全平方公式分解因式即可.
4
【详解】解:;m2-m+l
=:(m2—4m+4)
=^(m—2)2.
故答案为:;(m-2)2.
【点睛】本题考查的是多项式的因式分解,掌握"利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键.
25.(21-22上•上饶•期末)已知%-2丫=一3,那么代数式3-2x+4y的值是
【答案】9
【分析】根据乘法分配律将代数式变形,然后利用整体代入法求值即可.
【详解】解:回%—2丫=一3
EI3—2%+4y
=3-2(x-2y)
=3-2x(-3)
=9
故答案为:9.
【点睛】此题考查的是求代数式的值,掌握利用整体代入法求代数式的值是解题关键.
26.(2223上•新乡,阶段练习)代数式2久2+8%-3的最小值是.
【答案】-11
【分析】先把代数式化为2(%+2尸-11,再利用偶次方的非负性可得答案.
【详解】解:2%2+8%-3
=2(x2+4%+4)-11
=2(x+2)2-11,
02(%+2尸>0,
02(x+2尸-11>-11.
历代数式2久2+8x-3的最小值为:-11.
故答案为:-11.
【点睛】本题考查的是配方法的应用,掌握"利用配方法求解代数式的最值"是解本题的关键.
27.(2223上,宝山•期中)对于*运算:如果1*5=1+工+二-+二一+二一,2*4=-+—+—+—,
111111111111112222222222
3*3击+击那么7*2的结果是.
【答案】***
【分析】观察等式,发现第一个数为分母的基数,第二个数为分数的个数,据此即可求解.
【详解】解:依题意,7*2=三+2,
777
故答案为:=
777
【点睛】本题考查了找规律,找到规律是解题的关键.
28.(22・23上•浦东新•期中)已知3%=m,3、=九,用血、九表示33*+4、-5X81%+2y为
【答案】m3n4—5m4n8
【分析】根据逆用幕的乘方与同底数塞的乘法即可求解.
【详解】解:E3Z=m,3y=n,
033X+4Y-5xSlx+2y=(3工)3x(3>)4-5x(34尸+2》
=(393x3)4-5x34x+8y
=(3*)3x(3W-5x(3*)4(3〃)8
=1713n4_57n4n8;
故答案为:m3n4—5m4n8.
【点睛】本题考查了逆用幕的乘方与同底数塞的乘法,掌握幕的乘方以及同底数事的乘法运算法则是解题
的关键.
29.(2223上•泰安•期中)如果J+y2=io,x_y=2,那么代数式2/—2必的值是.
【答案】±16
【分析】将x-y=2两边进行平方,结合已知得到2xy=6,利用完全平方公式的形式,求得x+y=±4,
对原式进行因式分解,再将式子整体代入求值即可.
【详解】解:回x—y=2,
0(%—y)2=4,BP%2+y2-2xy=4,
0x2+y2=10,
02xy=6,
0x2+y2+2xy=10+6=16,HP(%+y)2=16,
0%+y=±4,
2x2—2y2=2(/—y2)=2(x+y)(x—y),
当x+y=4时,原式=2x2x4=16,
当x+y=-4时,原式=2x2x(-4)=-16,
故答案为:±16.
【点睛】本题考查了因式分解和代数式求值,利用完全平方公式的特点进行求解是解题的关键.
30.(2223上•济宁•期末)等边AABC在数轴上如图放置,点A,C对应的数分别为0和-1,若A4BC绕顶
点沿顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转第1次后,点8所对应的数为1,翻转第2次后,点C所对应的
数为2,则翻转第2022次后,则数2022对应的点为.
B
।iiIIII_____i.
-4-3-2-1012345
【答案】A
【分析】根据题意得出每3次翻转为一个循环,2022能被3整除说明跟翻转第3次对应的点是一样的.
【详解】解:翻转第1次后,点B所对应的数为1,
翻转第2次后,点C所对应的数为2
翻转第3次后,点A所对应的数为3
翻转第4次后,点2所对应的数为4
经过观察得出:每3次翻转为一个循环,
02022+3=674,
国数2022对应的点即为第3次对应的点:A.
故答案为:A.
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题,解题的关键是通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用
发现的规律解决问题.
31.(22-23上•宣城•期末)如下图是由一些小棒搭成的图案,摆第1个图案,如图①用了5根小棒,摆第2
个图案,如图②用了9根小棒,摆第3个图案,如图③用了13根小棒,……,按照这种方式摆下去,摆第
【分析】根据题意可以推导出一般性规律为:第九个图案,用5+4X(*—1)根小棒;令5+4x5-1)=2021,
计算求解即可.
【详解】解:由题意知,第1个图案,用5根小棒;
第2个图案,用5+4=9根小棒;
第3个图案,用5+4x2=13根小棒;
推导出一般性规律为:第n个图案,用5+4X(n-1)根小棒;
团摆第〃个图案用了2021根小棒
EI5+4X(n—1)=2021
解得:n=505
故答案为:505.
【点睛】本题考查了规律探究.解题的关键在于推导出一般性规律.
32.(21-22上■大连■阶段练习)计算(-8m4n+l2m3n2—4m2n3)+(—4m2n)的结果等于.
【答案】2mz-3mn+n2
【分析】根据多项式除以单项式,先把多项式的每一项都分别除以这个单项式,然后再把所得的商相加计
算后即可选取答案.
【详解】M:(-8m4n+12m3n2-4m2n3)+(-4m2n),
=-8m4n-r(-4m2n)+12m3n24-(-4m2n)-4m2n③+(-4m2n),
=2m2-3mn+n2.
故答案为:2m2-3mn+n2.
【点睛】本题主要考查多项式除单项式,熟练掌握运算法则是解题的关键.
33.(2223上•阜新•期中)观察下列式子:
1X3+1=22;
7X9+1=82;
25x27+1=262;
79X81+1=802;
可猜想第2022个式子为.
20222
[答案](32°22_2)X32°22+1=(3-I)
【分析】根据一系列等式,得出一般性规律,把得出的规律用”表示即可.
【详解】解:1x3+1=22,gp(31-2)x31+l=(31-l)2;
7x9+1=82,即(32—2)x32+1=(32—1)2;
25X27+1=262,即(33-2)x33+1=(33-I)2;
79X81+1=802,即付-2)x34+1=(34-I)2;
若字母〃表示自然数,第〃个式子为:(3n—2)x3n+l=(3"-l)2,
团第2022个式子为:(32°22-2)X32022+1=(32022_幼2,
故答案为:(32022-2)X32022+1=(32022_1)2
【点睛】本题考查了数字类规律的探究,掌握探究的方法找到规律是解题的关键.
34.(22-23上・齐齐哈尔•期中)如果,|a-2|+(b+1)2=0,则(a+b)2见的值是.
【答案】1
【分析】根据绝对值和偶次方的非负数性质,即可列出关于。和。的方程,求得。和6的值,进而求得代数
式的值.
【详解】团|。-2|+(6+1)2=0,[fu|a-2|>0,(fe+1)2>0,
回。-2=0,b+l=0,
解得a=2,b=-1,
0(a+l>)202J—i.
故答案为:1.
【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负数性质及求代数式的值等知识,利用绝对值和偶次方的非负数
性质是本题的关键.
35.(21-22上•海淀•开学考试)符号"f"表示一种运算,它对一些数的运算如下:/(I)=1+|,/⑵=1+
;"(3)=1+;"(4)=1+;…,利用以上运算的规律写出f(n)=____________(n为正整数);f(1)・f(2)
234
•f(3)...f(100)=.
【答案】1+乙5151
n
【分析】由已知的一系列等式,归纳总结表示出了(〃);由得出的/(〃),分别令〃=1,2,3,100,代
入所求式子/(I)・/(2)»/(3)../(100)中,约分后计算,即可得到结果.
【详解】解:由题意总结得:/(n)=l+:,f(n)=.
八2)g
f(3)=1+-=--
J33
八4)=1+冷;
/⑸=1+|=|;
、
f,/(1.0c0c)=a1.+—2=1—02,
J100100
17(|1«/.\/•/一、「/r、「/-cc、3456102101X102
则f(1)»f(2)*f(3)...f(100)=-X-X-X-X...X一=------=5151
JJJJ12341001X2
故答案为:1+2;5151
n
【点睛】此题主要考查了定义新及找规律,根据题目已知条件找出规律是解题的关键.
三、解答题
36.(22-23下•沈阳•阶段练习)先化简,再求值:[(%y+2)(%y-2)-2(%2y2-2)+4%]+|x,其中%=-1,
y=—2.
【答案】—2xy2+8,16
【分析】根据平方差公式,去括号法则和合并同类项法则将中括号内的式子进行化简,再利用多项式除以
单项式的运算法则进行化简,然后将久与y的值代入原式即可求出答案.
【详解】解:[(久y+2)(%y-2)-2(%2y2-2)+4%]+]
1
=(x2y2—4—2x2y2+4+4%)-x
1
=(—x2y2+4x)4--x
=-2xy2+8,
当%=-1,y--2时,
原式=-2x(—1)x(—2>+8=8+8=16.
【点睛】本题考查整式的化简求值.掌握运算法则和乘法公式是解题的关键.
37.(22・23上•普陀•期中)根据下面的框图,列出算式,并写出输出结果.
输入a、b
⑴如果输入a=£b=%那么输出的数是多少?
⑵如果输入a=京b=*那么输出的数是多少?
【答案】(1)1^
【分析】(1)把a与b的值代入程序中计算即可求出值;
(2)把a与b的值代入程序中计算即可求出值;
【详解】⑴解:把a=|,b=?弋入程序得:|+;*,
则输出结果为*;
(2)把a=g,匕=白代入程序得::+白=白=;,
9lo9loloZ.
则输出结果为永
【点睛】此题考查了异分母分数的加法运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
38.(2223上•全国•单元测试)因式分解:
(1)—2a3+12a2—18a;
(2)9a2(x—y)+4b2(y—x);
(3)(Q2+4)2-16a2;
(4)6xy2—9x2y—y3.
【答案】⑴-2Q(Q-3)2
(2)(%—y)(3a+2b)(3a—2b)
(3)(a+2)2(。-2)2
(4)-y(3x-y)2
【分析】(1)先提公因式,再利用完全平方公式继续分解即可解答;
(2)先提公因式,再利用平方差公式继续分解即可解答;
(3)先提公因式,再利用完全平方公式继续分解即可解答;
(4)先提公因式,再利用完全平方公式继续分解即可解答.
【详解】(1)-2a3+12a2-18a
——2a(a?—6a+9),
=_2a(a—3)2;
(2)9a2(x—y)+4b2(y—x)
=(x—y)(9a2—4b2),
=(%—y)(3a+2h)(3a—2b);
(3)(a2+4)2-16a2
=(a2+4+4a)(a2+4—4a),
=(CL+2)2(a—2)2;
(4)6xy2—9x2y—y3
=-y(9x2—6xy+y2),
=—y(3x—y)2.
【点睛】本题考查因式分解,注意有公因式先提取公因式,再运用公式,最后分解到每个因式都不能再分
解为止.
39.(22・23下•淮安•期中)如下,这是一道例题的部分解答过程,其中48是两个关于x,y的二项式.
例题:化简:yQ4)+2x(B)
解:原式=2%y+y2+4%2—2xy
=.(注意:运算顺序从左到右,逐个去掉括号)
请仔细观察上面的例题及解答过程,完成下列问题:
⑴多项式A为,多项式8为,例题的化简结果为
⑵求多项式A与8的积.
【答案】(1)2%+y,2%-y,y2+4x2
(2)4x2-y2
2
【分析】(1)根据题意得到:y(Z)=2%y+y2,2%(B)=4x-2xy,即可得到多项式A,多项式3,再最
后化简,即可解答.
(2)根据平方差公式计算,即可解答.
2
【详解】(1)解:根据题意,得:y(A)=2xy+yf两边同除以y得:A=2x+y
同理,得:2%(8)=4/一2町z,两边同除以2%得:B=2x-y,
例题的化简结果为:2xy+y?+4%2—2xy=4%2+y2.
(2)解:多项式A与5的积为:(2x+y)(2x-y)=4x2-y2.
【点睛】本题考查了整式的乘除,熟练运用计算法则和乘法公式是解题的关键.
40.(22・23上•盐城•期末)化简求值:求代数式7a上+2(2。2末—3ab2)——Mb—口坟)的值,其中而力满
足|a+2|+(b—=0.
【答案】7a2b—Sab2,16.5
【分析】先去括号,然后合并同类项化简,再根据非负数的性质求出a、b的值,最后代值计算即可.
【详解】解:7a2b+2(2a2b—3ab2)—(4a2b—ab2)
=7a2b+4a2b-6ab2—4a2b+ab2
=7a2b—Sab2,
回|a+2|+(b-J=0,|a+2|20,(人一JNO,
0|a4-2|=0,仅一=0,
团a+2=0,fa--=0,
2
b=-,
0a=-2,2
团原式=7x(-2)2x|-5x(-2)x(I)=14-(-2.5)=16.5.
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值,非负数的性质,正确化简所给式子是解题的关键.
41.(22-23上•宿迁,期中)观察下列两组等式:
1
iGji_—I1i—.—i—__——i——i_—i——
1X22’2X323'3X434
②击=31_,木=3[一)荒号G・
根据你的观察,解决下列问题:
⑴填空:小1
n(n+d)
(2)试用简便方法计算:"白+去+白+去.
o244ooU120
/Y、111/11、/r、5
【答案】⑴「ET;焉一百);⑵-
【分析】(1)根据数字变化规律裂项即可;
(2)由(1)的规律裂项相消简便计算即可.
【详解】解:(1)由题知,痴看1____1_1中_工),
nn+1n(n+d)d1九n+d,'
故答案为:;工,中_工);
n+1dn+d7
(2)1+2-+2-+±+J_
8244880120
11111
2x4+4x6+6x8+8x10+10x12
111111111111111
=2X(2-4)+2X(4-6)+2X(6-8)+2X(8-10)+2X(i0-12)
11111111111
=2X(24+4-6+6-8+8-10+10-12^
111
=2X(2-12)
15
=2X12
5
24
【点睛】本题考查了数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现式子的变化特点,写出相应的等式,
并证明猜想的正确性.
42.(22-23上•南宁•期中)如图,某校有一块长为(3a+b)m,宽为(2a+b)m的长方形空地,在建设“美丽
校园”活动中,学校计划将阴影部分进行绿化,中间修建一座雕像.
⑴求绿化的面积(用含a,b的式子表示);
(2)当a=2,b=4时,绿化成本为50元/m2,则完成绿化工程共需要多少元?
【答案】⑴5a2+3ab
(2)2200
【分析】(1)观察图形,列出代数式,再化简即可求解;
(2)把a=2,b=4代入(1)中的结果,再乘以50,即可求解.
【详解】(1)解:根据题意得:绿化的面积为
(3a+b)(2a+b)—(a+b)2
=6a2+5ab+b2-a2—2ab—b2
=5a2+3ab
(2)当a=2,b=4时,
5a2+3ab=5x2?+3x2x4=44,
团完成绿化工程共需要50X44=2200元.
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式,熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键.
43.(2223上•青岛•开学考试)分解因式:
(1)4/—x3—4x;
(2)(*-2y)(x+3y)-(x-2y)2;
(3)(x2+y2)2—4x2y2.
【答案】⑴—双英―2)2
(2)5y(x-2y)
(3)(%+y)2(x-y)2
【分析】(1)先提公因式-x,再利用完全平方公式即可;
(2)先提公因式(x-2y),再合并同类项即可;
(3)先利用平方差公式,再利用完全平方公式进行计算即可.
【详解】(1)解:(1)原式=一%(/-4%+4)
=X(X—2)2;
(2)解:原式=(%-2y)[(x+3y)-(x-2y)]
=(%—2y)(%+3y—%+2y)
=5yo-2y);
(3)解:原式=(/+y2)2一4%2y2
=(%2+y2+2%y)(x2+y2—2%y)
=(%+y)2(x-y)2.
【点睛】本题考查因式分解,掌握提公因式法和公式法是解题的关键.
44.(22・23上・齐齐哈尔•期中)化简:
(l)3a2—2a+2(a2—a);
(2)先化简,再求值:3(2。2/)—5ab2)—2(加2—7(1块)其中a=—1,b=2.
【答案】⑴5a2一4。
(2)4a2b—ab2,12
【分析】先去小括号,再合并同类项,即可得出答案.
先去小括号,再合并同类项,然后再讲。,b的值代入即可得出结果.
【详解】(13解:3a2-2a+2(a2-a)
=3a2—2a+2a2—2a
=5a2—4a
(2)解:3(2a2b—Sab2)—2(ba2—7ab2)
=6a2b—15ab2—2a2b+14ab2
=4a2b—ab2
当Q=-1,b=2时
原式=4x(-1)2x2-(-1)x22
=12
【点睛】本题考查了整式的加减运算和化简求值,解决本题的关键是熟练掌握运算法则.
45.(22・23下・河源・开学考试)某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本,已知甲、乙笔记本各一本进价之和
为10元,且甲种笔记本每本进价比乙种笔记本每本进价贵2元.
(1)甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元?
(2)该文具店购入这两种笔记本共1000本,花费不超过5200元,则购入甲种笔记本最多多少本?
⑶店主经统计发现每本笔记本的利润均为1元时,平均每天可售出甲种笔记本300本和乙种笔记本150本.为
使每天获取的利润更多,店主决定把两种笔记本的售价都提高久元,如果售价提高不超过1元时,每提高0.1元,
每天将少售出3本甲种笔记本和2本乙种笔记本;如果售价提高超过1元时,每提高0.1元,则每天将少售出5
本甲种笔记本和4本乙种笔记本.当售价都提高多少元时,才能使该文具店每天销售甲、乙两种笔记本获取
的利润最大?
【答案】⑴甲种笔记本的进价为6元,乙种笔记本的进价为4元
(2)600本
⑶2元
【分析】(1)设甲种笔记本的进价为小元,则乙种笔记本的进价为(10-爪)元,根据题意列出一元一次方程,
解方程即可求解;
(2)购进甲种笔记本n本,则6"+4(1000-n)W5200,解不等式即可求解;
(3)设价格都提高x元的总利润为W元,根据完全平方公式以及非负数的性质求得最大值即可求解.
【详解】(1)设甲种笔记本的进价为小元,则乙种笔记本的进价为(10-巾)元,
则m—(10—Tn)—2,
解得:m=6.
答:甲种笔记本的进价为6元,乙种笔记本的进价为4元.
(2)设购进甲种笔记本n本,
贝U6兀+4(1000-n)<5200,
解得:n<600,
••・购入甲种笔记本最多600本.
(3)设价格都提高x元的总利润为W元,则
①当0<xW1时,=(1+%)(300-30%)+(1+%)(150-20%)=-50(%-4)2+1250,
.♦•当x=l时,W最大=800.
②当x>1时,W=(1+x)(300-50x)+(14-%)(150-40%)=-90(%-2)24-810,
.♦.当x=2时,W最大=810,
综上,当x=2时,最大利润为810元.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,一元一次不等式的应用,二次函数的应用,根据题意列出方程、
不等式以及代数式是解题的关键.
46.(2223下•营口•阶段练习)已知:a=2—遮,6=2+逐,分别求下列代数式的值:
(l)a2b—cib2;
(2)cz2+ab+b2.
【答案】⑴2时
⑵17
【分析】(1)提取公因式ab,将a?。-ab?变形为尤①-b),然后代入计算即可;
(2)利用完全平方公式对所求式子变形,然后代入计算即可.
【详解】(1)解::a—2—V5,b—2+V5,
a2b—ab2=ab(a—b)
=(2-75)(2+V5)[2-V5-(2+V5)]
=(4-5)X(2-V5-2-V5)
=(-1)x(-2V5)
=2A/5;
(2)解:va=2—V5,b=2+V5,
•••a2+ah+Z?2=(a+6)2—ab
2
=(2-6+2+遥)-(2-V5)(2+V5)
=42一(-1)
=17.
【点睛】本题考查代数式求值,平方差公式,完全平方公式,二次根式的混合运算.先利用提公因式法和
完全平方公式进行因式分解,再计算求值更简便.
47.(22・23上・淮安・期末)先阅读下面的内容,再解决问题,
例题:若租2+2mn+2n2—6n+9=0,求m和九的值.
解:因为zn?+2mn+2n2—6n+9=0,
所以zn?+2mn+层+层—6九+9=0.
所以(TH+n)2+(n—3)2=0.
所以租+几=0,几一3=0.
所以zn=-3,n=3.
问题:
⑴若无2+2xy+5y2+4y+1=0,求%y的值;
(2)已知a,b,c是等腰△A5C的三边长,且a,b满足小+庐=io。+8匕-41,求△ABC的周长.
【答案】⑴-;
(2)13或14
【分析】(1
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