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文档简介
专题21与三角形、四边形相关的压轴题
解答题
1.(2022•黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形A8C£>的边在无轴上,顶点。在y轴的正
半轴上,加为的中点,。4、。2的长分别是一元二次方程Y-7x+12=0的两个根
4
tanZDAB=1,动点尸从点。出发以每秒1个单位长度的速度沿折线OC-CB向点8运动,到达B点停止.设
运动时间为f秒,的面积为S.(1)求点C的坐标;(2)求S关于r的函数关系式,并写出自变量r的取
值范围;(3)在点尸的运动过程中,是否存在点P,使!CMP是等腰三角形?若存在,请直接写出点尸的坐
标;若不存在,请说明理由.
2.(2022•贵州黔东南)阅读材料:小明喜欢探究数学问题,一天杨老师给他这样一个几何问题:
如图,AASC和△瓦织都是等边三角形,点A在DE上.
求证:以AE、AD.AC为边的三角形是钝角三角形.
(1)【探究发现】小明通过探究发现:连接。C,根据已知条件,可以证明。C=A£,ZADC=120P,从而得
出AADC为钝角三角形,故以AE、AD,AC为边的三角形是钝角三角形.
请你根据小明的思路,写出完整的证明过程.
(2)【拓展迁移】如图,四边形ABCD和四边形3GEE都是正方形,点A在EG上.
①试猜想:以AE、AG、AC为边的三角形的形状,并说明理由.
②若AE^+AG2=10,试求出正方形A8CD的面积.
3.(2022.海南)如图1,矩形A3CD中,A3=6,AD=8,点P在边2C上,且不与点8、C重合,直线AP与
0c的延长线交于点E.(1)当点P是8C的中点时,求证:AABP^AECP;
⑵将APB沿直线AP折叠得到AAPB,,点3'落在矩形ABCD的内部,延长尸?交直线于点F.
①证明E4=FP,并求出在(1)条件下AF的值;②连接B'C,求△尸CB'周长的最小值;③如图2,BB'交
AE于点X,点G是AE的中点,当NE4B'=2NA£B'时,请判断AB与用的数量关系,并说明理由.
图1
图2
4.(2022•吉林)如图,在AABC中,ZACB=90°,ZA=30°,AB=6cm.动点P从点A出发,以2cm/s的
速度沿边AB向终点8匀速运动.以E4为一边作=120。,另一边PQ与折线AC-CB相交于点Q,以
PQ为边作菱形尸。建V,点N在线段尸3上.设点尸的运动时间为尤(s),菱形PQM7V与AABC重叠部分图形
的面积为Men?).(1)当点Q在边AC上时,尸。的长为cm;(用含x的代数式表示)
(2)当点M落在边BC上时,求x的值;(3)求,关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
5.(2022•黑龙江牡丹江)在菱形ABCD和正三角形BG尸中,ZABC=60°,P是OP的中点,连接PG、PC.
(1)如图1,当点G在3C边上时,写出尸G与PC的数量关系.(不必证明)
(2)如图2,当点尸在的延长线上时,线段尸C、PG有怎样的数量关系,写出你的猜想,并给予证明;
(3)如图3,当点P在CB的延长线上时,线段尸C、PG又有怎样的数量关系,写出你的猜想(不必证明).
6.(2022•内蒙古呼和浩特)下面图片是八年级教科书中的一道题:如图,四边形A3CZ)是正方形,点E是
边3C的中点,ZAEF=90°,且E尸交正方形外角的平分线CF于点尸.求证=(提示:取A3的中
点G,连接EG.)(1)请你思考题中“提示”,这样添加辅助线的意图是得到条件:;
(2)如图1,若点E是8C边上任意一点(不与3、C重合),其他条件不变.求证:AE=EF;
BF
(3)在(2)的条件下,连接AC,过点E作垂足为P.^~=k,当上为何值时,四边形ECEP
是平行四边形,并给予证明.
7.(2022•福建)已知△ABC/AB^AC,AB>BC.
图1
(1)如图1,CB平分NAC。,求证:四边形A8OC是菱形;
(2)如图2,将(1)中的ACOE绕点C逆时针旋转(旋转角小于NBAC),BC,的延长线相交于点孔用
等式表示/ACE与NEEC之间的数量关系,并证明;(3)如图3,将(1)中的ACDE绕点C顺时针旋转(旋
转角小于/ABC),若/BAD=/BCD,求/AZJB的度数.
8.(2022・湖南衡阳)如图,在菱形A3CD中,AB=4,440=60。,点P从点A出发,沿线段以每秒1
个单位长度的速度向终点。运动,过点P作于点Q,作交直线AB于点交直线BC于
点厂,设APQM与菱形A3CD重叠部分图形的面积为S(平方单位),点尸运动时间为/(秒).
(1)当点“与点8重合时,求f的值;(2)当/为何值时,"PQ与全等;(3)求S与f的函数关系式;
(4)以线段PQ为边,在尸。右侧作等边三角形PQE,当2V/V4时,求点E运动路径的长.
3
9.(2022•浙江金华)如图,在菱形ABCD中,AB=10,sin2=y,点E从点8出发沿折线C-D向终点
。运动.过点E作点E所在的边(8C或8)的垂线,交菱形其它的边于点凡在E尸的右侧作矩形£FG〃.
(1)如图1,点G在AC上.求证:FA=FG.(2)若EF=FG,当所过AC中点时,求AG的长.
(3)已知尸G=8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时,以G,C,”为顶点的三角形与昉相似
(包括全等)?
图1图2(备用)
10.(2022・四川南充)如图,在矩形A3CD中,点。是A3的中点,点M是射线DC上动点,点P在线段AM
上(不与点A重合),OP=^AB.(1)判断AWP的形状,并说明理由.(2)当点M为边。C中点时,连接CP
Q
并延长交AO于点M求证:PN=AN.(3)点。在边AD上,AB=5,AD=4,DQ=-,当/。尸。=90。时,
求ZW的长.
11.(2022・湖北武汉)已知8是AASC的角平分线,点E,尸分别在边AC,BC上,AD=m,BD=n,&ADE
与△砒R的面积之和为S.
(1)填空:当NACB=90。,DELAC,£>F_L3C时,
①如图1,若/3=45。,〃?=5&,则〃=,S=:
②如图2,若/3=60。,机=4岔,贝5=,S=:
(2汝口图3,当NACB=NEZW=90。时,探究S与机、〃的数量关系,并说明理由:
(3)如图4,当/4CB=60。,ZEDF=nO°,m=6,〃=4时,请直接写出S的大小.
12.(2022•山东临沂)已知AMC是等边三角形,点3,D关于直线AC对称,连接AD,CD.
(1)求证:四边形ABC。是菱形;(2)在线段AC上任取一点尸(端点除外),连接PD将线段尸。绕点尸逆时
针旋转,使点。落在延长线上的点。处.请探究:当点尸在线段AC上的位置发生变化时,NDPQ的
大小是否发生变化?说明理由.(3)在满足(2)的条件下,探究线段AQ与CP之间的数量关系,并加以证
明.
13.(2022・江西)问题提出:某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:将足够大的直角三角
板尸砂(/尸=90。,/尸=60。)的一个顶点放在正方形中心。处,并绕点。逆时针旋转,探究直角三角板时
与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况(己知正方形边长为2).
图一图二图三备用图
(1)操作发现:如图1,若将三角板的顶点P放在点。处,在旋转过程中,当OF与重合时,重叠部分的
面积为;当。尸与2C垂直时,重叠部分的面积为;一般地,若正方形面积为S,在
旋转过程中,重叠部分的面积\与S的关系为;
(2)类比探究:若将三角板的顶点产放在点。处,在旋转过程中,。瓦。尸分别与正方形的边相交于点N.
①如图2,当3N=CN时,试判断重叠部分AOMN的形状,并说明理由;
②如图3,当CM=OV时,求重叠部分四边形OMCN的面积(结果保留根号);
(3)拓展应用:若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处,该锐角记为NGO77(设NGOH=。),将
NGOH绕点。逆时针旋转,在旋转过程中,NGOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为邑,
请直接写出S2的最小值与最大值(分别用含。的式子表示),
(参考数据:sinl5°=~~~也,cos15°="十*,tanl5°=2一指)
44
14.(2022・贵州贵阳)小红根据学习轴对称的经验,对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
AF)
如图,在。ABCD中,AN为5C边上的高,不;=m,点以在边上,且=点E是线段AM上
AN
任意一点,连接班,将△ABE沿防翻折得△FBE1.
图①图②备用图
⑴问题解决:如图①,当3=60。,将改四沿跖翻折后’使点尸与点M重合,WJ—=一,
(2)问题探究:如图②,当440=45。,将△ABE沿防翻折后,使EF〃BM,求/4BE的度数,并求出此
时优的最小值;(3)拓展延伸:当440=30。,将八钻石沿BE翻折后,若EF,AD,且AE=ME>,根据题
意在备用图中画出图形,并求出加的值.
15.(2022•吉林长春)【探索发现】在一次折纸活动中,小亮同学选用了常见的44纸,如图①,矩形ABCD
为它的示意图.他查找了A4纸的相关资料,根据资料显示得出图①中他先将A4纸沿过点A
的直线折叠,使点8落在AD上,点8的对应点为点E,折痕为AF;再沿过点尸的直线折叠,使点C落在
EF上,点C的对应点为点H,折痕为FG;然后连结AG,沿AG所在的直线再次折叠,发现点。与点尸
重合,进而猜想
【问题解决】(1)小亮对上面AWG丝△AFG的猜想进行了证明,下面是部分证明过程:
证明:四边形ABCD是矩形,
NBAD=NB=NC=ND=90°.
由折叠可知,ABAF=^-ZBAD=45°,ZBFA=ZEFA.
2
:.ZEFA^ZBFA^45°.
/•AF=s/2AB=AD.
请你补全余下的证明过程.
【结论应用】⑵NDAG的度数为_______度,当的值为__________;
AF
(3)在图①的条件下,点P在线段AF上,且AP=;AB,点。在线段AG上,连结尸Q、PQ,如图②,设=
则FQ+PQ的最小值为.(用含a的代数式表示)
16.(2022•广东深圳)(1)【探究发现】如图①所示,在正方形ABCD中,E为AD边上一点,将AAEB沿BE
翻折到砂处,延长跖交。边于G点.求证:LBFG沿乙BCG
图①
(2)【类比迁移】如图②,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,且=8,=6,将AA£B沿BE翻折至UABEF
处,延长所交3c边于点G,延长BF交8边于点H,且FH=CH,求AE的长.
图②
(3)【拓展应用】如图③,在菱形ABCD中,E为8边上的三等分点,/0=60。,将4侬沿人后翻折得到
△AFE,直线跖交3C于点尸,求CP的长.
BB
备用1备用2
17.(2022•黑龙江)△ABC和AADE都是等边三角形.
⑴将AADE绕点A旋转到图①的位置时,连接电),CE并延长相交于点尸(点尸与点A重合),有B4+PB=PC
(或B4+PC=P3)成立;请证明.(2)将AADE绕点A旋转到图②的位置时,连接8。,CE相交于点P,
连接B4,猜想线段出、PB、PC之间有怎样的数量关系?并加以证明;⑶将△回绕点A旋转到图③的位
置时,连接8。,CE相交于点P,连接加,猜想线段B4、PB、PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论,
不需要证明.
18.(2022・辽宁锦州)在C中,AC=BC,点。在线段AB上,连接并延长至点E,使DE=CD,
过点E作EF_LAB,交直线A8于点F.
备用图
(1)如图1,若NACB=120。,请用等式表示AC与斯的数量关系:.
(2)如图2.若NACB=90。,完成以下问题:
①当点。,点/位于点A的异侧时,请用等式表示AC,F之间的数量关系,并说明理由;
②当点。,点f位于点A的同侧时,若。尸=1,AD=3,请直接写出AC的长.
19.(2022•广西)已知NMON=a,点A,B分别在射线OM,ON上运动,AB=6.
图①图③
⑴如图①,若&=90。,取AB中点。,点A,B运动时,点。也随之运动,点A,8,。的对应点分别为A,夕,。,
连接。判断。。与0。有什么数量关系?证明你的结论:(2)如图②,若a=60。,以AB为斜边在其
右侧作等腰直角三角形A8C,求点。与点C的最大距离:(3)如图③,若夕=45。,当点A,B运动到什么位
置时,AAC®的面积最大?请说明理由,并求出AAC®面积的最大值.
20.(2022・湖北十堰)【阅读材料】如图①,四边形A3CD中,AB=AD,ZB+Zr>=180°,点、E,歹分别
在3C,CO上,若=贝!]=.
图①
【解决问题】如图②,在某公园的同一水平面上,四条道路围成四边形A3CD.已
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