一元二次方程篇（原卷版）-2023年中考数学必考考点总结+题型专训

专题11一元二次方程

考点一：一元二次方程之相关概念

知识回顾

1.一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般形式为：口?+陵+。=0（。。0）。其中是二次项，。是二次项系数；区是

一次项，b是一次项系数；c为常数项。

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。

微专题

1.（2022•广东）若x=l是方程/-2r+a=0的根，则a=.

2.（2022•连云港）若关于尤的一元二次方程见?+"尤-i=o（加=0）的一个根是％=1,则m+n的值是.

3.（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根，则2°2+4a的值是.

4.（2022•遂宁）己知m为方程f+3x-2022=0的根，那么m3+2/n2-2025m+2022的值为（）

A.-2022B.0C.2022D.4044

5.（2022•衢州）将一个容积为360c77?的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.利用容积列出图中无（°机）满足

的一元二次方程：（不必化简）.

考点二：一元二次方程之解一元二次方程

知识回顾

1.直接开方法解一元二次方程:

适用形式：=。或（x+。）2=〃或（内+。2=〃（"均大于等于0）

①兀2=0时，方程的解为：％i=J7，X2=-Jpo

②（x+a）2=〃时，方程的解为：X1=-\l~P~a>x2=~y[p^a°

=0

③（0X+A）2=Q时，方程的解为：,X2—一~

aa

2.配方法解一元二次方程：

运用公式：a2,+2ab+b2=（a+b^»

具体步骤：①化简一一将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。

②移项一一把常数项移到等号右边。

③配方一一两边均加上一次项系数一半的平方。

④开方一一整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。

⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。

即：

2

ax+b1x-\-c=0

2bc_

X-\---XH---=0

aa

2bc

x-\—x=—

.bylb2-4ac

••x-\----=-------------

2a2a

若庐―4ac20,则即可求得两根。

3.公式法解一元二次方程：

（1）根的判别式：由配方法可知，庐-4ac即为一元二次方程根的判别式。用△表示。

①A=庐-4ac>0o方程有两个不相等的实数根。

②公=信-4ac=0o方程有两个相等的实数根。

③A=庐_4acV0o方程没有实数根。

（2）求根公式：

当A=Z?-4ac20时，则一元二次方程可以用x=—1土—4一来求出它的两个根,这就

2a

是一元二次方程的求根公式。

@A=b2-4ac>0时，一元二次方程的两根为期=-0+J庐-4丝=-b—'bjac。

2a2a

ob

②卜=b~-4ac=0时，一元二次方程的两根为X]=%2=------。

-2a

③A=扇一4acVO时，方程没有实数根。

4.因式分解法求一元二次方程：

利用因式分解的手段将一元二次方程化为AB=0的形式，再利用A=0或3=0来求解二元一次

方程。

f------------------\

微专题

\__________________/

6.（2022•台湾）已知一元二次方程式（x-2）2=3的两根为。、b,且a>b,求2a+b之值为何？（）

A.9B.-3C.6+V3D.-6+73

7.（2022•聊城）用配方法解一元二次方程3/+6x-1=0时，将它化为（x+a）2=6的形式，则a+b的值为

（）

1074

A.—B.—C.2D.—

333

8.（2022•雅安）若关于x的一元二次方程/+6x+c=0配方后得到方程（x+3）2=2c,则c的值为（）

A.-3B.0C.3D.9

9.（2022•甘肃）用配方法解方程/-2x=2时，配方后正确的是（)

A.(x+1)2=3B.(x+1)2=6C.(x-1)2=3D.(x-1)2=6

10.（2022•荆州）一元二次方程/-4x+3=0配方为（x-2）2=k,则k的值是

11.（2022•东营）一元二次方程/+4尤-8=0的解是（）

A.xi=2+26,xi—1-2V3B.XI=2+2A/2,X2=2-2V2

C.xi=-2+2V2,x2=-2-2V2D.xi=-2+2V3,X2=-2-2V3

12.（2022•临沂）方程/-2x-24=0的根是（)

A.xi=6,X2=4B.xi=6,X2=-4

C.xi=-6,X2=4D.xi=-6,X2=-4

13.（2022•包头）若XI,X2是方程/-2x-3=0的两个实数根，则X1・X22的值为（）

A.3或-9B.-3或9C.3或-6D.-3或6

14.（2022•天津）方程/+4x+3=0的两个根为()

A.xi=l,%2=3B.xi--1,xi—3

C.xi=l,X2=-3D.xi=-1,X2=-3

15.(2022•梧州)一元二次方程（尤-2）（x+7）=0的根是

16.(2022•云南)方程2/+1=3尤的解为

17.(2022•淮安)若关于x的一元二次方程X2-2X-k=0没有实数根，则k的值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.1

18.(2022•攀枝花)若关于%的方程x2-X-m=0有实数根,则实数优的取值范围是（）

11

A.m<一B.mW—C.--D.m>-一

4444

19.(2022•内蒙古)对于实数a,b定义运算“软'为a^b=b2-ab,例如302=22-3X2=-2,则关于

x的方程（k-3）瓯=4-1的根的情况，下列说法正确的是（

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

20.（2022•巴中）对于实数b定义新运算：a»b=a/-b,若关于尤的方程1※了二上有两个不相等的实

数根，则上的取值范围（)

11C.左＞-工且左WOD.左且左WO

A.k>--B.k<--

4444

21.（2022•安顺）定义新运算a*6：对于任意实数a,。满足a%=（a+b）（a-b）-1,其中等式右边是通

常的加法、减法、乘法运算，例如3*2=（3+2）（3-2）-1=5-1=4.若xV=2x"为实数）是关于

尤的方程，则它的根的情况是（）

A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

22.（2022•西宁）关于尤的一元二次方程2/+苫-左=0没有实数根，则左的取值范围是（）

1）11、1

A.k<~—B.kW~-C.左>--D.Z2—-

8888

23.（2022•西藏）已知关于x的一元二次方程（M-1）W+2x-3=0有实数根，则根的取值范围是（）

2222

A.mN—B.m<—C.m>—且根D.m2—且znWl

3333

24.（2022•大连）若关于尤的一元二次方程/+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（）

A.36B.9C.6D.-9

25.（2022•营口）关于龙的一元二次方程/+4x-m=0有两个实数根，则实数机的取值范围为（）

A.m<4B.m>-4C.mW4D.m2-4

26.（2022•东营）关于元的一元二次方程（k-1）/-2x+l=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围

是.

27.（2022•上海）已知f-2加叶机=0有两个不相等的实数根，则机的取值范围是.

28.（2022•岳阳）已知关于x的一元二次方程尤2+2尤+m=0有两个不相等的实数根，则实数机的取值范围

是.

考点三：一元二次方程之根与系数的关系：

f-X

知识回顾

■

1.根与系数的基本关系：

若为，巧是一元二次方程。/+以+。=0的两个根，则这两个根与系数的关系为：

bc

西+=---9苞.12=一°

-aa

同时存在：ar：+bxx+c=0,+也+c=0。

2.常考推广公式：

(DX：+%2=(%1+-^2)2-2兄1%2°

②西君+城巧=西九2（巧+画）。

③工+二工+且平+电。

的巧为％2%1%2的巧

④a+理=立+^L=X；+x[=（X1+X2）2—2XM2。

xxxxxx

x1x2尤1尤2l2l2l2

⑤（西+oX巧+p）=xlx2+p（xl+%2）+P1。

⑥（国-电）2=（%1+为F-例巧。

微专题

29.（2022•益阳）若元=-1是方程/+%+m=。的一个根，则此方程的另一个根是（）

A.-1B.0C.1D.2

30.（2022•青海）已知关于x的方程/+ml+3=0的一个根为x=l,则实数机的值为（）

A.4B.-4C.3D.-3

31.（2022•贵港）若％=-2是一元二次方程W+2x+m=0的一个根,则方程的另一个根及m的值分别是（）

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

32.（2022•呼和浩特）已知xi,兀2是方程/r-2022=0的两个实数根，则代数式婷一2022x1+一的值是

（）

A.4045B.4044C.2022D.1

33.（2022•黔东南州）已知关于x的一元二次方程/-2x-〃=0的两根分别记为xi,xi,若xi=-l，则〃

-xi2-%22的值为（）

A.7B.-7C.6D.-6

34.（2022•宜宾）已知根、〃是一元二次方程/+2工-5=0的两个根，则机2+机〃+2机的值为（）

A.0B.-10C.3D.10

35.（2022•乐山）关于x的一元二次方程37-2%+根=0有两根，其中一根为冗=1,则这两根之积为（）

121

A.—B.—C.1D.一-

333

36.（2022・巴中）必0是关于尤的方程，7+左-1=0的两个实数根,且（12-2€1-6=4,则左的值为.

3

37.（2022•日照）关于x的一元二次方程2/+而0：+m=0有两个不同的实数根xi,且x，+x22=—,则

16

m

38.（2022•内江）已知xi、&是关于x的方程/-2x+G-1=0的两实数根，且&■+上=婷+2m-1,则女

画巧

的值为.

39.（2022•绥化）设xi与尤2为一元二次方程L/+3x+2=0的两根，则（XLX2）?的值为

2

40.（2022•鄂州）若实数°、6分别满足/-船+3=0,庐一4b+3=0,且aWb,则工+，的值为_______.

ab

41.（2022•湖北）若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是xi,X2,则的值是.

考点四：一元二次方程之实际应用：

✓--------------------------X

知识回顾

1.列方程解实际应用题的步骤：

①审题一一仔细审题，找出题目中的等量关系。

②设未知数一一根据问题与等量关系直接或间接设未知数。

③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。

④解方程一一按照解方程的步骤解一元二次方程。

⑤答一一检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。

2.一元二次方程实际应用的基本类型：

传播轮数

①传播问题：计算公式：原病例数X（1+传播数）=总病例数。

②握手（比赛）问题：计算公式：单循环：当"=总数；双循环：〃仇+1）=总数。（”表示参

与数量）

③数字问题：一个十位数可表示为：10义十位上的数字十个位上的数字；一个百位数可表示为：

100X百位上的数字+10X十位上的数字十个位上的数字。以此类推。

土的长轮数

④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数义（1+增长率）0=总数，

下降轮数

原数义（1—下降率）=总数。

⑤商品销售问题：基本等量关系：

总利润=单利润X数量

现单利润=原单利润+涨价部分（一降价部分）

涨价部分降价部分

现数量=原数量一_________x变化基数(原数量+________x变化基数)

涨价基础降价基础

⑥图形面积问题：

利用勾股定理建立一元二次方程。

利用面积公式建立二元一次方程。

微专题

42.(2022•宁夏)受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格三月底是6.2

元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x,根据题意列出方程,

正确的是()

A.6.2(1+x)2=8.9B.8.9(1+x)2=6.2

C.6.2(1+x2)=8.9D.6.2(1+x)+6.2(1+x)2=8.9

43.(2022•河池)某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一

月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为尤.则所列方程为()

A.30(1+x)2=50B.30(1-x)2=50

C.30(1+x2)=50D.30(1-x2)=50

44.(2022•哈尔滨)某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元,

设平均每次降价的百分率为x,根据题意，所列方程正确的是()

A.150(1-?)=96B.150(1-x)=96

C.150(1-x)2=96D.150(1-2%)=96

45.(2022•新疆)临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月

的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x,则根据题意，可列方程为()

A.8(1+2%)=11.52B.2X8(1+x)=11.52

C.8(1+x)2=11.52D.8(1+x2)=11.52

46.(2022•泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每

株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株

椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株

椽？设这批椽的数量为无株，则符合题意的方程是()

A.3(x-1)x=6210B.3(x-1