中考数学复习：等腰三角形与直角三角形（共50题）

专题16等腰三角形与直角三角形（共50题）

一.选择题（共24小题）

1.（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是30机和5c〃z,则这个等腰三角形的周长是（）

A.8cmB.13cmC.8cMi或13c〃zD.IICTM或13c〃z

2.（2022•泰安）如图，h〃l2,点、A在直线h上，点B在直线h上，AB=BC,ZC=25°,Zl=

60°.则N2的度数是（）

A.70°B.65°C.60°D.55°

3.（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.（2022•天津）如图，△042的顶点。（0,0）,顶点A,2分别在第一、四象限，且轴，若AB

=6,。4=。2=5,则点A的坐标是（）

5.（2022•台湾）如图，/XABC中，。点在上，E点在BC上，OE为AB的中垂线.若/8=NC,且/

£AC>90°,则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）

C.N1WN2,Z1<Z3D.Z1#Z2,Z1>Z3

6.（2022•广元）如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,/C=90°,以点8为圆心，BC长为半径画弧，与

A8交于点再分别以A、。为圆心，大于工4。的长为半径画弧，两弧交于点M、N,作直线MN,分

2

别交AC、AB于点E、F,则AE的长度为（)

C.2V2

D噌

7.（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3,

1）,（4,-2）,下列各地点中，离原点最近的是（）

市学校

f场

‘院

A.超市B.医院C.体育场D.学校

8.（2022•温州）如图，在RtzXABC中，ZACB=90°,以其三边为边向外作正方形，连结CR作GM_L

CF于点于点J,AKL8;于点K,交CF于点L若正方形ABGP与正方形JKLW的面积之

()

c.2V2D.国

9.（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，AABC,/\PAB,APBC,

△PCA的面积分别记为So,Si,S2,S3.若SI+S2+S3=2SO,则线段OP长的最小值是()

A.3MB.5愿c.3aD.7愿

222

10.（2022•南充）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,/8AC的平分线交8C于点。，DE//AB,交AC于

点、E,。尸，A8于点RDE=5,DF=3,则下列结论错误的是（)

C.AE=5D.AC=9

11.（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点2和点C为圆心，大于』长为半径画弧，两弧相交于

2

点N.作直线MN,交AC于点。，交8c于点E,连接BD若AB=7,AC=12,BC=6,则△ABO

的周长为

C.19D.18

12.（2022•河北）题目：“如图，ZB=45°,BC=2,在射线上取一点A,设AC=d,若对于d的一

个数值，只能作出唯一一个△ABC,求d的取值范围.”对于其答案，甲答：122,乙答：d=1.6,丙答:

则正确的是（）

M

A.只有甲答的对

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

13.（2022•宜宾）如图，△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90°,点。是边上

的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F,连结CE.下列结论：①BD=CE；②/DAC=/

CED；③若BD=2CD,则史=生④在△ABC内存在唯一一点P,使得PA+PB+PC的值最小，若点D

AF5

在AP的延长线上，且AP的长为2,则。£=2+'左.其中含所有正确结论的选项是（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

14.（2022•眉山）在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=8,点。，E,尸分别为边AB,AC,8c的中点，则

△QEF的周长为（）

A.9B.12C.14D.16

15.（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形

（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三

角形面积均为1,a为直角三角形中的一个锐角，贝！Itana=（）

16.（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0,2）,点8是x轴正半轴上的一点，将线段A8绕点A按逆时

针方向旋转60°得到线段AC.若点C的坐标为（m,3）,则根的值为（）

17.（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块.小明通过电话

给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△A8C,提供下列各组元素的数据，配出

来的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,ZBC.AB,AC,ZBD.ZA,ZB,BC

18.（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB=AC,4。是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连

结EB,EC.若/E2C=45°,BC=6,则△EBC的面积是（）

A

A.12B.9C.6D.3&

19.（2022•宁波）如图，在RtZXABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点,尸为CE中点.若AE=

A.2A/2B.3C.2V3D.4

20.（2022•云南）如图，08平分/AOC,。、E、尸分别是射线OA、射线。8、射线0c上的点，D、E、

F与O点都不重合，连接ED、EF.若添加下列条件中的某一个，就能使你认为要添

A.OD=OEB.OE=OFC./ODE=NOEDD.ZODE^ZOFE

21.（2022•达州）如图，AB//CD,直线所分别交A8,CO于点M,N,将一个含有45°角的直角三角尺

按如图所示的方式摆放，若/EMB=8Q°,则NPNM等于（）

AMB

cND

F

A.15°B.25°C.35°D.45°

22.（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为A3,高为AC,一只蚂蚁在。处，沿圆柱的侧面爬到8处，现

将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）

尽

C._______D.________

23.（2022•舟山）如图，在RtzXABC和RtZXBOE1中，/ABC=NBDE=90°，点A在边。E的中点上，若

AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为（）

K

BC

A.\414B.-/15C.4D.Vi7

24.（2022•遂宁）如图，D、E、尸分别是△ABC三边上的点，其中8C=8,8C边上的高为6,且QE〃8C,

则△。所面积的最大值为（）

A

BFC

A.6B.8C.10D.12

二.填空题（共15小题）

25.（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB^AC,AO_L2C于点若3。=6,贝.

A

BDC

26.（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若

等腰△A8C是“倍长三角形"，底边8c的长为3,则腰的长为.

27.（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形.若/A=40°,则△ABC的顶角度数是.

28.（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,立柱AD1BC,且顶角/8AC=

120°,则NC的大小为

A

BD

29.（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是（-五，3）,则A点的坐标

90°,NA=30°,BC=2cm.把△ABC沿A3方向平移

1cm,得到△ABC,连结CC,则四边形AB'CC的周长为cm.

31.（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边人

氏c求面积的公式，其求法是：“以小斜塞并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕

减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为S=

I2222

g[c2a2-（金二亡-）].现有周长为18的三角形的三边满足a：b-.c=4：3：2,则用以上给

V42

出的公式求得这个三角形的面积为.

32.（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCZ）中，AB=AD,/8+/。=180°,点E,歹分别在

BC,上，若贝U

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知CD=CB=100m,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路A。，AB上分别有景点N,且。M=100mBN=

50（V3-1）相，若在M,N之间修一条直路，则路线M-N的长比路线M-A-N的长少m

（结果取整数，参考数据：百-1.7）.

A

图①图②

33.（2022•山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=

DF,连接所交边于点G.过点A作ANLEE垂足为点M,交边C。于点N.若BE=5,CN=8,

34.（2022•武汉）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AOBC,分别以△ABC的三边为边向外作三个

正方形ABHL,ACDE,BCFG,连接。足过点C作的垂线CJ,垂足为J,分别交DRLH于点I,

K.若C/=5,CJ=4,则四边形A/KZ的面积是.

35.（2022•孝感）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾

股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉

图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17；若此类勾股数的勾

为2m（m23,m为正整数），则其弦是（结果用含加的式子表示）.

36.（2022•台州）如图，在△ABC中，ZACB=90°,D,E,尸分别为AB,BC,CA的中点.若防的长

为10,则CD的长为.

37.（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条

件_______

38.（2022•株洲）如图所示，点。在一块直角三角板ABC上（其中NA8C=30°）,OM±AB于点M,

39.（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点8和C为圆心，以大于工8C的长为

2

半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点E.若AC=5,BE=4,ZB=45°,则AB

的长为.

三.解答题（共11小题）

40.（2022•温州）如图，3。是△ABC的角平分线，DE//BC,交AB于点E.

（1）求证：NEBD=/EDB.

（2）当A8=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.

C

D

AEB

41.（2022•金华）如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图

（如图2）,得到大小两个正方形.

（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长.

（2）当a=3时，该小正方形的面积是多少？

图1图2

42.（2022•山西）综合与实践

问题情境：在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EDF中/£。尸=90°,将三角

板的直角顶点。放在Rt^ABC斜边3C的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边。E,分别

与边AB,AC交于点M,N.

猜想证明：

（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边A2的中点时，试判断四边形AMLW的形状，并说明

理由；

问题解决：

（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；

（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长.

43.（2022•武汉）问题提出

如图（1）,在△A3C中，AB=AC,。是AC的中点，延长8c至点E,使DE=DB,延长瓦>交A8于

点R探究处的值.

AB

问题探究

（1）先将问题特殊化.如图（2）,当/BAC=60°时，直接写出迎的值；

AB

（2）再探究一般情形.如图（1）,证明（1）中的结论仍然成立.

问题拓展

如图（3）,在△ABC中，AB=AC,。是AC的中点，G是边上一点，（〃<2）,延长8C至

BCn

点E,点、DE=DG,延长交43于点?直接写出处的值（用含"的式子表示）.

AB

AA

B

(1)(2)

44.(2022•怀化)如图，在等边三角形ABC中，点M为A3边上任意一点，延长至点N,使CN=AM,

连接"N交AC于点P,于点

(1)求证：MP=NP；

(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含。的代数式表示).

45.(2022•杭州)如图，在RtZ\ACB中，ZACB=90°,点M为边A8的中点，点£在线段AM上，EF±

AC于点凡连接CM,CE.已知NA=50°,ZAC£=30°.

(1)求证：CE=CM.

(2)若A8=4,求线段FC的长.

46.(2022•陕西)问题提出

(1)如图1,AD是等边AABC的中线，点尸在的延长线上，且AP=AC,则NAPC的度数

为.

问题探究

(2)如图2,在△ABC中，CA=CB=6,ZC=120°.过点A作AP〃BC,S.AP=BC,过点P作直线/

±BC,分别交A3、BC于点O、E,求四边形OECA的面积.

问题解决

（3）如图3,现有一块△ABC型板材，NACB为钝角，ZBAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个

△A8尸型部件，并要求NBAP=15°,AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下：

①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交于点。，连接C。；

②作CD的垂直平分线I,与CD交于点E；

③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线/于点P,连接AP、BP,得△A8P.

请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论.

图1图2图3

47.（2022•绍兴）如图，在△ABC中，NABC=40°,ZACB=90°,AE平分NBAC交BC于点E.P是

边BC上的动点（不与8,C重合）,连结AP,将△APC沿AP翻折得△AP。，连结。C,记/BCD=a.

（1）如图，当尸与E重合时，求a的度数.

（2）当尸与E不重合时，记探究a与0的数量关系.

备用图

48.（2022•扬州）如图1,在△ABC中，ZBAC=90°,ZC=60°，点。在BC边上由点C向点8

运动（不与点8、C重合）,过点。作。ELA。，交射线A2于点£

（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；

①点E在线段AB的延长线上且BE=BD；

②点E在线段AB上且EB=ED.

（2）若AB=6.

①当些=近_时，求AE的长；

AD2

②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值.

A

A

图1

49.(2022•嘉兴)小东在做九上课本123页习题：“1：我也是一个很有趣的比.已知线段(如图1),

用直尺和圆规作AB上的一点P,使AP：AB=1：”小东的作法是：如图2,以A8为斜边作等腰直

角三角形A8C,再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段A8于点P,点P即为所求作的点.小东称

点P为线段的“趣点”.

(1)你赞同他的作法吗？请说明理由.

(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP,点。为线段AC上的动点，点E在AB的上方，

构造使得ADPEsACPB.

①如图3,当点。运动到点A时，求NCPE的度数.

②如图4,DE分别交CP,CB于点M,N,当点D为线段AC的“趣点”时(COCA。)，猜想：点N

是否为线段ME的“趣点”？并说明理由.

图2图3

50.(2022•湘潭)在△ABC中，NA4c=90°,AB=AC,直线/经过点A,过点2、C分别作/的垂线，

垂足分别为点。、E.

(1)特例体验：如图①，若直线/〃BC,AB=AC=42,分别求出线段8。、CE和DE的长；

(2)规律探究：

(I)如图②，若直线/从图①状态开始绕点A旋转a(0<a<45°),请探究线段3。、CE和。E的数

量关系并说明理由；

(II)如图③，若直线I从图①状态开始绕点A顺时针旋转a(45°<a<90°),与线段BC相交于点

H,请再探线段3。、CE和DE的数量关系并说明理由；

(3)尝试应用：在图③中，延长线段8。交线段AC于点R若CE=3,DE=1,求S4BFC.

专题16等腰三角形与直角三角形（共50题）解析版

一.选择题（共24小题）

1.（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是30机和5c〃z,则这个等腰三角形的周长是（）

A.8cmB.13cmC.8cMi或13c〃zD.IICTM或13c〃z

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨

论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解析】当3c用是腰长时，3,3,5能组成三角形，

当是腰长时，5,5,3能够组成三角形.

则三角形的周长为11。〃或13cm.

故选：D.

【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种

情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

2.（2022•泰安）如图，h//12,A在直线/1上，点B在直线h上，AB=BC,ZC=25°,Zl=

60°.则N2的度数是（）

A.70°B.65°C.60°D.55°

【分析】利用等腰三角形的性质得到/C=/BAC=25°,利用平行线的性质得到NBEA=95°,再根据

三角形外角的性质即可求解.

【解析】如图，

'：AB=BC,ZC=25°,

AZC=ZBAC=25°,

'：h//h,Zl=60°,

：.ZBEA=180°-60°-25°=95°,

"：ZBEA=ZC+Z2,

.,.Z2=95°-25°=70°.

故选：A.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，解决问题的关键是注意

运用两直线平行，同旁内角互补.

3.（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】设底角的度数是£,则顶角的度数为（2x+20）。，根据三角形内角和是180°列出方程，解

方程即可得出答案.

【解析】设底角的度数是尤。,则顶角的度数为（2x+20）°,

根据题意得：x+x+2x+20—lS0,

解得：尤=40,

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键.

4.（2022•天津）如图，的顶点。（0,0）,顶点A,8分别在第一、四象限，且轴，若48

=6,OA=OB=5,则点A的坐标是（）

A.（5,4）B.（3,4）C.（5,3）D.（4,3）

【分析】根据等腰三角形的性质求出AC,根据勾股定理求出OC,根据坐标与图形性质写出点A的坐标.

【解析】设与彳轴交于点C,

\'OA=OB,OC±AB,AB=6,

.'.AC=-^-AB=3,

2

由勾股定理得：℃=,0人2_人.2={52-32=4,

.,.点A的坐标为（4,3）,

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键.

5.（2022•台湾）如图，△ABC中，。点在AB上，E点在BC上，£）£1为的中垂线.若NB=NC,且/

EAC>90°,则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）

A

C.N1WN2,Z1<Z3D.Z1#Z2,Z1>Z3

【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可.

【解析】E为的中垂线，

ZBDE=ZADE,BE=AE,

:.NB=NBAE,

.•.Z1=Z2,

VZEA0900,

.,.Z3+ZC<90°,

•.,ZB+Z1=9O°,ZB=ZC,

.-.Z1>Z3,

：.Z1=Z2,Z1>Z3,

故选：B.

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的性质定理是解答

本题的关键.

6.（2022•广元）如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,NC=90°,以点2为圆心，3C长为半径画弧，与

A8交于点。，再分别以A、。为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N,作直线MN,分

2

别交AC、A2于点E、F,则AE的长度为（）

【分析】利用勾股定理求出AB,再利用相似三角形的性质求出AE即可.

【解析】在RtZXABC中，BC=6,AC=8,

；•AB=VBC2+AC2=Ve2+82=1。，

,:BD=CB=6,

：.AD=AB=BC=4,

由作图可知EF垂直平分线段AD,

：.AF=DF=2,

VZA=ZA,ZAFE=ZACB=9Q°，

：.AAFE^AACB,

AEAF

ABAC

AE

1O2

8

：.AE=^-,

2

故选：A.

【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决

问题，属于中考常考题型.

7.（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3,

1）,（4,-2）,下列各地点中，离原点最近的是（）

超市学校

后

1场

6‘院

A.超市B.医院C.体育场D.学校

【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点。到超市、学校、

体育场、医院的距离，再比较大小即可.

【解析】如右图所示，

点。到超市的距离为：^22+12^^5>

点。到学校的距离为：正+古板，

点。到体育场的距离为：Vl2+22=V20.

点。到医院的距离为：712+32=^10-

,•,V5<VlO=Vio<V2O>

...点O到超市的距离最近，

故选：A.

>'A

闻市学

0

本：;场

屋院

【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系.

8.(2022•温州)如图，在RtAASC中，ZACB=90°,以其三边为边向外作正方形，连结CF,作GM±

CF于点M,BJLGM于点J,AK±BJ于点K,交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之

A.V5B.3+^C.2A/2D.A/10

2

【分析】设CP交42于尸，过C作CNLAB于N,设正方形JKZJW边长为相，根据正方形A8GP与正方

形JKLM的面积之比为5,得AF=AB=^n,证明△4反乌△尸GM(AAS),可得AL=FM,设AL=

FM=x,在RtZWEL中，％2+(x+zn)2=2,可解得尤=根，有AL=FM=m,FL=2m,从而可得

人尸=近且，FP=3”,2尸=近且，即知P为AB中点，CP=AP=BP=^取,由得

2222

CN=m,PN=Ln,即得AN^^+1m,而tanNBAC=AC=01=——，XAAEC^ABCH,得生

22ACANV5+1AC

=®,即-—=,故CH=2近.

CEV5+1V10W2

【解析】设CF1交AB于P,过C作CN_L4B于M如图：

E

H

AB

G

设正方形JKLM边长为m,

：.正方形JKLM面积为m2,

•・•正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，

・•・正方形ABGF的面积为5m2,

:・AF=AB=y[^m,

由已知可得：ZAFL=90°-/MFG=NMGF,NAL尸=90°=/FMG,AF=GF,

：.AAFL^AFGM(AAS)，

：.AL=FMf

设贝！J

在中，A£2+FL2=AF2,

；・/+(x+m)2=2,

解得x=m或x=-2根(舍去),

'.AL=FM=m,FL—2m,

■/tanZAFL=-^=.^L=JL=A,

AFFL2m2

•-•AP—-—1J

V5m2

1r*,

2

FP=22

VAP+AF=J哼旷+函/=芸,BP=AB-AP=娓m-

：.AP=BP,即P为AB中点，

VZACB=90°,

二CP=AP=BP=^m,

2

'：ZCPN=ZAPF,NCNP=90°=ZFAP,

，工CPNsAFPA,

m

・CP=CN=PN即2_CN__PN

FPAFAP5_mV5m丁5m

2m-2~

CN=m,PN=—m,

2

AN=AP+PN=娓+1〃7,

2

.•.tanZBAC=^=^-m2

7?7r而‘

-2-m

；AAEC和△BCW是等腰直角三角形,

△AECs^BCH,

•BC=CH

,,ACCE"

VC£=-/TO+V2-

•2=CH；

"V5+1V10W21

:.CH=2®

故选：c.

【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理

等知识，解题的关键是用含机的代数式表示相关线段的长度.

9.（2022•安徽）已知点0是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，AABC,APAB,APBC,

△PCA的面积分别记为So,Si,S2,S3.若SI+S2+S3=2SO,则线段0P长的最小值是（）

A.§6B.5愿c.3A/3D.

222

【分析】如图，不妨假设点P在的左侧，证明的面积是定值，过点P作AB的平行线PM,连

接CO延长C。交AB于点R,交PM于点T.因为△PA3的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线

PM,求出OT的值，可得结论.

【解析】如图，不妨假设点尸在A8的左侧,

*.*S/\PAB+SAABC=SAPBC+SAPAC,

Si+So=82+83,

*.*SI+S2+S3=2SO,

Si+Si+So=2s/

.•.Si=』So,

2

「△ABC是等边三角形，边长为6,

:.So=®xW=9如,

4

尸逅，

2

过点P作AB的平行线PM,连接C。延长CO交于点R,交PM于点T.

VAPAB的面积是定值，

/.点P的运动轨迹是直线PM,

是△ABC的中心，

CTLAB,CTLPM,

：.1-AB'RT=^H-,CR=3我，OR=43,

22

；.RT=3爪,

2

：.0T=0R+TR=^3-,

2

•/OP^OT,

•••OP的最小值为旦应，

2

当点尸在②区域时，同法可得OD的最小值为上运，

2

如图，当点尸在①③⑤区域时，。尸的最小值为包巨，当点尸在②④⑥区域时，最小值为

22

••573773.

•22

【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△PAB

的面积是定值.

10.（2022•南充）如图，在Rt^ABC中，/C=90°,/B4C的平分线交8C于点。，OE〃AB,交AC于

点E,。下，于点RDE=5,DF=3,则下列结论错误的是（）

【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得。和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到

AE的长，从而可以判断2和C,然后即可得到AC的长，即可判断£＞；再根据全等三角形的判定和性质

即可得到的长，从而可以判断人

【解析】平分/BAC,ZC=90°,DFLAB,

.-.Z1=Z2,DC=FD,ZC=ZDFB=9Q°,

'：DE//AB,

/.Z2=Z3,

・・・N1=N3,

：.AE=DE,

・：DE=5,DF=3,

：.AE=59CD=3,故选项5、C正确；

AC£=VDE2-CD2=4,

：.AC=AE+EC=5+4=9,故选项。正确;

'JDE//AB,NDFB=9U°,

；,/EDF=/DFB=90°,

.\ZCDF+ZFDB=90°,

•:NCDF+NDEC=90°,

/DEC=ZFDB,

・.・tanNDEC=空，tmZFDB=^L,

CEDF

•・•—3二BF,

43

解得故选项A错误；

4

【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本

题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

11.（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点3和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于

2

点M,N.作直线MN,交AC于点。，交BC于点,E,连接8D若AB=1,AC=12,BC=6,则△45。

的周长为（）

【分析】根据题意可知MN垂直平分BC,即可得到。8=OC,然后即可得至（jAB+8O+AD=4B+OC+A。

AB+AC,从而可以求得△A8Z）的周长.

【解析】由题意可得，

垂直平分BC,

:.DB=DC,

'：AABD的周长是AB+BD+AD,

：.AB+BD+AD^AB+DC+AD^AB+AC,

\"AB=1,AC=12,

：.AB+AC^19,

：.,：AABD的周长是19,

故选：C.

【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合

的思想解答.

12.（2022•河北）题目：“如图，ZB=45°,BC=2,在射线上取一点A,设AC=d,若对于“的一

个数值，只能作出唯一一个△ABC,求d的取值范围.”对于其答案，甲答：42,乙答：d=L6,丙答:

d=M，则正确的是（）

A.只有甲答的对

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

【分析】由题意知，当CAL8A或CA>8C时，能作出唯——个△ABC,分这两种情况求解即可.

【解析】由题意知，当C4_LB4或CA>8C时，能作出唯——个△ABC,

①当CA1BA时，

VZB=45°,BC=2,

；.AC=BC・sin45°=2X叵=近,

2

即此时

②当CA=BC时，

VZB=45°,BC=2,

,此时AC=2,

即d>2,

综上，当（1=如或d>2时能作出唯——个△ABC,

故选：B.

【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质及

三角形的三边关系是解题的关键.

13.（2022•宜宾）如图，ZkABC和△AOE都是等腰直角三角形，/8AC=/D4E=90°,点。是8C边上

的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F,连结CE.下列结论：①BD=CE；②/DAC=/

CED-,③若BD=2CD,则史=生④在△ABC内存在唯---点P,使得PA+PB+PC的值最小，若点D

AF5

在AP的延长线上，且AP的长为2,则CE=2+«.其中含所有正确结论的选项是（）

C.①③④D.①②③④

【分析】①正确.证明（S4S）,可得结论；

②正确