相交线与平行线热考模型-2025年中考数学一轮复习（解析版）

第四章三角形

重难点07几何热考题一相交线与平行线热考模型

（10种题型汇总+专题训练+10种模型解析）

【题型汇总】

已知图示结论（性质）

1）同位角有4组，如：N1与N5、/2与/6、N3与N

E

直线AB、CD被直线7、N4与/8；

EF所截，且AB与CD2）内错角有2组，如：/3与/5、N6与N8；

不平行3）同旁内角有2组，如：/3与N6、/4与N5；

4）对顶角有4组，如：/I与N3、N2与/4、N5与/

7、/6与N8.

F

1）同位角相等：Z1=Z5>N2=/6、/3=/7、Z4=Z8；

E

2）内错角相等：/3=/5、Z6=Z8；

直线AB、CD被直线3）同旁内角互补：Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°；

4-匏，B

EF所截，且AB〃CD4）对顶角相等：/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z

8.

F

解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线

的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.

1.（2022.青海・中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被

截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（）

A.同旁内角、同位角、内错角

B.同位角、内错角、对顶角

C.对顶角、同位角、同旁内角

D.同位角、内错角、同旁内角

【答案】D

【分析】两条线。、6被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称

为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；

两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.据此作答即

可.

【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知

第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角.

故选：D.

【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区

别它们.

2.（2023・河北唐山•二模）下列图中，N1和42不是同位角的是（）

L1J

【答案】B

【分析】根据同位角的定义（在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角）进行判断.

【详解】A选项：41与N2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，

B选项：N1与N2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，

C选项：N1与42有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，

D选项：N1与N2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角.

故选：B.

【点睛】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被

截线的同一方的两个角是同位角.

3.（2024•内蒙古•中考真题）如图，直线k和％被直线。和〃所截，=42=130°,Z3=75°,贝吐4的度数

为（）

A.75°B.105°C.115°D.130°

【答案】B

【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键.先利用Nl=N2=

130。判定人II12,再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解.

【详解】解：•.21=42=130。，

.•心II12,

：.Z.5+Z4=180°,

VZ.3=45=75°,

.*.Z4=180°-75°=105°,

故选：B.

4.（2024•陕西・中考真题）如图，ABWDC,BC\\DE,zB=145°,贝吐。的度数为（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.先根据“两直线平行，同旁内角

互补”，得到NC=35。，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案.

【详解】ABWDC,

Z-B+Z.C=180°,

•・•乙B=145°,

・•・ZC=180。-48=35°,

・

••BC\\DEf

Z.D=zC=35°.

故选B.

题型02猪蹄模型

猪蹄模型猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型）

条件AB〃DEa〃b

图示ABAB_a,1

上*

DE

DE

b

------------------

结论NB+NE=NBCENB+NCMN+NE=ZBCM+ZMNE

+Z/45+...+Z24n

—/4+/4+…+/A-i

左拐角之和二右拐角之和

辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线.

【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程.

1.（2024•江苏南通・中考真题）如图，直线a||6,矩形ZBCD的顶点A在直线6上，若N2=41。，则N1的度

数为（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点B作BE||a,得到BE||a||b,推出〃BC=Z1+N2,

进行求解即可.

【详解】解：：矩形力BCD,

J.LABC=90°,

过点B作BE||a,

Va||b,

：.BE||a||b,

zl=Z.ABE,z2=乙CBE,

Z.ABC=Z.ABE+Z-CBE=zl+z.2,

Vz2=41°,

Azi=90°-41°=49°；

故选C.

2.（2021九年级•全国・专题练习）在图中，AB//CD,NE+NG与+乙F+乙。又有何关系？

【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质进行推导.

【详解】分别过E,F,G作4B的平行线，

AB//EM//FN//GH//CD,

则=乙B,Z2=乙3,z4=z5,Z.6=乙D,

•*.z.1+z.2+z.5+z.6=乙B+z.34-z.4+Z.D,

即，乙E+Z-G=Z-B+Z-F+Z-D.

【点睛】此类题主要注意构造辅助线：平行线，解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明.

3.(2024抚顺市模拟预测)请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.

小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答,

今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”.即

已知：如图1,ABWCD,E为AB、CD之间一点，连接AE,CE得至UNAEC.

求证：乙AEC=N4+NC

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明：过点E作5Tli4B

Vzl=zX

'：AB\\CD,EFWAB

：.EF\\CD

."2=ZC

Z-AEC=z.1+z2

Z.AEC=Z-A+Z-C

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

(1)如图，若48IICD,NE=60。，求N8+NC+NF；

(2)如图，ABWCD,8E平分N4BG,CF平分NDCG,NG=N”+27。，求

H

【答案】(1)240°

(2)51°

【分析】(1)作EMII48,FNWCD,如图，根据平行线的性质得EM||4B||FN||CD,所以NB=N1,42=43,

44+NC=180°,然后利用等量代换计算N8+ZF+ZC=240°；

(2)分别过G、〃作AB的平行线MN和RS,根据平行线的性质和角平分线的性质可用乙4BG和NDCG分别

表示出NH和NG,从而可找到NH和NG的关系，结合条件可求得4/7=51。.

【详解】(1)作EMII4B,FNWCD,如图，且4BIICD

：.EM\\AB\\FN\\CD

."8=N1,N2=N3,z4+zC=180°

:.乙B+乙CFE+zC=zl+z3+z4+zC=4BEF+z4+zC=乙BEF+180",

■:4BEF=60°,

:.乙B+乙CFE+ZC=60°+180°=240°；

(2)如图，分别过G、〃作42的平行线MN和RS,

RHS

平分ZA8G,CF平分ZDCG,

."ABE=-Z.ABG,Z.SHC=4DCF=三4DCG,

22

9：AB\\CD

：.AB\\CD\\RS\\MN

:.乙RHB=4ABE=-Z.ABG,乙SHC=4DCF=-^.DCG,

22

工乙NGB+乙ABG=^MGC+乙DCG=180°,

：.Z-BHC=180°-乙RHB-乙SHC=180°+乙DCG),

乙BGC=180°-乙NGB-乙MGC=180°-(180°-^ABG)-(180°-zDCG)=Z-ABG+乙DCG-180°

：.^BGC=360°-2乙BHC-180°=180°-2乙BHC,

VZ.BGC=乙BHC+27°,

：.180°-2Z.BHC=2BHC+27°,

:'乙BHC=51°.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，

注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦

然.

题型03铅笔头模型

铅笔头模型铅笔头模型-进阶

条件AB〃DEAB〃DEa〃b

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【详解】分别过E点万点,G点，”点作L\,L2,LW平行于

观察图形可知，图中有5组同旁内角，

则41+42+43+44+Z.5+46=180°x5=900°.

故选D

【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键

2.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输.如图

2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知4B||CD,CG||EF,乙BAG=150°,zDFF=130°,

则乙4GC的度数是.

CED

图1图2

【答案】80780&

【分析】过点尸作FMIICO,因为4BIIC0,所以ZBIICDIIFM,再根据平行线的性质可以求出4MR4,Z.EFM,

进而可求出^EFA,再根据平行线的性质即可求得乙4GC.

【详解】解：如图，过点尸作FMIICD,

9：AB\\CD.

：.AB\\CD\\FMf

：.Z.DEF+乙EFM=180°,AMFA+^BAG=180°,

'：/.BAG=150°,/.DEF=130°,

：.Z.MFA=30°,Z.EFM=50°,

C.Z.EFA=Z.EFM+Z.AFM=80°,

VCG||EF,

J.^AGC=^EFA=80°.

故答案为80。.

【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算.

3.如图①所示，四边形MNB。为一张长方形纸片.如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角QH4E、

/-AEC,4ECD）,贝Ij/BAE+//EC+4ECD=（度）；

N------------------18

MD

图①

(1)如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角JBAE、乙4EF、乙EF、乙FCD),则ZB4E++

乙EFC+乙FCD=(度)；

(2)如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角QB力E、乙4EF、乙EFG、乙FGC、4GCD),贝叱B4E+

乙4EF+4EFG+4FGC+4GCD=(度)；

(3)根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪九刀，剪出n+1个角，那么这几+1个角的和是(度).

【答案】360540720180〃

【分析】过点E作EHINB,再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180。的2倍；

(1)分别过E、F分别作4B的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。的三

倍；

(2)分别过E、F、G分别作4B的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。的

四倍；

(3)根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度.

【详解】过E作EHIIAB(如图②).

•••原四边形是长方形，

：.AB\\CD,

：.CD\\EH(平行于同一条直线的两条直线互相平行).

'：EH\\AB,

.,.4BZE+N1=180。(两直线平行，同旁内角互补).

VCDWEH,

；.N2+NOCE=180。(两直线平行，同旁内角互补).

/.BAE+zl+Z2+Z.ECD=360°,

XVZ.1+Z2=AAEC,

J.Z.BAE+Z.AEC+乙ECD=360°；

(1)分别过E、F分别作4B的平行线，如图③所示,

用上面的方法可得NBHE+Z.AEF+乙EFC+"CD=540°；

(2)分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得NB2E+Z.AEF+LEFG+乙FGC+Z.GCD=720°；

(3)由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180几度.

故答案为：360；540；720；180n.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键,

总结规律求解是本题的难点.

4.(1)如图(1)AB||CD,猜想乙BPD与乙8、4。的关系，说出理由.

(2)观察图(2),已知2B||CD,猜想图中的NBPD与NB、AD的关系，并说明理由.

(3)观察图(3)和(4),已知4B||CD,猜想图中的NBPD与4以”的关系，不需要说明理由.

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）Z.B+ABPD+AD=360°,理由见解析；（2）乙BPD=KB+乙D,理由见解析；（3）图（3）

乙BPD=ND-NB,图（4）乙BPD=LB—4D

【分析】（1）过点P^EF||AB,得至Ij/B+乙BPE=180°,由4B||CD,EF||AB,得至!||CD,得至【J/EPD+

乙D=180°,由此得到NB+乙BPD+ND=360°；

（2）过点尸作PE||AB,由PE||AB||CD,得至1此1=乙B,42=ND,从而得至U结论NBPD=zl+Z2=ZF+

力

（3）由AB||CD,根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得N8PD与NB、的关系.

【详解】（1）解：猜想N8+NBPD+N。=360。.

理由：过点尸作EFIIAB,

工乙B+乙BPE=180°,

*：AB||CD,EF||AB,

：.EF||CD,

工乙EPD+£D=180°,

/.LB+Z.BPE+乙EPD+ZD=360°,

LB+乙BPD+40=360°；

(2)(BPD=+乙D.

理由：如图，过点尸作PEII48

AB

P^2--E

CD

(2)

*：AB||CD,

：.PE||AB||CD,

Z.1=(B,Z.2=乙D,

"BPD=41+42=NB+ND；

(3)如图(3)：乙BPD=ND一乙B.

理由：•.NBIICD,

P

⑶

zl=Z.D,

VZ.1=4B+4P,

Z-D=Z-B+Z.P,

即NBPD=ND-NB；

如图（4）：乙BPD=4B—乙D.

理由：；AB||CD,

⑷

z.1=乙B,

Vzl=4D+cP,

Z-B=乙D+乙P,

即48PD=—乙D.

【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解

题的关键.

题型04大脚模型

类型大脚模型骨折模型

已知AB〃CD

1.（20-21八年级上•贵州六盘水•阶段练习）如图，已知力B||DE,N4BC=80°,zCDE=140。,则/BCD=.

【答案】40。/40度

【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质.过点C作CFII4B,根据平行线的性质和角的和差，求解即可

得到结论.

【详解】解：如图，过点C作CFIIAB,

5L-ABWE,

•••DEWCF,

乙DCF+4CDE=180°,

•••乙DCF=40°,

.­.乙BCD=/.BCF-/.DCF=80°-40°=40°.

故答案为：40°.

2（2021九年级•全国・专题练习）已知A8//CD,求证：ZB=ZE+ZD

AB

D

E

【答案】见解析

【分析】过点E作跖〃CD,根据平行线的性质即可得出根据平行线的性质即可得出

NBOD=NBEF、ZD=ZDEF,结合角之间的关系即可得出结论.

【详解】证明：过点E作斯〃CD,如图

,JAB//CD,

ZB=ZBOD,

,JEF//CD（辅助线），

所（两直线平行，同位角相等）；NO=NZ汨尸（两直线平行，内错角相等）；

ZBEF=ZBED+ZDEF=ZBED+ZD（等量代换），

：.ZBOD=ZE+ZD（等量代换），即N8=/E+/£>.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角.

3.（2021・全国•九年级专题练习）如图，如果A8〃EREF//CD,则/I,Z2,/3的关系式.

【答案】Z2+Z3-Zl=180°

【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可.

【详解】解：'：AB//EF,EF//CD,

.\Z2+ZBOE=180°,Z3+ZC(9F=180°,

Z2+Z3+ZBOE+ZCOF=360°,

,/ZBOE+ZCOF+Z1=180°,

ZBO£+ZCOF=180°-Zl,

AZ2+Z3+(180°-Zl)=360°,

即N2+N3-Nl=180°.

故答案为：Z2+Z3-Zl=180°.

【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.

4.①如图1,AB//CD,贝l]NA+NE+NC=36O。；②如图2,AB//CD,贝l|NP=NA-NC；③如图3,AB

//CD,则NE=ZA+N1；④如图4,直线//M，点。在直线斯上，贝I]〃-"+々=180。.以

上结论正确的个数是（）

图1图3

A.1个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】①过点E作直线即〃A3,由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论;

②如图2,先根据三角形外角的性质得出N1=NC+NP,再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断;

③如图3,过点E作直线由平行线的性质可得出NA+/AEC-Nl=180。，即得/4£^=180。+/1

-NA；

④如图4,根据平行线的性质得出凡ZY+ZCOF=180°,再利用角的关系解答即可.

【详解】解:

B

3

E

O

CD

图4

图1图2图3

①如图1,过点E作直线跖〃AB,

U：AB//CD,

：.AB//CD//EFf

：.ZA+Z1=18O°,Z2+ZC=180°,

JZA+ZB+ZAEC=360°,

故①错误；

②如图2,,・・N1是△CE尸的外角，

AZ1=ZC+ZP,

U：AB//CD,

：.NA=N1,

即NP=NA-ZC,

故②正确；

③如图3,过点工作直线反〃A5,

9：AB//CD,

J.AB//CD//EF,

：.ZA+Z3=180°,Z1=Z2,

AZA+ZAEC-Zl=180°,

即NAEC=180°+Nl-NA,

故③错误；

④如图4,'CAB//EF,

Za=ZBOF,

■:CD//EF,

：.Zy+ZCOF=180°,

*：ZBOF=ZCOF+Z^f

：.ZCOF=Za-Zp,

AZy+Za-Zp=180°,

故④正确；

综上结论正确的个数为2,

故选：B.

【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线

是解答此题的关键.

题型05蛇形模型

⑴如图1,已知乙4=50。，ND=150。，求乙4PD的度数;

(2)如图2,判断NP4B、乙CDP、N4PD之间的数量关系为_.

(3)如图3,在(2)的条件下，AP1PD,DN平分4PDC,^^PAN+1Z.PAB=^APD,求乙4ND的度数.

【答案】(1)N4PD=80°

(2)NP48+Z.CDP-/.APD=180°

⑶乙AND=45°

【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用.

(1)过点P作EFII4B,根据平行线的性质可得乙4PE=乙4=50°,4EPD=180°-150°=30°,即可求出

“PD的度数；

(2)过点P作EFII4B,则4BIIEFIIC。，根据平行线的性质可得NCOP=NDPF,/.FPA+/.PAB=180°,又

Z.FPA=乙DPF-/.APD,即可得出NCOP+/.PAB-Z.APD=180°；

(3)PD交AN于点。，由4P1PD,得出N4PD=90°,^APAN+^APAB=90°得出NP4N+=^APD,

由NP0a+NP2N=90。，得出乙PCM=(乙巴48,由对顶角相等得出/N。。=］乙巴48,由角平分线的性质得

出乙ODN=三乙PDC,即N4ND=180°-：(NP力B+NPDC),由(2)得：ACDP+^PAB-^APD=180°,

代入计算即可求出乙4ND的度数.

【详解】（1）解：如图1,过点尸作EFII48,

C

图1・.・乙4=50。，

•••/.APE=4/=50。，

v^||CD,

・•.EF||CD,

・•・乙CDP+(EPD=180°,

•・•乙D=150°,

・•・乙EPD=180°-150°=30°,

・•.Z.APD=/.APE+乙EPD=50°+30°=80°；

(2)如图2,过点P作EF||ZB,则||EF||CD,

图2z.CDP=乙DPF,^FPA+Z.PAB=180°,

z_FPA=乙DPF-Z.APD,

・•・乙DPF-Z.APD+Z.PAB=180°,

・•・乙CDP+Z.PAB-^LAPD=180°,

故答案为：乙CDP+Z.PAB-Z.APD=180°；

(3)如图3,设PD交/N于点。，

N

P

CD

图3•・,AP1PD,

・•・Z,APD=90°,

9：Z.PAN+-^PAB=^LAPD

2

：.Z.PAN+-Z,PAB=90°,

2

・•・乙POA+乙PAN=90°,

i

・•.Z.POA=-zPXB,

2

vZ.POA=（NOD,

乙NOD=-/.PAB,

2

•••DN平分4PDC,

乙ODN=-/.PDC,

2

・•・乙AND=180°-（NOD一乙ODN

=180°-j^PAB+"DC）,

由（2）得：ACDP+LPAB-Z.APD=180°,

••・乙CDP+乙PAB=180°+/LAPD,

1

・•・Z.AND=180°--（乙PAB+乙PDC）

1

=180。-2（180。+〃。。）

1

=180°--（180°+90°）

=45°.

2.如图，已知：点4、。、B不在同一条直线，ADWBE

(1)求证：48+4C—乙4=180。：

(2)如图②，AQ.BQ分另U为乙。4。、的平分线所在直线，试探究NC与乙4Q8的数量关系;

(3)如图③，在(2)的前提下，且有ZCIIQB,直线4Q、BC交于点P,QPLPB,直接写出

Z-DACzZ-ACB：乙CBE=.

【答案】(1)见解析

(2)2^AQB+ZC=18O°,理由见解析

(3)1：2：2

【分析】(1)过点C作CFII4D,贝UCFIIBE,根据平行线的性质可得出乙4CF=乙力、4BCF=180。一4B,据

此可得；

(2)过点。作QMII4D,贝!JQMIIBE,根据平行线的性质、角平分线的定义可得出入4QB=*NCBE-ACAD),

结合(1)的结论可得出2乙4QB+NC=180。；

(3)由(2)的结论可得出NCW=jzCSF®,由QP1PB可得出NC4D+乙CBE=180。②，联立①②可求

出NG4D、NCBE的度数，再结合(1)的结论可得出N4CB的度数，将其代入AD4C：NACB：NCBE中可求

出结论.

【详解】(1)在图①中，过点C作CFMD,MCFIIBE.

图①

CF\\AD\\BEf

：.Z.ACF=乙BCF+ZB=180°,

AZ-ACB+Z-B-Z,A=乙ACF+乙BCF+乙8一乙4=+180°一44=180°.

(2)在图2中，过点。作QMIL4D,则QM||BE.

*：QM\\ADfQMIIBE,

C.2LAQM=Z.NAD,Z.BQM=Z.EBQ.

平分/CW,BQ^-^-ACBE,

：.^NAD=:乙CAD,乙EBQ=^Z.CBE,

：.^AQB=乙BQM-^AQM=1(^CBE-/,CAD).

VzC=180°-(乙CBE-/.CAD)=180°-2jAQB,

：.2Z.AQB+Z.C=180°.

(3)U：AC\\QB,

:.(AQB=/.CAP=^CAD,Z.ACP=乙PBQ=jzCBE,

1

：.Z.ACB=180°-AACP=180°--^CBE.

2

*：2^AQB+^LACB=180°,

：.Z-CAD=-/.CBE..

2

又；QP1PB,

：.^CAP+^ACP=90°,即NC4D+乙CBE=180°,

J.^CAD=60°,X.CBE120°,

J.LACB=180°-(NCBE-ACAD)=120°,

：./,DAC：Z.ACB：/.CBE=60°：120°：120°=1：2：2,

故答案为：1：2：2.

【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行

线.

3.(23-24七年级下.辽宁营口•阶段练习)如图，AB||DC,点E在直线AB,DC之间，连接DE,BE.

⑴写出乙4BE,乙BED,NEDC之间的数量关系，并说明理由;

(2)若NEDC=21°,乙BED=2乙B,求NB的度数；

【答案】(1)Z_BED+乙ABE-4EDC=180°,证明见解析

(2)ZB=67°

【分析】(1)过点E作EFIICD,利用平行线的判定及性质即可得解；

(2)由(1)得4BED+乙ABE-Z.EDC=180°,将=2/8代入即可得解.

本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

【详解】(1)解：/.BED+/.ABE-/.EDC=180°,

理由如下：过点E作EFIICD,如图，

J./.EDC=乙DEF,

'：AB||CD,

：.AB\\EF,

：.Z.ABE+Z.BEF=180°,

:.乙BEF=180°-“BE,

Z.BED=4BEF+Z.DEF=乙EDC+180°-/.ABE,

:.乙BED+^ABE-乙EDC=180°；

（2）解：由（1）^/.BED+Z.ABE-/.EDC=180°,

2Z.B+Z.B-乙EDC=180°,

.,.3zB-21°=180°,

解得乙8=67°.

题型06平行平分三等角

解题大招：平行平分得三等角.

1.（2024•山东淄博・中考真题）如图，已知ADIIBC,BD平分44BC.若乙4=110。，贝吐。的度数是（）

【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性

质是关键.依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可.

【详解】解：AD||BC,

•••^ABC=180°一乙4=180°-110°=70°,AD=4DBC；

•••BO平分"

11

•••乙DBC=-Z.XBC=士x70°=35°.

22

NO=35°.

故选：C

2.（2024•四川・中考真题）如图，ABWCD,2。平分血C,21=30°,则42=（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据=42=4B4D即可

求解.

【详解】解：；2B||CD,41=30。，

：.^BAD=Z1=30°

•.ND平分NB4C,

."2=4BAD=30°

故选：B

3.（2023•湖南张家界•中考真题）如图，已知直线4B||CD,EG平分NBEF,Z1=40°,贝此2的度数是（）

【答案】A

【分析】根据平行线的性质可得NEFG=Z1=40°,乙EFG+乙BEF=180°,乙EGF=乙BEG,推得NBEF=

140。，根据角平分线的性质可求出N8EG的度数，即可求得N2的度数.

【详解】'：AB||CD,

C.Z-EFG=41=40°,Z.EFG+乙BEF=180°,Z.EGF=乙BEG,

:.乙BEF=180°-40°=140°,

又,：EG平分乙BEF,

1

=70°,

"BEG=-2A.BEF

?.Z2=乙BEG=70°

故选：A.

【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的性质.熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质是解决本题

的关键.

4.（2023・四川资阳•模拟预测）如图，直线2BIICD,8C平分乙48D,N1=54。，则42=.

【答案】72。

【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键.

根据平行线的性质得到Nl=4CBA=54。，由角平分线得到NCBD=ACBA=54°,即可运算求解.

【详解】解：'：AB\\CD,

.*.zl=Z.CBA=54°,

平分4BD,

:.乙CBD=Z.CBA=54°,

.*.Z2=乙CDB=180°-zl-ACBD=180°-54°-54°=72°,

故答案为：72°.

题型07平行线折叠问题

记住三句话：①折叠前后对应角，对应边相等.

②折叠不改变原先的平行关系.

③以折线为对称轴.

1.（2024.黑龙江大庆.中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和

小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得Nl=N2=59。；小铁把纸带②沿GH折叠，发

现GD与GC重合，"F与HE重合.且点C,G,。在同一直线上，点E,H,尸也在同一直线上.则下列判断

A.纸带①、②的边线都平行

B.纸带①、②的边线都不平行

C.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行

D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行

【答案】D

【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得41=4ADB=59。，利用三角形内角和定理求得ND84=62°,

再根据折叠的性质可得乙4BC=4DBA=62°,由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得,

Z.CGH=Z.DGH,Z.EHG=Z.FHG,由平角的定义从而可得4EHG=NFHG=90。，/.CGH=Z.DGH=90°,

再根据平行线的判定即可判断.

【详解】解：对于纸带①，

Vzl=Z2=59°,

Azi=^ADB=59°,

/./.DBA=180°-59°-59°=62°,

由折叠的性质得，乙ABC=4DBA=62°,

Z.2*Z.ABC,

.X。与BC不平行，

对于纸带②，由折叠的性质得，/-CGH=/.DGH,乙EHG=4FHG,

又：点C,G,。在同一直线上，点E,H,尸也在同一直线上,

:.乙CGH+乙DGH=180°,EHG+AFHG=180°,

.,.乙EHG=乙FHG=90°,/.CGH=乙DGH=90°,

:.乙EHG+乙CGH=180°,

Z.CDWEF,

综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行，

故选：D.

【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定

和折叠的性质是解题的关键.

2.（2024.山西大同•模拟预测）如图1,四边形4BCD是一张矩形纸片，点。是BC上一点，将矩形纸片4BCD折

叠得到图2,使得。B与。C重合.若n2=50。，贝此1的度数为（）

A

B

O

图1图2

A.30°B.40°C.50°D.55°

【答案】B

【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握这两个性质定理是解题的关键.根据折叠的性

质可得N2=N3,Z4=Z5,根据平角的定义可得42+N3+N4+45=180。，从而得出N2+44=90。，求

出N4的度数，再根据平行线的性质即可求出41的度数.

【详解】解：如图

根据折叠的性质可得，z.2=z3,z.4=z.5

•••z2+z3+z4+z5=180°

.­-2(42+N4)=180°

•••z2+z4=90°

42=50°

Z.4=90°-50°=40°

•••矩形的对边平行

zl=Z.4=40°

故选：B.

3.（2023•江苏盐城・二模）如图,将平行四边形4BCD折叠，使点C落在4D边上的点C，处,N1=58°,Z2=42°,

则NC的度数为（）

A.100°B.109°C.126.5°D.130°

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答

本题的关键.根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出NCEF的度数，利用三角形内角和

求出NC.

【详解】解：设折痕与平行四边形力BCD交点为E,F,如图所示，

.­.ADWBC,

/-C'EC=zl=58°,

根据折叠可得NCEF=（乙DEC=29°,

•••ZC=180°-4CEF-N2=180°-29°-42°=109°.

故选:B.

4.（2024.四川凉山•模拟预测）如图，把矩形4BCD纸片沿E尸折叠后，点。，C分别落在。，C'的位置.若

AAED'=50°,贝ikEFC的度数为.

AED

c

【答案】115。/115度

【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识.根

据折叠的性质可得40nF=4。6尸=竺亭型，从而求得N4EF=NaED'+ND'EF,再根据矩形的性质可

知ADIIBC,即可得到NEFC=NAEF,从而得到NEFC的度数.

【详解】解：•••四边形4BCD为矩形，四边形为四边形EFCD折叠而成，

3EF=LDEF,AD||BC,

■：^AED'=50°,

,FVI7T180。一乙4E°'-

•••Z-DEF=乙DEF=--------------=r65o°,

2

・•・Z.AEF=/.AEDr+"EF=115°,

•••AD||BC,

乙EFC=/LAEF=115°,

故答案为：115。.

题型08三角板拼接模型

常见的三角板与三角板（平行）拼接模型:

方式摆放，其中2BIIEF,则N1的度数为（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

【答案】C

【分析】根据平行线的性质得出乙4GF=NF=45。，然后根据三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：如图：设/从FO交于点G,

•・NB||EF,

：.Z.AGF=Z,F=45°,

•・Z=60°,

Azi=180°一乙4一Z.AGF=180°-60°-45°=75°.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

2.（2024・四川凉山・中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在48的延长线上，当。尸||48时,

的度数为（）

A.10°B.15°C.30°D.45°

【答案】B

【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键.证明N4ED=

△FDE=30°,再利用=/.ABC-Z.AED,进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：^EDF=30°,AABC=45°,

"：DF\\AB,

：.AAED=乙FDE=30°,

:.乙EDB=AABC-^AED=45°-30°=15°；

故选B.

3.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则N1的大小为（）

A.100°B.105°C.115°D.120°

【答案】B

【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得43=42=30。，根据N1=180。—N3—45。即可求

解.

【详解】解：如图所示：

由题意得：43=42=30°

.".Z1=180°-Z3-45°=105°

故选：B.

4.（2023•黑龙江绥化•中考真题）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，41=25。，Z2=30°,则

43的度数为（）

2

3

A.55°B.65°C.70°D.75°

【答案】C

【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解.

【详解】解：依题意，zl+90°=z,3+45°,

Vzl=25°,

；.N3=70°,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键.

题型09直尺与三角板拼接模型综合

类型一直尺与30°角的三角板拼接

解题方利用三线八角求解

法

结论Zl+Z2=90°Z1=Z2Zl+Z2=90°

类型二直尺与45。角的三角板拼接

图示

/A\

k/A\双

"""\~1~~、、、为

1

解题方遇拐点作平行线三线八角+三角板特殊角求解三角板特殊角求解

法

结论Zl+Z2=90°Z1=Z2=75°Zl=105°

【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算.

1.（2024.四川巴中•中考真题）如图，直线znlln,一块含有30。的直角三角板按如图所示放置.若41=40。,

则乙2的大小为（）

m

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质.利用对顶角相等求得43的度数，再利用三角形的

外角性质求得N4的度数，最后利用平行线的性质