新情景、新定义下的数列问题-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第19讲新情景、新定义下的数列问题

【人教A版2019】

1.数列中的新概念问题的求解策略：

通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应

的关系式（或不等式等），结合相关知识中的性质、公式来综合与应用.

►题型归纳

【题型1数列中的新概念问题】

【例1.1]（2024・四川南充・三模）对于数列｛册｝,规定Aa九为数列｛的J的一阶差分，其中=厮+1-

fc-1

an（neN*）,规定於a九为数列｛的J的左阶差分，其中屋际=Aan+1-eN*）.若&l=%二詈二2,

则篦怒=（）

A.7B.9C.11D.13

【例1.2]（2024・湖北武汉•三模）将12…按照某种顺序排成一列得到数列｛册｝,对任意1<i<j<n,

如果%>出，那么称数对（四吗）构成数列的一个逆序对.若九=4,则恰有2个逆序对的数列｛册｝的个数

为（）

A.4B.5C.6D.7

【变式1.1］（23-24高二下.重庆•期中）定义---为n个正数p1,p2,…Pn的“均倒数”，若已知数列｛即｝的

Pl+P2+，"+Pn

前71项的“均倒数”为七，又端=等,则①+4+“-+；=（）

371+26匕2b3匕19b20

A.-B.—C.—D.—

9112020

【变式1.2］（23-24高二下•江西景德镇•期末）对于数列｛%｝,若存在正整数k（k>2）,使得以<ak_r,ak<

ak+1,则称｛册｝是“谷值数列”，k是数列｛厮｝的“谷值点”.现有数列｛%J,其通项a“=卜+：-10卜则该数列

所有“谷值点”之和为（）

A.3B.9C.10D.12

【题型2数列中的新运算问题】

【例2.1］（2024.河南.模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲I,后来一位名叫角谷静夫的

日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就

乘以3再加1,如果是偶数就除以2,这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数劭，按照上述规则实

施第n次运算的结果为即但eN）,若as=1,且％«=1,2,3,4）均不为1,则a。=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

【例2.2］（2024.黑龙江大庆•三模）定义，"=ad—be,已知数列为等比数列，且=1,惜=0,

则CI7=（）

A.4B.±4C.8D.±8

【变式2.1］（23-24高三上•安徽合肥•阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个

数列｛%i｝：1，1，2,3,5,8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即%=a2=1,an+2=an+i+an,

这样的数列称为“斐波那契数列”.若a6=2Q+a6+a9+•••+a174）+1,则机=（）

A.175B.176C.177D.178

【变式2.2］（23-24高二上.云南昆明・期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶

数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4-2-1.这就是数学

史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数租=6,根据上述运算法则得出6-3-1075一

16-8-4-2-1,共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已

、，^、，（血,当厮为偶数时，

2

知数列｛厮｝满足：a1=m（zn为正整数），an+1=当m=3时，+a2+a3+•••+

3an+1,当册为奇数时

A.170B.168C.130D.172

1.数列的新定义、新情景问题的解题策略

（1）新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的

要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.

（2）新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问

题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，

达到灵活解题的目的.

►题型归纳

【题型3数列中的新情景问题】

【例3.1］（2024•陕西•三模）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以

解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关援，解之为二，又合而为一”.在某种

玩法中，用厮表示解下九5<9,nGN*）个圆环所需的移动最少次数，若的=1,且与=［2厮-1-1田为偶工

（2与-1+2,n为奇数

则解下5个环所需的最少移动次数为（）

A.7B.13

C.16D.22

【例3.2］（23-24高二下.北京•期中）小红在手工课上设计了一个剪纸图案，她先在一个半径为r的圆纸片

上画一个内接正方形，再画该正方形的内切圆，依次重复以上画法，得到了一幅由6个圆和6个正方形构

成的图案，依次剪去夹在正方形及其内切圆之间的部分，并剪去最小正方形内的部分，得到如图所示的一

幅剪纸，则该图案（阴影部分）的面积为（）

A.(TT—2)r2B.||(n-2)r2C.|j(it—2)r2D.詈(TT—2)产

【变式3.1]（23-24高二下•山东•阶段练习）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序

列4=｛的,。2，。3,…｝重新编辑，编辑新序列为4*=[艺，”…],它的第九项为皿，若序列（4*）*的所有项

Id1。2。3）

都是3,且as=1,a6=27,则a1=（）

A.-B.-C.-D.—

92781243

【变式3.2]（23-24高二下•北京•期中）原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》

记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫.”如图，为某校数学兴趣小组用数学

软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线1上取长度为1的线段48,做一个等边三角形A8C,然后以

点B为圆心，4B为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点。，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆

弧，交线段4C的延长线于点E,以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线/恰有21个交点时，“螺旋蚊香”的总

长度的最小值为（）

A.290ITB.310TTC.340TtD.930n

【题型4数列中定义的新性质问题】

【例4.1]（2024•全国•模拟预测）若数列｛%J,对于VkeN*,n£N*,都有与+k—与>kt（t为常数）成

立，则称数列5｝具有性质P（t）.已知数列｛%｝的通项公式为％=2它1一4列+4n,且具有性质P（4）,则

实数4的取值范围是（）

A.感+8）B.亭+8）C.（一8$D.（_8,|）

【例4.2]（23-24高二下•北京•期中）已知无穷数列｛。九｝,%=1.性质s:Vzn,nWN*,am+n>am+an,

性质nEN*,2<m<n,am_1+an+1>am+an,给出下列四个结论：

①若册=3-2n,则｛a九｝具有性质s；

②若册=n2,则｛a九｝具有性质t；

③若｛%J具有性质s,则%>n；

④若等比数列既满足性质s又满足性质3则其公比的取值范围为（2,+8）.

则所有正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式4.1](2024•北京东城・二模)已知的,。2,…,即(nN3)为有穷整数数列,若4t满足：%+i-%e

｛p,q](j=1,2,­••,n-1),其中p,q是两个给定的不同非零整数，且％_=厮=0,则称4t具有性质T.

(1)若p=-1,q=2,那么是否存在具有性质T的人5?若存在，写出一个这样的45；若不存在，请说明理由；

(2)若p=—1,q=2,且A1。具有性质T，求证：的,a2,…，a9中必有两项相同；

(3)若p+q=L求证：存在正整数匕使得对任意具有性质T的冬，都有…，以.1中任意两项均不相同.

【变式4.2](23-24高三上•北京房山•期末)若无穷数列｛aj满足：mmeN*,对于Vn2%(如€N*),都有

父皿=q(其中q为常数)，则称5｝具有性质“Q(m,n。,q)”.

an

(1)若｛5｝具有性质”Q(4,2,3)”,且CI3=1,a5=2,a64-a9+ari=20,求a2;

⑵若无穷数列｛%｝是等差数列，无穷数列｛4｝是公比为2的等比数列,%=c3=4,b1+c1=c2,an=bn+cn,

判断｛即｝是否具有性质“Q(2,l,3)”，并说明理由；

(3)设｛5｝既具有性质又具有性质%0，1,0)”，其中i，i<j,求证：｛厮｝具有性质

-Q(j+

【题型5数列中的新定义问题】

【例5.1](24-25高二上•甘肃金昌•阶段练习)若数列｛即｝满足的=1,且存在正整数k,使得即为奇数时,

a

n+i-an+2k-l；曲为偶数时，an+1-^an,称｛厮｝为k一跳跃数列，记d(i,/)=&-a/.

(1)若数列｛时｝为k—跳跃数列，且对任意1<i<j<6,d(i,j)丰0,求k最小时d(ij)的最大值；

(2)已知根为正整数，数列｛即｝为2时1一跳跃数列.

①若M=10,求数列｛即｝的前60项的和；

②求d(ij)的所有不同值的和7.

【例5.2】(24-25高三上・浙江金华•阶段练习)若数列4：%。2,…,即5>2)满足底+i-ak\=l(/c=1,2,…

,n—1),则称4rl为E数列,记5(4”)=a】+a2T—+an.

(1)写出满足的=a5=0,且S(A5)>0的一个E数列公；

(2)若的=2,几=2024,证明：E数列是递增数列的充要条件是与=2025；

(3)对任意给定的整数几何22),是否存在首项为0的E数列4%使得S(4J=0?如果存在，写出一个满足

条件的E数列4”；如果不存在，说明理由.

【变式5.1](23-24高二下•贵州黔南•期末)对于VnGN*,若数列｛如｝满足XX1/>1,则称这个数列

为“K数列”.

⑴已知数列1,2m,苏+1是例数列”,求实数机的取值范围.

(2)是否存在首项为-2的等差数列｛即｝为，《数列”，且其前〃项和S“使得工I一兀恒成立?若存在，求出

数列｛厮｝的通项公式；若不存在，请说明理由.

(3)已知各项均为正整数的等比数列｛厮｝是“K数列”，数列｛|厮｝不是“K数列”，若勾=黑，试判断数列｛如｝

是否为“K数列”，并说明理由.

【变式5.2](24-25高三上・安徽亳州•开学考试)已知数列,对于任意的neN*,都有与+an+2>2an+1,

则称数列｛an｝为“凹数列

⑴判断数列斯=2n是否为“凹数列”，请说明理由；

（2）已知等差数列｛加｝，首项为4,公差为d,且｛,｝为“凹数列”，求d的取值范围；

（3）证明：数列｛5｝为“凹数歹厂的充要条件是“对于任意的k,w,rieN*,当时，有力＜号潦,

A课麻棺（19题）

一、单选题

1.（24-25高二上•全国•课后作业）定义4为n个正数P1，P2,…必的“倒均数”•若数列5｝的前几项的“倒

Zi=iPi

均数”为三，数列｛%｝满足“=--—，则以=（）

九+1a2n-la2n+l

A.—B.—C.—D.—

796364

2.（24-25高三上•北京•阶段练习）在一个数列中，如果VneN*,都有anan+ian+2=k（k为常数），那么

这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列｛厮｝是等积数列，且的=1,。2=2,公积为8,则

+a2+------1■。2024=（）

A.4719B.4721C.4723D.4724

3.（23-24高二下•广东佛山•期中）将自然数1,2,3,4,5,……，按照如图排列，我们将2,4,7,11,

16...........都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”.（）

A.22B.30C.37D.46

4.（23-24高二上•湖南•期中）南宋数学家杨辉祥解九张算法》和逢法通变本末》中，提出垛积公式,

所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差

数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1,7,

15,27,45,71,107,则该数列的第8项为（）

A.161B.155C.141D.139

5.（2024•江苏南通•模拟预测）定义：已知数列｛%J（TIEN*）的首项的=1,前几项和为先.设4与k是常数，

若对一切正整数九，均有S：+1-S：=神+1成立，则称此数列为数列.若数列GN*）是学&2”数

列，则数列｛的J的通项公式册=（）

A.3x4n-2B.[臂2WC.4x3n-2D.[:

（3X4n-2（n>2）14x3n-2（n>2）

6.（2025•浙江•模拟预测）若数列｛a』g｝满足：对于任意正整数”,（an-6„）（an+1-bn+1）<0,则称an,

“互为交错数列.记正项数列｛$｝的前“项和为治,己知1,,/S^+l,0成等差数列，则与数列｛%“｝互为交

错数列的是（）

A.an=n+sinnnB.hn=n+cosnnC.cn=2n+sinnirD.dn=2n+cosnir

7.（2024・全国•模拟预测）将正整数〃分解为两个正整数七，0的积，即几=自6，当心,电两数差的绝对

值最小时，我们称其为最优分解.如12=1x12=2x6=3x4,其中3x4即为12的最优分解，当七,七是

〃的最优分解时,定义/'（n）=隹一&1，则数列｛/（2解｝的前2024项的和为（）

A.21011-1B.21011C.21012-1D.21012

8.（23-24高二下•北京顺义・期末）对于数列｛即｝,若存在M>0,使得对任意neN*,有la2-aj+|a3-a2\+

-+\an+1-an\<M,则称为“有界变差数列”.给出以下四个结论：

①若等差数列｛aj为“有界变差数列"，则｛a,J的公差d等于0；

②若各项均为正数的等比数列｛5｝为“有界变差数列”，则其公比q的取值范围是（0,1）；

③若数列｛$｝是“有界变差数列"，｛%｝满足用=募，贝式马用｝是“有界变差数列”；

④若数列｛&｝是“有界变差数列"，｛%｝满足力=2n,贝可费｝是“有界变差数列”；

其中所有正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

9.（23-24高二下•云南曲靖・期末）为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿

照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个

常数（不为0）.已知数列｛时｝是一个“等积数列"，=l,a99a100a101=2,其前n项和为％,则下列说法正

确的是（）

A.。2024=2B・S2024=3034

1

c.的一个通项公式为=3+（1）D.Sn=

2z4

10.（2024•山东青岛•三模）若有穷整数数列乙:%,a2l-an（n>3）满足:ai+i-atE｛—l,2｝（i=1,2,…，n—1）,

且%=an=0,则称4t具有性质T.则（）

A,存在具有性质T的4

B.存在具有性质T的人

C.若a1。具有性质7,贝I]%,a2，…，口9中至少有两项相同

D.存在正整数鼠使得对任意具有性质T的乙，有的,口2,…,以-1中任意两项均不相同

11.（24-25高三上•江西•阶段练习）若数列｛an｝满足--2=d5eN*,d为常数），则称数列｛an｝为“调

an+lan

和数列”.已知数列｛%｝为“调和数列”，下列说法正确的是（）

A.若？图仇=20,则瓦o+瓦1=瓦（）瓦1

B.若%=四二，且q=3,c2=15,则力九=

Cn2?1—1

C.若｛加｝中各项均为正数，则勾+1W”耍

D.若瓦=1,b2=则2二21[九"n（i—1）]W巴,

三、填空题

12.（2024•江苏镇江.三模）若对项数为n的数列｛an｝中的任意一项心，2也是该数列中的一项，则称这样的

数列为“R（n）可倒数数列”.已知正项等比数列也｝是“R⑸可倒数数列”，其公比为q,所有项和为匚写出一

4

个符合题意的q的值_____.

13.（2024高三下・北京・专题练习）已知无穷数列｛5｝,a1=1.性质s:eN*,am+n>am+an,；

性质t:eN*,2<m<n,am_r+an+1>am+an,下列说法中正确的有.

2

①若an-3-2n,则｛%｝具有性质s②若与=n,则｛即｝具有性质t

③若｛%i｝具有性质s,则an2n

④若等比数列｛5｝既满足性质s又满足性质t,则其公比的取值范围为（2,+8）

14.（2024•北京通州•三模）若数列｛bn｝、｛%｝均为严格增数列，且对任意正整数人都存在正整数机，使得

bme[cn,cn+1],则称数列｛3｝为数列｛”｝的数列”.已知数列｛册｝的前"项和为治，则下列结论中正确的

是.

①存在等差数列｛%J,使得是｛S"的数列”

②存在等比数列｛%J,使得｛厮｝是｛Sn｝的数列”

③存在等差数列｛a"，使得｛Sn｝是｛an｝的“河数列”

④存在等比数列｛厮｝,使得｛S"是｛即｝的数列”

四、解答题

15.(24-25高三上・北京•阶段练习)数列有100项,的=a,对任意nG[2,100],存在an=%+d,ie

[l,n-1],若以与前ri项中某一项相等，则称以具有性质P.

(1)若a1=1,d=2,求口4可能的值；

(2)数列中不存在具有性质P的项，求证：｛即｝是等差数列；

(3)若｛5｝中恰有三项具有性质P,这三项和为c,使用a,d,c表示的+a2+…+a]oo.

16.(24-25高三上•安徽•阶段练习)设集合M=｛a|a=*2一外,尤ez,yeZ｝.对于数列｛即｝,如果由eM,

(i=1,2,3••.),则称｛an｝为“平方差数列”.

⑴已知在数列｛册｝中,%=3,(n+l)a“-几与+i=1.求数列｛厮｝的