中考数学复习重难点强化训练：方程（组）与不等式（组）综合检测（基础版）解析版

专题05方程(组)与不等式(组)综合检测

考试范围：方程与不等式；考试时间：120分钟；总分：150分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷(选择题)

评卷人得分

1.春节期间，阜阳市商务局组织举办了"皖美消费，乐享阜阳”一2022年跨年迎新购物季，系列促销活动,

某超市对一款原价位。元的商品降价x%销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价x%,此时售价降低

了6元，则()

A.b=a(l—2x%)B.b=a—a(l—x%)2C.b=a(l—x%)2D.b=

a—a(l—2x%)

【答案】B

【分析】根据某超市对一款原价位a元的商品降价x%销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价x%,

此时售价降低了b元列方程即可得到结论.

【详解】解：根据题意得，b=a-a(l-x%)2,

故选：B.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意是解题的关键.

2.为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均20平方厘

米提高到24.2平方厘米，每年的增长率相同，设为无，则可列方程是()

A.(1+x)2=24.2B.20(1+x)2=24.2

C.(1-x)2=24.2D.20(1-x)2=24.2

【答案】B

【分析】如果设年增长率为X,则可以根据“住房面积由现在的人均约为20平方厘米提高到24.2平方厘米〃

作为相等关系得到方程20(1+x)2=24.2.

【详解】解：设每年的增长率为x,根据题意得20(1+x)2=24.2,故选反

【点睛】本题考查列一元二次方程，解题的关键是读懂题意，由题意得到等式20(1+x)2=242

3.已知一元二次方程a/+族+c=0,若a+c=b,则该方程一定有一个根为()

A.0B.-1C.2D.1

【答案】B

【分析】根据题意可得a-b+c=O,即可求解.一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右

两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解.

【详解】解：Ela+c=6,

0a—£>+c=0

团一元二次方程a/+匕尤+c=0一定有一个根为x=-1,

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解题意是解题的关键.

4.不等式组px+i22%-1的整数解的个数是（）

A.无数个B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】首先解每个不等式，然后确定两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中

的整数值即可.

x+1>0①

【详解】解:3x4-1

----->2%-1@

I2一

解①得，x>-l,

解②得，x43,

回原不等式的解集为：

则整数解为0,1,2,3共有4个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键.

5.若关于x的一元一次不等式结［h;久+3的解集为x<a；且关于y的分式方程氏+/=1有正整数

解，则所有满足条件的整数。的值之积是（）

A.7B.-14C.28D.-56

【答案】A

【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方

程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可.

【详解】解：解不等式手《久+3,解得定7,

由解集为烂a,得到a«7,

分式方程去分母得：y-a+3y-4=y-2,即3y-2=a,

解得：y=等，

由y为正整数解且户2,得到a=l,7,

1x7=7,

故选：A.

【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

6.一个等腰三角形的两条边长分别是方程/—6尤+8=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）

A.10或8B.10C.8D.12

【答案】B

【分析】先求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边为2,2,4时，②当等腰三角形的三边

为2,4,4时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可.

【详解】解：解方程/-6x+8=0得：x=4或2,

①当等腰三角形的三边为2,2,4时，2+2=4,不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去；

②当等腰三角形的三边为2,4,4时，此时能组成三角形，三角形的周长是2+4+4=10,

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合

的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想.

7.在如图的2016年6月份的日历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）

B一二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

2627282930

A.27B.51C.69D.72

【答案】D

【详解】设第一个数为x,则第二个数为x+7,第三个数为x+14.列出三个数的和的方程，再根据选项解出

x,看是否存在.

解：设第一个数为x,则第二个数为x+7,第三个数为x+14

故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21

当x=16时，3x+21=69；

当x=10时，3x+21=51；

当x=2时，3x+21=27.

故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是72.

故选D.

"点睛"此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合

适的等量关系列出方程，再求解.

（3x>—6

8.不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）

A.飞b卜B.卜c.46

—1।rr

D.-202

【答案】B

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可.

f3x>—6①

【详解】解：％+i〈ix

I亍W1②

•••解不等式①得：x>-2,

解不等式②得：%<2,

・•.不等式组的解集为一2<x42,

在数轴上表示为:

故选：B.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集等知识点，能求出不等式组的解

集是解此题的关键.

9.关于x的方程E=2+含有增根,则人的值为（）

A.±3B.3C.-3D.2

【答案】D

【分析】根据增根的定义可求出X的值，把方程去分母后，再把求得的X的值代入计算即可.

【详解】解：国原方程有增根，

回最简公分母X-3=0,

解得x=3,

方程两边都乘(x-3),

得：x-1=2(x-3)+k,

当x=3时，k=2,符合题意，

故选D

【点睛】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方

程的增根.增根使最简公分母等于0,不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程.

10.已知关于X的方程/+依+2=0的两个根为X/,X2,且工+工+与久2=0，则左的值为()

X1X2

A.0B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】根据根与系数关系列出方程求解即可.

【详解】解：由题意知，Xl+X2=-k,X19X2=2.

则由，■+,+X1X2=0得,

+X1

-4-%1x2=0,BR—+2=0.

x1-x22

解得k=4.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的

解题方法.

第H卷(非选择题)

评卷人得分

3%—1<%+3

A3的整数解为_________.

{—<X~1

【答案】0.1

【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后从解集中选择整数解即可解答.

3x—1<x+3①

【详解】解:

/…②

解不等式①得：%<2

解不等式②得：x>—1

・•.不等式组的解集为:-1<x<2

所以不等式组的整数解为：0,1.

故答案为0,1.

【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，正确求得不等式组的解集

是解题关键.

12.关于x的一元二次方程/-3x-k=0无实数解，则k的取值范围是.

【答案】k<—2

4

【分析】根据一元二次方程无实数解，得出A=炉-4ac=9+4/cV0,解不等式即可求解.

【详解】解：团关于％的一元二次方程%2-3x-k=0无实数解，

回△=炉_4ac=9+4fc<0,

解得：fc<—p

4

故答案为：k<—

4

【点睛】本题考查了一元二次方程a/+bx+c=0(a#0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac,

理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，

方程有两个相等的实数根；当△<()时，方程没有实数根.

13.已知关于x的一元二次方程(3a-1)/-ax+工=0有两个相等的实数根，贝。代数式a?一2a+2021+工

4a

的值为.

【答案】2023

【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式为0,从而可得关于a的等式a2-3a+l=0,

把此等式变形后整体代入即可求得代数式的值.

【详解】解：回关于x的一元二次方程(3a-l)x2-ax+J=0有两个相等的实数根，

0A=(-a)2—4(3a-1)X：=0

团4—3a+1=0,

则Q2—2a=aci

—1,H—a=3,

Qiii

回。2—2。+2021+-=-l+a+2021+-=2020+a+-=2020+3=2023,

aaa

故答案为：2023.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，整体代入求代数式的值，关键是把得到的等式进行变形.

14.设m是不小于-1的实数,关于x的方程%2+2(m-2)%+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根久。不，

令T二片+普，则T的取值范围是,

1一%11-X2

【答案】0CT44且TW2.

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系化简T,再根据根的判别式求出7的取值范围.

【详解】化简7可得：片叱^㈤:：加-3;吆"处一失叱根据韦达定理可得：x/X2=f=—3%+3,打

Q-x7(l-x2>x1x2-(x1+x2)+la

+x2——-=4—2m,代入T中化简可得：T=———=2—2m,故一冽。0,即冽工0,团7V2,由题意可得：回=

a-m

[2(m-2)]2—4xlx(m2—3m-f-3)>0,解得：m<l,而m>—1,故一l<m<l,回0VTW4,综上所述，答

案为0VT,且T/2.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式的基本概念，解本题的要点在于

求出加的取值范围，注意在化简过程中，冽工0,这个取值范围可能会忽略.

15.不等式-3X-1N-10的正整数解为

【答案】1,2,3

【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可.

【详解】解：-3x3-10,

-3x2-10+1,

-3x>-9,

x<3,

团不等式-3X-12-10的正整数解为1,2,3.

故答案为1,2,3

【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解.求出不等式的解集是解题的关键.

16.解方程(喜产+3(喜)+2=0,如果设=y,那么得到关于y的整式方程

是.

【答案】W；y2+3y+2=0

【分析】根据换元法进行替换即可；

【详解】解：由题可知，若要得到y的整式方程,

则令

可得，y?+3y+2=0,

故答案为：京；y2+3y+2=0；

【点睛】本题主要考查了换元法解分式方程，掌握换元法解分式方程是解题的关键.

评卷人得分

17.(1)解方程：|;

(X+2(x—3)<1

(2)解不等式组：3X-1、，

【答案】(1)x=6；(2)1Wx<(

【分析】(1)利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解；

(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可.

【详解】(1)3(x-2)=2%,

3x—6=2xf

3x—2x=6,

x=6.

(2)由①得：x<I，

由②得：x>l,

团不等式组的解集为1<x<1.

【点睛】本题考查了一元一次方程及一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次方程及一元一次不等式

组的解法是解本题的关键.

(3(久+1)>0

18.解不等式组：x-7/,并写出所有整数解.

I-<-1

【答案】0,1,2,3,4

【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案.

(3(x+1)>0®

【详解】解：x-7，

解不等式①得：X>-L

解不等式②得：x<5,

团不等式组的解集为

团不等式组的所有整数解为0,1,2,3,4.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式

组的解集是解此题的关键.

19.先化简，再求值(芸-£).竺等A其中X是一元二次方程/+2x—15=0的一个根

【答案】一万—9,-4

【分析】根据分式的混合运算的计算法则进行计算即可，化简后，再求出x的值，代入求值即可.

【详解】隐-—字+、)

2x(x+3)——3)(3—x)(3+x)

(x+3)(x-3)x

——2(%+3)+(%—3)

=一%—9

解方程/+2x-15=0得，％]=-5,K2=3(分式无意义，舍去)

回当％=-5时，原式=一(一5)—9=-4.

【点睛】考查分式的混合运算的计算方法，一元二次方程的解法，掌握因式分解和分式的混合运算的计算

法则是正确解答的关键.

20.如图/在数轴上所对应的数为-2.

<--------A

[_______I_________I_____I________I____________I________I3]_________11I_________II________I1________I»

(1)-9-8-7-6-5-4-3-2-10I234567

点B在点A右边距/点6个单位长度，求点B所对应的数；

⑵在(1)的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，

当，当点/运动到-4所在的点处时，求/、3之间的距离

⑶在(2)的条件下，现/点静止不动，8点沿数轴向左运动时，经过多长时间/,8两点相距4个单位长

度.(直接写出答案)

【答案】(1)4

⑵12个

(3)4秒或8秒

【分析】本题考查了数轴，行程问题的数量关系的运用，解答时根据行程的问题的数量关系建立方程是关

键.

(1)根据左减右加可求点3所对应的数；

(2)先根据时间=路程+速度，求出运动时间，再根据路程=速度X时间求解即可；

(3)分两种情况：运动后的2点在/点右边4个单位长度；运动后的2点在/点左边4个单位长度；列出

方程求解即可.

【详解】(1)解：—2+6=4.

团点5所对应的数为2；

(2)解：[-2-(-4)]+1=(-2+4)+1=2秒，

团运动时间为2秒，

04—(—4)+2x2=4+4+4=12,

胡，2两点间距离是12个单位长度.

(3)解：设经过x秒长时间4,8两点相距4个单位长度，

依题意有|12-2x|=4,

EI12—2x—4或12—2x——4

解得x=4或％=8；

回经过4秒或8秒，A,8两点相距4个单位长度.

21.我校参加2022年"校本研修示范校”评比，需要制作几份相同的材料.该材料用A4纸打印，每份有170

张纸，纯文字的纸张用黑白打印，含图片的纸张彩色黑白皆可打印，彩色打印费用2元/张，黑白打印费用

如下表：

纸张数量a(张)0<a<400400<a<600a>600

黑白(元/张)10.90.8

该材料封面、封底均含图片，打印方案如下：

普通版：封面、封底用彩色打印，其余都用黑白打印;

精美版：含图片纸张用彩色打印，其余都用黑白打印.

⑴若制作1份普通版和1份精美版共需362元，求该材料（1份）中含图片的张数;

（2）若每份材料中含图片的纸张数不少于纯文本纸张数的右但又不大于纸张总数的|,求制作4份精美版材

料的最少费用;

⑶在（1）的条件下.原准备参加乐清市评比，己经制作了3份普通版材料；现直接被推荐到温州参评，需

提交7份精美版材料，为节约费用，两种版本的材料可以拆开重复利用.请你设计一种制作方案，将还需

打印的纸张数量和费用填入下表.（温馨提示：最低费用方案得4分，其它方案酌情给分）

黑白纸张（张）彩色纸张（张）费用

【答案】⑴该材料（1份）中含图片的纸张有20张

（2）制作4份精美版材料的最少费为801.2

⑶见解析

【分析】（1）设含图片的纸张有X张，根据题意：1份普通版的费用+1份精美版的费用=362,即可列出方程，

解方程即可；

（2）设含图片的纸张有x张，制作4份费用为w元，根据题意列出关于x的不等式组，解不等式组可得无的

取值范围，再列出w关于x的一次函数关系式，利用函数的性质即可求得最少费用；

（3）7份精美版材料需要含图片的纸张140张，黑白需打印（170-20）X7=1050（张）；其中已有含图片

的纸张有6张，尚缺140-6=134（张）；黑白的已有（170-20）X3=450（张），尚缺1050-450=600（张），

根据以上情况即可确定制作方案.

【详解】（1）设含图片的纸张有x张

（168xl+2x2）+2x+（170-x）X1=362

解得x=20

即含图片的纸张有20张；

（2）设含图片的纸张有x张，制作4份费用为w元

p>!（170-x）

Ix<x170

解得：42.5<x<68即43<x<68

w=8x+0.9（170—x）X4=4.4x+612

k—4.4>0

・•.w随着x的增大而增大，当x=43时，w有最小值801.2

即制作4份精美版材料的最少费用为801.2元；

（3）7份精美版材料需要含图片的纸张140张，黑白需打印（170-20）X7=1050（张）；

其中已有含图片的纸张有6张，尚缺140-6=134（张）；

黑白的已有（170-20）X3=450（张），尚缺1050-450=600（张），

根据黑白打印费用表知，黑白纸张打印601张比打印600张更省钱，填表如下：

黑白纸张（张）彩色纸张（张）费用

601134748.8

【点睛】本题是方程、函数的应用，理解题意，并正确列出方程及函数关系式是解题的关键.

22.七彩商店瑜伽垫的售价是a元/个.元旦期间，该商店对瑜伽垫举行促销活动，有两种优惠方案.方案一:

每个按售价的九五折销售；方案二：若购买不超过10个，每个按售价销售；若超过10个，超过的部分每

个按售价的八五折销售.某班为了参加学校组织的素质操比赛，一次性购买瑜伽垫x个.

（1）分别求两个方案花费金额与x的关系式；

（2）当x满足什么条件时，该班采用方案一二一样划算？

（3）若该班采用方案二购买更划算，求x的取值范围.

【答案】⑴w=h⑵x=15；（3）x>15且x为整数.

【分析】（1）由题意设花费金额为w,并根据题意分别求两个方案花费金额与x的关系式；

（2）由题意得0.95a%=1.5a+0.85a%,解得x的值即此时该班采用方案一二一样划算；

（3）由题意得0.95。%>1.5。+0.85。%,求出x的取值范围此时该班采用方案二购买更划算.

【详解】解：(1)设花费金额为w,

方案一：w=95%a•x=0.95。%；

方案二：w=10a+(%—10)-85%a=1.5a+0.85ax(x>10),

_(ax(0<x<10)

w=ll.5a+0.85ax(x>10)；

(2)由题意得0.95ax=1.5a+0.85ax,

解得x=15,

答：当"=15时，该班采用方案一、二一样划算；

（3）由题意得0.95ax>1.5a+0.85ax,

解得x>15.

答:当该班采用方案二购买更划算时，x>15且x为整数.

【点睛】本题考查一次函数及不等式的应用，理解题意并熟练根据题意列出一次函数及不等式是解题的关

键.

错因分析：①题意理解不清；②对一次函数及不等式的应用掌握不到位.

23.暑期临近，重庆市某中学校为了丰富学生的暑期文化生活，同时帮助孩子融洽亲子关系，增进亲子间

的情感交流，计划组织学生去某景区参加为期一周的"亲子一家游”活动.若报名参加此次活动的学生人数共

有56人，其中要求参加的每名学生都至少需要一名家长陪同参加.

（1）假设参加此次活动的家长人数是参加学生人数的2倍少2人，为了此次活动学校专门为每名学生和家

长购买一件T恤衫，家长的T恤衫每购买8件赠送1件学生T恤衫（不足8件不赠送），学生T恤衫每件

15元，学校购买服装的费用不超过3401元，请问每件家长T恤衫的价格最高是多少元？

（2）已知该景区的成人票价每张100元，学生票价每张50元，为了支持此次活动，该景区特地推出如下

优惠活动：每张成人票价格下调a%,学生票价格下调.3％另外，经统计此次参加活动的家长人数比学生人

数多a%,参加此次活动的购买票价总费用比未优惠前减少了等％,求a的值.

【答案】（]）每件家长T恤衫的价格最高是25元；（2）25.

【详解】分析：（1）设每件家长T恤衫的价格为x元，根据总费用=家长T恤衫的费用+学生T恤衫的费用结

合学校购买服装的费用不超过3401元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，

取其内的最大正整数即可；

（2）设丫=2%,根据优惠后的总费用=优惠前的总费用x（1-^y）,即可得出关于y的一元二次方程，解之即

可得出y值，进而即可得出a值.

详解：（1）设每件家长T恤衫的价格为x元，

根据题意得：（56x2-2）x+[56-（56x2）-s-8+l]xl5<3401,

解得:x<25^,

fflx为正整数，

0x<25.

答：每件家长T恤衫的价格最高是25元.

（2）设y=a%,

根据题意得：56(1+y)xlOO(1-y)+56x50x(l-|y)=[56(1+y)xl00+56x50]x(1-^y)

整理得：4y2-y=0,

解得：y=0.25或y=0(舍去),

Ela%=0.25,a=25.

答：a的值为25.

点睛：本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，

列出关于x的一元一次不等式；(2)找准等量关系，列出关于y的一元二次方程.

24.某公司在甲、乙仓库共存放某种原料45吨，如果运出甲仓库所存原料的60%,仓库所存原料的40%,

那么乙仓库剩余的原料比甲仓库新余的原料多3吨.

(1)求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？

(2)现公司需将30吨原料运往工厂，从甲、乙两仓库到工厂的运价分别为120元吨和100元吨.经协商，

从甲仓库到工厂的运价可优惠a元吨(10WaW30),从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运6吨原料到

工厂，请求出总运费w关于m的函数解析式(不要求写出小的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着小的增大，w的变化情况.

【答案】(1)甲仓库存放原料24吨，乙仓库存放原料21吨；(2)w=(20—a)m+3000；(3)见解析.

【分析】(1)根据某公司在甲、乙仓库共存放某种原料45吨，如果运出甲仓库所存原料的60%,乙仓库所

存原料的40%,那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多3吨，可以得到相应的二元一次方程组，从

而可以求得甲、乙两仓库各存放原料多少吨；

(2)根据题意，可以写出总运费w关于m的函数解析式；

(3)根据104aV30和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以解答本题.

【详解】(1)设甲仓库存放原料x吨，乙仓库存放原料y吨，

(x+y=45

1(1-60%)x+3=(1-40%)y

解得，

答：甲仓库存放原料24吨，乙仓库存放原料21吨；

(2)从甲仓库运m吨原料到工厂，则从乙仓库云原料(3