直角三角形和勾股定理-2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第四单元三角形

《第19讲直角三角形和勾股定理》

【知识梳理】

1.直角三角形

(D定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

(2)直角三角形的性质：

①直角三角形的两个锐角互余.

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的

③在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半.

(3)直角三角形的判定：

有两个角互余的三角形是直角三角形.

2.勾股定理及其逆定理

(1)勾股定理:如果跖5为直角三角形的两条直角边的长，C为斜边的长，那么层+方2=。2.

(2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为a,b,c(aWb〈c),并且满足上士父,

那么这个三角形是直角三角形.

(3)勾股数:能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数.

【考题探究】

类型一直角三角形的性质的运用

【例1】如图，在RtZkABC中，。为斜边AC的中点，E为BDk一点、,R为CE的中点.若AE=

AD,DF=2,则3。的长为(D)

例1图

A.2V2B.3

C.2V3D.4

【解析】•.•。为斜边AC的中点，F为CE的中点，。？=2,

：.AE=2DF=4.

又•.•AE=AZ>,：.AD=4.

在RtAABC中，。为斜边AC的中点,

：,BD=lAC=AD=4.

变式1—1如图，在AABC中，ZB=45°,ZC=60°,ADLBC于点。，BD=a.若E,R分别

为AB,3c的中点，则ER的长为（C）

A.立B.—

32

C.1D.渔

2

【角翠析】'：AD±BC,

：.ZADB=ZADC=90°.

又•.•N5=45°,.•.△A5。是等腰直角三角形,

:.AD=BD=g

VZC=60°,ZAZ>C=90°,：.ZCAD=3Q°,

AT-）

：.DC=^=1,：.AC=2DC=2.

■\

又YE,F分别为AB,5c的中点，：.EF=^AC=1.

变式1—2[2023•凉山州]如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A,3分别在两条射线

OM,ON上滑动，若OMLON,则。C的最大值是1+%

变式1—2答图

【解析】如答图，取A5中点。，连结0。，DC.

'：&ABC为等边三角形，。为A5中点，

：.BD=1,BC=2,：.CD=JBC2-BD2=V3.

,.•△A05为直角三角形，。为斜边A5的中点，

：.0D=^AB=l,：.0D+CD=l+y/3.

易知0C^0D+DC,

,当点。，D,。共线时，0c有最大值，最大值是0D+CD,

即。。的最大值为1+V3.

类型二勾股定理及其应用

【例2】［2024•吉林］图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深

度，其示意图如图2,其中AB=A£,于点C,3c=0.5尺，3c=2尺.设AC的长度为

x尺，可列方程为x2+22=(x+0.5)2.

Q

诗文：波平如镜一湖面，半尺高

处生红莲。亭亭多姿湖中立，突

遭狂风吹一边。离开原处二尺远,

花贴湖面似睡莲。

图1图2

例2图

变式2《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今

有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”其意思是:有一根与地面垂直且高一丈的竹

子（1丈=10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺.问折断处

与地面的距离为几尺?计算可知折断处与地面的距离为（B）

A.5.45尺B.4.55尺

C.5.8尺D.4.2尺

类型三勾股定理的面积关系

【例3][2025•预测]如图，数字代表所在正方形的面积，则4所代表的正方形的面积为100.

变式3勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,

以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把两个较小的正方形按图2的方式放置在最大

的正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（C）

A.直角三角形的面积

B.最大正方形的面积

C.两个较小的正方形重叠部分的面积

D.最大的正方形与直角三角形的面积和

【解析】设直角三角形的斜边长为c,较长的直角边为人较短的直角边为a,

则由勾股定理，<c2=a2+b2,

阴影部分的面积=。2—小―以。一》）=*—ac+aZ>=a（a+〃-c）.

•两个较小的正方形重叠部分的宽=a+Z>—c,长=々,

两个较小的正方形重叠部分的面积=a（a+Z>—c）=阴影部分的面积.故选C.

类型四平面展开最短路径问题

【例4】（1）如图，圆柱的底面直径为AB,高为AC一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处.

现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（C）

（2）［2024•绍兴模拟］如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯

口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P,小虫离

杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（B）

A.履厘米B.10厘米

C.8/厘米D.8厘米

例4（2）图

例4(2)答图

【解析】如答图，将圆柱展开，最短距离为F4'的长.

PA'=JPE2+EA'2

=J(164-2)2+(6-1.5+1.5)2

=10(cm),

，最短路程为PA—10cm.

变式4如图是一块长、宽、高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块.若一只蚂蚁要从长方体

木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和点A相对的顶点5处吃食物，则它需要

爬行的最短路程为一屉_cm.

【解析】分三种情况讨论:

图1图2图3

变式4答图

①如答图1,AB=j32+102=V109(cm).

②如答图2,AB=j42+92=V97(cm).

③如答图3,A3=62+72=V85(cm).

,.,785<797<7109,

,它需要爬行的最短路程为cm.

类型五勾股定理的逆定理

[例5][2023•安徽]清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的

计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角

形，得出了一个结论:如图，AD是锐角三角形ABC的高，则3D=；（BC+隼空）.当A3=7,

2\DC1

BC=6,AC=5时，CD=1.

变式5[2023•泸州]《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a,b,c

的计算公式:“=玄源一〃2）,b=mn,c=|（m2+«2）,其中机>”>0,m,〃是互质的奇数.下列四组

勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（C）

A.3,4,5B.5,12,13

C.6,8,10D.7,24,25

【解析】当初=3,〃=1时，a=4,b=3,c=5,A不合题意.

当m=5,〃=1时，a=12,b=5,c=13,B不合题意.

当m=7,〃=1时，a=24,b=7,c=25,D不合题意.

\"m,”是互质的奇教，.•.》/“是奇教，；.没有符合条件的机，〃使a,b,c各为6,8,10,C

符合题意.

类型六赵爽弦图

[例6][2024•眉山]如图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的

“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为

4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为（D）

图1图2

例6图

A.24B.36

C.40D.44

【解析】设直角三角形的两直角边长为a,b,斜边长为c.

•图1中大正方形的面积是24,

^.a2+b2=c2=24.

•.•小正方形的面积是4,

：.(a-b)2=a2+b2~2ab=4,

ab=10?

■\

图2中大的正方形的面积为^+4X^=24+2X10=44.

变式6—1[2023•扬州]我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人

称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的

直角边长分别为a,b,斜边长为c,若6—a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为96.

【解析】每个直角三角形的面积=——=96.

4

变式6—2勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾

股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图2由弦图变化得到，

它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的

面积分别为Si,S2,S3.若正方形ERGH的边长为4,则Si+S2+S3=48.

D

H

图1图2

变式6—2图

【解析】设八个会等的直角三角形的长直角边为a,短直角边为人

则Si=(a+b)2,S2=a2+b2,S3=(a-b)2.

又,.,a2+"=EF2=i6,

222222

.•.Si+S2+S3=(a+Z>)+a+Z>+(a-Z>)=3(a+Z，)=48.

【例7][2024•浙江]如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(ZkABE,ABCF,△CDG,

△D4H)和中间一个小正方形ERGH组成，连结DE.若AE=4,BE=3,则DE=(C)

例7图

A.5B.2V6

C.V17D.4

【解析】VRtADAH^RtAABE,

：.DH=AE=4,AH=BE=3,

：.EH^AE~AH=4~3^1.

,：四边形EFGH是正方形，

：.ZDHE=90°,

：.DE=\DH2+EH2=42+l2

=V17.

变式7—1[2023•杭州]第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数

学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形(△D4E,XABF,ABCG,△CDH)和中间

一个小正方形ERGH拼成的大正方形A3CD中，ZABF>ZBAF,连结BE.设NB4R=a,ZBEF

=用，若正方形ERGH与正方形A3CD的面积之比为1：〃，tana=tan2外贝lj〃=(C)

变式7—1图

A.5B.4

C.3D.2

【解析】设AE=a,DE—b1贝UBF—a?AF—b.

Vtan«=ptantana=tan2)?,

.*=(2)2,

b\b~aj

：.(b—d)2=ab,

a2,+b2=3ab.

2222

,:a+b=AD=S正方形ABCD，(b-a)=S正方形EFGH，

:正方形EFGH:S正方形ABCD=ab:3ab=l:3，

：•n=3.

变式7—2[2023•黄冈]如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵

爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中A尸=〃，

DF=b,连结AE,3E.若"DE与ABEH的面积相等，则(+玛=3.

azb乙

BC

变式7—2图

【解析］\"AF=a,DF=b,

：.ED=AF=a,EH=EF=DF—DE=b~a.

***AADE与ABEH的面积相等，

11

：.-DE•AF=-EH•BH,

22

/.|a2=|(Z>—a)•b,

:.a2=b2—ab,

斛得3=等（负值舍去），

A+=

3S（学）+（高）=二

变式7—3[2024•武汉]如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图

它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形A3CD直线交

正方形ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的面积为Si,正方形MNPQ的面积为S2.若BE

=kAE（k>l）,则用含左的式子表示詈的值是合4_.

S2一

【解析】如答图，过点A作AG〃5尸交FE的延长线于点G,

：AG//BP,ZAGE=ZBPE=45°,AAGESABPE,

,AG_AE_1

,,BPBEk

设AG=L则5尸=左

VZNMP=45°,：.ZAMG=45°,：.AM=AG=1.

■:AN=BP=k,：.MN=k~l.

2

'：S^AD^AJ^+MD^l^+l,S2=MN=(k-iy,

.Si_fc2+l

..卫一(kT产

【例8］［浙教八上P77T2改编］如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形.已知这三个正方

形构成的图形中，深色部分的面积与浅色部分的面积相等，则zyRC一定是直角三角形.

【解析】如答图所示标注边和面积.

深色部分的面积=从一Si+a2—Sz,

浅色部分的面积=S3+S4=—(Si+S2).

,/深色部分的面积与浅色部分的面积相等，

S1+，一§2=C2—(S1+S2),即b2+a2=c2,

...△A5C一定是直角三角形.

变式8［2023•金华］如图，在RtA4BC中，ZACB=9Q°,以其三边为边在A3的同侧作三个正

方形，点R在GH上，CG与ER相交于点P,CM与3E相交于点。若板=RG,则券型磔的

S正方形2BEF

值是(B)

G

£E

M

\

AB

变式8图

A.-B.i

45

C.—D.-

1225

【角星析】被.HF=x,贝UFG=x,AH=AC=HG=2x.

'：ZH=90°,：.AB=BE^FA=y［Sx.

又•.,NAC5=90°,：.BC=HF=x.

'：AF//BE,：.ZFAC=ZBQC.

又易知N/Mb+NE4C=90°,ZBQC+ZCBQ^90°,

:./HAF=/CB。,

：.—=tanZCBQ=tanZHAF=—=：.PE=—x,

BE上AH22

===

**•S^,BPE~X—X*V5X~X^S正方形ABEF»

2244

VZPBE=ZQBC,ZBCQ=ZE=90°,

：.ABQC^ABPE,

.SABQC_/B£\2_1

S^BPE\BE）5’

:四边形==正方形

c

0»四边形PCQE_1

即^----------?

正方形4BEF》

【课后作业】

1.［经题］已知a,。,c是"BC的三条边长,则下列条件不能判定"BC为直角三角形的是（D）

A.ZA+ZB=ZC

B.a2—Z?2=c2

C./A—/B=/C

D.（a一份（次+庐一/）=o

2.［2023•株洲］一技术人员用刻度尺（单位:cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知NAC3

=90°,。为边AB的中点，点A,5对应的刻度分别为1,7,则8=(B)

A.3.5cmB.3cm

C.4.5cmD.6cm

3.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三

斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是:有一块三角形沙

田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积有多大?题中“里”是我国市制长

度单位，1里=500m,则该沙田的面积为(A)

A.7.5km2B.15km2

C.75km2D.750km2

【解析】V52+122=132,•••该沙田的形状为直角三角形，工这块沙田的面积为

1X(5X0.5)X(12X0.5)=7.5(km2).

4.［2023•河北］如图，在RtZkABC中，A3=4,M是斜边3C的中点，连结AM,以AM为边作

正方形若S正方形16,则S”BC=(B)

第4题图

A.4V3B.8V3

C.12D.16

［解析】•/四边形AMEF是正方形，且S正方衫AMEF=16.

.,.AM2=16,：.AM=4.

在RtAABC中，M是斜边5c的中点,

1

：.AM=-BC,：.BC=8.

2

在RtZkA5c中，'：AB=4,BC=8,

：.AC=BC2~AB2=4V3,

：.SAABC=^AB•AC=8V3.

5.[2023•重庆B卷]如图，在△ABC中，AB=AC,AD是3c边的中线，若AB=5,BC=6,则

AD的长为4.

【解析】'：AB=AC,4。是边5c的中线,

：.AD±BC,/.ZADB=9Q°.

'：AB=5,BC=6,：.BD=CD=3.

在RtZkAB。中，由勾股定理，得AD=*B2-BD2=4.

6.如图，在AABC中，ZACB=90°,D,E,R分别为边A3,BC,C4的中点.若ER的长为10,

则CD的长为10.

［解析】•:E,F分别为边BC,CA的中点，

是△A5c的中位线，

1

：.EF=-AB,：.AB=2EF=20.

2

•:在RtAABC中，NAC5=90°,。为边A5的中点，

1

：.CD=-AB=10.

2

7.《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，

适与岸齐，问水深、葭长各几何?”题意是:有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵

芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分3C为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向

岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的。处(如图)，求水深和芦苇长各多少尺.该问题中的水

深为12尺.

第7题图

【解析】设芦苇长AC=AC，=x尺，则水深A5=(x—1)尺.

,/水面宽10尺，C'B=5尺.

在RtAlC'5中，由勾股定理，

<x2=52+(x—I)2,解得x=13,

Ax—1=12,即水深为12尺.

8.[2024•新疆]如图，在RtA43C中，ZC=90°,ZA=30°,AB=8.若点。在直线A3上(不与

点A,3重合)，且N3CD=30。，则AD的长为6或12.

第8题图

【解析】在RSA5C中，ZA=30°,A5=8,

1

：.BC=-X8=4,

2

.•.AC=82—42=471

当点。在点5左上方时，如答图1.

第8题答图1

'：ZACB=9Q°,ZA=30°,：.ZABC=60°.

又=N5CD=30°,:.N5DC=60°-30°=30°,

：.BD=BC=4,：.AD=8+4=12;

当点。在点5的右下方时，如答图2.

第8题答图2

VZABC=60°,N5CD=30°,AZC£>A=90°.

在RtAACD中，cosA=—,

：.AD=AC•cosA=4V3Xy=6.

综上所述，AD的长为6或12.

9.如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如

图2),得到大、小两个正方形.

(1)用含a的代数式表示图2中小正方形的边长.

(2)当。=3时，该小正方形的面积为多少？

第9题图

解：(1);直角三角形较短的直角边长为2a^2=a,较长的直角边长为2a+3,

.••图2中小正方形的边长为2a+3—a=a+3.

(2)当a=3时，S小正方衫=(a+3>=(3+3)2=36.

10.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AD平分NC4B,DELA3于点E,AC=6,3c=8.求:

⑴DE的长.

(2)AADB的面积.

A

C

第10题图

解平分NC45,DELAB,ZC=90°,

：.DE=CD.

5^'：AD=AD,

:.RtAACD^RtAAED(HL),

：.AE=AC=6.

又丁在RSA5C中，AB=JAC2+BC2=10,

：.BE=AB~AE^4.

■i支DE=CD=x,则BD=8~x.

VARtAEDB中，。S2+5/=5。2,

x2+42=(8—x)2,解得x=3,

：.DE=3.

(2Y：DB=CB-CD=5,

11

：.SAADB=^AC•DB=jX6X5=15.

11.[2024•安徽]如图，在Rt^ABC中，AC=BC=2,点。在A3的延长线上，且CD=A3,则

3。的长是(B)

A.V10-V2B.V6-V2

C.2V2-2D.2V2-V6

[解析】如答图，过点。作CH,A5于点H.

"：AC=BC=2,NAC5=90。，CH±AB,

：.AB=2y[2,AH=BH=CH=42.

,:CD=AB=2近,：.DH=JcD2-CH2=2=瓜

:.DB=DH—BH=^-0.权理B.

12.［2023•济宁］如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位，点A,B,C,D,

E均在小正方形方格的顶点上，线段A3,CD相交于点F若/CFB=a,则NA5E等于（C）

A.180°-ctB.1800-2ct

C.90°+aD.90°+2a

［解析】如答图，过点5作5G〃CD,连结EG.

".,BG//CD,：.ZABG=ZCFB=a.

:50=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34,

^BC?+B^EG2,

：.ABEG是直角三角形，；.NGBE=90°,

，NA5E=ZGBE+ZABG^90°+a.

13.［2023•广安］如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm

的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm