压轴小题导数技巧：比大小-高考数学一轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题3-5导数技巧：比大小

目录

【题型一】对数函数基础构造1：xlnx型.................................................1

【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x型................................................3

【题型三】指数函数基础构造............................................................4

【题型四】“取对数”法.................................................................6

【题型五】指数切线构造：eA-(x+l).......................................................................................................7

【题型六】对数切线构造................................................................9

।,2(1)

lnx<---------

【题型七】反比例构造：X+1型...................................................12

【题型八】“零点”构造法..............................................................14

【题型九】“跨界”构造：切、弦、指、对构造............................................15

【题型十】“同构”构造：差、商、积同构................................................18

【题型十一】泰勒逼近.................................................................19

【题型十二】帕德逼近.................................................................21

【题型十三】综合.....................................................................23

二、真题再现.........................................................................25

三、模拟检测.........................................................................28

热点题型归纳

【题型一】对数函数基础构造1：xlnx型

【典例分析】

(2022・全国•jWj三专题练习)已知。,瓦。£,+s],且=—5In。,=—3In/?,=—2Inc，则()

Jabc

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【分析】构造函数/(x)=Wnx,根据单调性即可确定4c的大小.

【详解】设函数/(X)=xlnx,/'(x)=l+lnx,当xe1―+4]⑴>0,此时/⑴单调递增，当

尤/。,」/(无)<0,此时"X)单调递减，由题蛆=-51na,-^-31nb,---21nc,得

<e；abc

।h1hl.h11.1「J111iJ11,1l1

〃lna=—In—,Z7H1nZ7?=-ln—,clnc=—In—=—In一,因为一<一<一<一,所以一In—>—In—n贝n|l

55332244543e554433

a］na>c\nc>blnb,且。力,c£1g,+8］,所以〃><:>/?.

故选：A.

【变式演练】

L(2022・全国•高三专题练习)已知4=8%b=99,c=108,贝匹，b,。的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【分析】构造函数〃x)=(18-x)lnx,x>8,求其单调性，从而判断。，b,。的大小关系.

【详解】构造/(%)=(18-x)lnx,x>8,

/z(x)=-lnx+--1,

广(力=—In%+"—1在［8,+oo)时为减函数，_a/(8)=-ln8+^-l=|-ln8<|-lne2=1-2<0,

1Q

所以/'(x)=-lnx+?-l<0在［8Z)恒成立，故〃x)=(18—x)lnx在［8,y)上单调递减，

所以〃8)>〃9)>〃10),Bpi01n8>91n9>81nl0,所以9>91^>1。8,即“>>>c.

故选：D

2.(2022.四川宜宾.二模(文))已知a=10'。，b=9'',c=ll9,则。力,。的大小关系为()

A.c<a<bB.b<a<c

C.a<b<cD.c<b<a

【答案】A

【分析】先构造函数/(%)=(20r)lnx(转9),求导确定函数单调性，即可判断。力，。的大小.

1?0

［详解］令/(%)=(20—%)lnx(xN9),贝|f\x)--lnx+(20-x)--=-lnxd-------1,

xx

20

显然当xN9时，/'⑴是减函数且八9)=-ln9+§-1<0,故”尤)是减函数，

/(9)>/(10)>/(11),即11In9>101n10>91nll,ln9n>InIO10>lnll9,

可得^c<a<b.

故选：A.

3.(2022•安徽・淮南第一中学一模(理))设〃=151nl3,Z?=141nl4,c=131nl5,则()

A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c

【答案】D

【分析】构造函数〃x)=(14+x)ln(14-x),利用函数/(力的导数讨论函数〃x)的单调性.

【详解】令/(尤)=(14+x)ln(14—%),xe［-l,l］,

则,(x)=ln(4r)-空!<lnl5jj|<0,

所以=(14+x)In(14-x)在［-1,1］上单调递增,

所以/(T)</(0)</(1),即131nl5<141nl4<151nl3,

所以，a>b>c故选：D

【题型二】对数函数基础构造2：Inx/x型

【典例分析】

ababab

(2022.全国.模拟预测)己知l<a<b<e,有以下结论：①/<%②b">ej③④"D,

则其中正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】构造/(无)=上土，xe(l,e),利用导函数得到其单调性，从而比较出①，(2),在①的基础上得到

X

④的正误，根据g(x)="的单调性及④得到③的正误..

【详解】设〃x)=F，xw(l,e),贝I］尸(x)=lz手>0在x«l,e)上恒成立，所以/⑺=?在无w(l,e)

上单调递增，

因为l<a<b<e,所以迎〈半，即blnavaln"因为y=ln尤单调递增，所以沙<凡①正确；

ab

—即aln/7〈或，因为y=lnx单调递增，所以②错误；

因为(？<"，所以/</，④正确；因为8(工)=炉单调递增，l<a<b<e

所以〃"<<?，所以废《与，③正确.

故选：C

【变式演练】

1.(2022・全国•高三专题练习)a=3(2一13),6=」里,乩c的大小顺序为()

e2e3

A.a<c<bB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【分析】构造函数/(x)=咛，应用导数研究其单调性，进而比较。=/(y),6=/(e),c=/(3)的大小,

若1=叱有两个解玉贝1|1<%<6<々，te(。」)，构造g(x)=Inx-2°J(x>1),利用导数确定

xex+1

In-Inx2

g(X)>0,进而得到-2——L>-----,即可判断4、C的大小，即可知正确选项.

x2-xix2+xx

2ln-

【详解】令/(x)=叱，贝==b=f(e)~,c=/(3)=华，

x3ee3

3

而广(幻=匕坐且无>0,即0<x<e时/(x)单调增，x>e时/(X)单调减，Xl<—<e<3,：.b>c,"

X3

什人左力el小I、.In/-In%lnxx

右，=---有两I解番，无2，贝!J1<玉<e<%,/£(。,一)，即%—9石+%=-----9，

xex2-x1t

令g(x)=ln尤一^则g'(x)="一丫，>0,即g(x)在(1,+8)上递增，

x+1x(x+l)

?(》)>86=0,即在(1,+8)上，lnx>4曰，若X=土即叱31〉二一，故有玉/>e2

X+x

x+1%/一%iiInxxx2

22

・・・当马=3时，e〉玉〉号，故/(§)</&)=/(3)，

综上：/?>(:>〃.故选：A

2.(2022・湖北•宜都二中高三开学考试)已知。=41口5"1=51114:。=5111，，则区仇。的大小关系是()

A.c<a<bB.a<b<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】令〃x)=^(x2e),利用导数判断在(e,+8)上的单调性，即可得。，瓦c的大小关系.

【详解】令〃尤)=((尤Ne),可得「⑴二:Alnx］一［”,

XX

当Ge时,广(x)40恒成立,所以〃力=咛在(e,+s)上单调递减,所以/㈤>/(4)>/(5),

即电色也》■,可得41n»〉；Tln4,51n4>41n5,所以lnp4>ln4P,5pln4>4pln5,

所以Sln/ASin下,51n4冗>41115元，即c>b,b>°.所以。<b<c.故选：B.

3.(2022・全国•高三专题练习(理))设4=20202022,z.=20212021,c=2O222020,则()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

ln2020

【分析】由于皆所以构造函数/(x)=鼻(x'e2),利用导数判断其为减函数，从而可比较

2022

出了(2020)>/(2021)>0,进而可比较出。力的大小，同理可比较出瓦c的大小，即可得答案

ln2020

..ln〃20221n20202021、x+l-xiwc

【详解】

・1HT-20211n2021-ln202f

2022

令g(x)=x+l—xlnx,则gr(x)=-lnx<0,

工g(%)在［M,+8)上单减，Jg(x)vg(e2)=i一M〈0,故r(x)〈0,

.**/(%)在［/,+8)上单减，f(2020)>f(2021)>0,^7=y/>•#*Intz>InZ?.a>b,

同理可得ln>>lnc,b>c,故a>"c,故选：A

【题型三】指数函数基础构造

【典例分析】

设正实数a,b,c,满足e2"=61nb=cec=2,则a,方，c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

福建省福州格致中学2022届高三10月月考数学试题

【答案】B

【分析】

通过构造函数/(x)=x/(x>0),利用导数判断函数的单调性，并判断c的范围，通过变形得6=e'，得b,c

的大小关系，再直接解方程求。的范围，最后三个数比较大小.

【详解】

设f(x)=xex(x>0),x〉0时，/'(x)=(x+l)/〉0恒成立，/⑴在(0,+8)单调递增，时，

而*<2,所以。后[；/[,blnb=\nb-e[nb=cec故lnb=c,即Z?=e，£(G,e),而

Q=----<—,所以a<cvZ?.故选：B

22

【变式演练】

L已知d4CER.满足二=二=-二<0.则。，b,。的大小关系为（）・

InZ?In。Inc

A.c>a>bB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

2020届湖北省高三下学期5月高考模拟调研考试理科数学试题

【答案】A

【分析】

根据指数函数值域可确定c>l,。,赤（0,1）；构造函数〃x）=A♦（0<x<l）,利用导数可知〃x）在（0』）

上单调递减，利用二=工<二可知6<a,由此可得结果.

\naIn/?InZ?

【详解】

■.13fe>0,2">0,2r>0,.,.ln&<0,Ina<0,Inc>0,

:.0<b<l,0<a<l,ol；

T3b2b

■.■3b>2b>0,\nb<0,----=-----<-----

IntzIn/?\nb

2X

./、2%/、r[2'In2,Inx-----2'|ln2-lnx--

令〃“卜嬴但(尤<D，则/，")=--------X

lnx')(lnx)2

当0<x<l时，lnx<0,-1<0,(无)<0,••J(x)在(0,1)上单调递减,

•1--^―<,即/(a)</(b),:.b<a,c>a>Z?.故选：A.

InaInb

2.已知a+2"=2,6+3“=2,则blga与algZ?的大小关系是()

A.blga<algbB.blga=algb

C.blga>a\gbD.不确定

【答案】C

【分析】

令〃力=尤+2'送（力=%+3',结合题意可知0<b<a<l,进而有户>/,再利用对数函数的单调性

和运算性质即可求解

【详解】

令〃x）=x+2",g（x）=x+3"则当x>0时，g（x）>/（%）,当x<0时，g（x）<f（x）.

由a+2"=2,b+3〃=2,得/⑷=2,g0）=2考虑到/（a）=g®=2得04<”1,

:.ab>bb>ba

由得1g（叫>坨色"）,即引ga>algb故选:C

3.已知实数〃=士〃，b=1e39c=9",（e为自然对数的底数）则a,b,C的大小关系为（）

237

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

【答案】A

【分析】

Y+1—

由已知实数的形式构造函数/(x)=—e，，即有a=f(2),b=f(3),c=/(7),利用导数研究/(%)的单调性,

X

再比较对应函数值的大小即可.

【详解】

j.1对

由题意,令/。)=r必e*,则a=/(2)乃"⑶,c=/⑺,

X

X-1

而广⑴=互，所以，>0时/(%)>。,即/(九)在(0,+8)上单调递增，

・・・/(2)<〃3)</⑺，即〃<b<c,

故选：A

【题型四】“取对数”法

【典例分析】

ln

(2023•全国•高三专题练习)已知a=2%Z?=3%°=4%贝U()

A.b<c<aB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b

【答案】B

【分析】对“，b,。取对数，探求它们的结构特征，构造函数〃x)=lnx-ln(9-x)(2Wx<4),借助导

数判断单调性即可作答.

【详解】对b,。取对数得：In«=ln2-ln7,lnZ?=ln3-ln6,Inc=ln41n5,

令/(x)=lnx4n(9-x)(2<x<4),广⑴二加一力Inx(9-x)ln(9-x)-xlnx

9-xx(9-x)

令g(无)二龙卜工,%〉1,g'(x)=lnx+l>0,即g(x)=xlnx在(1,+8)上单调递增,

由得，9-x>5>x>l,于是得(9—x)ln(9—x)>xlnx,又尤(9一%)>0,

因此，r(x)>0,即〃力在［2,4］上单调递增，从而得〃2)</(3)</(4),

即In21n7<In31n6<In41n5,lna<lnZ?<lnc,所以〃<Z?<c.

故选：B

【变式演练】

1.(2021・全国•高三专题练习)已知实数。，瓦ce(O,e),且3。=^,型=£/,5c=c5,则()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【分析】将已知的等式两边取对数可得号=皿，"=塔，号=叵.设函数〃元)=处，求导，分

3a4b5c''尤

析导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项.

a3b4C

【详解】由3=a,4=bf5=<?5得〃ln3=31na,Z?ln4=41nZ?,cln5=51nc,因此也?=也‘，ln4_ln^

3a4b

In5Inc

设函数〃元)=(，则〃3)=〃a),f(4)=f(b),f(5)=f(c),

〃尤)=W^,令广(x)=O,得…，所以)(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+s)上单调递减，

所以/(3)>/(4)>/(5),即/(a)>/(>)>/(c),又a,6,ce(O,e),

所以故选：A.

2.(2022・全国•高三专题练习)已知〃=3.939,。=3.93另,c=Ba：d=3.833,则a,4Gd的大小关系为()

A.d<c<b<aB.d<b<c<a

C.b<d<c<aD.b<c<d<a

【答案】B

【分析】构造函数〃元)=(，利用导数判断函数的单调性，可得7(3.9)</(3.8),从而可得3.93*<3g9,

再由y=%3-8在(。,+力)上单调递增，即可得出选项.

【详解】构造函数〃x)=F，贝|尸(同=三詈，

当xe(e,内)时，/'(x)<0,故/(无)=平在上单调递减，

所以/(3.9)</(3.8),所以也2<@阳，3.81n3.9<3.91n3.8所以In3.93-<33.83°,3^8<3.83.9,

3.93.8

因为在(0,+8)上单调递增，所以3.83-8<3.9”,同理3.8久9<3.93,9,

所以3.8工8<3.嗯8<3.839<3.939,故选：B

3.已知55<8",134<g，设。=1(^3,b=log85,c=log138,找出这三个数大小关系

【答案】a<b<c

【分析】

把a,b,c用换底公式变形，已知不等关系及53>3。83<5,也取对数后，可把。，"c与中间值比较大小，从

而得出结论.

【详解】

由己知。=粤,6=姮1g8

1g51g8lgl3

又55<8、则51g5<41g8,.,.6=拎<：,

lg85

lg84

134<85,则41gl3V51g8,c=-^->-,

lgl35

又53=125>81=34,；.3电5>433,a=

lg54

而83=512<625=5。，31g8<41g5,6=譬>:,

lg84

综上有a<Z?<c.故答案为：a<b<c.

【题型五】指数切线构造：e'-(x+l)

【典例分析】

(2022•江西・南昌市八一中学三模(理))设°=击，6=lnl.01,c=e001-b则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】观察式子的结构，进而设x=1.01,然后构造函数，随即通过求解函数的单调性得到答案.

【详解】设x=1.01,所以a=l-',6=lnx,c=e*T-l,

x

设/⑺=e-(x+D(x>l)'则尸(x)=e-l>。，所以>(x)在(1,+oo)单调递增，

所以/(x)>/⑴=e2-2>。ne，一(x+l)>0=e，>x+l…①，所以尤…②，

由①，x>ln(x+l)x-1>Inx^>—-1>Inx-1=>--l>-lnx=>lnx>l--...(3),

xxx

由②，x-l>ln%...@,

由②④，e*T_l>x_l>lnx,则c>b,

由③，b>a,所以c>6>a

故选：A.

【提分秘籍】

基本规律

指数和对数切线放缩法基础图

【变式演练】

1.(2022•河南•模拟预测(理))已知。=1.2,6=当。=602,则()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】构造函数/。)=d7—1">0),g(x)=(x+l)e-x-(l-xX(0<x<l),利用导数研究函数的单调

性，得出/(尤)，g(x)的单调性，得出efx+l*>0),令x=0.2,可得出“<c,再由得出的

1Y

一(0<x<l),令1=0.1,得出c<b,从而得出结果.

1-x

【详解】解：先证/>尤+1(%>。)，令/(x)=e无一,则/'(x)=e”一1〉0,

可知/(力在(0,+8)上单调递增，所以〃力>/(0)=0,即e，>x+ia>0),

令x=0.2,则e°2>1.2,所以“<c；

]+Y

再证/<—(0<%<1)即证(x+l)e-x>a-x)ex,

1-x

令g(x)=(%+l)e~x-(1-%X(0<x<l),贝!j/(%)=->0,

所以g(尤)在(o,l)上单调递增,所以g(x)>g(o)=o,即〈产(0<x<l),

令x=0.1,贝!所以c<Z?,从而a<cvZ?.

故选：C.

2.（2022•广东・深圳外国语学校高三阶段练习）已知a=e°°5,b=^~+l,c=g,则（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】利用导数可求得">x+l,InxVx-l；分别代入x=0.1和x=l.l,整理可得瓦c的大小关系.

【详解】令/（"="一》一1。>。），贝|/"）="一1>。，；./（同在（0,+8）上单调递增，；.〃力>〃0）=0,

即例>x+l,.•.严"拒即a>c；令g（x）=lnx-x+l,则g<尤）=——1=——,

XX

.,.当xe（O,l）时，g'（x）>0；当XV（1,~H»）时，g'（x）<0；

・•・g（x）在（0,1）上单调递增,在（1,+向上单调递减，.•.g（x）Vg⑴=0,

：.lnx<x-l（当且仅当x=l时取等号），.1InGw五-1,

即g+（当且仅当元=1时取等号），，吗+l<g,即A<c；

22

综上所述：a〉c〉b.故选：D.

1991A1

3.（2022・全国•高三专题练习）已知〃=——,b=e100,c=ln--,则〃，b,c的大小关系为（）

101100

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【答案】B

【解析】首先设/(x)=e「Al,利用导数得到，>x+l(xw0),从而得到

-空9911/x/、

b=e100>———+1=——>——=a,设g(x)=lnx—x+l,利用导数得至Ijln尤〈尤一l(xwl),从而得至ljb〉c

100100101v7

和C>a,即可得到答案.

【详解】设〃x)=e'-x-l,r(x)=/-l,令广(x)=O,解得无=0.

XW(T»,0),r(x)<o,/(X)为减函数，XG(O,-H»),r(尤)>。，/(x)为增函数.

所以〃力2/(0)=。，即e'_x-120,当且仅当x=0时取等号.所以e*>x+l(xwo).

99QQ1111—Y

故人=6100>_而+1=而〉而=〃，即b>a.设g(x)=lnx_x+l,g〈x)=__l=-----,令g'(x)=0,解

得X=1.

xe(O,l),g<x)>0,g(x)为增函数，xe(l,+oo),g，(x)<0,g(x)为减函数.

所以g(x)Wg(l)=0,即lnx-x+lW0,当且仅当x=l时取等号.所以InxvxT(xwl).

所以c=ln坦■<坦一1=,，又因为6>—匚，所以b>c.

100100100100

又因为一ln%>—x+l(xwl),所以c=ln3=Tn^>—9+1=工=〃

100101101101

即。综上6>c〉a.故选：B

【题型六】对数切线构造

【典例分析】

(2022•江苏.阜宁县东沟中学模拟预测)已知且2a=e"<，b>^S-3b=e~^。>；且4C=一：，则

()

Ina]nbIncInaIncInZ?

A.——<——<——B.——<——<——

beacabbeabac

一IncInZ?In。—In。In。Inc

C.——<——<——D.——<——<——

abacbeacbeab

【答案】A

【分析】对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到b、

c的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可.

【详解】由已知条件，对于2〃_eW，两边同取对数，则有ln2+lna="1,即a7na=1+ln2=(-In],

-e2222

同理：Z?-lnO=；-In；；0-1!1(?=；一1口；构造函数/(%)=%-111%,

则”0)=„,/©=/1£).对其求导得：尸(x)=?(x>0)

.•.当o<x<i时，r(x)<o,/⑴单调递减；

当尤>1时，r(x)>o,/(X)单调递增；

又b>；,c>；:.l<a<b<c再构造函数g(x)=xlnx,对其求导得：g'(x)=lnx+l(x>0)

.,.当0<x<：时，g,(x)<0,g(x)单调递减；当x>:时，g[x)>0,g(x)单调递增；

•••g(〃)<g(b)<g(c)即：alna<b]nb<c]nc又.••^■^〈^^〈^■^.故选：A.

beacab

【提分秘籍】

【变式演练】

a_11b_11

1..（2022・山西运城•高三期末（理））已知a，氏ce（O,+»）,且'e"+],ee,

C-I1

e-e5=c+一

5,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】C

【分析】构造函数/(x)=e£-x,利用导函数可得函数的单调性，又〃。卜/,鼻，/(/>)=

/(c)=/(-1]，abc〉Q,即得.

_11_11_11

【详解】由题可得e“一a=e2+上，eb-b^e3+-,ec-e=e5+-.

235

令〃x)=e-x,贝i]ra)=e-l,令广(力=0,得x=0,

xe(O,«»)时，/'(x)>0,/(x)在(0,+8)上单调递增，xe(ro,0)时，/f(x)<0,/(x)在(一e,0)上

单调递减，

又"6)=0=a,b,c>0,

由T<一；<T，可知>/[-g]>/[-|}BP/(«)>f(b)>f(c),

••c<b<a.

故选：C.

nhc

2.(2021・四川•双流中学高三阶段练习(理))已知a-4=ln—w0,b-5=ln—/0,c-6=ln—HO,贝U()

456

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<CD.a<c<b

【答案】A

【分析】根据给定条件构造函数/(x)=x-lnM尤>0),探讨函数的单调性，借助单调性进行推理即可得解.

1y—1

【详解】令函数/(x)=xTnx(x>0),贝ij/'(x)=i——=一,则有“九)在(0,1)上单调递减，在(L+8)上

XX

单调递增，

且X趋近于0和趋近于正无穷大时，〃%)值都趋近于正无穷大，

由。一4二ln@w0得，a-lna=4-ln4,即/(。)=/(4),且〃。4,

4

显然Ovavl,若,而/(%)在(L+oo)上单调递增，由f(a)=/(4)必有a=4与4矛盾，因此得Ovavl,

b

同理，由b-5=ln《w0得/(份=/(5),且人。5,并且有0<6<1,

由c—6=ln；w0得/(c)=/(6),且。。6,并且有

显然有八4)</(5)</(6),于是得/⑷</g)</(c),又〃尤)在(0,1)上单调递减，

所以c<Z?<a.故选：A

3.(2022•全国•高三专题练习)己知e-2.71828是自然对数的底数，设a=6-3,6=0-2,c=eOT-ln2,

ee

则()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】首先设=«-土，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断/Nx+1,

e

放缩c>0-ln2,再设函数g(x)=：-Inx,利用导数判断单调性，得g(2)>0,再比较4c的大小，即

可得到结果.

丫11

【详解】设=［，"')二引］"，

22

当owx<(时，r(x)>o,函数单调递增，当x>?时，ra)<o,函数单调递减，

2

。=/(3)/=/(2),(<2<3时，/(3)</(2),即

设y=e-x-l,y'=ex-］,(y,0)时，y'<0,函数单调递减，(0,+力)时，/>0,函数单调递增，所

以当x=0时，函数取得最小值，/(0)=0,即e'zx+1恒成立，

即e&>VL

Y11

令g(x)=__Inx,g'(x)=----,xw(O,e)时，g,(x)<0,g(x)单调递减，尤e(e,+oo)时，g［x)>0,g(x)

单调递增，x=e时，函数取得最小值g(e)=O,即g⑵>0,

得：一>In2,那么A/2—<V2—In2,

ee

即e也T-ln2>0-ln2>及一2,即b<c,

e

综上可知。故选：A

【题型七】反比例构造：X+1型

【典例分析】

(2022•江苏・金陵中学二模)设a=e'、-2币,b=JlA-l,c=21nl.l,贝U()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

［答案］A

【彳析】利用幕函数和指数函数的性质判断的范围，。利用基本不等式判断b的范围，构造新函数并利用

导数讨论函数的单调性求出c的范围，进而得出结果.

【详解】由e3<28,得正<后，即。<2近，所以3/<心5=£，

.____L4+12

所以3」<2近，则/」-2>/7<0,即"0；由&7一1=Mxl2_i<U__i<o184,即6<0184；

,~\1.22

设〃x)=lnx-型=3(x>0),则/'(x)=，――4—=>0,所以,⑴在(0,+8)上单调递增，且

x+1X(x+1)x(x+l)

/(1)=0,

所以当X£(l,+oo)时/(元)>0,即InX〉2('D,当％w(o,D时/(x)<0,即InX<2a0,

x+1x+1

X1.1>1,则lnl.l〉2(l'T)B0.095,所以c=21nl.l>0.19,即c>0.19,

1.1+1

综上，故选：A

【变式演练】

1.（2022•全国•高三专题练习）若°=e°2,b=g,c=ln3.2,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】构造函数〃x)=e「xT(x>0),利用导数可得a=e°2>1.2>。，进而可得y>3.2,可得

再利用函数g(x)=lnx-弋?，可得ln3.2>l.l,即得.

【详解】令〃x)=e'-x-l(x>0),贝|/(彳)=1一1>0,

•••/(X)在(O,+e)上单调递增，

：.a=e°2>0.2+l=1.2>y/L2=b,

o=e02>1,2=Ine12,c=ln3.2,

,/(e12)5=e6>(2.7『2387.4,(3.2)，335.5,

•*-e12>3,2，故a>c,

2

设g(x)=]nx_2(x：),则g，(x)=—_2(x+l)[_

>0,

(x+l)2x(x+l)7

所以函数在（。,+e）上单调递增，

2(1)

由g（l）=0,所以尤＞1时，g（x）＞o,即In尤〉

X+1

."=ln2+lnl.6>>1—=1,1

2+11.6+13950

又1<1.2<1.21/<6=&^<1.1,Ac>l.l>b,故a〉c>6.

故选：B.

4(2-In4)IIn4

2.(2022.江西.模拟预测(理))设〃=12，b=—,。=—j，则。，b,。的大小顺序为()

ee4

A.a<c<bB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【分析】根据爪c的结构，构造函数/（x）=止，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、。的大小,

X

得到正确答案.

2

In—

【详解】因为a=（二门71IneC=(构造函数〃x)=(,

b———----

eeee

4

则/(同=匕/,a=b=f(e),c=〃4),/⑴在(0,e)上递增，在(e,+s)上递减.则有6=/(e)

InYf]A

最大，即a<b,.若"G■有两个解，贝！Jl<%，所以1nxi=比1411工2=应，所以

Inx-Inx

1nxi-lnx=tx-tx,1nxi+Inx=tx+tx,gpt=-----2---------^ln[xx)=t[x+x),