中考数学复习：四边形压轴综合问题（共24题）

专题33四边形压轴综合问题（共24题）

一、解答题

1.（2022•甘肃兰州•中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,

在正方形A8CD中，E是8C的中点，AE1EP,EP与正方形的外角△DCG的平分线交于尸点.试猜想AE

与砂的数量关系，并加以证明；

图3

（1）【思考尝试】同学们发现，取A3的中点R连接所可以解决这个问题.请在图1中补全图形，解答老

师提出的问题.

（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在正方形ABC。中,

E为BC边上一动点、（点£,2不重合），AAEP是等腰直角三角形，NAEP=90。，连接CP,可以求出

NDCP的大小，请你思考并解答这个问题.

（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形

A8CD中，E为BC边上一动点（点E,B不重合），△4EP是等腰直角三角形，^AEP=90°,连接。尸.知

道正方形的边长时，可以求出AADP周长的最小值.当4B=4时，请你求出A/IDP周长的最小值.

2.（2022・广东广州•中考真题）如图，在菱形A8CD中，ZBAD=120°,AB=6,连接8。.

D

⑴求8。的长；

（2）点E为线段3。上一动点（不与点2,。重合）,点尸在边上，且BE=«D尸,

①当C£LAB时，求四边形ABEF的面积；

②当四边形ABE尸的面积取得最小值时，CE+Wb的值是否也最小？如果是，求CE+百b的最小值；如

果不是，请说明理由.

3.（2022.上海・中考真题）平行四边形4BCD,若P为BC中点，4P交BD于点E,连接CE.

⑴若AF=CE,

①证明4BCD为菱形；

②若=5,AE=3,求BD的长.

（2）以4为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F,且CE=若尸在直线

CE上，求黑的值.

DC

4.（2022.黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去

发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣

如图①，在矩形A8C。中，点E、F、G分别为边BC、AB、AO的中点，连接EF、DF,H为。尸的中点，

连接GH.将△BEF绕点B旋转,线段。RGH和CE的位置和长度也随之变化.当△8EF绕点8顺时针旋

转90。时，请解决下列问题：

⑴图②中，AB=BC,此时点£落在AB的延长线上，点尸落在线段8c上，连接AF,猜想G”与CE之间的

数量关系，并证明你的猜想；

（2）图③中，AB=2,BC=3,贝|瞿=_________；

CE

⑶当AB=m,BC=n时.也=.

CE

（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC,并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）.点M、N分

别在AC、8C上，连接MN,将ACMN沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分

ZAPN,则CM■长为.

5.（2022・吉林长春・中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，

矩形力BCD为它的示意图.他查找了44纸的相关资料，根据资料显示得出图①中4。=近48.他先将A4纸

沿过点A的直线折叠，使点8落在力D上，点8的对应点为点E,折痕为4尸；再沿过点尸的直线折叠，使点

C落在EF上，点C的对应点为点H,折痕为FG；然后连结4G,沿4G所在的直线再次折叠，发现点。与点尸

重合，进而猜想AADG三△AFG.

【问题解决】

(1)小亮对上面AADGmAAFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形力BCD是矩形，

：.^BAD=NB="==90°.

由折叠可知，^BAF=^ABAD=45°,^BFA=/.EFA.

：./LEFA=4BFA=45°.

-"-AF=V2AB=AD.

请你补全余下的证明过程.

【结论应用】

(2)N£MG的度数为_______度，胃的值为_________；

AF

⑶在图①的条件下，点尸在线段2F上，且4P=|4B,点。在线段4G上，连结FQ、PQ,如图②，设4B=

a,贝UFQ+PQ的最小值为.(用含a的代数式表示)

6.(2022・吉林长春・中考真题)如图，在［34BCD中，AB=4,2D=BO=g,点M为边力B的中点，动点

产从点A出发，沿折线2D-DB以每秒g个单位长度的速度向终点8运动，连结PM.作点A关于直线PM

的对称点4,连结AP、A'M.设点尸的运动时间为t秒.

(1)点D到边力B的距离为；

(2)用含r的代数式表示线段OP的长；

(3)连结AD,当线段4D最短时，求△口「4的面积;

(4)当〃、4、C三点共线时，直接写出f的值.

7.(2022•山东临沂・中考真题)已知△ABC是等边三角形，点8,。关于直线AC对称，连接A。，CD.

⑴求证：四边形ABC。是菱形；

(2)在线段AC上任取一点P(端点除外)，连接PZ).将线段尸。绕点尸逆时针旋转，使点。落在BA延长线

上的点0处.请探究：当点尸在线段AC上的位置发生变化时，NDPQ的大小是否发生变化？说明理由.

⑶在满足(2)的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明.

8.(2022•内蒙古通辽•中考真题)已知点E在正方形力BCD的对角线4c上，正方形4FEG与正方形4BCD有公

共点力.

(1)如图1,当点G在力。上，尸在48上，求石茄的值为多少；

⑵将正方形MEG绕4点逆时针方向旋转旗0。<a<90。)，如图2,求：工的值为多少；

DG

(3)48=8应，AG=^AD,将正方形AFEG绕4逆时针方向旋转a(0。<a<360。)，当C,G,E三点共线时,

请直接写出DG的长度.

9.(2022・广西・中考真题)已知Z_MON=a,点A,8分别在射线。M,ON上运动，AB=6.

图①图②图③

(1)如图①，若a=90。，取AB中点。，点A,B运动时，点。也随之运动，点A,B,。的对应点分别为

A'.B'.D',连接。判断OO与。D'有什么数量关系?证明你的结论：

(2)如图②，若a=60。，以A3为斜边在其右侧作等腰直角三角形A3C,求点。与点C的最大距离：

(3)如图③，若a=45。，当点A,2运动到什么位置时，△40B的面积最大?请说明理由，并求出△408面积

的最大值.

10.(2022・辽宁・中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=2V5,BC=4,D,E,尸分别为4C,AB,BC的中

点，连接。民DF.

图1

(1)如图1,求证：DF=—DE;

2

(2)如图2,将NEDF绕点。顺时针旋转一定角度，得到NPDQ,当射线DP交力B于点G,射线DQ交BC于点N

时，连接FE并延长交射线DP于点判断FN与EM的数量关系，并说明理由;

(3)如图3,在(2)的条件下，当DPIAB时，求DN的长.

11.(2022.贵州贵阳.中考真题)小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

如图，在LL4BCD中，AN为BC边上的高，半=机，点M在2D边上，且BA=BM,点E是线段AM上任意一点,

AN

连接BE,将AABE沿BE翻折得AFBE.

图①图②备用图

⑴问题解决：

如图①，当NBAD=60。，将△ABE沿BE翻折后，使点尸与点M重合，则普=;

(2)问题探究：

如图②，当NB4D=45。，将△ABE沿BE翻折后，使求”BE的度数，并求出此时小的最小值;

(3)拓展延伸：

当NBAD=30。，将AABE沿BE翻折后，若EF1AD,且AE=MD,根据题意在备用图中画出图形，并求出

小的值.

12.(2022•辽宁营口•中考真题)如图1,在正方形力BCD中，点M为CD边上一点，过点〃作MN1CD且

DM=MN,连接DN,BM,CN,点P,。分别为BM,CN的中点，连接PQ.

图1图2

⑴证明：CM=2PQ；

⑵将图1中的△DMN绕正方形A8CD的顶点。顺时针旋转a(0。<a<360°).

①(1)中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；

②若4B=10,。"=2近，在ADMN绕点。旋转的过程中，当B,M,N三点共线时，请直接写出线段PQ的

长.

13.（2022・福建・中考真题）已知AaBC三ADEC,AB=AC,AB>BC.

图1图2图3

（D如图1,CB平分/ACZ）,求证：四边形ABAC是菱形；

（2）如图2,将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于NBAC）,BC,的延长线相交于点F,

用等式表示NACE与/EFC之间的数量关系，并证明；

（3）如图3,将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于NABC）,若乙BAD=ABCD,求/AO8的

度数.

14.（2022・湖南永州•中考真题）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地力、B、C、。四个位置安装四

个自动喷酒装置（如图1所示），A、8、C、。四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管

将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）.

方案一：如图2所示，沿正方形4BCD的三边铺设水管；

方案二：如图3所示，沿正方形4BCD的两条对角线铺设水管.

（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；

（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），

图1图2图3图4

满足乙4EB=NCFD=120。，AE=BE=CF=DF,EF|“D、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的

方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由.（参考数据：V2«1.4,j3«1.7）

15.（2022・江苏常州•中考真题）在四边形4BCD中，。是边BC上的一点.若404B三△OCD,则点。叫做该

四边形的“等形点”.

D

BoC

（1）正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；

（2）如图，在四边形4BCD中，边BC上的点。是四边形4BCD的“等形点”.已知=4近，0A=5,BC=12,

连接4C,求4C的长；

（3）在四边形EFGH中，EH//FG.若边FG上的点。是四边形EFGH的“等形点”，求工的值.

16.（2022•四川内江・中考真题）如图，在矩形A8CE（中，AB=6,BC=4,点M、N分别在A8、A。上，且

点E为C。的中点，连接8E交MC于点?

（1）当尸为BE的中点时，求证：AM=CE；

Q哈2,求黑的值；

（3）若MN〃:BE,求募的值.

17.（2022•贵州铜仁・中考真题）如图，在四边形4BC0中，对角线4C与BD相交于点O,记△C0D的面积为

Si，△4。8的面积为52.

⑴问题解决：如图①，若ABHCD,求证：金=鬻

02U/l'UD

（2）探索推广：如图②，若48与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由.

（3）拓展应用：如图③，在。力上取一点£,使。E=OC,过点“作后勺户。交0D于点E点X为的中点,

0H交EF于点G,且0G=2GH,若篙=|,求，值.

18.（2022•黑龙江哈尔滨•中考真题）已知矩形ZBCO的对角线ZC,BD相交于点。，点E是边2D上一点，连

接BE,CE,OE,且BE=CE.

（D如图1,求证：4BEOmXCEO；

⑵如图2,设BE与4C相交于点忆CE与BD相交于点”，过点。作4C的平行线交BE的延长线于点G,在不

添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形(AAEF除外)，使写出的每个三角形的面积都

与AAEF的面积相等.

19.(2022・四川成都・中考真题)如图，在矩形48CD中，AD=nAB(,n>1),点E是4。边上一动点(点E不

与2,。重合)，连接BE,以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG,使得矩形EBFGs矩形48CD,EG交直

(1)【尝试初探】在点E的运动过程中，△力BE与始终保持相似关系，请说明理由.

(2)【深入探究】若71=2,随着E点位置的变化，”点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求

tan/ABE的值.

(3)【拓展延伸】连接BH,FH,当是以为腰的等腰三角形时，求tan/HBE的值(用含n的代数式表

示).

20.(2022•内蒙古赤峰•中考真题)同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中

我们研究过的两个图形.受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

(1)【问题一】如图①，正方形4BCD的对角线相交于点。，点。又是正方形力iBiG。的一个顶点，。4交2B于

点E,OC1交BC于点F,贝ME与BF的数量关系为；

(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线小、n经过正方形4BCD的对称中心。，直线小分别与

AD,BC交于点E、F,直线九分别与AB、CD交于点G、H,且租1n,若正方形ABCD边长为8,求四边形

0E4G的面积；

(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形4BCD的边CD上，顶点E在

BC的延长线上，且BC=6,CE=2.在直线BE上是否存在点P,使AAPF为直角三角形？若存在，求出BP

的长度；若不存在，说明理由.

图④

21.(2022•内蒙古包头•中考真题)如图，在平行四边形A8CD中，AC是一条对角线，且4B=2C=5,

BC=6,E,F是2。边上两点，点F在点E的右侧，AE=DF,连接CE,CE的延长线与B4的延长线相交于点

G.

图1图2

(1)如图1,M是BC边上一点，连接力M,MF,MF与CE相交于点N.

①若4E=|,求4G的长；

②在满足①的条件下，若EN=NC,求证：AM1BC；

(2)如图2,连接GF,H是GF上一点，连接若乙EHG=4EFG+乙CEF,且HF=2GH,求EF的长.

22.(2022・海南・中考真题)如图1,矩形2BCD中，4B=6,4。=8,点P在边BC上，且不与点8、C重合,

直线力P与。C的延长线交于点E.

(1)当点P是BC的中点时，求证：4ABP三4ECP；

(2)将A4PB沿直线4P折叠得到AAPB，，点夕落在矩形2BCD的内部，延长PB，交直线4。于点尸.

①证明凡4=FP,并求出在(1)条件下4F的值；

②连接9C,求APCB，周长的最小值；

③如图2,BB咬AE于点X,点G是力E的中点，当NE4夕=2N4EB，时，请判断力B与HG的数量关系，并说

明理由.

23.(2022.黑龙江绥化•中考真题)我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两

腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题.

图一图二图三

(1)如图一，在等腰AaBC中，AB=AC,BC边上有一点。，过点。作DE14B于E,DF1AC^F,过点C

作CG14B于G.利用面积证明：DE+DF=CG.

(2)如图二，将矩形4BCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G为折痕EF上一点，过点G

作GM1FC于M,GN工BC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GN的长.

(3)如图三，在四边形A8CD中，E为线段BC上的一点，EALAB,ED1CD,连接BD,且,=芸，BC=

CDDE

V51.CD=3,BD=6,求ED+EA的长.

24.(2022・河南•中考真题)综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

(1)操作判断

操作一：对折矩形纸片ABCD使与BC重合，得到折痕ER把纸片展平；

操作二：在上选一点尸，沿2尸折叠，使点A落在矩形内部点〃处，把纸片展平，连接PM,BM.

根据以上操作，当点M在E尸上时，写出图1中一个30。的角：.

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABC。按照(1)中的方式操作，并延长交于点。，连接8。.

①如图2,当点M在EF上时，ZMBQ=°,ZCBQ=°；

②改变点尸在A。上的位置（点尸不与点A,。重合），如图3,判断/MB。与/C8。的数量关系，并说明

理由.

（3）拓展应用

在（2）的探究中，己知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当尸Q=1cm时，直接写出AP的长.

专题33四边形压轴综合问题(共24题)解析版

一、解答题

1.(2022.甘肃兰州•中考真题)综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,

在正方形ABC。中，£是的中点，AE1EP,EP与正方形的外角△DCG的平分线交于尸点.试猜想AE

与£尸的数量关系，并加以证明；

图3

(1)【思考尝试】同学们发现，取的中点片连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形，解答老

师提出的问题.

(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在正方形ABC。中,

E为BC边上一动点(点E,8不重合)，△力EP是等腰直角三角形，NAEP=90。，连接CP,可以求出

ADCP的大小，请你思考并解答这个问题.

(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形

ABCD^,E为边上一动点(点E,B不重合),△力EP是等腰直角三角形，^AEP=90°,连接。P.知

道正方形的边长时，可以求出AADP周长的最小值.当4B=4时，请你求出△力DP周长的最小值.

【答案】(1)答案见解析

(2)45°,理由见解析

(3)4+4西，理由见解析

【解析】

(1)取AB的中点尸，连接EE利用同角的余角相等说明/PEC=/BAE,再根据ASA证明△AFE丝AECP,

得AE=EP；

(2)在AB上取AF=EC,连接EF,由(1)同理可得/CEP=NE4E,则△E4E丝(SAS),再说明

△8E尸是等腰直角三角形即可得出答案；

(3)作。GLCP,交3c的延长线于G,交C尸于O,连接AG,则△OCG是等腰直角三角形，可知点。与

G关于CP对称，则AP+QP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG,进而得出答案.

(1)

解：AE=EP,

理由如下：取A3的中点孔连接所,

图I

•・,尸、E分别为A3、BC的中点,

：.AF=BF=BE=CE,

：.NBFE=45。,

：.ZAFE=135°,

尸平分N0CG,

・•・ZDCP=45°,

：.ZECP=135°f

：.NAFE=NECP,

VAEXPE,

・・・NAE尸=90。，

・•・ZAEB+ZPEC=90°f

*：ZAEB+ZBAE=90°,

:./PEC=/BAE,

:•△AFEQXECP(ASA),

：.AE=EP；

(2)

解：在A3上取Ab=£C,连接EF

图2

由(1)同理可得NCEP=NFAE,

'：AF=EC,AE=EP,

:.△FAE"MCEP(SAS),

工/ECP=/AFE,

'：AF=EC,AB=BC,

：.BF=BE,

:.NBEF=NBFE=45°,

：.ZAFE=135°,

.\Z£CP=135°,

NDCP=45。；

(3)

解：作DGLCP,交BC的延长线于G,交CP于O,连接AG,

AD

图3

由（2）知，ZZ）CP=45°,

：.ZCDG=45°,

AOCG是等腰直角三角形，

...点。与G关于CP对称，

：.AP+DP的最小值为AG的长，

'：AB=4,

：.BG=8,

由勾股定理得4?=4强，

△&£）尸周长的最小值为AD+AG=4+4V5.

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰

直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

2.（2022・广东广州•中考真题）如图，在菱形A8CD中，ZBAD=12Q°,AB=6,连接8。.

DC

⑴求8。的长；

（2）点E为线段BO上一动点（不与点3,D重合），点P在边A。上，且BE=«DF,

①当CELAB时，求四边形的面积；

②当四边形A2EF的面积取得最小值时，CE+WCP的值是否也最小？如果是，求CE+百CB的最小值；如

果不是，请说明理由.

【答案】（1）BD=6V3;

⑵①四边形A2EP的面积为7次；②最小值为12

【解析】

(1)证明△ABC是等边三角形，可得2。=3取,即可求解；

(2)过点E作AD的垂线，分别交AD和8C于点M,N,根据菱形的面积可求出10=3百，设BE=x,则

EN=1x,从而得到EM=MN-EN=3V^-再由^后百刀尸，可得。4日x,从而得到四边形A8EF的面积

2

s=SAABD-SADEF=*(x—3V3)+竽，①当时，可得点E是乙ABC重心，从而得到

BE=CE=|BO=|x3V3=2V3,即可求解；②作CHLAD于H,可得当点E和歹分别到达点。和点X位置时,

CF和CE分别达到最小值；再由s=^(x—3⑸2+竽，可得当％=3百，即8E=3百时，s达到最小值,

从而得到此时点E恰好在点。的位置，而点尸也恰好在点H位置，即可求解.

(1)

解：连接AC,设AC与2。的交点为。，如图，

:四边形ABCD是菱形，

J.ACLBD,OA=OC,AB//CD,AC平分NZM8,

VZBA£)=120°,

ZCAB=60°,

...△ABC是等边三角形，

.,.BO=AB-sin60°=6x—=3V3，

2

BD=2BO=6y/3;

(2)

解：如图，过点E作AO的垂线，分别交AO和于点M,N,

:△ABC是等边三角形，

,\AC=AB=6,

由(1)得：BD=6y[3;

菱形A3CO中，对角线3。平分NABC,AB//CD,BC=AB=6f

：.MNLBC,

\9ZBAD=120°,

：.ZABC=60°,

•・/EBN=3U。；

i

：.EN=-BE

2

SACBDMNBC

'-^ABCD=1-=-^

:.MN=3W，

设BE=x,贝！]EN=N，

EM=MN-EN=3曲-|x,

,**S菱形ABCD=AD・MN=6X3v5-18V5,

.*•SA^BD=宇菱形ABCD=9y[^,

•:BE=^DF,

.・.DFAF.=—BE=—V3x,

V33

...SADEF《DF•EM=--^-X(3V3--X']=--X2+-X,

223V27122

记四边形ABE尸的面积为s,

:.S=SAABD$DEF=9W-(-^%2+-%)=^(x-3V3)2+—,

12212vy4

•.•点E在上，且不在端点，；.0<B氏BD,即0<x<68；

①当CELLA8时，

；OB_LAC,

.•.点后是4ABC重心，

:.BE=CE=WBO=WX3V3=2V3,

止匕时s=今(2V3-3g了+竿=7百，

当CE±AB时，四边形ABEF的面积为7次；

②作CHLAO于H,如图，

'：CO±BD,CH±AD,而点E和尸分别在8。和AO上，

当点E和尸分别到达点。和点H位置时，CF和CE分别达到最小值;

在菱形ABC。中，AB//CD,AD=CD,

ZBAD=120°,

：.ZADC=6Q°,

...△ACO是等边三角形，

：.AH=DH=3,

/.CH=3V3,

：s号（x-3可+竽

.•.当x=3次，即BE=3百时，s达到最小值，

,：BE=«DF,

：.DF=3,

此时点E恰好在点。的位置，而点尸也恰好在点H位置，

二当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和B也恰好同时达到最小值，

CE+43CF的值达到最小，

其最小值为C0+WCH=3+V3x373=12.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等

知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等

知识是解题的关键.

3.(2022・上海・中考真题)平行四边形力BCD,若P为BC中点，4P交BD于点E,连接CE.

⑴若AE=CE,

①证明力BCD为菱形；

②若4B=5,AE=3,求8D的长.

(2)以4为圆心，AE为半径，8为圆心，8E为半径作圆，两圆另一交点记为点F,且CE=若F在直线

CE上，求黑的值.

【答案】⑴①见解析；②6/

⑵¥

【解析】

(1)①连接AC交80于。，ffiAAOE^ACOE(SSS),得NA0E=NC0E,从而得NCOE=90。，贝！|AC_LBD,

即可由菱形的判定定理得出结论；

②先证点E是AABC的重心，由重心性质得BE=20E,然后设。£=%，贝UBE=2无，在放AA0E中，由勾股定

理，得。42=4£2_0打2=32_芯2=9-彳2,在夫也&。2中，由勾股定理，得。42=Ag2_0B2=52_(3x)2=25-9x2,从而得%

N=25-9N,解得：彳=夜,即可得02=3a3vL再由平行四边形性质即可得出3。长；

(2)由。A与。2相交于E、F,得ABLE6点E是AABC的重心，又F在直线CE上，则CG是AABC的中

线，贝IJAG=8G=UB,根据重心性质得GE』CE=3E,CG=CE+GE=%E,在RdAGE中，由勾股定理，

2222

得A^Ae-GEE=AE^A^^AE2,则46=争4瓦所以AB=2AG=&AE,在RtxBGC中，由勾股定理，得

BC2=BG2+CG2=-A£2+(场4E)2=5AE2,则BC=^AE,代入即可求得丝的值.

22BC

(1)

①证明：如图，连接AC交BD于。,

•.•平行四边形力BCD,

OA=OC,

•：AE=CE,OE=OE,

：.AA0£^AC(9E(SSS),

ZAOE=ZCOE,

"?ZAOE+ZCOE=1SO°,

：.ZCOE=90°,

：.AC±BD,

:平行四边形4BCD,

二四边形2BCQ是菱形；

@'：OA=OC,

是AABC的中线，

为BC中点，

是△ABC的中线，

六点E是AABC的重心，

：.BE=2OE,

设。E=x,则BE=2x,

在放AAOE中，由勾股定理，得。42=AE2-OE2=32一X2=9-N,

在RdAOB中，由勾股定理，得。42=AB2_OB2=52-(3X)2=25-9X2,

9-x2=25-9x2,

解得：x=V2,

OB=3x=3迎,

:平行四边形4BCD,

:.BD=2OB=6岳

(2)

解：如图，

•.•。4与。8相交于£F,

：.AB±EF,

由（1）②知点E是AABC的重心，

又F在直线CE上，

，CG是AABC的中线，

11

：.AG=BG=-AB,GE=-CE,

22

CE=gE,

:.GE巫AE,CG=CE+GE=^AEf

22

在RdAGE中，由勾股定理，得

AG2=AE2-GEE=AE2-（^-AE）2=^AE2,

：.AG=^AE,

2

：.AB=2AG=y[2AE,

在放A2GC中，由勾股定理，得

BC2=BG2+CG2=-A£2+（越AE）2=5AE2,

22

：.BC=>j5AE,

・AB__五AE_V10

**BC~遍AE~5,

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与

四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目.

4.（2022•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去

发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣.

如图①，在矩形A8CD中，点、E、F、G分别为边BC、AB,AD的中点，连接取、DF,X为。尸的中点，

连接G8.将ABEF绕点B旋转,线段。/、G8和CE的位置和长度也随之变化.当△8EF绕点2顺时针旋

转90。时，请解决下列问题：

⑴图②中，AB=BC,此时点E落在AB的延长线上，点尸落在线段8c上，连接AF,猜想G”与CE

之间的数量关系，并证明你的猜想；

(2)图③中，AB=2,BC=3,贝|瞿=________；

CE

⑶当AB=m,BC=n时.也=.

CE

(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC,并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M、N分

别在AC、8C上，连接MN,将ACMN沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分

ZAPN,则CM■长为.

【答案】(1)GH=1CE,证明见解析

(2)—=i

'7CE3

/c、GHm

(3)—=—

\52n

(4卢

【解析】

(1)先证明AAB尸也ACBE,得4F=CE,再根据中位线性质得GHgaF,等量代换即可；

(2)连接AF,先证明△AB/SACBE,得到AF：CE的比值，再根据中位线性质得等量代换即

可；

(3)连接AF,先证明△AB/SACBE,用含加、〃的代数式表达出AF：CE的比值，再根据中位线性质得

GH=^AF,等量代换即可；

(4)过M作于H,根据折叠性质得NC=NMPN,根据角平分线证明出NC=NPMH,设

CM=PM=x,HM=y，根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用得到器=兼，代入

解方程即可.

(1)

解：GH=\CE,理由如下：

•：AB=BC,四边形ABC。为矩形，

.••四边形ABCD为正方形，

NABC=/CBE=90°,

■:E、F为BC,A2中点，

：.BE=BF,

：.&ABF沿4cBE,

：.AF=CE,

为。尸中点，G为AO中点，

：

.GH=2-AF,

AGH^-2CE.

⑵

加GH1

解:k=9

连接AF,如图所示，

由题意知，BF=^AB=1,BE曰吟

.AB_BF_2

*9BC~BE~

由矩形ABC。性质及旋转知，ZABC=ZCBE=90°,

AABFS2CBE,

.\AF：CE=2:3,

为A£＞中点，H为DF中点,

1

：

.GH=2-AF,

•.•GH_=11.

CE3

故答案为：|.

(3)

连接4凡如图所示,

由题意知，B*AB=£,BE事吟

,AB_BF_m

**BC~BE~n"

由矩形ABC。性质及旋转知，ZABC=ZCBE=90°,

/.bABFs»CBE,

.".AF：CE=m：n,

为AD中点，H为DF中点,

1

：.GH=-AF,

2

・GH_m

••—.

CE2n

故答案为：松.

(4)

解：过M作于H,如图所示，

P

由折叠知，CM=PM,ZC=ZMPN,

平分N4PN,

\ZAPM=ZMPN,

'.ZC=ZAPM,

：AB=2,BC=3,

,-AC=sj22+32=V13,

设CM=PM=x,HM=y,

由sin"=sin乙4PM知，*=翳

pn2-y_.._2x

即豆一?y—范

,:HM〃BC,

・・・AAHMSXABC,

.HM_AM

••—，

BCAC

1咚=等，y=2^=x3,

3V13JV13

・V1133-XX32x

••-X3=-=9