与三角形、四边形相关的压轴题-2022年中考数学试题分项汇编（第2期）原卷

专题21与三角形、四边形相关的压轴题

解答题

1.（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形A8C£＞的边在无轴上，顶点。在y轴的正

半轴上，加为的中点，。4、。2的长分别是一元二次方程Y-7x+12=0的两个根

4

tanZDAB=1，动点尸从点。出发以每秒1个单位长度的速度沿折线OC-CB向点8运动，到达B点停止.设

运动时间为f秒，的面积为S.（1）求点C的坐标；（2）求S关于r的函数关系式，并写出自变量r的取

值范围；（3）在点尸的运动过程中，是否存在点P,使！CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐

标；若不存在，请说明理由.

2.（2022•贵州黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题:

如图，AASC和△瓦织都是等边三角形，点A在DE上.

求证：以AE、AD.AC为边的三角形是钝角三角形.

（1）【探究发现】小明通过探究发现：连接。C,根据已知条件，可以证明。C=A£,ZADC=120P,从而得

出AADC为钝角三角形，故以AE、AD,AC为边的三角形是钝角三角形.

请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.

(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形3GEE都是正方形，点A在EG上.

①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由.

②若AE^+AG2=10,试求出正方形A8CD的面积.

3.(2022.海南)如图1,矩形A3CD中，A3=6,AD=8,点P在边2C上，且不与点8、C重合，直线AP与

0c的延长线交于点E.(1)当点P是8C的中点时，求证：AABP^AECP；

⑵将APB沿直线AP折叠得到AAPB，，点3'落在矩形ABCD的内部，延长尸？交直线于点F.

①证明E4=FP,并求出在(1)条件下AF的值；②连接B'C,求△尸CB'周长的最小值；③如图2,BB'交

AE于点X,点G是AE的中点，当NE4B'=2NA£B'时，请判断AB与用的数量关系，并说明理由.

图1

图2

4.(2022•吉林)如图，在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=6cm.动点P从点A出发，以2cm/s的

速度沿边AB向终点8匀速运动.以E4为一边作=120。，另一边PQ与折线AC-CB相交于点Q,以

PQ为边作菱形尸。建V,点N在线段尸3上.设点尸的运动时间为尤(s),菱形PQM7V与AABC重叠部分图形

的面积为Men?).(1)当点Q在边AC上时，尸。的长为cm；(用含x的代数式表示)

(2)当点M落在边BC上时，求x的值；(3)求,关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

5.(2022•黑龙江牡丹江)在菱形ABCD和正三角形BG尸中，ZABC=60°,P是OP的中点，连接PG、PC.

(1)如图1,当点G在3C边上时，写出尸G与PC的数量关系.(不必证明)

(2)如图2,当点尸在的延长线上时，线段尸C、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；

(3)如图3,当点P在CB的延长线上时，线段尸C、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想(不必证明).

6.(2022•内蒙古呼和浩特)下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形A3CZ)是正方形，点E是

边3C的中点，ZAEF=90°,且E尸交正方形外角的平分线CF于点尸.求证=(提示：取A3的中

点G,连接EG.)(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；

(2)如图1,若点E是8C边上任意一点(不与3、C重合)，其他条件不变.求证：AE=EF；

BF

(3)在(2)的条件下，连接AC,过点E作垂足为P.^~=k,当上为何值时，四边形ECEP

是平行四边形，并给予证明.

7.（2022•福建）已知△ABC/AB^AC,AB>BC.

图1

(1)如图1,CB平分NAC。，求证：四边形A8OC是菱形；

(2)如图2,将(1)中的ACOE绕点C逆时针旋转(旋转角小于NBAC),BC,的延长线相交于点孔用

等式表示/ACE与NEEC之间的数量关系，并证明；(3)如图3,将(1)中的ACDE绕点C顺时针旋转(旋

转角小于/ABC),若/BAD=/BCD,求/AZJB的度数.

8.（2022・湖南衡阳）如图，在菱形A3CD中，AB=4,440=60。，点P从点A出发，沿线段以每秒1

个单位长度的速度向终点。运动，过点P作于点Q,作交直线AB于点交直线BC于

点厂，设APQM与菱形A3CD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点尸运动时间为/（秒）.

（1）当点“与点8重合时，求f的值；（2）当/为何值时，"PQ与全等；（3）求S与f的函数关系式；

（4）以线段PQ为边，在尸。右侧作等边三角形PQE,当2V/V4时，求点E运动路径的长.

3

9.（2022•浙江金华）如图，在菱形ABCD中，AB=10,sin2=y，点E从点8出发沿折线C-D向终点

。运动.过点E作点E所在的边（8C或8）的垂线，交菱形其它的边于点凡在E尸的右侧作矩形£FG〃.

（1）如图1,点G在AC上.求证：FA=FG.（2）若EF=FG,当所过AC中点时，求AG的长.

（3）已知尸G=8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G,C,”为顶点的三角形与昉相似

（包括全等）？

图1图2（备用）

10.（2022・四川南充）如图，在矩形A3CD中，点。是A3的中点，点M是射线DC上动点，点P在线段AM

上（不与点A重合），OP=^AB.（1）判断AWP的形状，并说明理由.（2）当点M为边。C中点时，连接CP

Q

并延长交AO于点M求证：PN=AN.（3）点。在边AD上，AB=5,AD=4,DQ=-,当/。尸。=90。时，

求ZW的长.

11.（2022・湖北武汉）已知8是AASC的角平分线，点E,尸分别在边AC,BC上，AD=m,BD=n,&ADE

与△砒R的面积之和为S.

(1)填空：当NACB=90。，DELAC,£>F_L3C时，

①如图1,若/3=45。，〃?=5&，则〃=,S=:

②如图2,若/3=60。，机=4岔，贝5=,S=：

（2汝口图3,当NACB=NEZW=90。时，探究S与机、〃的数量关系，并说明理由：

（3）如图4,当/4CB=60。，ZEDF=nO°,m=6,〃=4时，请直接写出S的大小.

12.（2022•山东临沂）已知AMC是等边三角形，点3,D关于直线AC对称，连接AD,CD.

（1）求证：四边形ABC。是菱形；（2）在线段AC上任取一点尸（端点除外），连接PD将线段尸。绕点尸逆时

针旋转，使点。落在延长线上的点。处.请探究：当点尸在线段AC上的位置发生变化时，NDPQ的

大小是否发生变化？说明理由.（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证

明.

13.（2022・江西）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角

板尸砂（/尸=90。,/尸=60。）的一个顶点放在正方形中心。处，并绕点。逆时针旋转，探究直角三角板时

与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（己知正方形边长为2）.

图一图二图三备用图

（1）操作发现：如图1,若将三角板的顶点P放在点。处，在旋转过程中，当OF与重合时，重叠部分的

面积为;当。尸与2C垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S,在

旋转过程中，重叠部分的面积\与S的关系为；

（2）类比探究：若将三角板的顶点产放在点。处，在旋转过程中，。瓦。尸分别与正方形的边相交于点N.

①如图2,当3N=CN时，试判断重叠部分AOMN的形状，并说明理由；

②如图3,当CM=OV时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；

（3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处，该锐角记为NGO77（设NGOH=。），将

NGOH绕点。逆时针旋转，在旋转过程中，NGOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为邑,

请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含。的式子表示），

（参考数据：sinl5°=~~~也,cos15°="十*,tanl5°=2一指）

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14.（2022・贵州贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

AF）

如图，在。ABCD中，AN为5C边上的高，不；=m，点以在边上，且=点E是线段AM上

AN

任意一点，连接班，将△ABE沿防翻折得△FBE1.

图①图②备用图

⑴问题解决：如图①，当3=60。，将改四沿跖翻折后’使点尸与点M重合，WJ—=一，

（2）问题探究：如图②，当440=45。，将△ABE沿防翻折后，使EF〃BM,求/4BE的度数，并求出此

时优的最小值；（3）拓展延伸：当440=30。，将八钻石沿BE翻折后，若EF，AD,且AE=ME>,根据题

意在备用图中画出图形，并求出加的值.

15.（2022•吉林长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的44纸，如图①，矩形ABCD

为它的示意图.他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中他先将A4纸沿过点A

的直线折叠，使点8落在AD上，点8的对应点为点E,折痕为AF；再沿过点尸的直线折叠，使点C落在

EF上,点C的对应点为点H,折痕为FG；然后连结AG,沿AG所在的直线再次折叠，发现点。与点尸

重合，进而猜想

【问题解决】（1）小亮对上面AWG丝△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形ABCD是矩形，

NBAD=NB=NC=ND=90°.

由折叠可知，ABAF=^-ZBAD=45°,ZBFA=ZEFA.

2

：.ZEFA^ZBFA^45°.

/•AF=s/2AB=AD.

请你补全余下的证明过程.

【结论应用】⑵NDAG的度数为_______度，当的值为__________；

AF

（3）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=；AB,点。在线段AG上，连结尸Q、PQ,如图②，设=

则FQ+PQ的最小值为.（用含a的代数式表示）

16.(2022•广东深圳)(1)【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点,将AAEB沿BE

翻折到砂处，延长跖交。边于G点.求证：LBFG沿乙BCG

图①

(2)【类比迁移】如图②,在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且=8,=6,将AA£B沿BE翻折至UABEF

处，延长所交3c边于点G,延长BF交8边于点H,且FH=CH,求AE的长.

图②

(3)【拓展应用】如图③，在菱形ABCD中，E为8边上的三等分点，/0=60。,将4侬沿人后翻折得到

△AFE,直线跖交3C于点尸，求CP的长.

BB

备用1备用2

17.（2022•黑龙江）△ABC和AADE都是等边三角形.

⑴将AADE绕点A旋转到图①的位置时，连接电）,CE并延长相交于点尸（点尸与点A重合），有B4+PB=PC

（或B4+PC=P3）成立；请证明.（2）将AADE绕点A旋转到图②的位置时，连接8。，CE相交于点P,

连接B4,猜想线段出、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；⑶将△回绕点A旋转到图③的位

置时，连接8。，CE相交于点P,连接加，猜想线段B4、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，

不需要证明.

18.（2022・辽宁锦州）在C中，AC=BC,点。在线段AB上，连接并延长至点E,使DE=CD,

过点E作EF_LAB,交直线A8于点F.

备用图

（1）如图1,若NACB=120。，请用等式表示AC与斯的数量关系：.

（2）如图2.若NACB=90。，完成以下问题：

①当点。，点/位于点A的异侧时，请用等式表示AC,F之间的数量关系，并说明理由;

②当点。，点f位于点A的同侧时，若。尸=1,AD=3,请直接写出AC的长.

19.（2022•广西）已知NMON=a,点A,B分别在射线OM,ON上运动，AB=6.

图①图③

⑴如图①，若&=90。，取AB中点。，点A,B运动时，点。也随之运动，点A,8,。的对应点分别为A,夕,。，

连接。判断。。与0。有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图②，若a=60。，以AB为斜边在其

右侧作等腰直角三角形A8C,求点。与点C的最大距离：（3）如图③，若夕=45。，当点A,B运动到什么位

置时，AAC®的面积最大?请说明理由，并求出AAC®面积的最大值.

20.（2022・湖北十堰）【阅读材料】如图①，四边形A3CD中，AB=AD,ZB+Zr>=180°,点、E,歹分别

在3C,CO上，若=贝!]=.

图①

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形A3CD.已