中考数学复习：动点与相似三角形存在性问题解法题型讲义

动点与相似三角形存在性问题解法

动点存在性问题是中考的热点与难点，相似三角形存在性问题是其中的重点题型。其解题核心是找到比例

关系得到方程，难点在于分类讨论找出隐含的条件.通常，隐含的条件中角度相等不太容易发现.

一、典例解析

例1.12020•广东东莞】如图，抛物线>=空纥2+"+。与％轴交于A,2两点，点A,B分别位于原点的

左、右两侧，BO=3AO=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=^CD.

(1)求，,C的值;

(2)求直线8。的函数解析式；

(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点。在射线54上.当△A3。与△BP。相似时，请直接写出

所有满足条件的点Q的坐标.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)VOB=3OA=3

AB(3,0),A(-1,0)

3+6一0

------匕+c=0

・6

3+'x9+3Z?+c=0

、6

解得：b=-亘3，c二-史也

32

(2)过点D作DE，y轴于E,

y

VZECD=ZBCO,ZDEC=ZBOC=90°

ACDE^ACBO

.CD_DE

：.-L=—,DE=>/3

A/33

即D点横坐标为-6,

其坐标为D(-A/3,A/3+1)

由B(3,0)得直线BD解析式为：y=-¥x+百

(3)由A(-1,0),B(3,0).D(-6，6+1)，知

SAABD=2(省+1),BD=2(石+1),AD=2应

过点A作AH±BD于H,

；.tan/ADB=l,tan/ABD=t，tan/DAM=2+0

设Q(x,0),P(1,m),其中m<0,x<3,

①当△ABDs^BPQ时，ZDAB=ZQBP(由题意知/QBP<90°,ZDAB>90°,不存在）

②当△ABDs/XBQP时，同理，此种情况不存在;

③当△ABDs^QBP时,

tanZADB=tanZQPB=1,tanZABD=tanZQBP=,tanZPQO=tanZDAM=2+石

3

：E力,即m=_毡，±=2+0，x=4百-3

233x-13

即Q(4c3,0)

3

④当△ABDS/\QPB时，同理,

：.—=1,即m=-2,—=2+A/3,x=5-2抬

2x—1

即Q(5-273,0)

⑤当△ABDs/\PQB时，同理，

.•.卫=1,即m=-2,工力,X=1-273

21-x3

即Q(1-2^3,0)

⑥当△ABDs/XPBQ时，同理，

二卫=3，gpm=-^i,—=1,x=l-空

2331-x3

即Q(1-汉1,0).

3

例2.12020•贵州铜仁】如图，已知抛物线y=o?+bx+6经过两点A(-1,0),B(3,0),C是抛物线与y

轴的交点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设APBC的面积为S,求S关于相的函

数表达式(指出自变量比的取值范围)和S的最大值；

(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得NCMN=90。，且ACMN与AOBC

相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)将A(-1,0)、3(3,0)代入＞=0?+灰+6,

得:同一1二嗔0n，解得:｛广/

19a+3b+6=03=4

二抛物线的解析式为y=-2X2+4X+6.

(2)过点P作P/〃y轴，交8c于点人如图所示.

当x=0时，y=-2X2+4A+6=6,

.♦.点C的坐标为(0,6).

设直线BC的解析式为y=kx+c,

将B(3,0)、C(0,6)代入y=fcc+c,得:

产7=0,解得：『=12,

(C=6=6

・•・直线BC的解析式为y=-2x+6.

设点尸的坐标为(m,-2m2+4m+6),则点尸的坐标为(m，-2m+6),

/.PF--2m2+4m+6-(-2m+6)=-2m2+6m,

:・S“BC=JPF・OB=-3加2+9加=-3(m—f)2+^p,

Z，4

Q27

・・・当相=5时，△PBC面积取最大值，最大值为二.

,4

・・,点尸(m,H)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，

A0<m<3.

(3)存在点M、点、N使得NCMN=90。,且△CMN与△03。相似.

①如图，ZCMN=90°,当点M位于点C上方，过点“作MDLy轴于点

/CDM=/CMN=90。,ZDCM=/NCM,

：.丛MCDs丛NCM,

若△CMN与△03。相似，贝!UMCD与△NCM相似，

设M(〃，-2〃2+4〃+6),C(0,6),

DC—-2"2+4〃，DM=a,

DMOB31

当t---=—=一=一时t，&COBs△CDMsACMN,

CD0C62

.a1

—2Q2+4Q2

解得，〃=1,

：.M(1,8),

ii

此时ND=*DM=}

〜CDOB1

②当一=—=一时t，4COBsAMDCsANMC,

DMOC2

.—2(12+4Q1

••—―,

a2

解得a-7A

755

.*.M(—,——)，

48

,83

此lt时N(0,—).

8

③如图，当点M位于点C的下方，

设M(a,-2tz2+4a+6),C(0,6),

.,.EC=2a1-4a,EM=a,

2a2—4a12a2—4a

同理可得：-------=一或--------=2,ACMN与AOBC相似，

a2a

Q

解得a=瓦或a=3,

9393

：.M(-,—)或〃(3,0),

48

3Q

此时N点坐标为(0,-)或(0,-2)-

综上所述，M(1,8),N(0,—)或M(-,—),N(0,—)或M(-,—),N(0,一)或M(3,0),

2488488

N(0,-1),使得NCMN=90。，且与△03C相似.

例3.12020•浙江金华】如图，在平面直角坐标系中，正方形A30C的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，

分别过08,OC的中点O,E作AE,的平行线，相交于点R已知。5=8.

(1)求证：四边形AEFZ)为菱形.

(2)求四边形AEED的面积.

(3)若点尸在x轴正半轴上(异于点。)，点。在y轴上，平面内是否存在点G,使得以点A,尸，Q,G为

顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点尸的坐标；若不存在，试说明理由.

【解析】解：(1)'.'DF//AE,EF//AD,

四边形AE即是平行四边形

•..四边形ABOC是正方形，

，08=0C=AB=AC,ZACE=ZABD=90°

；点E是OB,OC的中点，

：.CE=BD,

/\ACE^/\ABD(SAS),

J.AE^AD,

平行四边形AEED是菱形

(2)连接DE

22

S^ODE=-ODOE=-x4x4=8

22

:・SAAED=S正方形ABOC-2SAABD-S^ODE

=64—2x16—8

=24,

•*•5菱形AEF£>=2SAAED=48.

(3)连接A尸与DE相交于点K,易得AAOK的两直角边之比为1:3,

①当AP为菱形一边时，点。在x轴上方，有两种情况：

(z)如图，

,/菱形B4QGs菱形ADFE,

...△APH的两直角边之比为1:3.

过点〃作珈,彳轴于点N,交AC于点M,^AM=t,

点”是尸。的中点，

...点N是。尸中点,

:.HN是AOPQ的中位线，

：,0N=PN=8—t.

VZ1=Z3=9O°-Z2,/PNH=/AMH=9。。,

：.AHMAs/\PNH,

.AMMH_1

**AW-^V-3

:・HN=3AM=3t,

:・MH=MN—NH=8—3t,

•；PN=3MH,

・・・8—U3(8—3。，解得%=2,

・•・OP=2ON=2(8—。=12,

・・・点尸的坐标为(12,0).

(z7)如图

△APH的两直角边之比为1:3.

过点//作印，y轴于点/,过点P作轴交由于点N,延长区4交W于点M.

VZ1=Z3=9O°-Z2,ZAMH=ZPNHf

：.△AMHsAHNP,

.AMMH_1

，97fH~^N~3

设MH=t,

:.PN=3MH=3t,

・•・AM=BM-AB=3L8,

JHN=3AM=3(3f—8)=9t~24.

•・・印是△。尸。的中位线，

・•・OP=2IH,

:・HI=HN,

・・・8+,=%—24,解得/=4

・•・OP=2HI=2(8+0=24,

・••点。的坐标为(24,0).

②当AP为菱形一边时，点。在x轴下方，有两种情况，

(/)△PQH的两直角边之比为1:3.

过点〃作轴于点M,过点尸作PNJ_H”于点N.

・・・///是△℃的中位线，

：.HM=4,

同理，AHPNs"HM

.PN_NH_1

A

贝ljPN=-,

3

4

：.OM=-

3

设HN=/,则MQ=3/.

\9MQ=MC,

3f=8-土解得：t=—

39

OP=MN=4+t=—

9

即P(些，o)；

9

(z7)AP。//的两直角边之比为1:3.

过点H作“轴于点M,交AC于点/,过点。作于点N,

设则”N=33

,:HN=HL

・・.3"8+刍，解得：t=—

39

o

・•・OP=OM-PM=QN-PM=4-t=1

即尸(§,0).

9

③当AP为菱形对角线时，

△PQH的两直角边之比为1:3.

同理得：点尸的坐标为(16,0).

.综上所述,点P的坐标为(12,0),(24,0),(―,0),(-,0),(16,0).

99

三、刻意练习

1.12020•山东烟台】如图，抛物线y=/+bx+2与无轴交于A,B两点、,且04=208,与y轴交于点C,连

接BC,抛物线对称轴为直线尤=!，。为第一象限内抛物线上一动点，过点。作于点E,与AC

2

交于点F,设点。的横坐标为根.

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线上是否存在点。，使得以点。，D,E为顶点的三角形与ABOC相似？若存在，求出力的值；

若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）设OB=f,则。4=2f,则点A、8的坐标分别为（230）、（-t,0）,

则J_=_L（2「力，解得：-1,

22

点A、5的坐标分别为（2,0）、（-1,0）,

则抛物线的表达式为：y—a（x-2）（x+1）=«x2+/?x+2,

解得：。=-1,

故抛物线的表达式为：丁=-/+元+2；

（2）存在，理由：

点D（m,-m2+m+2）（m>0）,则OD=m,DE=-,

以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似，

则匹二型，匹=2£

、OEOCOEOB

即匹=2或工，即一>+-+2=2或一一+〃+2」,

0E2mm2

解得：机=1或-2（舍去）或匕画或上返（舍去），

44

综上所述，初=1或匕返.

4

2.【2020.黑龙江绥化】如图1,抛物线y=-g（无+2月+6与抛物线％+f-2相交y轴于点C,抛

物线%与x轴交于A、3两点（点B在点A的右侧），直线%=履+3交x轴负半轴于点N,交y轴于点

且OC=ON.

（1）求抛物线外的解析式与k的值；

（2）抛物线外的对称轴交x轴于点£»,连接AC,在无轴上方的对称轴上找一点E,使以点A,D,E为

顶点的三角形与AAOC相似，求出DE的长；

【解析】解：(1)当x=0时，得y=—g(x+2)2+6=—2+6=4,

.,((0,4),

把C(0,4)代入％=—/+3d+/—2得，。一2=4,

..%=6,

必——/+3%+4,

ON=OC,

・•.N«0),

把N«0)代入％="+3中，得-U+3=0,

解得，化=±3;

4

.•.抛物线月的解析式为％=-炉+3%+4,左的值为

解得，x=-1或4,

/.A(-1,O),8(4,0),

-1+43

・••对称轴为：x=—匕=士，

22

/.D(1,0),

35

「3=1,OC=4,OD=,AD=~,

22

①当AAOCSA£D4时，

丝=型，即_L=4

DEDADE5

2

：.DE=~,

8

②当AAOCsAADE时,

AOOC日口14

—，即三=----,

ADDE5DE

2

.\DE=10,

综上，O£=*或10；

8

3.12020•湖北鄂州】如图，抛物线y=1?+bx+c与x轴交于A、5两点（点A在点3左边），与y轴交于点

1

C.直线尸聂-2经过8、C两点.

（1）求抛物线的解析式;

⑵点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M.PN±BC,

垂足为N.设M(m,0).

当点尸在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点尸，使APNC与AAOC相似.若存在，求出点尸的

坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：

(1)针对于直线y=-2,

令x=0,则y=-2,

：.C(0,-2),

i

令y=0,则0=6-2,

；.尤=4,

：.B(4,0),

将点8,C坐标代入抛物线丫=费+法+。中，得仁八

，(8+4b+c=0

.fb=

I=一2，

抛物线的解析式为产系一|x-2；

(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=#-|尤-2,

令y=0,则0=吴一%-2,

・•.1=-1或x=4,

・,•点A(-1,0),

.*.OA=1,

9：B(4,0),C(0,-2),

OB=4,OC—2,

.OAOC

••一,

OCOB

ZAOC=ZCOB=90°,

：.AAOC^ACOB,

：.ZOAC=ZOCB,ZACO=ZOBC,

•・・XPNC与〉AOC相似，

当〉PNCs^AOC,

：.ZPCN=ZACO,

：.ZPCN=ZOBC,

：.CP//OB,

.••点尸的纵坐标为-2,

123

m—T7m-2=-2,

22

.*.m=0(舍)或加=3,

：.P(3,-2)；

当△PNCs^AOC时，

・•・ZPCN=ZCAO9

：・/OCB=/PCD,

9：PD//0C,

：.ZOCB=ZCDP,

：./PCD=/PDC,

：.PC=PD,

131

2Dz2

-m-(如-m-

由①知，P(m,22x2

VC(0,-2),

.*.P£)=2m—^m2,PC=Jm2+(^m2—|m—2+2)2=Jm2+(^m2—^m)2,

/.2m2—+(^m2—1m)2,

/.m=亍

325

P(一，--Q-)?

28

即满足条件的点尸的坐标为(3,-2)或弓，-m).

4.12020•湖北荆州】如图1,在平面直角坐标系中，A(-2,-1),B(3,-1),以。为圆心，0A的长为

半径的半圆。交A。延长线于C,连接AB,BC,过。作E£>〃BC分别交AB和半圆。于E,D,连接08,

CD.

(1)求证：8C是半圆。的切线；

(2)试判断四边形OBCD的形状，并说明理由;

(3)如图2,若抛物线经过点。且顶点为E.

①求此抛物线的解析式；

②点尸是此抛物线对称轴上的一个动点，以E,D,尸为顶点的三角形与△042相似，问抛物线上是否存在

一点。.使SAEPQ=SAOAB?若存在，请直接写出0点的横坐标；若不存在，说明理由.

图1图2

【答案】见解析.

【解析】解：（1）证明：设AB与y轴交于M,

轴，且AM=2,OM=1,AB=5,

：.OA=OC-Vs,

'：DE//BC,。是AC的中点，

.•.OE是AABC的中位线，

：.AE=^AB,BC=2OE,

1

：.E-1),

2

:.EM=I，

OE=70M2+ME2=J/+(1)2=亭，

：.BC=2OE=V5,

在AABC中,\'AC2+BC2=(2V5)2+(V5)2=25,AB2=52=25,

：.AC2+BC2^AB2,

...△ABC是直角三角形，且乙4cB=90。，

：.BC±AC,

;AC为半圆。的直径,

...BC是半圆。的切线;

(2)四边形02CD是平行四边形，理由是：

由(1)得：BC=OD=OA=正,

'JOD//BC,

，四边形OBCD是平行四边形；

1

(3)①由(1)知：OD=OA=®E是的中点，且E(-)-1),0E=

过D作DNLy轴于N,则DN//EM,

•ON__D_N__O_D_AnO__N__D_N___V_5_

••=~,-r—,

OMEMOE1-

22

・・・ON=2,DN=3

:・N(-1,2),

设此抛物线的解析式为：尸a(x-1)2-1,

1

把N-

2

4

-

3

4144

2

\即2

J

尸---X-X

...此抛物线的解析式为:32Z33

13

VDG=1+1=|,EG=2+1=3,

：.DE=yjDG2+EG2=J(|)2+32=享

“31

tanZDEG==净=2，

VtanZOAM=^=|,且NOEG和NOAM都是锐角,

・•・NDEG=NOAM,

*.*SAEPQ=SAOAB，

1115

A-EP-lx--I=X

2.2呜x|2

解得：户普或-圣

ABOAV5

当△OABS/XOEP时,

EP~DE'喂3V5

2

一11515

同理得：一•一•1%__I=一,

2222

解得：x=（或一看

综上，存在符合条件的点。，。点的横坐标为n或-今或尹-看

5.【2020•湖北随州】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+6x+l的对称轴为直线x=机其图象与x

(备用图)

(1)直接写出抛物线的解析式和NC4。的度数；

(2)动点M,N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段上运动，点N以每秒/个单位

的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间为rG>0)

秒，连接MN,再将线段绕点M顺时针旋转90。，设点N落在点。的位置，若点。恰好落在抛物线上，

求t的值及此时点D的坐标；

(3)在(2)的条件下，设尸为抛物线上一动点，。为y轴上一动点，当以点C,P,。为顶点的三角形与

△MOB相似时，请直接写出点尸及其对应的点。的坐标.(每写出一组正确的结果得1分，至多得4分)

【答案】见解析.

b_3

【解析】解：(1)由题意:~2R=2,

16a+4b+1=0

(1

解得《24,

vb=74

.••抛物线的解析式为尸-«+赤+1,

令y=0,可得7-3%-4=0,解得％=-1或4,

AA(-1,0),

令y=0,得至Ux=l,

：.C(0,1),

：.OA=OC=1,

AZCAO=45°.

(2)过点。作CE_LOA于过点。作_LA8于?

NNEM=ZDFM=ZNMD=90°,

:・/NME+/DMF=90。,ZDMF+ZMDF=90°f

：.NNME=ZMDF,

•：NM=DM,

:・/\MEN乌ADFM(A4S),

:.NE=MF,EM=DF,

VZCAO=45°,AN=V2r,AM=3t,

:・AE=EN=t,

：.EM=AM-AE^2t,

：.DF=2t,MF=t,OF=4t-1,

：.D(4L1,2力，

一~r(4L1)~+彳(4/-1)+1=2/,

a

Vr>0,解得u1

经检验，仁,时，M,N均没有达到终点，符合题意，

3

：.D(2,一).

2

(3)当点。在点C的下方，点P在y的右侧，NQCP=NAW3时,

1

取E(3，0),连接EC,过点E作EGLEC交尸。于G,

53

9：M(-,0),D(2,-),B(4,0)

42

r0□/F〔Ic

AFM=2-7=7，DM=竽,BM=SBD=g,

4444Z

：.DF=2MF,

OC=2OE,

1

/.tanZOCE=tanZMDF=，

：.ZOCE=ZMDF,

：・/OCP=/MDB,

:・/ECG=/FDB,

4

tanZECG=tanZFDB=可

■:EC=^,

•••如竽，可得G(各|),

直线CP的解析式为y=-白x+1,

（_41

y=~TLX+1解得二概『5

由

12上3「

xx1

y=-4+4+-121

4139

:.p(一，-----),

11121

.41V5

..rL-—~,

tMDBDMDBD,,,z，口615—2050

当=7?或M7=777时'△℃尸与二MDB相似，可得CQ=友或

CQCrPCCQ乙一乙363

2721687)

Q（0,一五7）或（①~363)

当点。在点C的下方，点P在y的右侧，NQC尸时，设尸。交x轴于K.

JOK=2OC=2,

即点K与厂重合，

...直线PC的解析式为y=-1.v+l,

z1

(y-Xf%-5

--2-rX-o

由

得

解

或j

Ju--3

1++131—

)2kyy--

ly---X-X+k2

44

：.P（5,-1）,

•pc—5西

,DMBMDMBM,,一255-75

当三7=右或为T=”时r'△℃尸与AMDB相似z，可得CQ=%■或方，

•*•Q（0,—善）或（①一^^（

当点。在点C的下方，点尸在y的右侧，NQC尸=NZMM时，同法可得尸号，一等），Q（0,一音）

,、1151

或（0,----）,

99

31737

当点。在点。上方，NQC尸=NDM5时，同法可得尸（1,Q（0,—）或（0,—

2622

251716171613

当点。在点C上方，NQCP=/AfflB时，同法可得P（―,—）,Q（0,—）或（0,

11121242363

当点。在点C下方，点尸在y轴的左侧时，/QCP=/OBM时，同法可得P（一（一岁，Q（0,一瑞）

T/A251、

或（O，QQ-）•

6.12020•湖南怀化】如图所示，抛物线y=f-2x-3与x轴相交于A、8两点，与y轴相交于点C,点M

为抛物线的顶点.

（1）求点C及顶点M的坐标.

(2)直线CM交无轴于点E,若点尸是线段EM上的一个动点，是否存在以点尸、E、。为顶点的三角形与

△ABC相似.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】解：

(1)令y=7-2x-3中尤=0,此时y=-3,

故C点坐标为(0,-3),

又,.,/=/-2x-3=(x-1)2-4,

抛物线的顶点M的坐标为(1,-4)；

解得卜=

51=—3

.•.A/C的解析式为：y=-x-3,令y=0,贝！Jx=-3,

・・・E点坐标为（-3,0）,

：.OE=OB=3,SOC.LBE,

:・CE=CB,

；./B=NE,

设P(x,-x-3),

又•.,尸点在线段EC上，

-3<x<0,

则EP=J(x+34+(—x-3尸=V2(x+3),BC=V32+32=3企,

由题意知：△PE。相似△ABC,

①△PEOs^cBA,

.EOEP

••—,

BABC

.3V2(x+3)

；，4=3V2'

解得％=-率满足-3<x<0,此时尸的坐标为(―9一3；

②△PEOS/XABC,

•_EOEP

••—,

BCBA

3V2(x+3)

:衰=-4-'

解得x=-1，满足-3VxV0,此时P的坐标为(-1,-2).

9

综上所述，尸点的坐标为（-，-威2

4

7.12020•江苏连云港】在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如

17

图，抛物线乙尤-2的顶点为£>,交无轴于点A、B（点A在点3左侧），父y轴于点C.抛物

线4与4是“共根抛物线”，其顶点为P-

（1）若抛物线Z经过点（2,-12）,求〃对应的函数表达式；

（2）设点。是抛物线右上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若AT）尸。与AABC相似，求其“共根抛物

线”4的顶点尸的坐标.

【答案】见解析..

【解析】解：(1)当y=o时，|X2-|X-2=0,解得x=-L或4,

A(-1,O),B(4,0),C(0,2),

由题意设抛物线七的解析式为,=。(*+1)(彳-4),

把(2,-12)代入,=00+1)(；1-4),

—12=-6。，

解得a=2,

抛物线的解析式为y=2(x+l)(x-4)=2X2-6%-8.

(2)由题意，AB=5,CB=2非,CA=非,

:.AB2=BC2+AC2,

,\ZACB=90°,CB=2CA,

13c1,3、225

y=-x2——x-2=—(x——)-----，

22228

顶点D(1,一金)，

由题意，/PDQ不可能是直角，

第一种情形：当/DPQ=90。时，

①当AQDPSA45c时，^-=—=-,

DPBC2

—x2-—x-2）,

22

DP=-x2=--x+-,QP=x--

2282282

PD=2QP,

2x-3=-x2-—x+—,解得x=U或3（舍弃）,

22822

.p（339

・飞'/

②当ADQPSAABC时，QO=2PD,

解得工=9或3（舍）,

22

321

••尸（一，——）.

28

第二种情形：当NDQP=900.

①当APDQsAABC时，^=-=-

DQBC2

过点。作于M.则AQDAfsAPDQ,

,QM_PQ_13391139

•.------------——,JVL（一，）,0（，），

MDDQ22828

:.MD=8,MQ=4,

DQ=4小，

喘犬可得四。

吟T

)

，,哈f-

②当ADPOcAABC时，过点。作QM_LPD于M.

由变=丝，可得如上

DMDQ2

.尸产5

••丐’一，

8.12020•山东聊城】如图，二次函数>=办2+法+4的图象与x轴交于点A(-l,0),3(4,0),与y轴交于

点C,抛物线的顶点为。，其对称轴与线段3c交于点E,垂直于x轴的动直线/分别交抛物线和线段3c于

点P和点尸，动直线/在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到3点.

(1)求出二次函数>=办2+Zzx+4和BC所在直线的表达式；

(2)连接CP,CD,在动直线/移动的过程中，抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,尸为顶点的三

角形与ADCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)将点4一1,0),3(4,0),代入>=="2+法+4,

得：[0=T+4,

[0=16(2+4/?+4

解得：1=;1,

[b=3

二次函数的表达式为：y=-x2+3x+4,

当％=0时，y=4,

/.C(0,4),

设3C所在直线的表达式为：y=mx+ny

将。(0,4)、5(4,0)代入丁=如+〃，

得：\，

[0=4m+n

一加二-1

解得：1，

[孔=4

:.BC所在直线的表达式为：y=-x+4；

(2)存在，理由如下:

如图所示：

由(2)得：PF//DE,

:.ZCED=ZCFP,

又，NFC尸与NDCE有共同的顶点C,且NPCF在NDCE的内部,

:.NPCF手NDCE,

二.只有ZPCF=NCD石时，APCF^ACDE,

PFCF

~CE~~DE'

C(0,4)、E(|,|),

...CE=J(|)2+(49=乎,

由(2)得：DE=——，PF=—t2+4/,尸的坐标为：([,T+4),

4

CF—J[+[4_(t+4)f=9

-t2+4/_"

F4

rw0,

7(T+4)=3,

解得：”电，

5

、匕16.2o/iJ62c1684

=3t=—n口寸，T+3/+4=—(—)+3x1-4=—,

55525

.•.点p的坐标为：(1,H).

9.[2020•山东潍坊】如图，抛物线>=办2+法+8(aWO)与x轴交于点A(-2,0)和点8(8,0),与y

轴交于点C,顶点为。，连接AC,BC,8C与抛物线的对称轴/交于点E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点尸是第一象限内抛物线上的动点，连接P8,PC,当&PBC=|s^ABC时，求点P的坐标；

(3)点N是对称轴/右侧抛物线上的动点，在射线灯上是否存在点使得以点M,N,E为顶点的三

角形与AOBC相似？若存在，求点/的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：(1):•抛物线>=依2+历；+8(〃/0)过点A(-2,0)和点3(8,0),

•北:上:/：；°n)解得卜=心

164a+85+8=0(b=3

.•・抛物线解析式为：y--|x2+3x+8；

(2)当%=0时，y=8,

：.C(0,8),

・•・直线3C解析式为：y=-x+8,

11

•:S*BC=a4B♦"=,X10X8=40,

.3

,•S^PBC=5=24,

过点尸作轴，交x轴于点G,交BC于点F,

1

设P(t,_2/+3x+8),

:.F(?,-f+8),

：.PF=-4t2+4t,

1

•••SAPBC=2PF.°B=24,

11

即5x(-]+的x8=24,

♦♦fl=2,/2=6,

：.PI(2,12),尸2(6,8)；

(3)VC(0,8),B(8,0),ZCOB=90°,

.•.△OBC为等腰直角三角形,

23

抛物线yx+3x+8的对称轴为尤=一/3,

2x(4)

.♦.点E的横坐标为3,

又•.•点E在直线BC上,

.•.点E的纵坐标为5,

：.E(3,5),

设M(3,m),N(n,-^n2+3n+8),

①当MN=EM,ZEMN=90°,

(m—5=n—3

当△TVME〜△CO3时，则12,2

—7yn