直线与圆-2025年高考数学复习易错题（原题版）

专题08直线与圆

目录

题型一：直线方程

易错点01忽略斜率公式的应用条件

易错点02求直线方程忽略截距为零

易错点03判断直线的位置关系考虑不全面

题型二：圆的方程、直线与圆的位置关系

易错点04忽略圆的一般方程的限制条件

易错点05处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论

易错点06曲线方程变形不等价

易错点07两圆相切忽略内切、外切的区分

题型一：直线方程

易错点01：忽略斜率公式的应用条件

般易错陷阱与避错攻略

典例4.（24-25高三上•上海•专题训练）经过A®,3）（其中机21）、3（1,2）两点的直线的倾斜角a的取值范

围为.

【答案】［o,-|

【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、已知两点求斜率

【分析】分加＞1和相=1,求出倾斜角的取值范围.

3-21

【详解】由题意知，当机＞1时，tana=------=-------＞0,

m-1m-1

IT

当机=1时，ABLx轴，此时倾斜角为i，

7T

所以.

故答案为：（。仁

【易错剖析】

在解题时容易忽略对m>1和%=1的讨论而出错.

【避错攻略】

1、直线的倾斜角

（1）定义：当直线/与X轴相交时，取了轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/

的倾斜角.当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.

（2）范围：直线/倾斜角的取值范围是［0,7T）.

【解读】①倾斜角直观地表示了直线相对于X轴正方向的倾斜程度.

②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角.

2、直线的斜率

（1）定义：一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母上表示，即左=tan_a,

倾斜角是W的直线没有斜率.

（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点Pi（xi，»）,尸2（忿，”）（无景尤2）的直线的斜率公式为左=£三%

3.倾斜角与斜率上的关系

由左向右上由左向右下

直线情况平行于X轴垂直于X轴

升降

0°<«<90°90°<6Z<180°

a的大小0°90°

k的范围0左>0不存在k<0

随a增大而随a增大而

k的增减性

增大增大

【解读】斜率和倾斜角的特点

①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的;

②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90。时，倾斜角相同的直线,

其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同；

③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.

4.直线斜率与直线方向向量

（1）若直线/的斜率为左，它的一个方向向量的坐标为（尤,y）,则左=2.

（2）若直线/的斜率为左且直线过两点£（%，为），4（石，%），它的一个方向向量的坐标为

42=（%—%，%—乂），则左=

易错提醒：［当直线的倾斜角为90。时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于X

轴（平行于y轴或与y轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.

1.（24-25高二上•山西阶段练习）若倾斜角为45°的直线/经过两点A（2,〃z）,,则优的值为（）

A.-2B.1C.2D.3

2.（24-25高三上•江西赣州•阶段练习）已知点4（租,加+1）,8（-冽,2加）,。4,加）,£＞（1,0）,且直线与直线CD

垂直，则加的值为（）

A.—7或0B.0或7C.0D.7

3.（24-25高三上•山东临沂•阶段练习）过A（痴-1,痴-2）,3（2疗,1）两不同点的直线/的斜率为1,贝那=

（）

A.1B.2C.-1D.-2

■易错题通关

2兀

1.（23-24高一下•重庆•期末）若直线/：尤+机y+l=。的倾斜角为彳，则实数机值为（）

A.也B__拒C.BD.-且

33

2.（24-25高二上•上海裸后作业）直线（I-/卜+y+l=。的倾斜角的取值范围是（）

A._4'2)B.

3兀）(兀3兀

C.D.叼］(24J

（24-25高三上•四川达州•阶段练习）已知a为直线”二2%-1的倾斜角，则cos2a=（

3443

A.B.——C.D.-

5555

4.（24-25高三上•陕西商洛•阶段练习）已知直线/的方程为xsina+V3y-l=0,aeR,则直线/的倾斜角范

围是（）

（712）c「八兀〕「5兀）

c-（1八cM71A（[5不KT、D.「八兀]八「2兀、

5.（24-25高三上•河南许昌•期中）过点A（L-2）和点3（T，T）的直线的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

6.（24-25高二上.河南濮阳.阶段练习）己知点4（2,2）,B（-l,3）,若过点P（0,T）的直线/与线段43相交，

则直线/斜率上的取值范围是（）

A.、4,|[B.[-4,|]

C.（-ao,-4）ug，+GO]D.（-oo,-4]T'+°°）

易错点02：求直线方程忽略截距为零

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上・江西•期末）经过点A（3,4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（）

A.x+y-7=0或x-y+l=0B.x+y-7=0或x-y+l=0或4x-3y=0

C.x-y-7=0或x+y+l=0D.x+y-7=0或x-y+l=0或3x-4y=0

【答案】B

【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程

即可.

【详解】①当直线经过原点时，斜率左=4汽-0=?4，所以直线方程为：4即4x-3y=0；

②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为二+2=1,将点4（3,4）代入，的3+&=1,解得。=7,

aaaa

所以直线方程为：5+5=1，即x+y-7=o；

77

③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为四+上=1,将点4（3,4）代入，的之+&=1,

a—aa—a

解得。=-1,所以直线方程为：2+a=1'即彳7+1=°；

综上所述，直线方程为：4x-3y=0或x+y-7=0或x-y+l=0.

故选：B.

【易错剖析】

求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解

【避错攻略】

直线方程的五种形式

形式几何条件方程适用范围

点斜式过一点（劭，yo）,斜率/y—yo=k(x-xo)与X轴不垂直的直线

斜截式纵截距b,斜率左y=kx+b与X轴不垂直的直线

y—yix-xi与x轴、y轴均不垂直的

两点式过两点（为，%）,（%2，＞2）

y2~yiX2-xi直线

不含垂直于坐标轴和过原

截距式横截距。，纵截距6~+^=l

ab点的直线

Ax+By+C=0平面直角坐标系内所有直

一般式

(A2+BVO)线

易错提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.

举一反三

1.（24-25高二上•天津•期中）直线/经过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为（）

A.%-丁一1=0或x-2y=0B,x+y+l=0或x+2y=0

C.%-丁+1=0或2x-y=0D.x+y+l=0或2%+y=0

2.（2025高三•全国•专题练习）与圆Y+（y-l）2=l相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（）

A.2条B.3条C.4条D.6条

3.（24-25高二上•河北唐山•期中）经过点P（1,4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最

小，则直线的方程为

A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0

■易错题通关

1.（23-24高三下•安徽六安•模拟）已知直线过点（1,2）,且纵截距为横截距的两倍，则直线/的方程为（）

A.2x-y=0

B.2x+y-4=0

C.2*-丁=0或%+2,-2=0

D.2%-丁=0或2%+）一4=0

2.（24-25高二上・江苏镇江•阶段练习）过点A（2,l）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为

（）

A.x-y=lB.x+y=3

C.x-2y=0或x+y=3D.x-2y=0^x-y=l

3.（2025高三・全国・专题练习）过点A（l,4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A.x-y+3=0B.x+y—5=0

C.4%一y=0或x+y—5=0D.4x-y=0或％-y+3=0

4.（23-24高三下•浙江•开学考试）直线/过抛物线C:/=_4y的焦点，且在x轴与丁轴上的截距相同，贝心的

方程是（）

A.y=-x-lB.y=-x+l

C.y=x-lD.y=x+l

5.（23-24高二上.河南开封•期中）若直线/：土+；=1（。>0,6>0）经过点（1,2）,则直线/在x轴和y轴上的

ab

截距之和取最小值时，7=（）

b

A.2B.士C.J2D.也

22

6.（2024•陕西西安.一模）过点尸（1,3）,在x轴上的截距和在,轴上的截距相等的直线方程为.

7.（23-24高二上.广东广州.期末）已知直线/过点尸（1,2）且与x轴、y轴分别交于4.,0）,8（0,3（a>0,6>0）

两点，。为坐标原点，则|网+2]0理的最小值为.

8.（24-25高三•全国•专题训练）设直线/的方程为2x+化-3）y-2%+6=0（%片3）,若直线/的斜率为-1,

则上=；若直线/在x轴、y轴上的截距之和等于0,贝iU=.

易错点03：判断直线的位置关系考虑不全面

般易错陷阱与避错攻略

典例（23-24高二下・四川泸州・期末）直线2x+（m+l）y+4=0与直线〃优+3卫一6=。平行，贝打"=

【答案】2

【分析】两直线斜率存在时，由两直线平行，可得斜率相等，进而可求解.

【详解】由mx+3y-6=0,可得y=_gx+2,所以直线mx+3y-6=0的斜率为,

所以2x+（m+l）y+4=0的斜率存在，且为需匕

由两直线平行，可得一；=-<，解得加=2或相=-3,

m+13

经检验，m=-3,两直线重合，机=2符合题意.

故答案为：2.

【易错剖析】

本题容易忽略对直线是否重合的检验而出错.

【避错攻略】

1.两条直线平行的判定

（1）对于斜率分别为任，上的两条不重合直线/i，h，有h〃b0ki=k2.

【解读】

①/1〃/2+1=比成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合.

②怎=左2n/1〃/2或/1与b重合（斜率存在）.

③/1〃/22tl=%2或两条直线的斜率都不存在.

（2）已知直线/i：Ai尤+Biy+G=O,直线L：A2x+&y+C2=0,贝！1：

/1〃/2Tl星一4281=0,且81。2—&<71加（或492—42。1邦）.

2.两条直线垂直关系的判定

对应与的斜率都存在，分别为后，k2,人与/2中的一条斜率不存在,另一条斜

关系则0狂历y=一1率为零，则11与11的位置关系是/1_L，2

图示

O\Xdb

12

【解读】（1）/1，/2小芯=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在.

⑵当直线/1，/2时，有左次2=—1或其中一条直线垂直于X轴，另一条直线垂直于y轴；而若由后=—1,则

一定有Z1X/2.

（3）当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜

率.

易错提醒：1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法

（1）一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵

坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步.

（2）二代：就是将点的坐标代入斜率公式.

（3）求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.

2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况.

3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况.

奥举一反三

1.（24-25高三上•贵州•阶段练习）已知直线2x+3畋-2=0与直线2Mx-5（加+l）y+l=O互相垂直，则优为

A.--B.一□或。C.—D.口或。

151544

2.（24-25高三上•山东临沂•阶段练习）已知直线4：依+2y-4=0,/?:x-（a-3）y-2=0,贝『力〃/2''是"。=1''

的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.（24-25高二上•上海•课堂例题）已知/-3°+2=0,则直线乙：ax+（3-a）y-a=。和直线4：

（6-2办+（34-5））-4+。=0的位置关系为.

易错题通关

1.（24-25高三上•吉林・期末）设aeR,则“直线/：，+y-2a=0与直线6：（〃—2）尤-y+2=0平行”是"a=±1"

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（23-24高二上•河南•期末）已知直线4:加+3y-5=0与/2:（3a—2）x+ay+4=。垂直，则”=（）

112

A.0B.0或一§C.--D.0或］

3.（24-25高三上•云南•阶段练习）若两平行直线4：以+8y=0与4：3x+4y+8=。之间的距离是1,贝1］。+6=

（）

A.T或11B.T或16C.1或11D.1或16

4.（24-25高三上•重庆•阶段练习）已知直线4：（a—2）x—3y+5=0和4：3x—0+l）y-7=0互相垂直，且

21

a,Z?eR+,则一的最小值为______.

ab

5.（24-25高三上•贵州铜仁•阶段练习）已知直线Z,：6x-y+2=0,直线4，乙，则直线4的倾斜角为（）

71—兀_271_571

A.—B.一C.—D.—

6336

6.（24-25高三上•上海•随堂练习）已知P（x0,九）是直线/：AY+8y+C=0外一点，贝I］方程

Av+By+C+lAxo+gVo+C,n。与/的倾斜角（）

A,相等B.互余C.互补D.不相等

7.（2024高三上•山东济南•专题练习）直线4：G+3y+l=O,l2;x+（a-2）y-l=0,当时，直线（与乙

之间的距离为

8.（24-25高二上•天津•期中）已知直线*+强-1=0与直线（。-1）无+殁+1=0平行，则实数。的值为

9.（23-24高三上•湖南长沙•阶段练习）已知ABC的三个顶点是A（6,0）,B（2,8）,C（0,3）,求:

（1）边所在的直线的方程;

（2）边AB上的高所在直线的方程.

题型二：圆的方程、直线与圆的位置关系

易错点04：忽略圆的一般方程的限制条件

易错陷阱与避错攻略

典例（2024•黑龙江佳木斯•模拟预测）若点（-2,1）在圆尤2+丁+了7+0=0的外部，则实数。的取值范围是

A.(-2,+oo)B.(-oo,-2)

C.D.—,+cc

【答案】C

【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解.

【详解】由于点（一2,1）在圆炉+尸+了一丁+“二。的外部，故

(一2『+F-2-l+a>01

2，解得-2<“<彳，

l+(-l)--4a>02

故选：C

【易错剖析】

本题容易忽略圆的一般方程f+y2+m+Ey+F=0的限制条件+石2—4/>0而出错.

【避错攻略】

1、圆的一般方程

一■般地，圆的标准方程（x—+（y—=厂可以化为+y~—2ax—2by+一厂=0

在这个方程中，如果令。=-2a,£=—2），F=a2+b2-r2,则这个方程就表示成

d+V+Dx+Ey+FnO的形式，其中。，E,厂都是常数，形如上式的圆的方程称为圆的一般方程，

其中为圆心，4D2+E2—4F为半径.

^22J2

2、圆的一般方程的特点

(1)犬,/项的系数相同且不等于0(丁和丁的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以

这个常数即可)；

(2)不含孙项；

(3)D2+E2-4F>0.

3、一般方程与标准方程关系

22

把方程x+y+Dx+Ey+F=0配方得\+gj+'+|J="+：-4尸,根据圆的标准方程可知：

DE

⑴当。2+E?—4尸=0时，方程只有实数解x=——y=—六.它表示一个点.

22122)

(2)当。2+石2一4/<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

(3)当。2+石2一4/>0时，可以看出方程表示以1-2,-£］为圆心，［")2+片_4尸为半径的圆.

(22)2

4.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系

已知点河(％,%),和圆的一般方程x2+y2+£)x+£y+p=0(J)?+E?一4/>0)则

位置关系代数关系

点用在圆A上6。+Ey0+尸=。

点/在圆A内XQ+y；++Ey。+方<0

点M在圆A外XQ+y；+DXQ+Ey。+/>0

5、方程必+y2+m+Ey+B=0表示圆的两种判断方法

(1)配方法：对形如％2+寸+瓜+£丁+口=0的二元二次方程可以配方变形成“标准”形式后，观察

是否表示圆.

(2)定义法：判断。2+岳一4尸是否大于零，确定它是否表示圆.

易错提醒：不要把形如炉+产+.+与+尸二。的结构都认为是圆，一定要先判断了十"―4尸的符号，

只有大于0时才表示圆.

若%2+产+.+与+尸=0表示圆，则有:

（1）当尸=0时，圆过原点.

（2）当0=0,母0时，圆心在y轴上；当上0,E=0时，圆心在x轴上.

（3）当。=/=0,母0时，圆与x轴相切于原点；E=F=0,80时，圆与y轴相切于原点.

（4）当。2=/=4尸时，圆与两坐标轴相切.

举一反三

1.（2024•吉林•三模）已知曲线C：炉+产+2mx一2,+2=0表示圆，则机的取值范围是（）

A.（一8,一1）B.（l,+oo）C.（-1,1）D.（-co,-l）U（l,+co）

2.（24-25高三上・江苏南京•阶段练习）若点（2,1）在圆一+'2—%—丁+〃=0的外部，贝IJQ的取值范围是（）

A.（—2,+8）B.（—2,—）C.（—8,—2）D.（―co,—2）u（―,+oo）

22

3.（24-25高二上•浙江•阶段练习）已知点尸（0,2）关于直线％-y+l=。对称的点。在圆C?+/+2x+m=0

外，则实数机的取值范围是（）

A.m>—4B.m<1C.-4<m<1D.机<-4•或相>1

易错题通关

1.（24-25高二上•山西•阶段练习）若点P（2,2）在圆C：/+/+2依+4y+3a+8=0的外部，则〃的取值范

围为（）

2.（24-25高三上•广西梧州•阶段练习）已知圆C:Y+y2+2x+my+3=0关于直线2x-y+4=0对称，则圆C

的半径为（）

A.72B.2C.272D.4

3.（2025•河南•模拟预测）已知圆/+/一2工+2丁+。=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数。

的取值范围为（）

A.（2-A/17,2+A/17）B.（2-717,2）

C.（-15,讨）D.（-15,-6）

4.（2024高三・全国・专题练习）若方程N+y2—2«+3）x+2（l—4户）y+16/+9=0（feR）表示圆，则实数,的

取值范围是（）

A.[t\—IV/V—}

B.

c.

D.{力《2}

5.（23-24高三上•湖北荆门•期末）已知圆C的方程为/+/-2〃a+4〃9+5疗-3根+3=0,若点（1,-2附在

圆外，则加的取值范围是（）

A.（-oo,l）U（4,+oo）B.（1,+8）

C.d,4）D.（4,+oo）

6.（24-25高三上•河南焦作•开学考试）（多选）已知直线＞=%与圆+孙=4-疗有两个交点，则

整数机的可能取值有（）

A.0B.-3C.1D.3

7.（24-25高三上•陕西宝鸡•期中）已知aeR,方程。4?+（。+2）/+4x+8y+5a=0表示圆，则。=.

8.（24-25高三上•北京•阶段练习）已知点（0,0）在圆尤Z+/+2依+20+4/+3。=0外，则。的取值范围

是.

易错点05：处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论

，易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上・北京•阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M:一+/一2尤+2ay+3=0,M±.

存在两点关于直线x+y+l=0对称.

⑴求M的半径；

（2）过坐标原点0的直线/被M截得的弦长为2,求/的方程.

【答案】（1）&

(2)x=0或3x+4y=0

【分析】(1)首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意点M(l,-。)在直线x+y+l=O

上，即可求出。，从而得解；

(2)首先求出圆心到直线的距离d,再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出所对应的直线方程，

即可得解.

【详解】(1)圆M:尤2+-2x+2ay+3=0,即(x-l)?+(y+a)~="-2,

则圆心为“(1,-a),半径一行分，

因为河上存在两点关于直线x+y+l=O对称，所以点在直线x+y+l=O上，

所以1—a+l=O,解得a=2,

所以M的半径厂二夜；

(2)由(1)可得(％—Ip+(丁+2)2=2,圆心为Af。,—2),

因为过坐标原点。的直线/被M截得的弦长为2,所以圆心M。,-2)到直线的距离d=EF=i，

若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为x=0,此时圆心"(L-2)到直线的距离d=l,符合题意；

k+Na

若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=依，则~=k/3=1，解得上=-：，

收+(T)4

3

所以直线/的方程为＞=即3x+4y=0；

4

综上可得直线/的方程为无=0或3x+4y=0.

【易错剖析】

本题容易忽略斜率不存在的情况而造成漏解.

【避错攻略】

1、直线与圆的位置关系及判断

(1)三种位置关系：相交、相切、相离.

（2）两种判断方法:

Z>0=相交

联立方程得方程组消去尤或y

①代数法<』=0=相切

得一元二次方程，/=〃一4改

/<0=相离

相交

圆心到直线的距离为d

②几何法.<d=r=相切

半径为广

相离

2、圆的切线与切线长

（1）过圆上一点的圆的切线

①过圆f+Vn，上一点M（xo，yo）的切线方程是尤0^+州丫=尺

②过圆（x—a）2+。-b）2=d上一点M{xo,yo）的切线方程是（加一a）（x—a）+（yo—6）（y—6）=尺

（2）过圆外一点的圆的切线

过圆外一点M（xo,光）的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜

率左，从而得切线方程；若求出的女值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为尤=无0.

（3）切线长

①从圆炉+>2+瓜+£>+/=0（。2+/-4QO）外一点比）引圆的两条切线，

切线长为:/+y3+Qxo+Eyo+?

②两切点弦长：利用等面积法，切线长。与半径厂的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长

b的积，即6=誓.

易错提醒：（1）过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数.

（2）设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错.

举一反三

1.（24-25高二上•山东泰安•期中）已知圆c：a+if+（y+i）2=4,则过点（1,2）的圆c的切线方程为（）

A.5x+12y-29=0B.5x+12y-29=0或尤=1

C.5x-12y+19=0D.5x-12y+19=0或无=1

2.（24-25高三上•广东湛江•期中）（多选）已知圆01：/+（、-1）2=4,点4（2,0）,下列说法正确的是（）

A.点A在圆外

B.点A（2,0）是2x+my-4=0的定点

C.已知3（1,0）,过点B作圆的最短弦长为2后

D.过点A作圆。：尤2+。-1）2=4的切线/,则/的方程为2尤-〉-4=0

3.（2025高三•全国•专题练习）已知圆C:（尤-3y+（y+3『=4,过点（2,-1）的直线加与圆C交于M,N两点,

S.\MN\=273,则直线机的方程为.

易错题通关

l.（2024.河南新乡•一模）若直线/：y=x+根与圆C:（x-2）2+（y+5）2=16的两个交点为A,B,且|A到=2^/^^,

则机=（）

A.-11或-3B.-9或-5C.-11或-5D.-9或-3

2.已知点”（1,0）在圆C:/+y2=加上，过用作圆C的切线/,贝!1/的倾斜角为（）

A.30B.60C.120D.150

3.（2025高三・全国・专题练习）已知直线/：，九-1）》+2,+3-加=。与圆（7:尤2+;/一6工+6'=0交于4,8两点,

则线段48的长度的取值范围是（）

A.[阮3a]B.[710,672]

C.[2710,6A/2]D.[2A/W,5A/2]

4.（24-25高三上•宁夏吴忠・期中）己知圆C:（X-2）2+/=I,直线/过点P（3,2）且与圆C相切，则直线/的

方程为______

5.（24-25高三上•重庆•阶段练习）直线/:x-2y+"7=O被圆（x+iy+（y-2）2=8截得的弦长为2石，则

m-

6.（24-25高二上•重庆•阶段练习）己知A（1,2）、B（3,6）,动点尸满足以.用=7，设动点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的标准方程；

（2）求过点A（l,2）且与曲线C相切的直线的方程.

7.（24-25高三上•四川•阶段练习）已知圆C:V+（y-5）2=9,圆G经过点M（-1,-石），且与圆C相切于点

N（0,2）.

⑴求圆的标准方程;

（2）已知直线/过点。（-1,-2）,且被圆G截得的弦长为2vL求直线/的方程.

易错点06：曲线方程变形不等价

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•海南海口•期中）若直线/：＞=丘+3-左与曲线CfuVTG7恰有两个交点，则实数上

的取值范围是（）

A.

【答案】B

【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可.

【详解】由，=辰+3-上知直线/过定点G（l,3）,

由曲线C：y=Jj=,两边平方得/+必=1,

则曲线是以（0,0）为圆心，1为半径的上半圆（包含x轴上的两点），

当直线过点A（-l,0）时，直线/与曲线有两个不同的交点，

此时0=-左+3-左，解得尢=耳，

当直线/与曲线相切时，直线和圆有一个交点，

圆心（0,0）到直线＞=履+3-左的距离1=十1卡=1,解得左=§,

要使直线/：丫=辰+3-左与曲线c：y="=恰有两个交点，

43

则直线/夹在两条直线之间，因此§＜左4；,

即实数上的取值范围为（士:.

【易错剖析】

本题容易将曲线y=化为Y+V=1误认为曲线C为单位圆而出错.

【避错攻略】

1.截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值

①截距式：求形如mx+ny的最值转化为动直线斜率的最值问题

②斜率式：求形如上二生的最值转化为动直线截距的最值问题

x-n

③距离式：求形如（x-a）2+（丁-与2=户的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

2.根据直线与圆的位置关系求参数

（1）几何法

①磔:的最值，设"2X+〃y=/,圆心C（a,。）到直线=/的距离为1=加^^=^,由

y/m2+n2

d=r即可解得两个方值，一个为最大值，一个为最小值

②2的最值：上即点P与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值

XX

（2）代数法

①7加+胡的最值，设金=/,与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0,求得『的

两个值，一个为最大值，一个为最小值.

②上的最值：设/=』，则丁=比，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0,求得f的

XX

两个值，一个为最大值，一个为最小值.

易错提醒：

在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成X、y的取值范围的变大或

缩小.

举一反三

1.（24-25高三•全国•课后作业）若直线丘-2=0与曲线历百7=尤_1有两个不同的交点，则实数上的

取值范围是（）

4<4

A・b]B.4C.-2T卜+2D.”

?

2.（24-25高三上•北京顺义・期中）已知直线/：x+2y+t=0,曲线C：，则"/与C相切”是>=26

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（23-24高二上•云南昆明•阶段练习）已知直线y=4（x+2）与曲线y=J二巨有公共点，则实数%的取

值范围是（）

入一陋口，石一

A.---B.0,—

33J3

C._与,0D.{-瓜向

，易错题通关.

1.（24-25高三上・北京•阶段练习）已知直线依+y-l=0与圆C:（x-l）2+（y+a）2=l相交于A.B两点，且

VA3C为等腰直角三角形，则实数。的值为（）

A.-1B.0C.1D.—1或1

2.（24-25高二上•湖北•期中）已知实数无，>满足方程/+/一©=0,则注的最大值为（）

x+2

134

A・JB.-C.0D.-

243

3.（24-25高二上・江苏扬州•阶段练习）若直线/：、=履+3-左与曲线。：丁=抗二厂恰有两个交点，则实数上

的取值范围是（）

A-Hb-Q4]c-。•明

4.（24-25高三上•辽宁大连•期中）下列选项中，p是q的充要条件的是（）

A.p：a=l或一2,q：两条直线乙：%+（Q+l）y+〃-2=0与4：〃=+2y+8=0平彳丁

B.P：直线y=2）+4与曲线y=i+石二百有两个不同交点，^.-<k<-

C.p：A（l,l）在圆C:x2+y2+2x-m=0外部，q:m<4

D.p：直线/x—y+2=0与圆C：f+y一2丁一2根=o相离，q：m<-L

5.（24-25高二上•天津北辰阶段练习）若直线y=%+8与曲线y=3-"^二7有公共点，则6的取值范围是

（）

A.[1-272,3]B.[1-272,4]

C.[-1,3]D.（-272,4]

6.(24-25高三上・江苏徐州•阶段练习)直线>=x+b与曲线％=J1-V恰有1个公共点，则实数人的取值范

围是()

A.B.-V2<Z?<1

C.—^2<<-1D.—1<Z?W1或力=—

7.(24-25高二上•江苏宿迁・开学考试)若直线"-2=。与曲线0：炉心1y=%_1有两个不同的交点,

则实数上的取值范围是()

44444

A.(-,^o)B.(j,4)C.[-2,--)U(-,2]D.(-,2]

8.(2024•河北衡水•模拟预测)已知点A®1),206,1),动点尸满足/AP3=120,若点尸的轨迹与直线

y=^x+6有两个公共点，贝U6的值可以是()

-3

A.®+lB.--C.-D.史-1

3553

易错点07：判断函数零点个数时画图出错

，易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高三上•四川内江•期中)已知两个圆/+y2=9,x2+(y—6)2=r2,若两圆相切，则半径r

为•

【答案】3或9

【分析】根据两圆相内切、相外切的条件，分别求得r的值

【详解】由题意知：两圆圆心分别为：C1(O,O),C2(0,6),半径分别为：q=3,r2=r>0,

当两圆外切时：IGC2I=6=3+r,解得：r=3；

当两圆内切时：IGGI=6=|3—r|,解