压轴小题导数技巧：构造函数-高考数学一轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题3-3压轴小题导数技巧：构造函数

目录

【题型一】导数公式构造1：“基函数”型.................................................1

【题型二】导数公式构造2：指数函数型..................................................3

【题型三】导数公式构造3：三角函数型..................................................5

【题型四】导数公式构造4：对数型......................................................7

【题型五】复合型构造1：常数型.......................................................10

【题型六】复合型构造2：指数型.......................................................12

【题型七】复合构造3：f(x)+g(x)型................................................14

【题型八】换元构造...................................................................16

【题型九】双元构造...................................................................19

二、真题再现.........................................................................20

三模拟测试............................................................................22

热点题型归纳

【题型一】导数公式构造1:“幕函数”型

【典例分析】

(2022•全国•高三专题练习)已知函数〃力满足/((=/(-x),且当xe(y,0］时,/(幻+力'(幻<0成立，

若”=(2°6)"(2巧，/,=(ln2)-/(ln2),C=^log2^-/^log2^,贝I］〃，b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.c>b>a

C.a>c>bD.c>a>b

【答案】B

【分析】构造函数g(x)=x・/(x),利用奇函数的定义得函数g(x)是奇函数，再利用导数研究函数的单调

性，结合Iog2：<0<ln2<l<2°6,再利用单调性比较大小得结论.

O

【详解】因为函数“X)满足=且在R上是连续函数，所以函数“X)是偶函数，

令g(x)=x,〃x),则g(x)是奇函数，且在R上是连续函数，pl!］g\x)=f(x)+x-f'(x),

因为当XC(YO,0］时，/(%)+谈(0<0成立，即g'(x)<0,所以g(x)在xe(-oo,0］上单调递减,

又因为g(x)在R上是连续函数，且是奇函数，所以g(无)在R上单调递减，

则a=g(2。')，6=g(ln2),c=gpog21\

因为2°6>1，0<ln2<l,log21=-3<0,所以log?：<0<ln2<1<2°6,所以c>6>。，故选：B.

88

【提分秘籍】

基本规律

1.对于k'(x)4/(x)>0(<0),构造g(x)=x・f(x)

2.对于叶'(x)+V(x)>°(<0),构造g(x)=xk*f(x)

f(x)

对于尤)>0(<0)，构造g(x)=------

3.x

f(X)

4.对于x.7'(x)-V(x)>0(<0),构造g(x)=一/

【变式演练】

1.设/(九)是定义在R上的奇函数，在(—8,0)上有2靖(2x)+/(2x)<0,且/(—2)=0,则不等式

#(2^)<0的解集为.

【思路引导】满足“靖(%)+过形式，优先构造F(X)=4(2X)，然后利用函数的单调性、奇偶性

和数形结合求解即可.注意/(-2)=0和F(尤)的转化..

【详细解析，】构造F(%)=V(2X),则F,(x)=2#,(2x)+/(2x),当x<0时，

F(x)=2xf'(2x)+f(2x)<0,可以推出无<0,F(x)<0,F(x)在(9,0)上单调递减.u为

奇函数，x为奇函数,所以F(x)为偶函数，F(x)在(0,+oo)上单调递增.根据/(—2)=0可得F(—1)=0,

根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知^(2x)<0的解集为(―l,O)U(OJ)・

2.函数/⑴在定义域(0,+?)内恒满足：①/(x)>0,②2/(%)<靖(1)<3/(£),其中用x)为

/(x)的导函数，则()

1/(I)11/(I)11/(I)11/⑴1

4/(2)216/(2)83/(2)28/(2)4

【答案】D【解析】令g(x)=&hxe(O,y),g，(x)N'(+2〃x),

XJC

国Vx£(0,+oo),2/(x)<xfr(%)<3/(x),0/(x)>0,g,x)>0,

ZW1

回函数g(x)在xw(0,+°o)上单调递增，回g⑴<g(2),即⑵,

“2)4’

令=xe(0,+co),J"",ElX/xe(0,+oo),2/(x)<靖⑴<3/(x),

"(x)<0,

回函数妆x)在xe(O,+8)上单调递减，0/i(l)>/z(2),即/⑴〉《1,故选D.

3.已知定义域为夫的奇函数/(x)的导函数为/'(x),当XHO时，7•'(%)+工区〉0,若

“==-2，(-21，=In；)则〃,/，.，的大小关系正确的是

A.a<h<cB.h<c<ac.a<c<hD.c<a<b

【答案】C详解：设g(x)=V(x),则g'(x)=y(x)+VG),回/(x)+JM>o,即

X

V")+/(X)=£^2>0,团当x<0时，g，(x)<0,当%>0时，g'(x)>0,g(x)递增.又f(x)是

XX

奇函数，Elg(x)=V(X)是偶函数，Elg(—2)=g(2),g(ln；)=g(-ln2)=g(ln2),ia0<g<ln2<2,

回g(；)<g(ln2)<g(2),即a<c<6.

故选C.

【题型二】导数公式构造2：指数函数型

【典例分析】

(2021•吉林・高三阶段练习(文))已知定义在(0,+⑹上的函数Ax)的导函数为/(X),满足/(尤)>0.当x>0

时,f'(x)<2/(x).当x>2时，-。)>/(%)，且/(3-x)=/(I+x)e2**，其中e是自然对数的底数.则黑

的取值范围为()

【答案】B

【分析】根据题意，构造函数g(x)=9和Mx)=绅，对于g(x),由题意可得g6=g(3),利用导

ee

数分析可得在区间(2,口)上单调递增，进而有g(3)<g(4),对其变形可得瑞同理分析欠力的单

调性可得不/(I兴)>三1，综合即可得答案.

”4)e

【详解】根据题意，设g(x)=@,(尤>0),〃(尤)=电，(%>0)

exex

•."(3-x)=/(l+x)e»,=

ee

即g(3-尤)=g(l+x),g(l)=g(3)

对于g(x)=¥，其导数/(x)=尸(分=尸⑺丁⑺>0,

f'(x)>f(x),则有g(x)=工学在区间(2,位)上单调递增；

e

所以g(l)=g(3)<g(4),即乎〈券，变形可得瑞<:；

对于Mx)=警，其导数〃(x)==:(x)[2〃x)<0,

•.♦尤>0时，f(x)<2f(x),则“月=萼在区间(0,+力)上单调递减；

e

则有〃⑴>可4),即驾>/啰，变形可得%>二,

e2e8/(4)浮

综合可得：，〈器J，即瑞的范围为

故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

1.对于/'(%)4/(尤)>0(<0),构造g(x)=ex«f(x),

2.>0(<0),构造g(x)=ekx«f(x)

_f(x)

3.对于/，(1可。)>0(<0),构造g(x)=---，

f(x)

4.对于/'(x)时(x)>0(<0)，构造g(x)二——

【变式演练】

1.(2021.四川省绵阳实验高级中学高三阶段练习(理))已知定义域为R的函数/(X)的图象是连续不断的

曲线,且〃2-*)=〃"/2工，当X>1时，r(x)>/(x),则下列判断正确的是

A.f(l)>e/(O)B./(3)<e4/(-l)C./(2)<e3y(-l)D./(3)>e5/(-2)

【答案】C

【分析】先根据题意，构造函数g(x)=%,判断出函数g(x)的单调性，再利用1(2-x)=/(x)e2-2*求

得函数g(X)的对称轴，然后判断g(2)<g(-l)n与</毕，得出答案即可.

ee

【详解】构造函数g(x)=驾，因为当X>1时，r(x)>/(%),所以g(x)=/，T里>0

ee

可得在x>l时，g(x)是单调递增的；因为〃2r)=〃x)e2w,化简得与三2=等

即g(2-x)=g(无)可得图像关于x=l对称，则g(-l)=g⑶=>勺9=与，g(2)=与

eee

因为g(2)<g(3)=g(-l)n£3<BD化简可得〃2)<e3〃-l),故选c

2.已知函数/(x)在R上可导，其导函数为广(x),若“X)满足：当时，(x-l)[f,(x)+/(x)]>0,

/(x)=«2-2了但-尤)，则下列判断一定正确的是

A./(1)</(0)B.//(4)</(0)C.仪2)>〃0)D.e3/(3)>/(0)

【答案】D

【分析】

构造函数g(x)=f(x)ex,结合导函数，判定g(x)的单调性，由g(2-x)=g(x),得g(x)的对称轴,对选项判断即

可.

【详解】

构造函数g(x)=f(x)ex,计算导函数得到g'(x)=e［尸(x)+〃x)］,由(x—1)［尸(x)+〃x)］>0,得当x>1,

r(x)+〃x)>0,当x<l时,/'(x)+〃x)<0.所以g(x)在(1,+司单调递增，在(一8,1)单调递减，而

g(2_x)=f(2—x)e2r=普七2一*=f(x)e'=g(x),所以g(x)关于x=］对称，故

g(3)=e3f(3)=g(-l)>g(O)=f(0)，得到e3f(3)>f(0),故选:D.

3.已知定义在R上的可导函数F(x)的导函数为/'(x),满足/(尤)</(%),且/(—九)=/(2+力，

"2)=1,则不等式/⑴</的解集为()

A.(-2,+co)B.(2,+co)C.0,+8)D.(0,+oo)

【答案】D【解析】因为/(—x)=/(x+2),所以y=/(x)的图象关于直线x=l对称，所以/(0)=/(2)=1,

0000

设g(x)=¥，则8(防二尸：/,因为/(>)</(无)，所以g(x)在R上为减函数，又

ee

g(0)=竿=1,因为/(x)<e，，所以g(x)<L，g(/(g(0)㈤0，选D.

【题型三】导数公式构造3：三角函数型

【典例分析】

已知定义在［0,^］上的函数/(x),f'(x)为其导数，且/(x)</'(x)tanx恒成立，则()

A.何•图〉①仁)B.⑸闺•图A后闺”图D./(l)<2/^sinl

TTQinX

【答案】C【解析】因为%w(0,—),所以sinx>0,cosx>0,则由/(x)<jTQOtan尤得/(x)<f\x)-------，

2cosx

即cos#(x)—sin#'(x)<。.令/。:)=罢2,则=cos，(：#)(犷(工)<0,所以/(彳)在

/(%)/(x)"(%)］

.71.兀

sin—sin—

(0,工)上递减，所以厂(三)〉/(乙)，即一色〉一工,故选C.

63

2/(f)/(f)

oJ

【提分秘籍】

基本规律

］对于sinx./'CO+cosx./Xx)>。(<0),构造g(x)=f(x)»sinx

f(X)

对于5111*・/'(%)«05*・7(幻>0(<0)，构造g(X)=-------

2,sinx

3.对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型

4.对于cosx・/'(x)-sinx・/(x)>0(<0),构造g(x)=f(x)«cosx,

f(X)

5•对于cosx・/'(x)+sinx・/(尤)>0(<0)，构造g(x)=-------

cosx

【变式演练】

1.(2022・全国•高三专题练习)已知可导函数〃力是定义在(一导灯上的奇函数.当x〈0，T时，

f(x)+f'(x)tanx>0,则不等式cosx-/［x+］J+sinx"(T)>0的解集为()

A-卜B.卜则C.吐一力D.匕,

【答案】D

【分析】构造函数sin(x),并依据函数sinW(x)的单调性去求解不等式cosx./(x+|J+sinx•"-司>0

的解集.

【详解】当xe(0,3时，/(x)+/,(x)tanx>0,则cos时"⑺+/^卜皿%〉。

则函数sin4(x)在(0切上单调递增，又可导函数〃尤)是定义在?上的奇函数

则sin4(x)是「宗上的偶函数，且在［go］单调递减，

可得了€'。,贝［。，］

由<5'Ux+je

则x£,o]时，不等式cosx•/[x+5J+sinx./(-x)>0

可化为sin[x+m/]x+3>sin(_x)"(_x)

又由函数如引力在[o,鼻上单调递增，且-xe(0,，|,x+

贝1|有］>尤+1>-尤>0,解之得一§<x<0

故选：D

2.(2021•吉林・梅河口市第五中学高三阶段练习(理))已知在定义在R上的函数/(x)满足

f(x)-/(-x)-6x+2sinx=0,且无20时，/'(x)N3-cosx恒成立，则不等式

—£+6x+后cos[x+：]的解集为()

1c兀]「乃、(兀71

A.|0,-B,-，+»lC,ID.—,+00

6

【答案】B

【分析】结合已知不等式，构造新函数g(x)=/(x)-3x+sinx,结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可

求解.

【详解】由题意，当尤20时，/'(x)23-cos尤恒成立，即r(x)-3+cosxNO恒成立，

又由/(x)-/(-x)-6x+2sinx=0,可得/(x)-3x+sinx=y(-x)+3x-sinx,

令g(x)=/(x)-3x+sinx,可得g(-x)=g(-x),则函数g(x)为偶函数，

且当X20时，g(x)单调递增，

结合偶函数的对称性可得g(x)在(-%0)上单调递减，

由/(x)之/(/_x]_,+6x+0cos(x+?],

化简得至U—3x+sinxN/g-x)-3g-x)+si呜-x),

即g(x)2g(g-x),所以|x|Ng-x,解得x'g,

乙Z4

即不等式的解集为?,+«>].故选：B.

3.(2023・全国•高三专题练习)定义在R上的连续函数/(x)的导函数为f\x),>cosxf'(x)<(cosx+sinx)/(x)

成立，则下列各式一定成立的是()

A./(0)=0B./(0)<0

C./⑺>0D.(讣0

【答案】C

【分析】设g(x)=c°s：/。),由条件可得g，(x)<0,即g(x)在R上单调递减，且g]£|=0,由此卡判断

选项A,B,C,将xg代入条件可得了0>0,可判断选项D.

【详解】由题可得COS4'(尤)-sin对'(x)<cosW(x),

所以(cos犷(尤))'<cosxf(x),

设g(X)=cos无皿贝”g，(x)=(cos犷(尤))'-cosV(x)<0,

e%ex

所以g(x)在R上单调递减，且«口=0

由g(。)>g]/J>gO)可得/(o)>o>一,

所以”0)>0,〃%)>0,所以选项错误，选项C正确.

把x=]代入cos9'(尤)<(cos尤+sinx)/(x),可得(m>0,所以选项。错误，

故选：C.

【题型四】导数公式构造4：对数型

【典例分析】

(2022・全国•模拟预测)已知“X)是定义在R上的奇函数，是“X)的导函数，且

/(x)ln(2x)+午<0,则不等式(J-x-2)"x)>0的解集是()

A.⑹B.(-1,0)。6,2)

C.(-l,0)u(2,^x>)D.1)"0,2)

【答案】D

【分析】根据题意，构造函数g(x)=/(x)ln(2x),根据已知条件以及利用导数判断其单调性，从而求得〃x)

的性质，再利用了(X)的性质求解不等式即可.

【详解】设g(x)=〃x)ln(2x),则g(x)的定义域为(0,包)

且g，(尤)=f(x)ln(2x)+工f<0,所以g(x)在(0,。)上单调递减.

因为==所以当xe/j时，g(x)>0；

当xe(；,+oo,寸，g(x)<0.

又当时，ln(2x)<0,当时，ln(2x)>0,

所以当xe(0,+8)时，恒有/(x)<0.

因为〃x)是R上的奇函数，所以当x«-o>,0)时，〃力>0,

所以卜--2)小)>。等价于[二;或｛二;

解得。VX<2或XV-1,

所以不等式(炉-彳-2).f(x)>。的解集是

故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

1-对方'，(x)lnx+"尤>>0(<0),构造g(x)=lnx.f(X)

2.授课时，可以让学生写出y=ln(kx+b)与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果

【变式演练】

1.(2020•黑龙江・鹤岗一中高三阶段练习(文))若定义域[,+s]的函数“X)满足尸(x)-/(x)="且

〃l)=-e,若恒成立，则机的取值范围为()

「1J「1122]「21]

[2」L2)I5」[52j

【答案】D

【分析】先根据条件构造函数驾=lnx+c,再利用导数研究函数单调性，进而解决不等式

e

/(3—:4一e=/⑴恒成立问题即可.

【详解】函数/(天)满足(⑴一/(x)=3，；."y=/,则[半)=L

可设23=lnx+c,c为常数，故/(x)=(lnx+c)e",；./■⑴=一e,

:.c=-l,故/'(XlHlnx-l”*,/，(x)=ex^lnx+^-lj,xep+ooj,

令g(x)=lnx+^-l,xe[,+00]，则，(尤)」--=

xe划时，g'(x)<。，故g(x)单调递减；xe(l,+®)时，g'(x)>0,故g(x)单调递增，，g(x)在％=1时

取得最小值g⑴=0，，g(x)上。恒成立,

f'(x)=e'fInx+--1j>0xe；,+'成立，故在上递增，又〃1)=-e,所以不等式

小一"一型小T"⑴，根据单调性得上4'解得与故选：D.

2.设函数f(x)是定义在(-1,位)上的连续函数，且在》=。处存在导数，若函数/(x)及其导函数/'(无)满足

/4x)ln(x+l)=x-1(%),则函数/(x)

x+1

A.既有极大值又有极小值B.有极大值，无极小值

C.有极小值，无极大值D.既无极大值也无极小值

【答案】C

【分析】本题首先可以根据，如)ln(x+l)=x-驾构造函数/(x)ln(x+l)=1x2+c,然后利用函数fM在

x+l2

%=0处存在导数即可求出c的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值.

【详解】由题意可知，加尤)In(尤+l)=x-智，即/如)1!1(尤+1)+智=-所以［/(x)ln(x+l)F=;c,

>LJi'L

令/(x)ln(x+l)=9+c,则/(尤)也,

因为函数〃x)在x=0处存在导数，所以噂言为定值，c=0,/(幻=焉，所以掰*)=吗有土

令%+1=1,当x>0时，z>l,

构建函数g(r)=21nr+ll,则有旗r)=d/=^>。，所以函数g(r)在(1,+?)上单调递增，

当-1C<0,o<t<l,令.0=0,解得/=，所以g«)在(。用上单调递减，在什,1)上单调递增,

因为gG)<。，g(i)=-41n2+3>0,所以当I(0尚时函数g(t)=O必有一解,

令这一解为％,-1<无。<0,则当尤？(1,尤。)时盟x)<0,

当xi(x0,0)时第x)>0,

综上所述，/(x)在上单调递减，在(x0,0)上单调递增，在(0,+?)上单调递增，

所以了(无)有极小值，无极大值.

3.已知Ax)是定义在(F,0)U(0，+S)上的奇函数，/(X)是/⑺的导函数，/⑴*0,且满足：

广(力1门+故<0,则不等式(*-1)"(幻<0的解集为()

A.(1,-H®)B.(F,-1)U(0,DC.S，l)D.(-O),0)U(1,+CO)

【答案】D

【分析】

根据给定含导数的不等式构造函数g(x)=/Minx,由此探求出f(x)在(0,+⑹上恒负，在(-8,0)上恒正，

再解给定不等式即可.

【详解】

令g(x)=/(x)lnx,尤>0,则g'(x)=/'(x)lnx+"4<o,g(x)在(0,+8)上单调递减，而g(l)=0,

x

因此，由g(x)>0得0<x<l,而lnx<0,则/(x)<0,由g(x)<0得*>1,而lnx>0,则又/⑴<0,

于是得在(。，+8)上，/(%)<0,而/⑺是(YO,0)U(0,+8)上的奇函数，则在(-8,0)上，/(%)>0,

,\x-\>0fx-l<0fx>lfx<l,一

由(X—D"(尤)<。得：八或乙、C，即八或八，解得x<0或X>1,

[/(x)<0[/(x)>0[x>0[x<0

所以不等式(x-1)•/(%)<0的解集为(―,0)51,+«0.

故选：D

【题型五】复合型构造1：常数型

【典例分析】

(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(%)的导函数为)(力,若对任意的xeR,都有/(x)>_f(尤)+2,

且/'(1)=2022,则不等式〃司-202061<2的解集为()

A.(0,+oo)B.C.(l,+oo)D.

【答案】C

【分析】设函数g(x)="?-2,根据题意可判断g(x)在R上单调递减，再求出g⑴=理型，不等式

ee

f(X)-2。2吐<2整理得-2〈迎2,所以g(x)<g。)，利用g(无)单调性解抽象不等式即可.

ee

【详解】设函数g(x)="，2,

所以g'(x)J'(x)xeH"2]xe*J(x)—〃x)+2,因为“耳>广(x)+2,

所以/'(同一〃尤)+2<0,即g'(x)<0,所以g(x)在R上单调递减，因为/⑴=2022,

所以g⑴二誉,因为/(x)_2020ei<2,整理得〃，一誉,

所以g(x)<g。)，因为g(“在R上单调递减，所以x>L

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

结合式子，寻找各种综合构造规律，如g(x)=△^担，或者f(x)+kx+b

可以借助本小节授课，培养这类观察和构造的思维

【变式演练】

L.(2021.黑龙江.哈尔滨三中高三期中(理))设函数外力在尺上的导函数为尸(x),若/'(x)>/(x)+l,

r(x)=_f(6—x),/(3)=1,/(6)=5,则不等式〃lnx)+2x+l<0的解集为()

A.(0,1)B.(0,3)C.(1,3)D.(3,6)

【答案】A

【分析】构造函数g(x)=士]，得到g(x)也是R上的单调递增函数.，分析得到函数f(x)关于点(3,1)对称.

e

由/(Inx)+2x+l<0得到g(lnx)<g(0),即得解.

【详解】构造函数g(x)="把，g'(x)=[")一/")一1>°，

ee

所以g(x)也是R上的单调递增函数.

因为/'(x)=/'(6—x),所以，(无)关于直线x=3对称,

所以Jf'(x)dx=j/\6-x)dx,:.f(x)+cl=-f(6-x)+c2,(q,c?为常数)，

L

/(x)+f(6-x)=e2-Cj,令x=3,所以2/(3)=C2-q,，/(3)=^^.

因为;'(3)=1,所以C2-G=2,所以f(x)+/(6-尤)=2,所以函数/(x)关于点(3,1)对称.

由/(3)=1,/(6)=5得到/(0)=-3,因为/(Inx)+2x+1<0,/(Inx)+1<-2x=一2e1nx,

所以+所以g(]nx)<-2=g(0)=/,所以g(lnx)<g(0),

ee

所以ln%v0,「.。vxvl.故选：A

2.(2020•内蒙古赤峰高三阶段练习(理))已知函数〃x)的定义域为R,尸(x)为的导函数.若

r(x)-/(x)<l,且“0)=1,则不等式〃x)+G2/的解集为()

A.(9⑼B.[-l,+oo)C.[0,+oo)D.(-oo,-l]

【答案】A

【解析】本题为含导函数的抽象函数的构造问题，由/'(力-/(无)<1联想到构造/口)=色区，对其求

ex

导，从而判断出该函数的单调性.又由"0)=1得出*0)=2,不等式〃x)+G2eX等价于/将

ex

其转化为F(x)>F(0),利用单调性就可得出不等式的解集.

【详解】设厂(司=”?+1,则尸(x)=£Hz^Hzl.

V/(x)-/(x)<l,

/.F(x)<0,即函数尸(x)在定义域R上单调递减.

•."(0)=1,.••-0)=2,

•••不等式/(X)+122/等价于>2,

即尸(x)a7(o),解得「wo.

故不等式的解集为(f,。］.

故选A.

3.(2022・全国•高三专题练习)若定义域为R的函数f(x)的导函数为，(x),并且满足f(x)<f'(x)-2,则

下列正确的是()

A.7(2021)-^(2020)<2(e-l)B./(2021)-ef(2020)>2(e-1)

C./(2021)-6^(2020)>2(e+1)D./(2021)-ef(2020)<2(e+1)

【答案】B

【解析】根据题意，可知/'(尤)-/(尤)-2>0,构造函数根x)="?+2,利用导数研究函数的单调性，可

e

知g(%)在H上单调递增，得出g(2021)>g(2020),整理即可得出答案.

【详解】解：由题可知/(x)</'(x)-2,贝ljr(x)-/(*)-2>0,

令g(M”，

而《工>0,则g'a)=ra)_/*)_2>0,

e

所以g(x)在R上单调递增，

故g(2021)>g(2020),即偌0；：)+2>〃2。何+2,

e~e

故/(2021)+2>牙(2020)+2e,

即/(2021)-ef(2020)>2e-2,

所以/(2021)-ef(2020)>2(e-1).

故选：B.

【题型六】复合型构造2：指数型

【典例分析】

(2022・陕西・武功县普集高级中学高三阶段练习(理))定义在R上的函数Ax)满足/(x)-r(x)+e，<0(e

为自然对数的底数)，其中/'(x)为AM的导函数，若/(3)=3e3,则f(x)>xe'的解集为()

A.(-a>,2)B.(2,+oo)

C.(-<»,3)D.(3,+00)

【答案】D

【分析】构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式转化为整式不等式即可解决.

【详解】设g(©=华一x,贝Ug(3)=件一3=0,所以/(x)>xex等价于g(x)>0=g(3),

ee

由f(x)-fr(x)+ex<0,可得f\x)-f(x)>ex>0

e

所以g(x)在R上单调递增，所以由g(x)>g(3),得x>3.

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

对于/'(跄八］)>k(<0),构造=-k］

【变式演练】

1.(2020.全国•高三专题练习)已知尸(%)是函数/(x)的导函数，对任意的实数x都有/(x)+〃x)=-(,

且若函数》=/(力—。有两个零点，则实数。的取值范围是()

<2A/2A/5A(_5A

A.-2e3+8B.-2节,0C.-2e5,+8D.-2e，,0

k7\7\7k7

【答案】D

【分析】首先构造函数g(x)=eV(x)+2x—3,根据g'(x)=0和g[T)=0得至1」/口)=三三，再根据函数

/(x)的单调性和最值即可得到实数。的取值范围.

【详解】设函数g(x)=e"(x)+2x—3,则g(x)=e"(x)+e"[x)+2,

29

因为广(x)+〃x)=-/，所以g，(x)=e，x(一”2=0,

又因为g1)=°，所以g(£)=o,即/(同=三三.

广(司=三」，"力在卜双\上单调递减，在g,+“|上单调递增,

=/[|)=一2/；且当X，时,

1mH/(x)<0,

。有两个交点,

C5>

所以实数。的取值范围是-2/5,0.故选：D

\7

2.(2020•陕西省丹凤中学一模(理))若定义在R上的函数〃x)满足〃力+/(另>1,"0)=4,则不等

式/(%)>三+1(6为自然对数的底数)的解集为()

A.(0,+oo)B.(-00,0)u(3,+8)

C.(-oo,0)U(0,+oo)D.(3,+oo)

【答案】A

a

【分析】把不等式〃x)>/+l化为e"(x)>3+e)构造函数令尸(x)=e"(x)-/-3,利用导数求得函

数尸(x)的单调性，结合单调性，即可求解.

【详解】由题意，不等式〃X)>]+1,即e"(x)>3+/,

令*x)=e"(x)-e'—3,可得尸(x)=e"(x)+e了⑺-/=产"(£)+((力—1],

因为/(x)+f'(x)>l且，>0,可知尸(x)>0,所以P(x)在R上单调递增，

又因为尸(o)=e。〃。)一/一3=〃0)-4=0,

所以尸(x)>0的解集为(0,+8).

故选：A.

3.(2021.河南•义马市高级中学高三阶段练习(文))若定义在R上的函数/(x)满足/(x)+x+T(x)+l>2尸,

/(0)=5,则不等式/。)>(2尤+5)尸7的解集为()

A.(-co,0)U(0,+°o)B.(-co,0)IJ(5,+co)c.(0,+oo)D.(5,+℃)

【答案】C

【分析】构造函数g(x)=e，"(x)+x]-2x,利用导数研究g(x)的单调性，由此求得不等式

/(x)>(2x+5)e-x-x的解集.

【详解】令g(x)=ex[f(x)+x]-2x,则g\x)=ex[/(x)+x]+ex(f(x)+1)-2

=ex[/(x)+x+f(x)+l]-2>ex-2e^-2=0,所以g(x)在R上单调递增，

又因为g(0)=e°[/(0)+0]-2x0=5,由/(x)>(2x+5)e~x-x,得f(x)+x>(2x+5)e-x,两边同时乘

以得e""(x)+幻〉2x+5,得e""(x)+划一2x>5,即g(%)>g(。)，解得％>0,即不等式的解集是

(0,+oo).

故选：C

【题型七】复合构造3：f(x)+g(x)型

【典例分析】

(2022•湖南岳阳•模拟预测)己知定义在R上的函数/⑺满足/(x)-/(-x)-6x+2sinx=0,且尤..0时,

f(x)..3-cosx上恒成立，则不等式+++的解集为()

A.1,+00)B.[卜^

71

D.—,+co

6

【答案】B

【分析】令g(%)=/(x)-3%+sin、，利用定义证明其奇偶性，由/'(X)..3-cos兄得出g(x)的单调性，将所

求不等式变为/(无)-3x+sinx../(1-J-3|q-xJ+sin19-xJ,从而得至1J,利用函数g(x)

的奇偶性以及单调性解不等式即可.

【详解】由题得/(x)-3x+sinx=/(—x)+3x-sinx,令g(x)=f(x)-3x+sinx=g(-x),则g(x)为偶函数

尤..0时，/(x)..3-cosx,则g'(x)..O,贝i|g(x)递增由一x)-芳+6x+0cos[x+?)得:

即g(x).­g

T[rr

则⑶…「,所以"T故选：区

【提分秘籍】

基本规律

f(x)x-=-r(x)±g(x),其中r(x尸X，e『sin九,cosx等

授课时，可以适当的借助例题，分析这类题的结构特征。

【变式演练】

1.(2023・全国•高三专题练习)设函数/(x)在R上存在导数f\x),对于任意的实数x，有/(x)+/(-%)=2尤2,

当时，r(x)+4<2x,若/5+2)+〃〃，)+4V2〃2,则实数沉的取值范围是()

m-2

A.[1,2)B.(F』U(2,E)

C.[—2,2)D.(-0°,—1]0(2,+°0)

【答案】D

【分析】构造函数g(x)=/(x)-V+4x,得到g(x)为奇函数，g(无)在R上单调递减，分根-2<0和根-2>0

两种情况，利用奇偶性和单调性解不等式，求出实数加的取值范围.

【详解】；/'(x)+4<2x,.../'(x)+4—2x<0.令g(x)=/(x)—x?+4x,且g'(x)=/'(无)-2x+4,

则g(无)在(Y»,。]上单调递减.

又：〃x)+〃—x)=2x\

g(x)+g(-x)=/(x)-x*2+4x+/(-x)-x2-4x-/(%)+/(-x)-2x2=0,

g(尤)为奇函数，g(尤)在R上单调递减.

/(加+2)+/(〃2)+4

<2m,

m-2

/(m+2)+/(m)+4-2m2+4m

<0.

m-2

当机一2<0,即根<2时，/(m+2)+/(m)+4-2m2+4m>0,

即/(m+2)-(m+2)2+4(m+2)>—+4问

即g(m+2)>g(-m),由于g(x)在尺上递减，则又+2Wm,

解得：m<—l,