中考数学复习重难点强化训练：一次函数及其应用（分层训练）解析版

L_专题02一次函数及其应用（分层训练）

丁丁分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2022•浙江温州•统考一模）一次函数y=—2%+2经过点（a,2）则a的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】将点（a,2）代入y=—2x+2,即可求出。的值.

【详解】解：将点（a，2）代入y=—2x+2,得

一2。+2=2

解得a=0

故选B.

【点睛】本题主要考查了一次函数的图像特征，题目相对简单，正确计算即可.

2.（2023•陕西西安,陕西师大附中校考模拟预测）直线y=2久+小向右平移4个单位后与直线＞=-久+2的

交点在x轴上，则小的值为（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】C

【分析】分别求解直线y=2x+m,直线y=-x+2与x轴的交点坐标，再利用平移距离建立方程即可.

【详解】解：回直线y=2x+m,

当y=0时，%=-y,

团直线y=2x+zn与x轴的交点为：（-1，。），

回直线y=-x+2,

当y=0时，x—2,

回直线y=-%+2与％轴的交点为：（2,0）,

结合题意可得：2-（—£）=4,

解得：m=4；

故选C.

【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，理解题意，再建立方程求解是

解题关键.

3.（2022下•上海普陀•九年级校考期中）已知直线）=履+6经过第一、三、四象限，那么直线y=6x+Z一定不

经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据直线方依+6经过第一，三，四象限，可以判断左、6的正负，根据一次函数图象的性质，从而

可以判断直线y^bx+k经过哪几个象限，不经过哪个象限.

【详解】解：回直线方依+6经过第一，三，四象限，

回A>0,b<Q,

回直线y=6x+左经过第一、二、四象限，不经过第三象限，

故选：C.

【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，熟练掌握并灵活运用一次函数的性质是解题的关键.

4.（2022•广西贵港•统考三模）将直线y=|比+2向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的直线必定

经过（）

A.（0,0）B.（0,-1）C.（1,0）D.

【答案】D

【分析】设平移后直线上一点（无，y）,则点（x+2,产1）在原直线上，代入原直线解析式可得平移后直线

解析式，再代入坐标验证选项即可.

【详解】解：平移后的直线为：y=i（x+2）+2-l=|x+2,

A.x=0,y-1,选项不符合题意；

B.x=0,y=2,选项不符合题意；

C.x=l,夕=|,选项不符合题意；

D.x=-l,y=^,符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了直线的平移，掌握坐标的平移规律是解题关键.

5.（2022•辽宁沈阳•统考一模）在平面直角坐标系中，已知点（2,爪），（―l,n）都在直线y=3x+b上，则小,

71的大小关系是()

A.m>nB.m=nC.m<nD.不能确定

【答案】A

【分析】根据题意可知一次函数y=3x+b的k=3>0,y随x增大而增大，即可求解.

【详解】解：一次函数y=3x+b的k=3>0,y随x增大而增大，

02>-1,

回m>n,

故选：A.

【点睛】本题考查一次函数的性质，当k>0时，y随x增大而增大；当k<0时，y随x增大而减小.

6.(2022•陕西西安•校联考二模)一次函数〉=6+6的图象经过点/(2,3),每当x增加1个单位时，y增加

3个单位，则此函数表达式是()

A.y=3x+3B.y=2x-3C.y=3x-3D.y=3x-2

【答案】C

【分析】根据题意可得：该一次函数图象还经过(3,6),然后将两点的坐标代入即可求出结论.

【详解】解：团一次函数丫=女比+。的图象经过点4(2,3),每当x增加1个单位时，y增加3个单位，

团该一次函数图象还经过(3,6),

将点力(2,3)和(3,6)分别代入丫=/«+6中，得巴=辞+2，

解得：］,=3

团此函数表达式是y=3%-3,

故选C.

【点睛】本题考查的是求一次函数解析式，掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解题关键.

7.(2022下•浙江•八年级期中)如图，直线y=kx+6分别交x轴于点2(6,0),交y轴于点B(0,12),若点P(2,m),

点Q(n,2)是直线上的两点，则线段PQ的长为()

A.V5B.2V5C.3V5D.4V5

【答案】c

【分析】利用待定系数法求直线的解析式，把P(2,机)、。(〃，2)分别代入直线解析式中求出机、〃，

然后利用两点间的距离公式求线段尸。的长.

【详解】解：设直线N8的解析式为产父+从

把/(6.0),B(0,12)代入得,［甘；。，

解得：仁:；，

团直线AB的解析式为y=-2x+12f

团点P(2,m)在直线方-2x+12上，

曲篦二8,

明点坐标为(2,8)；

回点。(.n,2)在直线y=-2x+12上，

回-2〃+12=2,解得〃=5,

回。点的坐标为(5,2),

0P0=J(5-2尸+(2-8产=34,

故选C.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求正比例函数，只要一对x,y的值就可以，因为它只

有一个待定系数；而求一次函数产依+6,则需要两组x,y的值.也考查了一次函数图象上点的坐标特征.

8.(2022•陕西西安・西安市铁一中学校考模拟预测)若正比例函数y=质的图象经过4(3,-zn),B(m,-3)两

个不同的点，则k的值为()

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】A

【分析】将4B两点坐标代入解析式，从而可确定答案.

【详解】解：,正比例函数y=kx的图象经过4(3,-TH),-3)两个不同的点，

.(3k=—m

"^mk=—3'

解得：k=±1,

当上=1时，m=-3,则4(3,3),8(—3,—3),符合题意,

当攵=-1时，m=3,则/(3,-3),5(3,-3),不合题意,

••・k=1,

故选:A.

【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键.

9.（2022下•湖北荆门•七年级统考期末）已知关于X,丫的方程组《二为二个二;的解都为非负数，若a+b=

4,W=2a-3b,则W的最大值为（）

A.3B.-7C.2D.-5

【答案】A

【分析】根据关于的方程组的解都为非负数，可以求得a的取值范围，再根据a+b=4,

%=2a-36和不等式的性质，可以得到少的最大值.

【详解】解：由方程组片"二黄;可得，y二；

团关于x,y的方程组「比=3;-5的解都为非负数，

/1%+2y=5—a

解得，l<a<3,

团a+6=4,W=2a-3b,

勖=4-。,

iar=2a-3（4-a）=5a-12,

01<a<3,

13—7<5a—12<3,

团当a=3时，水取得最大值，此时少=3,

故选：A.

【点睛】本题考查一次函数的性质、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确

题意，利用不等式的性质解答.

10.（2022下•河南新乡•八年级统考期末）关于直线y=3x-3,下列说法不正确的是（）

A.不经过第二象限B.y随x的增大而增大

C.与了轴交于点（0,-3）D.与x轴交于点（-1,0）

【答案】D

【分析】利用一次函数图像的性质解答即可.

【详解】解：A、k=3>0,b=-3<0,经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该说法正确，故该选项

不符合题意;

B、左=3>0,所以y随x的增大而增大，该说法正确，故该选项不符合题意；

C、令x=0,得y=-3,所以与y轴交于点(0,-3),该说法正确，故该选项不符合题意；

D、令y=0,解得x=l,所以与x轴交于点(1,0),不是(-1,0),该说法错误，故该选项符合题意.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了一次函数图像及其性质，正确把握一次函数图像及其性质是解题关键.

11.(2023,广东广州•统考一模)如图，两条直线丫=2%+3和丫=/0：+6相交于点4(1,5),两直线与x轴所

围成的A/IBC的面积是()

【答案】A

【分析】先根据交点坐标求得y=kx+6,进而求得C点的坐标，B的坐标，进而根据三角形面积公式求解

即可

【详解】:两条直线y=2%+3和y=kx+6相交于点4(1,5),

•••5=k+6

解得々=-1

•••y=-x+6,

令y=0,解得％=6

・•・C(6,0)

由y=2%+3,令y=0,解得％=一|,

11/3\75

^LABC='^BCxy4=—x（—+6）x5=—

zz\z/q

故选A

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交

点，求得直线解析式是解题的关键.

12.（2022・四川南充•校联考一模）在直角坐标系中，将直线y=-x向下平移2个单位后经过点（a,2）,则

a的值为（）

A.0B.4C.-4D.-3

【答案】C

【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入（a,0）,即可求出。的值.

【详解】解：将将直线夕=-》向下平移2个单位长度后得到y=-x-2,

把（a,2）代入，得-a-2=2,

解得a=-4,

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.

13.（2023下•河南驻马店•八年级校考阶段练习）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期

就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用.小明同学依据漏刻的原理制作了一个简

单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位无（cm）是时间t（min）的一次函数，下表是小明记录的部分数据，当

时间f为12min时，对应的高度”为（）

/z/cm2.42.83.2

A.6.2cmB.6.8cmC.7.2cmD.7.6cm

【答案】B

【分析】利用待定系数法求出九与t之间的函数解析式，再求出七=12时，九的值即可得.

【详解】解：设入与力之间的函数解析式为九=9+匕，

将点(1,2.4),(2,2.8)代入得：解得/=°;4,

12k+b=2.8lb=2

则九=0.4t+2,

当t=12时，八=0.4X12+2=6.8,

即当时间t为12min时，对应的高度h为6.8cm,

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键.

14.(2022下•福建厦门•八年级统考期末)如图，点P在线段上，则点尸的横坐标取值范围是()

【答案】B

【分析】观察图象，知道点P的横坐标在-3和1之间即可得出答案.

【详解】解：观察图象，知道点P的横坐标在-3和1之间，即-3女41,故B正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了坐标与图形性质，考查数形结合思想，观察图象得到点P的横坐标在-3和1之间是解

题的关键.

15.（2022•山东潍坊•统考二模）如图，张华、李颖两人沿同一条笔直的公路相向而行，张华从甲地前往乙

地，李颖从乙地前往甲地.张华先出发3分钟后李颖出发，当张华行驶6分钟时发现重要物品忘带，立

刻以原速|的掉头返回甲地.拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，二人相距的路程y（米）与张华出

发的时间无（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（）

C.两人第一次相遇的时间是当分钟D.张华最终达到乙地的时间是名分钟

63

【答案】D

【分析】由CDIIx轴可知，李颖的速度是张华提速前速度的|,可判断A选项不符合题意；

设张华提速前的速度是"米/分，则李颖的速度为|“米/分，根据C点的坐标可知此时两人相距（4000-2320）

米，贝IJ有6u+（6-3）x|u=4000-2320,即可解得张华提速前的速度为160米/分，则李颖的速度为|v

=|xl60=240（米/分），即可判断B选项不符合题意；

张华提速后的速度为240米/分，故张华返回甲地所用的时间是4分钟，张华拿到物品后再次从甲地出事的

时间是第10分钟，设两人第一次相遇的时间是t分钟，可得240（—10）+240（t-3）=4000,解得两人第一

次相遇的时间是当分钟，可判断C选项不符合题意；

张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第10分钟，即可得到张华最终达到乙地的时间是

4000+240+10=?（分），可判断D选项符合题意.

【详解】解：A、张华先出发3分钟后李颖才出发，当张华行驶到6分钟时发现重要物品没带，立刻以原速

的|掉头返回甲地，此时由图CDIIx轴可知，李颖和张华相距的路程不变，

••・李颖的速度是张华提速前速度的I,

故此选项不符合题意；

B、设张华提速前的速度是V米/分，则李颖的速度为|V米/分，根据C点的坐标可知此时两人相距

（4000-2320）米，贝IJ有6u+（6-3）x*=4000—2320,解得v=160,

•••张华提速前的速度为160米/分，则李颖的速度为|v=jxl60=240（米/分），

故此选项不符合题意；

C、•.・张华提速后的速度为240米/分，

.•.张华返回甲地的时间是（6x160）+240=4（分），

...张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第10分钟，

设两人第一次相遇的时间是t分钟，可得

240（—10）+240（—3）=4000,

解得

O

•••两人第一次相遇的时间是当分钟，

6

故此选项不符合题意；

D、张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第10分钟，即可得到张华最终达到乙地的时间是：

4000+240+10=?（分），

故此选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程等知识，解答本题的关键是明确题意，采用数形

结合的思想就能迎刃而解.

二、填空题

16.（2022•吉林长春•校联考一模）小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，目前他已存有50元，从现

在起他准备每个月存12元，请写出小张的存y款数（元）与从现在开始的月份数x（月）之间的函数关系

式—.

【答案】y=5O+12x.

【分析】根据题意列函数，注意自变量的取值范围.

【详解】设小明的存款数为y元，月份x.则有

y=50+12x

故答案为y=50+12x.

【点睛】考查一次函数解析式的确定，比较基础，难度不大.

17.（2022下•黑龙江牡丹江•八年级校考期末）已知匕（-1,%）,P2（4,%）是一次函数图象上的

两个点，则为（填">"、"<"或

y2

【答案】<

【分析】根据k=l>0,利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合-1<4,可得出当V丫2.

【详解】解：昨1>0,

助随x的增大而增大，

又昭（-1,%）,P2（4,y2）是一次函数方x+1图象上的两个点，且；<4,

0yi<y2-

故答案为：<.

【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记丝>0,V随x的增大而增大；左<0,y随x的增大而减小"是解题

的关键.

18.（2022・贵州・统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点/,3的坐标分别为（1,3）,（3,3）,若

直线夕=船与线段N8有公共点，则左的取值范围为

【答案】l<k<3

【分析】把点/、2的坐标分别代入一次函数解析式，求得人的最大值和最小值，易得左的取值范围.

【详解】解：把（1,3）代入y=依，得仁3.

把（3,3）代入y=hc,得363,解得hl.

故人的取值范围为l<k<3.

故答案是：14S3.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于左的最值是

解题的关键.

19.（2023•重庆合川,校考一模）已知一次函数的图像经过点B（0,-2）且与两条坐标轴截得的直角三角形的面

积为3,则一次函数的解析式为.

【答案】y=|x-2或y=-|x-2

【分析】由题意可设函数解析式为y=kx-2（kH0）,求出与坐标轴的交点坐标，再根据面积=||x|.|y|可

得出关于左的方程，解出即可得出左的值，进而可以求出函数解析式.

【详解】解：设一次函数的解析式为丫=kx—2（kH0）,

令y=0,得x=%则一次函数的图象与x轴交点坐标为佞,0）,

田*2X制=3,

解得：k=±|,

回一次函数解析式为：y=|x-2或y=-|x-2.

【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，结合了三角形的知识，但难度中等，注意掌握坐标和线

段长度的转化.

20.（2022•河南・河南省实验中学校考模拟预测）已知点4（比1/1）,3（工2，丫2）在直线y=kx+b上，且直线经过

第二三、四象限，当％1<犯时，为与y2的大小关系为.

【答案】乃>y2

【分析】根据直线经过的象限确定k<0,利用函数的增减性确定答案.

【详解】回直线y=k比+b经过第二、三、四象限，

Elk<0,

Ely随x的增大而减小，

0%!<X2>

皿>y2,

故答案为：yi>y2.

【点睛】此题考查一次函数的性质，根据函数所经过的象限确定系数的符号，熟记一次函数的性质是解题

的关键.

21.（2022・四川成都,校联考一模）已知直线y=-2x+5,则将其向右平移1个单位后与两坐标轴围成的三角

形面积为.

【答案】

4

【分析】根据图象平移的规律先求出平移后的解析式，然后再求出平移后的图象与两坐标轴的交点，再根

据三角形面积公式进行求解即可得.

【详解】平移后解析式为：y=-2(x-1)+5=-2x+4,即y=-2x+7,

当x=0时，y=7,

当y=0时，x=1,

团平移后得到的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：ix7x|^,

故答案为兴

【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象平移的规律是解题的关键.

22.(2022•江苏宿迁・统考一模)无论m取任何实数，一次函数y=(m-l)x+m-3必过一定点，此定点为.

【答案】(-1,-2).

【分析】只要把点的坐标代入函数解析式，看看左边和右边是否相等即可.

【详解】由一次函数y=(m-1)x+m-3变形为m(x+1)-x-y-3=0,

令x+l=0

vt-x-y-3-0"

解得｛am

故一次函数y=(m-1)x+m-3必过一定点(-1,-2).

故答案为：(-1,-2)

【点睛】本题主要考查了恒过定点的直线，主要是利用了过两条直线的交点的直线系方程求得定点，也可

以利用m的两个不同值来确定交点坐标.

23.(2023・四川自贡•统考中考真题)如图，直线y=-2刀+2与x轴和y轴分别交与/、B两点，射线2P14B

于点若点C是射线4P上的一个动点，点。是x轴上的一个动点，且以C、/为顶点的三角线与AAOB全

等，则。。的长为.

【答案】3或有+1

【分析】根据一次函数解析式可求出/点和3点坐标，从而求出AAOB的两条直角边，并运用勾股定理求

出48.根据己知可得/GW=/.OBA,分别从乙4CD=90。或乙4DC=90。时，即当△4CDmABOA时，AD=

AB,或△4CDN2X84。时，AD=OB,分别求得4。的值，即可得出结论.

【详解】解：回直线y=—2%+2与x轴和歹轴分别交与4、8两点，

当y=0时，即0=—2%+2,

解得：x=1.

当％=0时，y=2,

国4(1,0),8(0,2).

团。Z=1,OB—2.

EL4B=>JOA2+OB2=V5.

EL4P_LAB,点C在射线2P上，

0Z5AC=90°,即NOAB+4CAD=90°.

0ZOXF+Z.OBA=90°,

^CAD=/.OBA.

若以C、D、/为顶点的三角形与A4。8全等，贝IJNZCD=90。或乙4DC=90°,即4人。。三AB04或A2CD三

△BAO.

如图1所示，当A4CDmABOA时，/.ACD=/.AOB=90°,AD=AB,

图1

EIOD=AD+OA=45+1；

如图2所示，当△ACD三ABA。时，AADC=AAOB=90°,AD=OB=2,

图2

0OD=。4+4D=3.

综上所述，。。的长为3或麻+1.

故答案为：3或有+1.

【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图

象与性质是解题的关键.

24.(2022•山东枣庄•统考一模)如图，直线y=—|x+3与x轴、y轴分别交于力、8两点，把440B绕点4旋

【分析】根据直线解析式求得点A、B的坐标,从而得到OA、OB的长度，再根据旋转的性质得到回AOBma。的,

根据全等三角形对应边相等得到4。'、O'B，的长度，然后分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况解答.

【详解】当y=0时，一|%+3=0,解得x=2,当x=0时，解得y=3,

0A(2,0),B(0,3),

EI0A=2,0B=3,

由旋转得到EIAOBI3440'B',

EL4O'=OA=2,O'B'=OB=3,

①如果回AOB是顺时针旋转90。，则点夕的坐标是(5,2),

②如果I3AOB是逆时针旋转90。，则点方的坐标是(-1,-2)

应分类讨论.

25.(2022・河北唐山•九年级统考学业考试)如图，在平面直角坐标系中，直线y=久+2交x轴于点4交y轴

于点4,若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第3个阴影三角形的面积是,

第2020个阴影三角形的面积是

【答案】32(或25)2的39

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合等腰直角三角形的性质，即可得出。41,4281,4382,4483的

值，根据边的长度的变化即可找出变化规律“"+1%=BnBn+1=21+1,”再根据三角形的面积即可得出%+1=

jx(2n+1)2-22n+1,分别代入n=2、2019即可求出结论.

【详解】解：当x=0时，y=x+2=2,

S\OA1=OB1=2,

当x=2时,y=x+2=4,

0i42Bi=BrB2=4,

当x=2+4=6时，y=x+2=8,

0i43B2—B2B38,

当x=6+8=14时，y=x+2=16,

SA4B3=B3B4=16,

n+1

朋w+iBn=BnBn+1=2,

n+122n+1

05n+1=|x(2)=2.

当n=2时，S3=2、=32.

4039

当n=2019时，S2020=2,

故答案为：32,2的39.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型中数的变化规律，根据一

次函数图象上点的坐标特征结合等腰直角三角形的性质，找出等腰直角三角形的直角边长为"4n+iBn=

BnBn+1=2"+i"是解题的关键.

三、解答题

26.(2023•四川自贡•统考中考真题)已知y是关于x的一次函数，且当x=0时，y=2；当x=1时，y=-1.

(1)求这个一次函数的表达式；

(2)求当x=-3时，函数y的值；

(3)当y>0时，自变量x的取值范围.

【答案】(1)y=—3x+2；(2)11；(3)x<|

【分析】(1)由题意可设y=kx+b(kHO).把x、y的值分别代入一次函数解析式，列出关于k、b的方程组，

通过解方程组可以求得它们的值；

(2)把x=-3代入上述解析式，可以求得相应的y的值；

(3)由题意列出关于x的不等式-3x+2>0,通过解该不等式可以求得x的取值范围.

【详解】(1)设丫=区+13(1<b0),则由题意，得：

(2=b

t-1=k+b>

解得.

故这个一次函数的表达式是：y=-3x+2;

(2)由(1)知，y=-3x+2,

则当x=-3时，y=11；

(3)由(1)知，y=-3x4-2,

所以当y〉0时，—3x+2>0,

解得x<|.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及求自变量或的值.这是中考经常考的一个考点.

27.(2022•云南曲靖•统考一模)水龙头关闭不严会造成滴水，小明用可以显示水量的容器做如图①的试验，

并根据试验数据绘制出如图②的容器内盛水量〉(L)与滴水时间/(h)的函数关系图象，请结合图象解答

下列问题：

⑴求y与，之间的函数关系式；

(2)计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升.

【答案】(l)y=04+0.3

(2)9.6L

【分析】（1）用待定系数法求解即可；

（2）计算出f=24时y的值，再减去容器内原有的水量即可.

【详解】（1）解：设y与/之间的函数关系式为（后0）,

将（0,0.3）,（1.5,0.9）代入，得：｛1/；片0"

解得:忆〉

故y与t之间的函数关系式为y=0.4/+0.3；

（2）根据图象可知，t=0时，y=0.3,即容器内原有水0.3升，

当f=24时,'=0.4x24+0.3=9.9（升），

9.9-0.3=9.6（升），

答：在这种滴水状态下一天的滴水量是9.6升.

【点睛】本考查了一次函数的应用，关键是利用待定系数法正确求出一次函数的解析式.

28.（2022•广东江门•统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系KOy中，直线y丫=依+b与x轴交于点4（-6,0）,

与y轴交于点B（0,4）,与直线g丫=［久相交于点C，

（1）求直线4的函数表达式；

（2）求4C0B的面积；

（3）在x轴上是否存在一点P,使/POC是等腰三角形.若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P

的坐标

【答案】(工)y=|x+4；(2)12；(3)存在，(10,0),(-10,0),(12,0),(y,0)

【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式，即可得到答案;

(2)先求出交点C的坐标，利用底乘高列式计算即可得到答案；

(3)先求出0C的长，分三种情况求出点P的坐标使/POC是等腰三角形.

【详解】(1)由题意得°,解得直线4的函数表达式y=|久+4；

V=~X+4(y.—

{

团点C的坐标(6,8),

0SACOB=Ix4X6=12；

(3)存在，

OC=V62+82=10,

当OP=OC时，点P(10,0),(-10,0),

当OC=PC时，点P(12,0),

当OP=PC时，点P(y,0),

综上，点P的坐标是(10,0)或(-10,0)或(12,0)或号,0)时，/POC是等腰三角形.

【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，求图象交点坐标，利用等腰三角形的定义求点坐标.

29.(2022•上海杨浦•统考三模)在女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S(米)

与所用时间4秒)之间的函数关系分别如图中线段OA和折线08CD所示.

(1)谁先到终点，当她到终点时，另一位同学离终点多少米？(请直接写出答案)

⑵起跑后的60秒内谁领先？她在起跑后几秒时被追及？请通过计算说明.

【答案】(1)小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；⑵小梅在起跑后詈秒时被追及.

【分析】(])小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；

(2)根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，根据线段的交点坐标可以求出小梅被追及时间.

【详解】⑴小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米;

⑵根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，

小莹的速度为：黑=中(米/秒)，

lou9

故线段的解析式为：产争，

设线段8c的解析式为：y=kx+b,根据题意得：

(60k+b=300铲京曰fk=2.5

1180/c+b=600'用牛付tb=150'

团线段BC的解析式为y=2.5x+150,

解方程1x=2.5%+150,得x=券，

故小梅在起跑后券秒时被追及.

【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过

程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决.需注意计算单位的统一.

30.(2022•云南保山•统考一模)某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬

菜.图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中

线段48、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列

⑴求这天的温度〉与时间x(0<%<24)的函数关系式；

(2)若大棚内的温度低于10久时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬

菜避免受到伤害？

f2x+10(0<x<5)

【答案】⑴y=[20(5<x<10)

(2)10小时

【分析】(1)应用待定系数法分段求函数解析式；

(2)把y=10代入y=号中，即可求得结论.

【详解】(1)解：设线段48解析式为y=kx+b(k丰0)

回线段48过点(0,10),(2,14),

电A；*/解得｛A'。

12k+o=14lo=10

团线段4B的解析式为：y=2x+10(0<%<5)

勖在线段28上当x=5时，y=20,

勖坐标为(5,20),

团线段BC的解析式为：y=20(5<x<10),

设双曲线CD解析式为：y=^(m^0)

0C(1O,2O),

0.m=200,

回双曲线CD的解析式为：y=子(10WxM24)

f2x+10(0<x<5)

助关于X的函数解析式为：y=\20(5<X<10)

1^(10<%<24)

(2)把y=10代入y=%中，解得：%=20,

020-10=10(小时)，

团恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.

【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的实际应用，根据图象求一次函数、反比例函数和常函数关系

式.解答时应注意临界点的应用.

31.(2023,广东阳江,统考二模)某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：

甲水笔乙水笔

每支进价(元)aa+5

每支利润(元)23

已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等.

⑴求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元.

(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过

乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元.

⑶文具店为了吸引客源.准备下次再购进一种进价为12(元/支)的丙水笔，预算用1500元购进这三种水

笔若干支(三种笔都需购买)，其中甲水笔与乙水笔的数量之比为篦2,则该文具店至多可以购进这三种水

笔共多少支.

【答案】(1)甲、乙两种水笔每支进价分别为5元、10元

(2)购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元

(3)169支

【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意

找出等量关系，列出方程，函数关系式，以及不等式，熟练掌握相关性质是解题的关键.

(1)根据"花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等"列出方程求解即可；

(2)设利润为w元，甲种水笔购进无支，根据题意找出等量关系，列出一次函数表达式，根据一次函数的

增减性，即可解答；

(3)设购进甲种水笔"?支，则购进乙种水笔2m支，一共购进〃支水笔，列出方程化简，得n=125+||山，

根据n—m—2m>0,推出m<60,再结合加、〃均为正整数，得出当?n=48时，〃取得最大值,此时？i=169,

即可解答.

【详解】(1)解：由题意可得，

400_800

aa+5

解得，a=5,

经检验，a=5是原分式方程的解，

团a+5=10,

答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；

(2)解:设利润为w元，甲种水笔购进x支，

w=2x+3x2°°°Tx=o.5x+600,

10

0/c=0.5>0,

回.随x的增大而增大，

团购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍,

2000-5X

团％<X4,

10

解得x<2661，

盟为整数，

回当x=266时，w取得最大值，此时w=733,2°°°~5x=67,

10

答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元；

（3）解：设购进甲种水笔加支，则购进乙种水笔27n支，一共购进〃支水笔，

5m+10x2m+12（n—m—2m）=1500,

化简，得

n=125+—m,

12

—m—2m>0,

0125+—m—m—2m>0,

12

0m<60,

团羽、〃均为正整数，

团当爪=48时，n取得最大值，此时几=169,

即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支.

32.（2022上•四川达州•九年级统考期末）（1）证明命题:若直线y=krx+瓦与直线y=k2x+3互相垂直，

则心B=-1.我们可以先证明"直线y=七*与直线y=Bx互相垂直时,卜水2=-1."请利用图1完成证明.

（2）应用命题：如图2,△4BC中，AB=AC=5,BC=6,8C在x轴上，点/在y轴正半轴上.

①求线段的垂直平分线的解析式；

②点M在平面直角坐标系内，点尸在直线/C上，以4B,F,"为顶点的四边形是菱形，请直接写出点

厂的坐标.

【分析】（1）分别在直线y=k6与直线丫=七万上各取一点，再作x轴的垂线，根据"一线三垂直"模型证明

相似即可；

（2）求出线段N3的中点及直线的解析式，根据直线垂直心心=-1即可求出垂直平分线的解析式；

（3）根据N3为边和对角线分类讨论即可，具体计算可以根据菱形对角线互相垂直平分进行计算.

【详解】（1）设G（-t,-第1）,P（t,k]t）,则点尸在直线y=上，点G在直线y=Bx上

过G作GH3x轴于“，过尸作90取轴于°

团。"=0Q=t,GH=—k2t,PQ=k]t

团直线y=/qx与直线y=互相垂直

血LPOQ=90°-乙GOH=乙HGO

团APOQ〜/\OGH

胫="

GHOQ

即上=空

~k2tt

化简得后心=-1

即直线y=右欠与直线y=Bx互相垂直时，=-1

(2)^AB=AC=5,BC=6

1308=00=3,OA=4

EL4(0,4),B(-3,0),C(3,0)

回直线AB的解析式为为B=|x+4

直线/C的解析式为y4c=-|x+4

AB中点坐标为(―I，2)

设线段的垂直平分线的解析式为y=kx+b

0/c■1--1且y-kx+6过点(一I，2)

4__3

k--=—1kr

33，解得《4

2=--k+bb=L

28

团线段AB的垂直平分线的解析式为y=-1%+5

(3)当48为对角线时，尸为45的垂直平分线与4。的交点,

4(75

yAC=——x+4X=一

联立•37，解得：14

31

V=——X+-y=—

,48V)7

即尸坐标为—今

当48为菱形的边时,

05c关于y轴对称

瓯在直线右边时，尸与C重合，止匕时尸(3,0)

当尸在直线AB左边时，

EL4施C",

^Z-FAB=Z.ACM

EM跖平分NF4B,8c平分以CM

ElNMi力B=乙BCM

EL4跖取轴，

M点坐标为(-3,8)

综上所述：尸点坐标(1|,—5、(3,0)、(-3,8)

【点睛】本题综合考查一次函数的性质、相似三角形的判定、菱形的性质，解题的关键是抓住材料中的“直

线了=自％与直线=七力互相垂直时，w

yfc1fc2=-l.

33.(2022•河南许昌・统考一模)若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样

f|x+l|(x<1)

的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数了=2^>1)的图象与性质，

探究过程如下，请补充完整.

(1)列表：

X-4-3-2-101234

1

y3m10121n

2

其中，m=___,n=.

(2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的

点，如图所示，请画出函数的图象.

4,，

•3-

•2-•

••

।.।，》।.

-4-3-2-101234》

-1-

(3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题:

①点/(|,竺)，B(5,y2),C(xi，j),D(x2,6)在函数图象上，贝叮/_以，xi—阳(填

或“＜")

②当函数值＞=1时，求自变量x的值；

(4)若直线y=-x+6与函数图象有且只有一个交点，请直接写出6的取值范围.

【答案】(1)2,|；(2)如图所示，见解析；(3)①〉，＞；②工=0或苫=-2或x=2；(4)-遮或b

＞3.

【分析】(])将x=-3代入y=|x+l|得m的值；将》=3代入》=|中得n的值；

(2)用平滑的曲线连接坐标系中描的点可得；

(3)4与3在夕=：上，C与。在y=|x-1|上，分别根据函数增减性判断；

(4)如下图，求解出直线＞=-尤+6与函数图象有一个交点的临界点，从而得出b的取值范围.

【详解】(1)x=-3代入y=|%+1|得，»=2,

团加=2,

把％=3代入产|中得，y=|，

2

团几=一,

3

故答案为2,|；

(2)如图所示:

(3)由图象可知/与8在y=|上，y随x的增大而减小，所以刃＞”;

C与。在y=|x-1|上，所以后＞应；

故答案为〉，〉;

②当y=l时，理1时，有l=|x+l|,

取=0或X=-2,

当时，时，有1=1，

Elx—2,

故x=0或1=-2或x=2；

由图形可知，当直线向右平移过程中，直线与函数交点个数为：①0个，②然后变为1个，③然后变为2

个，④然后又变为1个

我们分别求出①②、②③、③④之间的临界点即可

有图形可知，①②之间的临界点为：x=-l

我们求出直线与函数有2个交点的情况：

y=—X+b

{2得：

—x2+bx-2=0

当国＞0时，即直线与函数有两个个交点

S>b2-4x2=0

解得b>2或或b<一2企

故而-1<6<2/时，直线与含有有且仅有一个交点

还存在一种情况：如下图

由上面分析可知当b>2声时，直线是与函数有2个交点的

但是反比例函数的取值范围为x>l的部分

回如上图，反比例函数是点A（l,2）右侧的部分

回当直线y=-x+b从A点继续向右平移时，直线与反比例函数仅有一个交点

将点A代入直线得：2=-1+b,解得：b=3

团当b>3时，直线与函数也仅有一个交点

综上得，-1<6<2&或6>3.

【点睛】本题考查分段函数，解题关键是依据分段函数划分的范围，选取合适的函数进行分析求解.

34.（2022•辽宁锦州•统考中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现•,

日销售量了（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系.

W个

50...............\

30……--4"\

~O2535^元

⑴求〉与X的函数关系式(不要求写出自变量X的取值范围)；

(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？

⑶设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元?

【答案】⑴y=—2x+100；

(2)40元或20元;

⑶当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；

【分析】(1)直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；

(2)根据题意，设当天玩具的销售单价是X元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；

(3)根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案.

【详解】(1)解：由图可知，设一次函数的解析式为丫=kx+b,

把点(25,50)和点(35,30)代入，得

f25fc+b=50貂俎［k=-2

135k+b=30'斛侍tb=100'

El一次函数的解析式为y=-2x+100；

(2)解：根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，则

(%-10)x(-2x+100)=600,

解得：%!=40,%2=20,

团当天玩具的销售单价是40元或20元；

(3)解：根据题意，则

w=(%—10)x(-2%+100),

整理得：w