与反比例函数图象有关的拓展探究（解析版）

专题09与反比例函数图象有关的拓展探究

1.有这样一个问题：探究函数＞='+1的图像与性质.

X

小明根据学习一次函数的经验，对函数y=」+i的图像与性质进行了探究.

X

下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)函数y=：+i的自变量x的取值范围是；

(2)下表是＞与x的几组对应值.

X-4-3-2-i-mm1234

32345

y0-132

437234

求出机的值；

(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该

函数的图像；

5-

4-

(4)写出该函数的一条性质.

【答案】⑴xwO

⑵〃2

(3)画图见解析

(4)该函数没有最大值或该函数没有最小值

【分析】(1)由图表可知#0；

第1页共39页

(2)根据图表可知当y=-l时x=-m，把产・1,x=-m代入解析式求解即可；

(3)根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；

(4)观察图像即可得出该函数的其他性质，该函数没有最大值，没有最小值.

(1)

解：根据题意得：函数y=^+i的自变量x的取值范围是尤/0.

X

故答案为：x/0.

(2)

解：把苫=-加，y=-l代入函数y=1+l中得：1

x-m

7W=/即加的值为

(3)

解：画出函数图像如图所示：

(4)

解：观察函数(3)图像，可以发现该函数没有最大值，没有最小值.

即该函数的一条性质：没有最大值或没有最小值.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、反比例函数的图像等知识点，掌画出函数图像并从中

获取信息是解答本题的关键.

2.小聪在学习过程中遇到了一个函数y=13-2,小聪根据学习反比例函数y=3士的经验，对函数

xx

3

2的图像和性质进行了探究.他先通过列表，并描出如图所示的图像上的部分点.

第2页共39页

-LF—t--i--r-T-r-r-r-

」034K£344

厂一|一1一1一丁一丁一厂一厂-f"卜_-)_T-'F-T~r_r_r_r_i_n

i।।।ir।।♦i

(1)请你帮助小聪画出该函数的图像；

(2)该函数图像可以看成是由y=：的图像平移得到的，其平移方式为—；

3

(3)直接写出不等式——2＞-3的解集为—.

x

【答案】(1)见详解

(2)向下平移2个单位长度

(3)》＜-3或》＞0

【分析】(1)根据画函数图像的步骤画出图像即可；

(2)根据反比例函数的性质解答即可；

(3)根据反比例函数、=士的图像与性质，结合画出的函数图像即可得出结论.

X

(1)

解：画出函数图像如下：

第3页共39页

r

Tr

(2)

解：该函数图像可以看成是由『=上的图像平移得到的，其平移方式为向下平移2个单位长度.

X

故答案为：向下平移2个单位长度；

(3)

3

解：由图像可得，不等式一-2>-3的解集为x<-3或x>0.

x

故答案为：x<-3或x>0.

【点睛】本题只要考查了反比例函数的知识，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键.

2

3.类比学习反比例函数的过程与方法，进一步研究函数>=n的图象与性质，探究过程如下:

3\

\

—

13--10

___2

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_1_

X—3—2—1123

~2

22

m24421

y33

(1)①列表：其中，m的值为；

②如图，在平面直角坐标系中，根据描出的点.已画出部分图像，请补全函数图像：

③根据函数图象，写出该函数的一条性质.

(2)利用图像直接写出当yN2时，x的取值范围是_____.

【答案】(1)①1;②见解析；③当时，丁随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小(答

案不唯一)

⑵0cxW1或-IV尤<0

2

【分析】(1)①把x=-2代入了=H，即可求得加的值；②首先描点，再连线即可画得；③根据函数

图象即可写得；

(2)根据函数图象及表格即可求得.

(1)

2

解：①把尸-2代入y=H,

2,

得加=同=1，

故答案为：1;

故答案为：当尤<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小(答案不唯一);

(2)

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2

解：当yN2时，即»2,

0W

得小1,

0<x<l^c-l<x<0

故答案为：0<工41或-14”0.

【点睛】本题考查了画函数图象的方法，求函数的解析式，根据函数图象写出函数的性质，求自变

量的取值范围，采用数形结合的思想是解决此类题的关键.

6

4.某班“数学兴趣小组”对函数卜=口［的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补充完整.

(1)自变量x的取值范围是:

(2)下表是x与y的几组对应值.

X-6-5-4-3-2-1.5-111.223456

y11.2m234665321.51.21

求m的值；

(3)根据上表的数据将该函数图象补充完整并写出两条函数的性质；

(4)已知函数了=-”x+?的图象如图所示，请直接写出不等式-1x+的解集.

【答案】⑴x/O

(2)加的值为1.5

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(3)补充图象见解析，性质1：该函数图象关于y轴对称，性质2：当x>0时，y随x的增大而减小

(4)x<-l或1.5<x<5

【分析】(1)由分母不能为零，即可得出自变量x的取值范围；

6

(2)将x=-4代入>=凡计算即可；

(3)观察函数图象，找出该函数的另一条性质即可；

4266

(4)找出在x的那些范围之内，函数了=-=x+?的图象在函数V=「的图象的上方即可.

55国

(1)

x片0；

(2)

解：当x=-4时，>=占=1.5,

：.m的值为1.5；

(3)

解：性质1：该函数图象关于y轴对称，

性质2：当x>0时，y随x的增大而减小;

(4)

解：x<-l§K1,5<x<5

【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质、反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与

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不等式之间的关系，注意利用数形结合的思想是解此题的关键.

6

5.某“数学兴趣小组”对函数〉=「二可的图象与性质进行了探究，探究过程如下：请将其补充完整・

(1)绘制函数图象：

列表：下表是x与y的几组对应值，其中"2=，”=.

X......-4-3-2-100.5133.5456n8......

y......11.21.523m664321.51.21......

描点：根据表中各组对应值(x,y),在平面直角坐标系中描出了各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图，画出了部分图象，请你把图象补充完整;

①;②.

【答案】⑴4,7,图见解析

(2)①关于直线x=2对称；②当x<2时，y随x的增大而增大，当x>2时，y随x的增大而减小

【分析】(1)求出x=0.5时的函数值，求得函数值为1.2时的x的值即可求得加、”的值，然后利

用描点法画出函数图象即可；

(2)结合图象写出两个性质即可.

(1)

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6

解:当x=°.5时，》=一=4,

6

当产1.2时,1.2=尸，贝！］x=-3或x=7,

故加=4,n—1,

故答案为4,7.

函数图象如图所示:

⑵

解:①关于直线x=2对称，②当xV2时，y随x的增大而增大，当x>2时，y随x的增大而减小;

故答案为：关于直线x=2对称；当x<2时，y随x的增大而增大，当x>2时，y随x的增大而减

小.

【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，理解题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键.

2

6.某校九年级数学兴趣小组对函数>==+2的图象和性质进行探究，通过描点、连线的方式画

X-L

出了该函数的图象如图所示.请结合图象回答下列问题:

2

(1)①函数>=―7+2的自变量x的取值范围是______

x-l

第9页共39页

2

②请尝试写出函数》=-7+2的一条性质：______.

x-1

22

(2)经观察发现，将函数>=—的图象平移后可以得到函数〉=—；+2的图象，请写出一种平移方法.

xx-1

2

(3)在上述平面直角坐标系中，画出V=x+2的图象，并结合图象直接写出不等式一；+2Kx+2的

x-1

解集.

【答案】(1)①XW1；②在第一象限内，V随X的增大而减小.(答案不唯一)

(2)将y=4的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位(答案不唯一)

x

(3)见解析，-l<x<l^x>2

【分析】(1)①根据分母不为零可求；

②根据反比例函数图象的性质可得；

(2)按照函数平移规律即可求得；

(3)描点，连线画出该函数的图象，结合图象即可求得.

(1)

①xwl；

②在第一象限内，了随X的增大而减小.(答案不唯一，正确合理即可)；.

(2)

将>=—2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即可得到函数卜2=三+2的图象；(答

x尤一1

案不唯一，正确合理即可)；

(3)

在平面直角坐标系内画出y=x+2的图象:

第10页共39页

【点睛】本题考查的是反比例函数图象及其性质，掌握描点法画函数图象的方法，数形结合是解本

题的关键.

7.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数

性质的过程.结合已有经验，请画出函数y=的图象，并探究该函数性质.

(1)绘制函数图象

①列表：下列是X与y的几组对应值，其中0=.

X......-5-4-3-2-112345......

y......-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8......

②描点：根据表中的数值描点(x,y),请补充描出点(2,a)；

③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

(丁国的一条性质:

(2)探究函数性质，请写出函数＞=

(3)运用函数图象及性质

①写出方程?

-网=5的解.

②写出不等式义-卜区1的解集

【答案】(1)①1；②见解析，③见解析

(2)y=《-1x|的图象关于了轴对称轴(答案不唯一)

IXI

(3)①x=l或x=-l；②xW-2或xN2

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【分析】(1)①把02代入解析式即可得。的值；②③按要求描点，连线即可;

(2)观察函数图象，可得函数性质；

(3)①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案.

(1)

①列表：当x=2时，a=~~|21=1,

I，I

故答案为：1;

②描点，③连线如下：

(2)

观察函数图象可得：y=的图象关于y轴对称，

故答案为：>=；7刈的图象关于V轴对称；

(3)

①观察函数图象可得：当y=5时，x=l或％=-1,

同一国=5的解是》=1或x=-l,

故答案为：x=l或x=-l,

②观察函数图象可得，当烂-2或后2时，^<1,

：.^-\x\<l的解集是烂-2或x>2,

故答案为：立-2或众2.

【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获

取信息是解题的关键.

第12页共39页

8.“卓越数学兴趣小组”准备对函数>=—三-3图像和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：

(1)该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y=9的图像(如图1),

然后画出了>=—工-3的图像，请在图1中画出此图像(草图).

X+1

图①

(2)他们发现函数了=二-3图像可以由y=9的图像平移得到，请写出平移过程.

x+1X

(3)他们发现可以根据函数y=—1-3图像画出函数y=—J-3的图像，请在图2中画出此图像(草

x+1x+1

图)，并写出其中的两条函数性质.

第13页共39页

8

6

4

2

11Ii1IIA

—8—6—4—202468x

—2

—4

—6

-8

图②

(4)他们研究后发现，方程二-3="中，随着。的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合

图像，就。的取值范围讨论方程解的情况.

【答案】(1)见解析

(2)向左平移1个单位，再向下平移3个单位

⑶见解析

(4)当。<0时，方程无解；当。>3或0<。<3时，方程有两个解；当。=0或。=3时，方程有一个

解

【分析】(1)画出函数y=-3的图像即可；

(2)观察图像即可得到结论；

(3)作出函数值小于零的部分图像关于x轴的轴对称图形得到函数图像，然后根据图像写出两条

性质即可；

(4)分a<0,a=0或a=3,0<a<3或a>3三种情况，分别根据函数图像求解即可.

(1)

解：如图①所示即为所求.

第14页共39页

解：将y=9的图像向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得V,

-3的图像.

xx+i

(3)

解：函数图像如图②，性质如下(不唯一)：

①函数有最小值，最小值为0,

②当x>l时，y随着x的增大而增大，x<-l时，y随着x的增大而增大.

第15页共39页

图②

（4）

解：方程=-3=。中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化

当a＜0时，方程——-3=a无解；

x+1

当。＞3或0＜。＜3时，方程3二。有两个解；

当4=0或4=3时，方程37-3=。有一个解.

【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、反比例函数图像和性质、函数与方程的关系等知识点，

正确画出函数图像是解答本题的关键.

9.我们研究反比例函数图像平移后的性质.初步探究

44

（1）将反比例函数歹=—的图像向左平移一个单位，可以得到函数歹=—；的图像（如图①）,观察

图像，判断以下结论是否正确（正确的打y"，错误的打“X”）：

①该函数图像与〉轴的交点坐标是（0,4）；（）

②该函数图像是中心对称图形，对称中心是（一1,0）；（）

③当时，歹随X的增大而减小.（）

第16页共39页

①②

4

(2)在图②中画出函数歹=；-1的图像，根据图像写出其两条不同类型的性质;

x+1

(3)问题解决：若函数y=的图像可以由函数>=)的图像通过平移得到，求"?的值；

(4)深入思考：当心0时，对于任意正数比方程履+6=々均无解，直接写出a,b,左满足的数

量关系.

【答案】(1)①对；②对；③错

(2)图见解析，性质见解析

⑶加=6

(4)。-6+左=0

【分析】(1)通过观察图象，分析图象性质即可判断是否正确；

(2)利用5点作图法在坐标轴上描点即可作图；

(3)通过化简运算，结合题意，即可求证的值；

(3)由反比例函数无解时的性质，即可写出a,b,左满足的数量关系.

(1)

观察图可得，该函数图象与y轴的交点坐标是(0,4),故①Y；

该函数是反比例函数，是中心对称图形，对称中心易知是(-1,0),故②《

当时，y随x的增大而减小，当x<-l,y随x的增大而减小，但并不连续区间，故不为单

调递减，③错误；

故答案为：①4；②T；③x；

(2)

第17页共39页

函数图像如图所示.

>A

两条不同类型的性质是：

例如：

①当X＜一1时，y随x的四大而被小，当X＞一1时，y%的增大而减小;

②无论x取何值，图数值不等于一1;

③该图数图像与y轴的交点坐标是（0,3）；

④该图数图像与x轴的交点坐标是（3,0）；

⑤该函数图像是中心对称图形，对称中心是（一1,—1

⑥该函数图像是轴对称图形，对称轴是直线y=x和y—x—2.

（3）

2x+m2x+2+m—22x+2m-2_m-2

y=--------=-----------------=---------1--------=2-1--------

x+1x+1x+1x+1x+1

根据题意，得冽-2=4,

解得m=6.

(4)

,7ax

kx+b=-----

x+1

77ax+a-a-a

KX+17-------------6ZH--------,

X+lX+l

kx+6=qH-------,

x+1

,对于任意左，方程均无解，当x=・l时分式无意义,

/.a+k-b=0

第18页共39页

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质；正确作图、理解题意、综合分析是本题解题的关键.

10.商丘市睢县古称襄邑，西汉时期为全国织锦生产供应中心，朝廷专门在此设服官，负责文武大

臣官服供应.已知一块长方形织锦的两边长分别是2米与3米，现在要把这个长方形织锦按照如图

1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原长方形织锦的一边加长。米，另一边加长6米，可得。与

12

6之间的函数关系式6=---2,某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y

。+3

12

=---2,现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：

x+3

12

(1)类比反比例函数可知，函数歹=——一2的自变量x的取值范围是________，这个函数值y的取

x+3

值范围是.

1212

(2)“数学兴趣小组”进一步思考函数y=|——2］的图象和性质，请根据函数y=-^—2的图象(图

x+3x+3

12

2),画出函数》=|—2］的图象；

x+3

12

⑶根据函数y=|―—2］的图象，写出两条函数的性质；

x+3

12

(4)根据函数》=|—^—2］的图象解答下列问题：

x+3

12

①方程|——2|=0有个解，该方程的解是；

x+3

12

②如果方程|—一2|=。有两个不相等解，则a的取值范围是________.

尤+3

【答案】(1)**-3；-2

(2)见解析

(3)①函数有最小值，最小值为0；②当x>3时，了随x的增大而增大

(4)01,x=3；②40且存2

第19页共39页

12

【分析】(1)根据分式有意义的条件确定自变量x的取值范围，根据--^0,确定y的值即可;

x+3

(2)描点法作出函数图象；

(3)根据函数的图象，可得结论；

(4)①根据函数图象即可求解；②根据函数图象以及y的取值范围分析求解.

(1)

解:根据分式有意义的条件得，x+3/O,

12

所以X的取值范围为:工~3；因为「彳12=0,所以y=---2^-2,

x+3x+3

因此V的取值范围为:y工-2,

故答案为：**-3；yW-2.

(2)

由绝对值定义，将函数夕=12--2的图像在x轴下方的部分，

-x+3

观察函数图象可知:①函数有最小值，最小值为0；②当x>3时J随x的增大而增大.

(4)

12

①根据函数图象可知，|——一2|=0与x轴有1个交点，交点坐标为3,0),

x+3

12

・,・方程］——2|=0有1个解，该方程的解是％=3；

x+3

12

②故函数图象可得，如果方程|—有两个不相等解，

x+3

第20页共39页

由（1）可知-----2x2,贝［|。片2,

x+3

则a的取值范围是。＞0且存2.

【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，函数图象等知识，解题的关键是

正确画出函数图象，学会利用图象法解决问题.

11.参照学习函数的过程与方法，探究函数夕=土上丘加）的图象与性质，因为y=土上=1-4,

XXX

22

即＞=—4+1,所以我们对比函数》=—-来探究.

列表:

j_

X-4-3-2-11234

~27

__2j_2_2

124-4-2-1

yX3~2

_x-235]_

235-3-10

y%233~2

Y—2

描点：在平面直角坐标系中以自变量X的取值为横坐标，以＞=〜相应的函数值为纵坐标，描出

X

相应的点如图所示；

（1）请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；

（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当x＜0时，y随x的增大而；（“增大”或“减小”）

Y—22

②的图象是由＞=—-的图象向平移个单位而得到的：

xX

③图象关于点中心对称.（填点的坐标）

第21页共39页

x—2

(3)函数y=——与直线y=-2x+l交于点/,B,求A4O3的面积.

X

【答案】(1)见解析

(2)①增大；②上，1；③(0,1)

(3)1

【分析】(1)用光滑曲线顺次连接即可；

(2)①②③利用图象法即可解决问题；

(3)联立方程求出点/、8的坐标，由此即可解决问题.

(1)

解：函数图象如图所示：

(2)

①当x<0时，y随x的增大而增大；

②r-±2的图象是由的2图象向上平移1个单位而得到;

x尤

③图象关于点(0,1)中心对称.

故答案为：增大，上，1,(0,1)；

(3)

如图，记直线y=-2x+l与x轴的交点为0,

第22页共39页

y—2

根据题意得：—=~2x+l,解得：x=±l,经检验符合题意，

X

当x=1时,y=-2x+1=-1,

当x=-1时，y=-2x+l=3,

・•・交点为4(1,-1),5(-1,3),

当y=0时，-2x+l=0,%=；，

则。加，

1,,、1

：.SAAOB=-X(3+1)x-=l.

22

【点睛】本题考查的是画反比例函数的图象，反比例函数图象的平移，反比例函数的性质，坐标与

图形，一元二次方程的解法，熟练利用反比例函数的图象与性质解题是解本题的关键.

12.已知函数y=x+；(x>0),它的图象犹如老师的打钩，因此人们称它为对钩函数(的一支).下

表是〉与x的几组对应值：

j_]_j_

X1234

43T

3131

y4-2-m2-4-

432234

请你根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性

质进行探究.

(1)其中加=.

(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，已描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画

第23页共39页

出该函数的图象:

5

4

3

2

1

->

O12345

(3)根据画出的函数图像特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化规律:

序号函数图像的特征函数变化规律

示例在直线x=l右侧，函数图像当尤＞1时，了随X的增

1是呈上升状态大而增大

1111

5111

•111d

।।।C1\

4।।।卜2万］

।।।y=2-

*।।♦当户2时，.2

2函数预想经过点12)

3•111

।・'

111

2T।।

।।।

।।।①函数图像的最低点是(L2)

1।।।

।।।

।।।______4

O123/L5x在直线x=l左侧，函数图像

②

呈下降状态

【答案】⑴2

(2)作图见解析；

⑶①当x=l时，求得y有最小值2；②当0X1时，y随x的增大而减小.

【分析】(1)把x=l代入y=x+，即可求得加的值；

X

(2)根据图中的关键点用平滑的曲线画出图形即可；

(3)根据示例及图像即可得出答案.

(1)

第24页共39页

解：当x=l时，/=1+；=2,

故答案为2；

(2)

解：①。•,函数图像的最低点是。,2),

...当时，y有最小值2；

②由图像可得当0<xWl时，y随x的增大而减小.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，函数图象的画法，画出函数图象是解本题的关键.

13.某初中数学社团类比反比例函数的性质，利用网格坐标系对函数了=一寸的图像与性质进行

探究.其报告册上探究过程如下(小正方形的单位长度为0.5)：

(1)绘制函数图像，具体操作过程如下：

①列表：下表是x与的几组对应值，计算并填空；

]_35

X-2-10234

3T23

2

m123n4321

y3

②描点：根据表中各组对应值(x/),描出各点；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出图像;

第25页共39页

y\.

(2)通过观察图像，补全函数的部分性质：

①函数图像关于直线对称；

②函数图像与y轴的交点坐标是(，)；

2

③方程!一^=2022有个实数根；

1^-1|

2

(3)若直线N=1交函数y=~^的图像于4,3两点，连接CU,过点8作8C〃CU交X轴于点C,

|工一1I

贝US四边形0Z5C=•

【答案】(1)①：；4②见解析；③见解析；

⑵①x=l②(0,2)③2

(3)4

【分析】(1)①分别将当％=-2,尸g代入求解即可；②直接描点即可；③将点用光滑的曲线连接即

可；

(2)①根据所作的函数图像即可得出；②根据所作的函数图像即可得出；③根据所作的函数图像

即可得出；

(3)结合图像，得出四边形。N8C为平行四边形，求面积即可.

(1)

解：当％=-2时，

22

7-|-2-1|-3,

/.«=-；

3

第26页共39页

当x=；时,

:・〃=4；

(2)

①根据图像可得：函数图像关于直线尸1对称；

②函数图像与y轴的交点坐标为(0,2)；

③结合图像可得：当y=2022时，存在两个实数根;

故答案为：①x=l;②(0,2)；③2；

(3)

解：如图所示，

第27页共39页

四边形O/8C为平行四边形，

面积S=4xl=4,

故答案为：4.

【点睛】题目主要考查利用描点法画函数图像及探究新的函数图像的性质，网格求面积等，理解题

意，运用学过的知识点进行求解是解题关键.

14.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性

4

质的过程.以下是我们研究函数了=—；性质及其应用的部分过程：

x-1

(1)画函数图象：

列表：

X-3-2-102345

_4

y-1-2a42b1

直接写出上表中。，6的值：a=；b=；并描点、连线得到函数图象:

第28页共39页

4

(2)观察函数了=—；的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

①该函数图象由两支曲线组成，两支曲线分别位于第一、三象限内;

②该函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；

③y的值随x值的增大而减小；

④该函数最小值为-4,最大值为4.

其中错误的是;(请写出所有错误命题的序号)

(3)结合图象，直接写出不等式‘>-1的解集：______.

x-1

4

【答案】(1)-4,函数图象见解析

⑵①③④

(3)x<-3或x>l

【分析】(1)利用函数解析式分别求出x=0和x=4对应的函数值；然后利用描点法画出图象即可;

(2)依据函数图象，即可得到函数的性质;

(3)利用图象即可解决问题.

(1)

4

解：把x=0代入y=——;得，y=-4,

x-l

4,4

把x=4代入y=----^得，y=—,

x-l3

4

••q=-4，b=一,

3

第29页共39页

画出函数图象如图:

4

故答案为：-4,—；

(2)

4

解：观察函数歹=—7的图象，

①该函数图象由两支曲线组成，两支曲线分别位于第一、三、四象限内；原命题错误；

②该函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；命题正确；

③函数的增减性不是连续的；原命题错误；

④该函数既无最大值也无最小值.原命题错误；

综上，错误命题有：①③④；

故答案为：①③④；

(3)

4

解：由图象可知，函数了=—；与直线y=-l的交点为(-3,-1),

x-l

；・不等式弓4>-1的解集为x<-3或1.

x-1

故答案为：x<-3或x>l.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，数形结合是解

题的关键.

15.某班数学兴趣小组对函数y=x+，的图象和性质进行了探究，探究过程如下：

X

(1)绘制函数图象

①列表：下面是X与y的几组对应值，其中〃7=.

第30页共39页

_1_£

X-4-2-1124

~25

y-4--2--2-2--5-2-m2-4-

42255224

②描点：根据表中的数据描点（尤/）,请补充描出点（1,加）;

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整;

（2）探究函数性质

按要求填写函数性质：

①对称性：.

②最值：x<0时，此函数有最值（填大或小）

③增减性：若夕随x增大而减小，则x的值范围是.

（3）函数图象和性质的运用

已知矩形一边的长为x,面积为1,相邻两边之和为乃当尤=时，y有值最小.

【答案】（1）①2；②描点见解析；③画图见解析；

（2）①函数y=x+，的图象关于原点成中心对称；②大；③-l<x<0或0<x<l.

X

（3）1

【分析】（1）①把x=l代入函数解析式丫=*+工进行计算即可；②直接在坐标系内描点即可，③利

X

用平滑的曲线连第一象限接各点即可，

第31页共39页

（2）①根据函数的图象可得答案；②根据函数在第二象限的图象可得答案；③根据函数的图象可

得x<-l或0<x<l时，y随x增大而减小；

（3）先表示矩形的另外一边，再得到函数关系式为y=x+,，再结合（1）（2）可得答案.

X

（1）

解：①当X=1时，”2=1+1=2.

②描点如图，

③利用平滑的曲线连接各点如下图，

⑵

解：①对称性：函数y=x+L的图象关于原点成中心对称；

X

②最值：x<0时，此函数有最大值；

③增减性：若y随x增大而减小，则x的值范围是-l<x<0或0<x<l.

（3）

解：；矩形N3CD一边的长为x,面积为1,

•••矩形的另一边为工，

X

\1

\y=x+-,

X

由（1）得：当x>0时，当x=l时，函数V的最小值为2.

【点睛】本题考查的是画函数的图象，根据函数的图象总结函数的性质，以及利用函数的图象解决

问题，掌握“画函数图象的基本步骤”是解本题的关键.

16.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数.下

第32页共39页

面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数

_2

y=\x的图象与性质.列表:

k-11

_5_335

X-3-2-10123

~2~2~222

2443j_3

y121012

35322

描点：在平面直角坐标系中，以自变量X的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相

应的点，并连线，如图所示.

研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

75

(1)点/(-5,yi),5(--,y2),C(xi，-DCx2,6)在函数图象上，则yi__________竺,

XI位;(填“>”，"=”或“<”)

(2)当函数值y=2时，自变量x的值为；

(3)在直线X=—\的右侧的函数图象上有两个不同的点P(%3，>3)，Q(X4,丫4)，且，贝UX3

+X4的值为；

(4)若直线>与函数图象有三个不同的交点，则。的取值范围为.

【答案】(1)<，<

(2)工=3或尤=—1

(3)2

(4)0<〃<2

725

【分析】(1)分别确定点N(―5,以)，B(—―,y2)在函数歹=—图象上，点C(xi,—),D

2x2

(X2,6)在函数v=|x-l|图象上，再根据函数的性质进行判断即可；

(2)当函数值y=2时，分别带到分段函数中进行计算即可；

第33页共39页

(3)由图可知，当T〈x〈3时，点关于直线x=l对称，即可进行求解；

(4)根据图象作答即可.

(1)

7?

点/(―5,竺)，B(­-,y)在函数了=-一图象上，y随x的增大而增大

22x

必<〉2

点C(X/,|),D(X2,6)在函数>图象上，当X>1时，了随X的增大而增大

/.演<x2

故答案为：<,<

(2)

2

当函数值y=2时，2=—,解得x=T

x

当函数值y=2时，2=|x-l|,解得x=3或x=-l

综上，自变量x的值为x=3或x=-l

故答案为：x=3或尤=-1

(3)

・•・在直线x=~l的右侧的函数图象上有两个不同的点P(右，/)，Q(打，以)

...当T<x<3时，点关于直线x