整式的乘除（压轴题特训）解析版-2024-2025学年北师大版七年级数学下册

整式的乘除压轴题特训

一、单选题

1.下列各式中，能用完全平方公式计算的是()

A.(—2a—/?)(/7—2d)B.(—2a—b)(2a+b)

C.(—3a+2b)(3a+2力)D.(3a+2b)(3a—2b)

【答案】B

【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式具有以下特征：①左边是两个数的和或差的平方；②

右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左

边的运算符号相同.

根据完全平方公式的特点逐项判断即可.

【详解】解：A、(―2a—b)(6—2a)=-(2a+b)(b—2a),不能表示两数和或差的平方的形式，不能

用完全平方公式计算，不符合题意；

B、(一2a—6)(2a+b)=—(2a+b)(2a+b)=—(2a+6)2,能表示两数和或差的平方的形式，能用完

全平方公式计算，符合题意；

C、(―3a+26)(3a+26)=—(3a—26)(3a+2b),,不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平

方公式计算，不符合题意；

D、(3a+2b)(3a—2b),不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意.

故选B.

2.如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a+2)的小正方形(a〉2),将剩余部分剪开密铺成

一个平行四边形，则该平行四边形的面积为()

A.a2+4B.2a2+4

C.3a之一4a—4D.4a2—a—2

【答案】C

【分析】平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积.

本题考查了整式混合运算的应用，解题的关键是理解两个正方形的面积与平行四边形的面积之间的关系,

列出相应的式子后再化简.

【详解】解：・：拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，

该平行四边形的面积为：(2a)2—(a+2)2

=4a2—(a2+4a+4)

=4a2—a2—4a—4

-3a2—4a—4,

故选：C.

3.若炉.xmy2n=x9y8,则m+n的值为()

A.6B.10C.9D.7

【答案】B

【分析】本题考查同底数的乘法、解一元一次方程，代数式求值，先根据同底数的乘法法则可得

{32n^89＞求得{鲁=£，再代入求值即可.

【详解】解：••23.xmy2n=x9y8,

,[3+m=9

••[2n=8'

解得僵二，

Am+n=6+4=10,

故选：B.

4.若多项式ax—3与2/+2x+3的乘积展开式中不含x的二次项，则a的值为()

A.3B.-2C.2D.0

【答案】A

【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，利用多项式乘以多项式的法则进行计算，根据

结果不含x的二次项，得到x的二次项的系数为0,进行求解即可.

【详解】解:(ax-3)(2x2+2%+3)

=2ax3+2ax2+3ax—6x2—6x—9

=2ax3+(2a—6)x2+(3a—6)x—9；

:展开式中不含x的二次项，

2a—6=0,

.".a=3；

故选A.

5.若谈=5,6^=2,则a2x-3y的值为()

A.21B.4C.D,

【答案】C

【分析】本题主要考查了同底数幕的除法的逆运算，嘉的乘方的逆运算等知识点，应用同底数塞的除法

法则和幕的乘方的逆运算，进行计算即可，熟练掌握运算法则是解决此题的关键.

【详解】a2x—3y—a2x+/3y—(口久)2+(或)3,

\*ax=5,ay=2,

，原式=524-23=^,

故选：C.

6.若a—力=3,%—y=2,则代数式小—2ab+炉一%+y+2024的值是()

A.2024B.2029C.2031D.2035

【答案】C

【分析】此题考查了完全平方公式的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入

计算，也可以运用整体代入的思想，利用了整体代入进行计算是解题的关键.

把所给代数式的值整体代入变形后的式子计算即可.

【详解】解：•・•a—I=3,%—y=2,

a2—2ab+b2—%+y+2024

=(a—b)2—(x—y)+2024

=32—2+2024

=2031,

故选：C.

7.已知。2+用=13,ab=6,则(a+b)2=()

A.25B.19C.9D.6

【答案】A

【分析】此题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式是解决此题的关键.

根据完全平方公式(a+b)2=a2+b2+2ab,即可求出结论.

【详解】解：:原+抉=13,ab=6,

(a+b)2=a2+b2+2ah,

=13+2x6,

二25,

故选：A.

8.已知5a=2。=10,那么g值为()

a+b

A.1B.2C.-1D.3

【答案】A

【分析】本题主要考查基的乘方及积的乘方的逆用，根据塞的乘方和积的乘方逆用得出ab=a+6,再

进行变形即可求解.

【详解】M：V5a=2b=10,

.,.(5a)h=10b,(2b)a=10a,即5ab=10"2ab=10。,

5ab-2ab=10a+b,即10-=10a+b,

ab=a+b,

-'a+b~

故选：A.

9.若方程久+4=0的左边是一个完全平方式，则加的值是()

A.-4B.4C.4或一4D.2或一2

【答案】C

【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出小的值，熟练掌握完全平

方公式是解本题的关键.

【详解】解：•••方程4=0的左边是一个完全平方式，

x2+mx+4=x2±2xx2+22=(x±2)2,

m=±4,

故选：C.

10.“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境，已知长方形空地的面积为(3ab+b)

平方米，宽为b米，则这块空地的长为()

A.3a米B.(3a+1)米C.(3a+26)米D.(3a%2+2属)米

【答案】B

【分析】本题考查了整式的除法运算，直接利用整式的除法运算法则计算即可得出答案，掌握整式的

除法运算法则是解题关键.

【详解】解：(3ab+b)+b=3ab+b+匕+b=3a+1,

...这块空地的长为(3a+1)米，

故选：B.

11.已知N+x—3=0,那么代数式x(久一2)+(x+2)2+5值是()

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【分析】本题考查整式混合运算，已知式子的值求代数式的值.由已知得到/+%=3,运用整式的混

合运算法则对代数式尤(％-2)+(%+2)2+5化简变形，代入即可解答.

【详解】解：••"2+比一3=0,

.'.%2+x=3,

—2)+(x+2尸+5

=x2—2x+x2+4%+4+5

=2x2+2x+9

=2(x2+x)+9

=2x3+9

=15.

故选：B

12.计算(一5)2013+(—5)2014的结果是()

A.4x52013B.-5C.-4x52013D.-4

【答案】A

【分析】本题主要考查了累的运算.熟练掌握乘方的符号法则，同底数幕乘法，提取公因式，是计算

本题是关键.

原式化为一52。13+52014,逆用同底数幕乘法法则得5X52013_52013；提取公因式得52OI3X(5-l),

计算即可.

【详解】解：(-5)2。13+(—5)2014

__^2013_|_52014

=5x52013—52013

=52013x(5-1)

=4X52013.

故选：A.

13.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章

算术》一书中，用如图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三

角”.根据“杨辉三角”请计算(a+6)1。的展开式中第三项的系数为()

3+与。..............①

(.a+bV.........................①①

(。+6)2................................①②①

("6)3………①③③①

(。+34……①④⑥④①

(a+6)5…①⑤⑩⑩⑤①

A.28B.36C.45D.55

【答案】C

【分析】本题考查整式乘法的规律，根据杨辉三角图形规律第三项系数为1到指数前一位的整数和求

解即可得到答案；

【详解】解：由杨辉三角得，

(a+。尸的第三项系数为3=1+2,

(a+b)4的第三项系数为6=1+2+3,

(a+的第三项系数为10=1+2+3+4,

由此可知(a+b)71的第三项系数为1+2+3+4+….+(n-1),

/.(a+6)1°的展开式中第三项的系数为：1+2+3+4+......+9=45,

故选：C.

14.已知a?+廿=帅+1,则代数式a?+炉+ab的值可能是()

A.-1B.C.|D.4

【答案】C

【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，先由a2++2必=3ab+1,a2+b2

—2ab=—ab+1,得出—"IwabWl,然后通过小+扶+成=24匕+i,求出g十廿十口匕43即

可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解:Va2+b2=ab+1,

a2+b2+2ab=3ab+1,a2+b2—2ab=—ab+1,

(a+6)2=3ab+1>0,(a—fa)2=—ab+1>0,

~1<ab<1,

a2+b2=ab+1,

a2+b2+ab=2ab+1,

<a2+b2+ab<3,

，C选项符合题意，

故选：C.

15.己知，a=255,人=343。=433,则0、6、°的大小关系是()

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>b>c

【答案】A

【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则.应先将a、b、c

化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出a、6c的大小.

【详解】解：a=255=(25)II=3211,

6=344=(3，11=8111,

c—433==6411

•・•32<64<81

・•・3211<6411<8111

a=255<c=433<b=344

故选：A

16.若(％+2)(%—1)=/+血％+九，则根+九=()

A.1B.-2C.-1D.2

【答案】C

【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握整式的运算法则是解题关键.先计算多项式乘以多

项式，再比较系数可得机刀的值，代入计算即可得.

【详解】解：(%+2)(%—1)=%2—%+2%—2=/+%一2,

V(x+2)(%—1)=x2+mx+n,

x2+%—2=%2+mx+n,

.,.m==—2,

/.m+n=1+(—2)=—1,

故选：C.

17.若6、=3,6丫=4,贝lj6A2y的值为()

33

A.-B.—C.-13D.-5

olo

【答案】B

【分析】本题考查了同底数幕除法的逆用、幕的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键.根据同

底数幕除法的逆用、幕的乘方的逆用可得6A2y=6,+(6y)2,代入计算即可得.

【详解】解：•••6"=3,6〃=4

x2

6~y=6X4-62y

=3+@)2

=3+42

3

=16'

故选：B.

18.沙棘果富含多种维生素、氨基酸等营养成分，被誉为“神奇之果”.朔州市当地沙棘种植不仅改善了生态

环境，还带动了当地经济发展.某果农租了两块地种植沙棘，第一块地是边长为(a+2)m的正方形，第

二块地是长为(a+10)m,宽为am的长方形，则第二块地比第一块地的面积(单位：m?)多()

A.2a2+14a+4B.14a—4C.6a+4D.6a—4

【答案】D

【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，完全平方公式，先根据面积公式求出第二块的面积和第一

块的面积，再计算即可.

【详解】解：由题意得：(a+10)a—(a+2)2

=a?+10a—(42_|_4a+4)

=a2+10a—a2—4a—4

=(6a—4)m2,

故选：D.

19.如图，通过计算，比较图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的算式是()

图①图②

A.a(b—x)—ab—axB.(a—x)(b—x)-ab—ax—bx+x2

C.(a—x)(Z)—x)—ab—ax—bxD.b(a—x)=ab—bx

【答案】B

【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，要求阴影部分面积，若不规则图形

可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解，解题

的关键是正确表示出图①和图②中阴影部分的面积列出等式.

由题意知：图①和图②中阴影部分的面积相等，正确表示出图①和图②中阴影部分的面积列出等式即

可解答.

【详解】解：由题意知：图①和图②中阴影部分的面积相等，

图①中，阴影部分面积=(a—x)(b—x),

图②中，阴影部分面积=ab-ax—6x+x2,

•••(a—x)(b—x)=ab—ax—bx+x2,

故选：B.

20.若4a=2,4b=3,且4ax+2b-i=18,则X的值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题主要考查了同底数幕的乘除法的逆用，幕的乘方的逆用等知识点，根据同底数幕的乘除

法和幕的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数暴的乘除法和累的乘方运算法则是解决此

题的关键.

fo2

【详解】解：；4ax+2bT=4ax.42b.4~1=(4。尸.(4)-p

又=2,4。=3,

：^ax+2b-l=2、•32J=2',

44

：.9^x2x=18,

4

化简得*=8,

=3,

故选：C.

21.如果9/+(7n+1)砂+俨是一个完全平方式，那么ni的值是()

A.5B.±5C.7D.5或一7

【答案】D

【分析】根据完全平方式得出(m+l》y=±2-3xy,再求出血即可.本题考查了完全平方式，能熟记

完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有。2+2防+廿和a2一2昉+/两个.

【详解】解：,；9%2+(7n+1)盯+y2是一个完全平方式，

22

:.(3x)2+(7n+Y)xy+y=(3x±y),

(m+l)xy=±2-3xy,

整理得zn+1=±6,

解得小的值是5或一7,

故选：D.

二、填空题

22.已知a=233,b=418,c=8i°,则a、b、c的大小关系是.

【答案】c<a<b

【分析】本题考查了事的乘方的逆运算.解题的关键是利用暴的乘方运算对各式变形，变成底数相同

的形式.

［详解］解：a=233,6=418=02)18=236,C=810=(23)10=230,

V230<233<236,

.\c<a<b,

故答案为：c<a<b.

23.如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24,则图中阴影部分的面积是.

【答案】12

【分析】本题考查了平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提.

设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,贝必B=a—b,由题意可得a?—炉=24,将S阴影部分转

化为S&WC+S3B。，即Ra?—廿)，代入计算即可.

【详解】解：如图，设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,则4B=a—b,

由于大正方形与小正方形的面积之差是24,即a?-b2=24,

S阴影部分=S4ABC+^AABD

11

=—(a—/))•Z)+—(a—h)-a

1

=-(a+

1

=2(层_h2)

1

=-x24

=12.

故答案为：12

1

24.若彦―5a+l=0,则小+标=.

【答案】23

【分析】本题考查了等式的性质，完全平方公式的运用，求得a+：=5是解题的关键.先求出a+5

=5,再用完全平方公式计算即可.

【详解】解：方程a2—5a+l=0变形得：a+5=5,

两边平方得：(a+5)=a2+^+2=25,

则a2+与=23.

故答案为：23.

25.有若干张如图所示的正方形/类、3类卡片和长方形C类卡片.如果要拼成一个长为(2a+6),宽为

【答案】7

【分析】本题考查了多项式乘以多项式，计算出长为(2a+b),宽为(3a+2b)的大长方形的面积以及N

类、2类卡片和长方形C类卡片的面积，即可得出答案.

【详解】解:长为(2a+b),宽为(3a+2b)的大长方形的面积为(2a+b)(3a+2b)=6a2+4ab+3ab+2

b2=6a2+7ab+2b2,

/类卡片的面积为：a2,

8类卡片的面积为：b2,

C类卡片的面积为：ab,

..•要拼成一个长为(2a+b),宽为(3a+2b)的大长方形，需要6块/类卡片，2块8类卡片，7块。类

卡片，

故答案为：7.

26.在长方形4BCD内，将两张边长分别为。和6(a>6)的正方形纸片分别按图1、图2两种方式放置

(图1、图2中两张正方形纸片均有重叠部分)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表

示，设图1中的阴影部分的面积为Si，图2中的阴影部分的面积为S2，当2D—48=2时，S2-=

(用字母表示)

图1图2

【答案】2b

【分析】本题主要考查了整式的混合计算，根据图形面积之间的关系分别表示出52、Si，再根据整式

的加减计算法则求出S2—S1的结果，再结合AD—=2即可求出答案.

22

【详解】解：由题意得，S1=AB-AD-a-b{AD-a)=AB-AD-a-AD-b+ab,

S2=A.D,A.B—a2—b(AB—a)—XD,A.B—ct^—A.B,b+ab,

:・S?—Si

=AD•AB—a2—AB•b+ab—(AB•AD—a2—AD•b+ab)

=AD•AB—a2—AB•b+ab—AB•AD+a2+AD-b—ab

=—AB-b+AD•b

=b(AD-AB)f

9：AD-AB=2,

S2—Si=2b,

故答案为：2b.

27.若x,y满足《二ID］，则式子47—9y2的值为.

【答案】-6

【分析】本题考查了利用平方差公式计算，由已知可得2x+3y=3,2x—3y=—2,再利用平方差公

式可得4/—9y2=(2x+3y)(2x-3y),代入数值计算即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键.

【详解】解：•卷］弘=2忽，

・••由②得，2%—3y=—2,

4%2—9y2=(2%+3y)(2x—3y)=3x(—2)=—6,

故答案为：-6.

28.若a+b=5,ab=6,贝!J(a+l)(b+1)的值是.

【答案】12

【分析】本题考查的是整式的乘法运算■化简求值，先根据整式混合运算的法则把原式化为必+(a+b)

+1的形式是解答此题的关键.先根据整式乘法运算的法则把原式进行化简，再把。+b=5fab=6代入

进行计算即可.

【详解】解：(a+1)(Z?+1)=ab+a+b+1=ab+(a+b)+1,

a+b=5,ab=6,

原式=6+5+1=12.

故答案为：12.

29.若％—y=7,且(5一%)(5+y)=1,贝改2—%丫+/=.

【答案】38

【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式，根据完全平方公式对目标式变形是解题的关键.

由题意可得出孙的值，然后把代数式变形成含有第一y和町的式子即可.

【详解】解:(5—%)(5+y)=25—5%+5y-孙=25—5(%—y)—xy,

x—y=7,

(5—x)(5+y)=25—5x7—=—10—xy,

:.—10—xy=1,

即％y=—11.

•:x2—xy+y2=(x—y)2+xy,

将％—y=7,Ky=-11代入，

x2—xy+y2=49—11=38.

故答案为：38.

30.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释.现有如图①所示的三种类型卡片4

B,C,想要拼成如图②所示的长方形，则需要C类型卡片张.

【答案】5

【分析】本题考查了整式的乘法、整式的加减，利用长方形面积公式表示出长方形的面积，首先把大

长方形、4型卡片、8型卡片的面积用代数式表示出来，大长方形的面积减去2个4型卡片的面积和2个B

型卡片的面积，根据剩下的面积和C型卡片的面积求出需要的C型卡片的数量.

【详解】解：如下图所示，长方形的长为2a+6,宽为a+2b,

长方形的面积为(2a+b)(a+2b),

•图中有2个4,2个B,

长方形中剩余部分的面积为(2a+b)(a+2b)-2a2—2b2=2a2+5ab+2b2-2d2-2b2=Sab,

型卡片的面积为a。，

需要5个C类型的卡片.

故答案为：5.

31.如图是杨辉三角.

464

结合图形，观察下列等式：

(a+b)1—a+b；

(a+b)2=a2+2ab+b2；

(a+=a3+3a2b+3ab2+b3；

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

根据前面各式规律，写出(a+b)6的展开式的第4项：.

【答案】20a3b3/2063a3

【分析】本题考查了杨辉三角在多项式展开式系数中的应用，明确杨辉三角的展开式的原理，是解题

的关键.根据展开式的系数规律，可知(a+匕)6的展开式的各项系数，按照。降幕6升幕排列，即可得

解.

【详解】解：依题意得：第7行的数依次为1、6、15、20、15、6、1,将各项展开，得到：

(a+b)6=a6+6a5b+15a4/?2+20a3Z?3+15a2b4+6ab5+b6

故(a+6)6的展开式的第4项为：20a3b3.

故答案为：20a3b3.

32.如图，有两个正方形4B,现将B放在力的内部得图①，将4B并列放置后构造新的正方形得图②，若

图①和图②中阴影部分的面积分别为6和18,则正方形4B的面积之和为.

【答案】24

【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设正方形4的边长为a,正方形B的边长为b,根据阴影部分

的面积分别求列出关于a、b的方程，进而利用方程求出。2+按的值即可求解，正确识图是解题的关键.

【详解】解：设正方形4的边长为a,正方形B的边长为b,

由图①得a2—b2—2(a—b)b=6,

即a?+b2=6+Zab,

由图②得(a+b)2—a2—b2=18,

即2ab=18,

a2+b2=6+18=24,

故答案为：24.

33.如果a2+ma+36是一个完全平方式，那么m的值

【答案】±12

【分析】此题考查完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定M的值，熟练掌握完全平方

公式是解题关键.

【详解】解：•..a2+rna+36是一个完全平方式，

：.m=±12,

故答案为：±12.

34.(>1%+3)(2—3久)展开后不含刀的一次项，a的值_____.

【答案w

【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值，把原式按照多项式乘法展开，合并同类项后令x

的系数为0即可得到a的值，熟练掌握多项式乘法的方法和多项式系数的意义是解题的关键.

【详解】解：(rnx+3)(2—3%)

=2mx+6—3mx2—9x

=-3mx2+(2m—9)x+6,

:原式中不含x的一次项，

2m—9=0,

...m=-9,

故答案为：

35.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.例如，16=52—32,

16就是一个智慧数.在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是.

【答案】2697

【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式探究出规律是解题的关键.

从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且

每组中第二个不是智慧数.

【详解】解：设k是正整数，

由于(k+1尸一盾=(k+1+k)(k+l-k)=2k+l,

所以，除1外，所有奇数都是智慧数；

又因为(k+l)2-(k-l)2=(k+l+k-l)(fc+l-/c+l)=4fc,

所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；

被4除余2的正整数都不是智慧数.

从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而

且每组中第二个不是智慧数.

•.•(2021+2)^3=674...1,

2021是第675组的第一个数，

即：4x674+1=2697.

故答案为：2697.

三、解答题

36.某广场有一块长为(5a+36)米，宽为(4a+2b)米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两

边长都为(2a+b)米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为(3a+26)米的正方形花坛，其

余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示.

la^b

(1)用含a、b的式子表示绿化地带的面积(结果要化简)；

(2)若a=5,6=20,请求出绿化地带的面积.

【答案】(l)(3a2+2ab)平方米

(2)275平方米

【分析】本题考查了整式的混合运算和加减运算，代数式求值，熟练运算法则是解题的关键.

(1)根据图形的面积之差列式即可求解；

(2)将字母的值代入进行计算即可求解.

【详解】(1)解：(5a+3b)(4a+2b)—4x|(2a+b~)2—(3a+2b)2=3a2+2ab.

绿化地带的面积为(3a2+2a6)平方米.

(2)解：当a=5,6=20时，3a2+2ab=275(平方米).

37.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，4种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b

的正方形，C种纸片是长为6,宽为a的长方形，并用4种纸片一张，8种纸片一张，C种纸片两张拼成如

图2的大正方形.

(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：；

⑵观察图2,请你写出代数式：(a+b)2,小+扶，防之间的等量关系；

⑶根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b=5,a2+h2=13,求出?的值；

②已知(2024—。尸+(a—2023)2=5,求(2024—a)(a—2023)的值.

【答案】(l)(a+b)2,a2+2ab+b2,

(2)(a+b)2=(a2+fa2)+2ab；

(3)①ab=6；(2)(2024-a)(a-2023)=-2.

【分析】(1)根据正方形的面积和长方形的面积求解即可；

(2)根据两种方法所表示的面积相等可解答；

(3)①根据完全平方公式，将已知代入求解即可；

②设2024—a=%,a—2023=y,则久+y=l,利用完全平方公式求得即可求解；

本题考查了完全平方公式的几何背景等，熟练掌握长方形、正方形的面积公式和完全平方公式是解题

的关键.

【详解】(1)解：方法1：(a+b)2,方法2：a2+2ab+b2,

故答案为:(a+b)2,a，+2ab+扶；

222

(2)解：由(1)得：(a+6)=a+b+2abf

故答案为:(a+b)2=小+拉+2如；

(3)解：由(2)得：(a+Z))2=a2+b2+2ab,

+力=5,a2+b2=13,

/.52=13+2ab,

ab=6；

②2024—。=%,a—2023=y,贝ij久+y=l,x2+y2=5,

・•・由（2）可得：（%+y）2=必+y2+2%y,

I2=5+2xy,

•\xy=—2,

A(2024-a)(a-2023)=-2.

38.阅读：若x满足(80—x)(x—30)=20,求(80—久下+(久一30尸的值.

解：设80—Jt=a,x—30—b,

则(80—%)(%—30)=ab=20,

a+fa=(80-x)+(x-30)=50,

所以(80—x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+/?)2-2ab=502-2X20=2460

请仿照上例解决下面的问题：

(1)若x满足(70—x)(x—50)=-40,求(707)2+—50)2的值.

(2)若无满足(2025—X)2+(2024-X)2=2023,求(2025—％)(2024-x)的值.

(3)如图,正方形4BCD的边长为=50,FS=80,长方形4FNP的面积是1000,四边形NGQP与4PME

都是正方形，四边形PQHM是长方形，求图中阴影部分的面积之和(结果必须是一个具体数值).

【答案】(1)480

⑵1011

⑶2900

【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握通过对完全平方公式变形求值的方法和

技巧是解题的关键：完全平方公式的变形在解题中的应用——首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在

此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成

公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了.

(1)设70—x=a,x—50=b,则可得ab=-40,a+b=20,将原式进行变形可得：原式-a2+b2

=(a+b)2-2ab,然后将a+b和ab的值代入即可求出原式的值；

(2)设2025—x=a,2024—x=b,则可得a2+扶=2023,a—6=1,将原式进行变形可得：原式

=ab=3+叱Si)］然后将+炉和a—6的值代入即可求出原式的值；

(3)由正方形4BCQ的边长为x可得力B=4。=久，进而可得4「=久一50,AF=x-80,设

x-50=a,x-80=b,则可得a—6=30,由长方形AFNP的面积是1000可得ab=1000,由四边形

NGQP与4PME都是正方形可得：阴影部分的面积之和=a2+b2=(a-b)2+2ab,然后将a—b和ab的

值代入即可求出阴影部分的面积之和.

【详解】(1)解：设70—x=a,x—50=b,

»J(70-x)(x-50)=ab=-40,

a+b=(70—x)+(x-50)=20,

(70—x)2+(x—50)2=a2+b2=(a+b)2—2ab=202—2x(—40)=480；

(2)解：设2025—x=a,2024-%=b,

则(2025—x)2+(2024-x)2=a2+b2=2023,

a-b=(2025-x)-(2024-x)=1,

/cccl、/ccc,、i(a2+b2)—(a—b)22023—l2

•••(2025-x)(2024-x)=ab=-------=---=1011；4

(3)解：••・正方形4BCD的边长为x,

AB=AD-X,

■：PD=50,FB=80,

AP=AD—PD=x—50,AF=AB—FB—x—80,

设x—50=a,x-80=ft,

..a—b—(x—50)—(x—80)=30,

长方形4FNP的面积是1000,

ab=1000,

四边形NGQP与力PME都是正方形,

.­.阴影部分的面积之和=a2+b2=(a-b)2+2ab=302+2X1000=2900.

39.用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形.

(1)根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式(a+b)2,a2+b\2ab之间的数量关系:

(2)根据完全平方公式的变形，解决下列问题.

①已知m+n=5,mn=4,求机2+n2的值.

②已知(久一98产+(100—刈2=34,求(久—98)(100—久)的值.

【答案】⑴出+-=(a+b)2-2ab

(2)©m2+n2=17；②—15

【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，掌握公式变形是解本题的关键；

(1)由等面积法可得公式变形；

(2)①由m2+*=(7n+—2nm,(m—n)2=+*一2爪n再代入计算即可；②由

x-98+100-%=2,结合(％-98)2+(100—x)2=34,再利用公式可得答案.

【详解】(1)解：由等面积法可得：a2+/=①+以_2血

故答案为：a2+&21(a+b)2—2ab；

(2)解：@".'m+n—5,mn-4,

.'.m2+n2=(m+n)2—2mn=25—2X4=17.

②•.”—98+100-x=2,(x-98)2+(100-%)2=34,

A[(x-98)+(100-x)]2

=(%-98/+a。。_x)2+2(x-98)(100-x)

=34+2(%-98)(100-%),

即4=34+2(x-98)(100-%),

解得(久—98)(100—久)=-15.

40.阅读材料:

对于多项式/+2%+2,虽然不能写成完全平方形式，但是可以写成/+2x+1+1=(x+l)2+1,更

一般的，对于二次项系数不为1的二次三项式aN+入+c(a丰0),它总是可以化为a(x+h)2+k的形式,

22

例如：2%+4%-3=2(%2+2%+1)-5=2(x+I)-5.将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等

变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这就是一个配方的过程.这种配方法常被用到代数式的

变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.

根据以上内容回答下列问题：

(1)代数式3K2+12久一1经配方可化为；

⑵已知△48C的三边长分别为a,b,c且满足a?+按一8a—106+41=0,求边c的取值范围；

(3)已知P=爪？+4n+13,Q=—m2—n2+8m—1,试比较P与Q的大小.

【答案】(l)2(x+2)2—13；

(2)边c的取值范围为1<c<9；

(3)P>Q,理由见解析.

【分析】(1)仿照例子配方求解即可；

(2)给a、b分别配方后，利用非负性求出a、6的值，然后由三角形三边关系即可求出边c的取值范围;

(3)先进行P—Q,然后根据代数式结构进行配方，再利用非负性即可求解；

本题考查了配方法的应用，灵活运用完全平方公式，会利用平方式的非负性求解是解题的关键.

【详解】(1)解：3/+12久一1=3(久2+4%+4)—12—l=2Q+2)2—13,

2

故答案为：2(%+2)-13;

(2)解：•：a2+b2-8a-10b+41=0,

(a2-8a+16)+(fa2-10b+25)=0,

(a-4)2+(6—5)2=o,

.,.a=4,b=5,

由三角形三边关系得，边c的取值范围为1<c<9；

(3)解：P—Q=m2+4n+13—(—m2—n2+8m—1)

=m2+4n+13+m2+n2—8m+1

=2m2—8m+n2+4n+14

=2(m2—4m+4)+(n2+4n+4)+14—8—4

=2(m—2)2+(n+2)2+2,

,.,2(m-2)2>0,(n+2)2>o,

2(——2)2+(n+2)2+2>0,

：.P-Q>0,

41.如图，边长为。的大正方形有一个边长为6的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2

所示).

(1)上述操作能验证的等式是：;

(2)请利用你根据(1)中的等式，完成下列各题：

①已知9a2—b2=36,3。+b=9,则3a—b=；

②计算:(i-力(…3),St),(1—9，“(1一募)-

【答案］⑴於—b2=(a+b)(a—b)

⑵①/

【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此

题的关键.

(1)分别计算两个阴影部分的面积即可得到答案；

(2)①根据平方差公式得到(3a+b)(3a—6)=36,然后再将已知整体代入即可求解；

②先利用平方差公式将每一项化成两个分数积的形式，然后再利用互为倒数的两个分数的积为1即可

计算结果.

【详解】(1)解：图1中阴影部分的面积为。2—用，图2中的阴影部分的面积为(a+6)(a—b),

..•图1和图2中两阴影部分的面积相等，

上述操作能验证的等式是—接=缶+与①—》)，

故答案为：a2—b2=(a+b)(a—b)；

(2)解：①，9a2-炉=36,

，(3a+b)(3a—b)=36,

V3a+Z)=9,

•*.3d—b—4,

故答案为：4；

②(iT),(iT),(i-1),(i—专)…I-/)

=(1+；)X(1-;)x(1x(10X(1+；)x(1x•••X(1+募)(1—募)

31425320252023

=2X2X3X3X4X4X"'X2024X2024

12025

=-x----

22024

_2025

-4048,

42.已知2a=10,56=10,2c=5

⑴求16—1的值.

⑵若x=5%/=(125)"3,用含x的代数式表示＞值.

(3)求|+(

【答案】(1)1

(2)y=59x3,

(3)2

【分析】本题考查了同底数幕相除的逆运用，幕的乘方，积的乘方，同底数塞相乘等运算法则，正确

掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先整理16-1=(2。+2。+2)4,再分别代入2。=10,2c=5进行计算，即可作答.

(2)运用幕的乘方得出y=(5"3)3,再代入乂=5外进行化简，即可作答.

(3)先整理出2ab=10b①，5ab=I。。②，然后得出2昉x乂1()。=l()a+b,即山,=a+从

再结合三+：=汽色，把ab=a+6代入求值，即可作答.

abab

【详解】(1)解：；2。=10,2c=5

...16a-c-l

=(2。+2'+2)4

=(10+5