正余弦定理在解三角形中的高级灵活应用与最值问题（练习）-2025年高考数学二轮复习（原卷版）

专题10正余弦定理在解三角形中的高级灵活应用与最值问题

目录

01模拟基础练..................................................................2

:《口匕匕3）才2

题型二：倍角定理与正弦平方差...................................................3

题型三：角平分线模型与张角定理.................................................3

题型四：隐圆问题...............................................................4

题型五：正切比值与和差问题.....................................................4

型八：四边形定值和取值与托勒密定理.5

题型七：边角特殊，构建坐标系...................................................6

题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题.....................6

题型九：三角形的形状判定.......................................................7

题型十：三角形中的几何计算.....................................................7

题型十一：中线长定理与余弦和为0................................................................................................9

重难点突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围...........................9

02重难创新练.................................................................11

题型一：倍长定比分线模型

<1.Q在LX①「岛-lAcosAsinC,②石=5t〔a,nC+八小③sinA-s%inCs=inA…-sinB,」这一「人条.件中任选一

个，补充在下面的问题中，并解答问题，在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足一.

⑴求C；

⑵若AA8C的面积为6,。在边AC上，且CD=gcA,求3。的最小值.

2.如图，设AASC中角A、B、C所对的边分别为。、b、c,AO为8c边上的中线，已知匕=c+3,

2/91

sin4（〃2+及-c）=SabsinC-2abcosAsinC,cosABAD=-----

7

(1)求边6、C的长度;

(2)求AABC的面积;

(3)点G为的上一点，恁=:而，过点G的直线与边AB.ACC不含端点)分别交于E、尸.若而•丽'=二,

36

q

求—的值.

题型二：倍角定理与正弦平方差

3.记A4BC的内角的对边分别为a,"c,已知国也二回匕⑦，且6HC.

b-c

(1)证明：a2=b+c;

(2)若AABC为锐角三角形，且3=2C,求々的取值范围.

2s

4.已知a,b,c分别为三个内角A,B,。的对边，S为&4BC的面积，sin(B+C)=——-

a-c

(1)证明：A=2C；

(2)若6=2,且AABC为锐角三角形，求S的取值范围.

题型三：角平分线模型与张角定理

5.(2024.江西.模拟预测)在VABC中，内角A氏C所对的边分别为a,6,c,其外接圆的半径为2«,且

,「,A/3.„

PCOSC=aH---csinB•

3

⑴求角5；

(2)若23的角平分线交AC于点。,8。=括，点E在线段AC上，EC=2EA,求V5D6的面积.

6.在①〃=近；②AC边上的高为38；③Sin8=@这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成

27

解答.

问题：记VA3C内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知4=60。，c=6+l,

(1)求c的值；

(2)设AD是VA3C的角平分线，求AD的长.

7.在VA3C中，AC=2AB,AE为8C边上的中线，点E在BC边上，设AE=/A3.

(1)当ZBAC=可时，求t的值；

DF

(2)若AD为一比1C的角平分线，且点。也在BC边上，求”的值;

BC

⑶在(2)的条件下，若S△的=1,求I为何值时，DE最短?

题型四：隐圆问题

8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学

成果，阿氏圆(阿波罗尼斯圆)是其成果之一.在平面上给定相异两点A,B,设点P在同一平面上，且满足

|川=川印，当4>0且彳/1时，点尸的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在NABC中，AB=2,

且C4=2CB,当VABC面积取得最大值时，cosC=()

A.好B.空C.-D.-

5555

9.(2023•全国•高三专题练习)若AABC满足条件AB=4,AC=42BC，则AABC面积的最大值为一

题型五：正切比值与和差问题

10.在锐角VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinB=3sinCsinA,贝!JtanA+tanB+tanC

的最小值为.

11.在锐角VABC中，内角A,民C的对边分别为a/,c,若b=3csinA,则tanA+tanB+tanC的最小值

为.

12.在中，点。在边BC上，S.AD=BD,记/=岩.

（1）当行］ZADB=^,求*;

⑵若tan4L4c=2tan8,求几的值.

题型六：四边形定值和最值与托勒密定理

13.托勒密是古希腊天文学家、地理学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形

两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.则图四边形A3CD为圆。的内接凸四边形，BD=6,BC=2AB,

且AACD为等边三角形，则圆。的直径为（）

14.（2024・高三・山东•开学考试）克罗狄斯・托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理

学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，

该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形ABCD是圆0

的内接四边形，且AC=囱B。，ZADC=2ZBAD.ABCD+BC-AD=4y/3,则圆。的半径为（）

A.4B.2C.73D.2A/3

15.在四边形ABC。中，ABHCD,AD=BD=CD=1.

3

（1）若AB=5,求BC；

(2)若AB=2BC,求cos/BDC.

题型七：边角特殊，构建坐标系

TF3

16.在RtZ\ABC中，NBAC=—,AS=AC=2,点/在AABC内部，cosZAMC=—,则加^一跖^的

25

最小值为.

17.在等边"RC中，用为"LBC内一动点，ZBMC=120°,则器的最小值是（）

MC

A.1B.-C.立D.且

423

题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题

18.（2024•广西柳州•一模）记VA3C内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知&sinA-cosA=2.

⑴求A；

（2）若a=2,&sinC=csin22,求VA3C的周长.

19.已知VABC的内角A,民C的对边分别为a,b,c,若V^sinA+cosA=6.

⑴求A；

⑵若csinB+&bsinCcos(A+C)=0,sinA<smB,b=20,求VA5C的周长.

TT3

20.在VABC中，角A氏。所对的边分别是。也0,若5且（a—b+c）（a+力一c）=,bc.

⑴求cosC的值；

（2）若。=5,求VABC的面积.

题型九：三角形的形状判定

21.在VABC中，角A,8,C的对边分别为。，b,c,若孚=怨0=半次为非零实数），则下列结

K34

论第集的是（）

A.当氏=5时，VA3C是直角三角形B.当左=3时，VA3C是锐角三角形

C.当％=2时，VA5C是钝角三角形D.当左=1时，VABC是钝角三角形

22.在VA5C中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且acos3+（2c-））cosA=c,则VABC的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

23.在VABC中，若1-cos,Jjos汽则VABC的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

题型十：三角形中的几何计算

24.（2024.高三.江西萍乡•期中）如图,在平面四边形ABCD中，ZD=2ZB,CD=3AD=3,BC=痛,

c°sB=是

3

(1)求四边形ABC。的周长;

⑵求四边形ABCD的面积.

25.如图，四边形A3CD中，AB=1,CD=AD=2,BC=3,ZBAD+ZBCD=TI.

⑴求44D；

(2)尸为边BC上一点，且△PCD的面积为白，求AAB尸的外接圆半径.

jrSjr

26.(2024•河南•三模)已知P是VA3C内一点，PB=PC/BAC=—,NBPC=—,/ABP=。.

44

(1)若。=三,BCf,求AC；

24

71

(2)若。，求tan/BAP.

题型十一：中线长定理与余弦和为0

27.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知」二+

tanBtanCtanA

7T

⑴若A=§,求B；

(2)若a=l,求5C边上的中线AD的长.

A-i-C

28.在VABC中，内角AB。所对边的长分别为。，仇。，且满足bsinA=acos-----.

2

⑴求3；

_UUUU

⑵若b=2底BA-CB=3,3。是VABC的中线，求50的长.

29.(2024•高三•山东滨州・期末)在VABC中，内角A,3,C所对的边分别为a,6,c且asin3=bsin2A

⑴求角A；

_TT

(2)若BC=4,AD是VA3C的中线，ZBAD=~,求VA3c的面积.

重难点突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围

30.(2024・高三・辽宁大连•期中)已知函数/O)=4cosx-sinT,AABC中的三个内角A,B,C的

对边长分别为。，b,c,/(B)=1.

(1)求角8的大小；

(2)若VA3C为锐角三角形，c=2,求VABC周长的取值范围.

31.在锐角VABC中，角A、B、C的对边分别是°、6、c,且满足(2a-c)同•蔗=。丽・瓦.

(1)求角8的大小；

⑵若c=3,求VABC面积的取值范围.

32.记VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知学=「m3

smA1+cosB

(1)证明：VABC是等腰三角形.

(2)若。=1,求b+sinA的最大值.

33.在VABC中，角A、B、C的对边是。、b、c,已知助+0=岳，几为常数.

(1)若2=0,。=2,求VA3c面积的最大值；

(2)若/1=1,cosA+cosC=g,求sin3的值.

㈤2

//

1.已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若（＜:-?^114=€8111。-戾1115/=3,则AC边上中线长

(）

A.还R473-3百n4应

2323

2.VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,VABC的面积为38,且6=1,C==,则AB边上

43

的中线长为（）

A.7B.3C.77D.巫

2

3AR

3.在锐角AABC中，cosA=-,则7K的取值范围为（）

3/iCz

3

4.在VABC中，BC=8,AC=10,cosZBAC=-,则VABC的面积为()

A.6B.8C.24D.48

5.记VABC的内角A,氏C的对边分别为a,b,c,已知《^1一1=迎，

则4=()

c2sinC

A.史c2兀〃兀c71

B.—C.—D.

633~6

jrO

6.在VA3C中内角A,氏C所对边分别为a,b,c,若8=贝I]sinA+sinC=()

A-IB・应cYD-

2

IT

7.在VABC中，M为边AB的中点，若/ACM=：,则/ABC的最大值为（）

b

8.在VABC中，内角A氏C所对边分别为,若2退sinAsinBsinC=BsiYB+BsiYC-siYA,则—=()

a

A.1B.也C.也D.2

232

9.（多选题）已知VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中，正确的命题是（）

A.若〃cosA=Z?cos5,则VABC为等腰三角形

B.若4=25,贝!Ja=2bcos_B

C.若AB=3,AC=23C,则VA3C面积最大值为3

2冗

D.B=y,角3的平分线8。交AC边于。，且3。=3,则的最小值为12

10.（多选题）AABC的内角A,B,C的对边为a,b,c,则下列说法正确的是（）

A.ACCB>0-贝lUABC是锐角三角形

B.^COS2A+COS2B-COS2C=1,贝必ABC是直角三角形

C.若A+5<5,贝IjsinA+sinB<\/2

D.若tanAtanB>1,贝!JtanAtanBtanC>1

n.（多选题）设△ABC的内角A,5,c的对边分别是〃也C,若〃=石，且（2Z?—c）cosA=acosC,则下列结

论正确的是（）

JT

A.A=-B.AABC的外接圆的面积是兀

6

C.VABC的面积的最大值是m8D.2Z?-c的取值范围是（-右,2若）

4

12.（多选题）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=6（2cosA+1）,则下列结论正确的

有（）

A.A=2B

B.若。=舟,则VABC为等腰直角三角形

C.若°=&，则VABC的面积为:/

D.若VABC为锐角三角形，—'――—二的最小值为1

tanBtanA

13.在VA3C中，。是边AC的中点