相交线（知识盘点+10题型+5易错+好题必刷）-2024-2025学年人教版七年级数学下册（含答案）

培优专题相交线

［。思维构建•理清脉络。］

L❶相交线

L❷对顶角

L❸垂直与垂线

垂线段及点到直线的距离

J❺三线八角

J。同位角、内错角、同旁内角

L0利用邻补角的性质求角度

L利用角的相关性质求角度

L利用邻补角及对顶角的性质求角

L利用基本图形法进行计数

r-O比例关系转化分数占比或设元列方程法求角

J利用垂线说明两角的关系

J垂线段最短

点到直线的距离

匚利用垂线段的性质进行方案设计

O同位角、内错角、同旁内角

O邻补角与补角区分不请

理解不请对顶角、邻补角的概念而致错

常见易错因考虑问题不全面而漏解

对垂线段的性质理解不透彻而致错

对三种位置角的基本图形理解不透而致错

［。知识盘.点、•查漏补缺。］

相交线

1.当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点.

【特别提醒】

（1）相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系（2）两条直线相交有且只有一个交点

2.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角,

互为邻补角.

试卷第1页，共27页

注意：

(1)邻补角是成对出现的单独一个角不能称为邻补角

(2)邻补角定义中既指明了位置关系，又指明了数量关系““邻”指的是位置相邻，即两个角

有一条公共边补”指的是两个角的数量关系是互补

3.邻补角与补角的区别与联系

邻补角补角

与角的大小、位置均有关只与角的大小有关，与位置无关

区别

■个角的邻补角有且仅有两个■个角的补角可以有无数多个

1.都是两个角之间的关系，以“互为”体现；2.两个角的和都是

联系

180°

即学即练

知iR点2

i.对顶角的概念：有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线

的两个角叫作对顶角.如图所示，直线与相交于点。,21和N3是对顶角，N2和N4

是对顶角.

2.对顶角的性质：对顶角相等.

如图所示，由/1+/2=180。,/3+/2=180。，可得Z1=Z3，即对顶角相等.

【特别提醒】

试卷第2页，共27页

对顶角的位置关系和数量关系

1.位置关系：有公共顶点，两边分别互为反向延长线.

2.数量关系：对顶角相等.

3.对顶角与邻补角的区别与联系

邻补角对顶角

数

量

邻补角互补对顶角相等

关

系

区

别

位

置由两条直线相交形成，也可以由一条端点在直线上对顶角必须由两条直线相

关的射线与直线相交构成邻补角有一条公共边交形成对顶角没有公共边

系

相同点①都是两个角之间的关系，要成对出现；②对顶角与邻补角都有公共顶点

即学即练（2024春•长宁区期末）

2.下列图中，N1、N2是对顶角的是（）

【解后反思】判断两个角是否互为对顶角时一定要注意它们有没有公共顶点.

知识点3垂直与垂线

i.夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的那个角叫作这两条直线

的夹角.

【提示】两条直线相交的位置特征，可以通过两条直线的夹角来描述.

试卷第3页，共27页

2.垂直：如图直线与直线CD相交于点。，当N8OC=90。（或形成的四个角中的任意

一个角等于90°）时，直线48与直线CD互相垂直，记作481CD,读作“48垂直于

CD”.

垂线一直角

II/

B

/

垂足I

D

3.垂线：如果两条相交直线的夹角为直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作

另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.

【巧记】（已知垂直得直角，已知直角得垂直）

4.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

【特别提醒】

1.“有”说明垂线的存在性，“只有”说明垂线的唯一性.

2.性质中的唯一性有两个关键条件不能少：

一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上，也可以在直线外.

【易混易错提醒】

1.垂直是相交的特殊情况：夹角为90°.

2.垂线是直线.

3.两条线段或射线垂直，是指这两条线段或射线所在的直线垂直.

5.垂直的记法与读法：垂直用符号U”表示，两条直线N3与CD互相垂直，记作

读作Z8垂直于CD”

6.垂线的画法：给定直线/和点尸，要求过点尸画已知直线/的线，如图1,将三角尺的一

条直角边紧靠直线/,另一直角边经过点P,沿着这条边画直线，它就是直线/的垂线，如

图2.如果点P在直线/上，同样也可以画出直线/的垂线.

图2

试卷第4页，共27页

垂直定义的双重性

垂直的定义既是判定也是性质.

C

判定

ZBOC^90°^^AB1CD

性质

即学即练（2024秋•城关区期末）

3.如图，直线48和。相交于点。，若//OC=68。，则/E08的大小为（）

B.58°C.45°D.22°

【解后反思】利用垂直的定义及对顶角的性质，将要求的角向已知角转化.

知识点4垂线段及点到直线的距离

i.垂线段及点到直线的距离

名称概念符号语言图示区别

过直线外一点向已知直线作线段co叫作点是一条线

垂线段垂线这个点与垂足之间的线C到直线的AO3-------B段，属于几

段，叫作垂线段垂线段何图形

1)

点到直直线外一点到这条直线的垂C。的长度就是是线段的长

线的距线段的长度，叫作点到直线点C到直线48度，是一个

离的距离的距离数量

【注意】①垂直是两条直线间的位置关系，垂线是直线，垂线段是线段.②点到直线的距

离是两点间距离的特殊情况：直线外一点到垂足这两点间的距离.

2.垂线段的性质

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

【注意】与“两点之间，线段最短”都是说明不等关系的重要依据.

即学即练（2024秋•永春县期末）

4.如图，点尸是直线/外一点，A、B、C、。都在直线/上，PBLI于B,在P与A、B、

试卷第5页，共27页

C、。四点的连线中，线段必最短，依据是（）

B.两点之间，线段最短

C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.垂线段最短

即学即练（2024秋•海口期末）

5.如图，A,B,C,D四点在直线/上，点M在直线/外，MCVI,若M4=5cm,儿行=4cm,

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

三线八角

如图，直线/及。与EF相交（也可以说两条直线/58被第三条直线跖所截），构成了

8个角，简称“三线八角”.

同位角、内错角、同旁内角

1.同位角、内错角、同旁内角的概念

名图形的结构特

定义图示

称征

试卷第6页，共27页

(1)在截线同

侧；(2)在

N1与N5都在第三条直线两条被截直线

同

跖的同旁，并且分别位于同侧；

位

直线/民CD的同一侧，这样(3)形如字母

角

的一对角叫做同位角.“尸，

(或倒置、反

置、旋转)

(1)在被截两

直线之间;(2)

/--------------^4-----------B

N3与N5分别位于第三条直在截线的异\直线

内

线所异侧，且都在直线侧；

错

N8,CD之间，这样的一对角(3)形如字母

角

叫做内错角.

力民8被直线跖所截

(或倒置、反

置、旋转)

(1)在被截两

直线之间;(2)

同

Z3与46在直线所同旁且在截线同旁；

旁

在直线/瓦。之间，这样的(3)形如字母

内

一对角叫做同旁内角.“IF

角

(或倒置、反

置、旋转)

注意:

(1)同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系.

(2)这三类角都是两条直线被第三条直线所截形成的，要分清截线和被截线

(3)两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内

角.

试卷第7页，共27页

2.手势表示

同位角、内错角、同旁内角也可以用手势表示出来（两大拇指代表两条被截直线，食指代表

截线），如图所示，采用不同的手势，分别得到同位角、内错角、同旁内角.

①根据手势识别同位角（两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线）

②根据手势识别内错角（两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线）

③根据手势识别同旁内角（两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线）

即学即练（2024秋•晋江市期末）

6.如图所示，下列说法一定正确的是（）

C.N3和N4互为补角D./2和/5是同位角

［。题型突围•精准提分。］

利用邻补角的性质求角度

豆苣例］

7.如图，直线A8,相交于点。，OE平分NBOD,ZAOE=144°,则/80C的度数为

（）

试卷第8页，共27页

AD

A.72°B.92°C.100°D.108°

审题关键：解答本题应先根据邻补角求出N8O£=180。-乙4OE=36。，由角平分线求出

/BOD=2ZBOE=72°,根据邻补角即可求出ZBOC的度数.

【变式1-11

8.如图，直线4B,CD相交于点O,OE平分NBOD,OFA.OE.若44OC=46。，贝UNC。尸

A.67°B.92°C.113°D.134°

【变式1-2]

9.如图，已知点。为直线AB上一点，N8OC=110°,OC1OD,0M平分//OC,

ZBOP=ZDOM.

⑴求44a）的度数；

（2）试说明：OP平分/20C；

（3）若改变/8OC的大小，其余条件不变，设4BOC=a（90。<a<180。），（2）中的结论是否

依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用a表示/COP.

【变式1-3]

10.如图，直线/£、BF相交于点G,GCLGE,GD平分NCGF,若

ZDGE;ZEGF=1:4,贝UNBGC=°,

试卷第9页，共27页

D,

E

c

【方法总结】

①在直线相交问题中，通过邻补角和角平分线的性质可以求出特定角度的度数.

②当改变某个角度的大小时，若其他条件保持不变，角平分线的性质仍然适用，可以继续

求解相关角度.

利用角的相关性质求角度

11.问题情境：如图，直线42,相交于点。.ON把分成两个角，且

ZAON:ZNOD=2.3.

(1)若/BOC=75。，求乙4ON的度数.

(2)如果N8OC=75。，OM平济4B0N,那么08是NC(W的平分线吗？试说明理由.

问题解决：

3

⑶若OM10N,则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理

由.

破题思路：(1)由对角相等，先求出乙40D.然后根据N/ON:NNOD=2:3即可求解；

(2)结合(1)的结论，求出NBCW,然后再求480初即可作出判断；

(3)设44CW=2x,则NN0£>=3x,然后用x的代数式把，NDOAf表示出来，即可

求解.

【变式2-1]

12.如图，直线48,相交于点。，己知N/OC=75。，射线OE将N3OD分成两个角，且

ZDOE:ZBOE=2:3,

试卷第10页，共27页

⑴求乙DOE的度数；

(2)若0尸平分NCOE,试说明0c平分乙4。厂.

【变式2-2]

13.如图，直线相交于点。，平分440。，OF10C.

(1)图中乙40尸的余角是一(把符合条件的角都填上);

⑵如果/1=28。，求N2和N3的度数.

解：•••。后平分/4。。，

ZAOD=2Z1=56°(_),

•••ZAOD+Z=Z2+Z=180°,

Z2=Z=--------------=°(_).

5L-.-OF1CO,

NFOD=90°,

..，Z3=900-Z_=_°.

【方法总结】

通过角的性质求解角度问题的解题技巧

首先确定对顶角相等，然后利用角平分线的定义和角度的和差倍分关系进行计算.在给定条

件下，若两角相等且其中一个角被平分，则可判断另一角也被平分，在分析问题的时候要结

合数形结合的方法.

利用邻补角及对顶角的性质求角

试卷第11页，共27页

14.如图，直线AB和直线相交于点。，OB平分NEOD.

(1)写出图中/BOD的对顶角,和两个邻补角；

⑵若ZBOD=40°,求ZEOC的度数.

审题关键：解答本题应根据对顶角及邻补角的定义即可求解；求/EOC的度数可以根据角

平分线的性质.

【变式3-1】

⑴请写出ZAOC,ZAOE,ZEOC的对顶角；

(2)若N4OC=50°,求的度数.

【变式3-2]

16.如图，直线43、CZ)相交于点。，OE、。尸是内部的两条射线.

(1)/BOC的对顶角是,ZAOC的补角是；

(2)若/30。=28。，ZDOF=4ZBOD,OE是/尸的平分线.求NDOE的度数.

【变式3-31

17.如图，直线4B,CD相交于点O,£。1_48于点O,OF平分NDOE,ZBOD=34°.

试卷第12页，共27页

EF

(1)写出ZBOD的邻补角和对顶角；

⑵求/CO尸的度数.

【方法总结】

利用对顶角和邻补角的性质来求解角度问题

1.对顶角是两条相交直线所形成的相对角，邻补角是两个相邻角的和为180度.

2.角平分线的性质用于求解角的度数，即平分线将角分成两个相等的部分.

3.解题关键在于掌握对顶角相等、邻补角互补以及角平分线的性质.

利用基本图形法进行计数

18.观察下列各图，寻找对顶角(不含平角)、邻补角.

(2)如图2,共有对对顶角，对邻补角；

(3)如图3,共有对对顶角，对邻补角；

(4)根据(1)-(3)中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有“条直

线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？

审题关键：易考二级结论〃条直线相交于一点，则可形成""-1)对对顶角，对邻补

角.

【变式4-1]

19.四条直线斯,G77两两相交，则图形中共有对对顶角(平角除外)；有_

对邻补角.

试卷第13页，共27页

【变式4-2]

20.如图所示,若平面上4条两两相交，且无三线共点的4条直线，则共有同旁内角的对数

C.24对D.32对

O,OD平分ZBOE,OF平分/4OE.

(1)判断O尸与的位置关系，并说明理由;

⑵若ZAOC:ZAOD=1:5,求ZEOF的度数.

破题思路：(1)由。。平分OF平分//OE,得到NF0E=g/40E,

ZEOD=^ZEOB,根据邻补角互补可得出//OE+/EO6=180。，进而可得出N户OD=90。,

由此即可证出OP_LOD；

(2)由N/OC:N/0D=1:5,ZAOC+ZAOD^180°,得到乙1OC=30。，由对顶角相等,

可求出/NOC=/8OD=30。，根据OD平分NBOE,OF平分NAOE,可得出48。£=60。

试卷第14页，共27页

以及4。仆9/。£,根据邻补角互补结合可求出4。尸的度数.

【变式5-1]

22.如图，直线/瓦8相交于点0,。。平分/8。及。尸平分

(1)若NBOE=58°,N/OE=122°,判断。尸与。O的位置关系，并进行证明.

⑵若ZAOC:ZAOD=1:5,求ZEOF的度数.

【变式5-2]

23.如图，直线48,CD相交于点。，作ND0E=NB0D,0F平济/A0E.

⑴判断。尸与。D的位置关系，并说明理由；

(2)^ZAOC:ZAOD=2:7,OGLOE,求NGO尸的度数.

【变式5-3]

24.如图，直线。相交于点。，作2D0E=/BOD,OF平分N40E.

⑴判断。尸与OD的位置关系，并说明理由；

(2)若N/OC:NNOO=2:7,OGLOE,求NGO尸的度数.

【方法总结】

试卷第15页，共27页

求特定角的度数时，要结合条件定图，如果图形具有多样性，则需要分类讨论.

利用垂线说明两角的关系

理苣例6

25.已知

⑴如图①，若Z8OC=50。，求的度数；

(2)如图②，若NBOC=60。，求乙40。的度数；

(3)根据(1)(2)的结果猜想44OD与/BOC的关系，并根据图①说明理由.

审题关键：将线的垂直关系转化成数的角度大小关系.

【变式6-1]

26.如图，直线48、。相交于点。，E0LAB,垂足为O.

⑴若NCOE=30°,则NAOD=°；

⑵若ZCOE=60°，则ZAOD=°；

(3)猜想和/COE的关系是,并证明关系式成立.

【变式6-2]

27.如图，已知N81CD,垂足为。，直线所经过点O,图中N1与N2的关系是()

试卷第16页，共27页

C.N1=N2D.无法确定

28.如图，在等腰三角形48c中，AB=AC,AD1,点。为垂足，E、尸分别是

48上的动点.若/8=6,△48C的面积为12,则3E+E尸的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

审题关键：作辅助线，再根据三角形面积公式求出8N的长.

【变式7-1]

29.如图，正方形网格的格点P在/NO8的边08上，点A,0,8也是格点，请利用网格

⑴过点P画。8的垂线，交。4于点C,经过的一个格点记为尸;

⑵过点尸画。/的垂线，垂足记为a；

试卷第17页，共27页

(3)试判断线段OC,OP,4/的大小关系并说明判断的依据.

【变式7-2]

30.如图，已知点尸在』NO8的边。4上.

⑴过点尸作。4边的垂线/;

⑵过点P作OB边的垂线段尸。；

(3)过点。作尸。的平行线交I于点比较OP,PD,OE三条线段的大小，并用“>”连接得一,

得此结论的依据是一

【变式7-3]

31.用“垂线段最短”来解释的现象是()

起

A.跳测量跳远成绩

线

B.木板上弹墨线

两钉子固定木条

32.如图,点A在直线机上，点3,C在直线"上，设=NC=y且无论x取何值,

均有xNy,则下列说法正确的是()

试卷第18页，共27页

A

BC

A.点A到直线”的距离是45的长度B.点A到直线"的距离是NC的长度

C.点3到直线机的距离是的长度D.点。到直线机的距离是NC的长度

审题关键：根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解.

【变式8-1]

33.在已知平面内，点尸是直线/上一点，点M,N到直线/的距离分别是5cm,3cm,且

MPLl,NPLl,则线段AW的长度是.

【变式8-2]

34.点/是直线/外一点，点2是直线/上一点，点/至U/的距离为3cm,则43

3cm.（填“小于”“大于”“不小于”或“不大于”）

【变式8-3]

35.如图，在直线/外一点尸与直线上各点的连线中，P4=6,PO=5,尸8=5.5,

0C=4,则点尸到直线I的距离为（）

D.5.5

利用垂线段的性质进行方案设计

答例9

36.如图是一个湖泊，C是湖泊外的一块田地，现欲挖一条水渠从湖泊将水引到C

处.问：从湖泊43的何处开挖，才能使所挖水渠最短？画图表示，并说明设计理由.

审题关键：垂线段最短.

试卷第19页，共27页

【变式9-1]

37.如图①，要在一条笔直的路边/上建一个燃气站，向/同侧的4,2两个城镇分别铺设

管道输送燃气.试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

图①图②图③

（1）如图②，作出点/关于/的对称点4,线段48与直线/的交点C的位置即为所求，即

在点C处建燃气站，所得路线/C3是最短的.为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线/

上另外任取一点C',连接/C',BC,证明/C+CB</C+CZ.请完成这个证明；

（2）如果在H8两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并

规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）.

【变式9-2]

38.如图，N3是一条河流，要铺设管道将河水引到两个用水点。和。，现有两种铺设管道

的方案，若铺设管道单位长度的造价均相同，则下列说法正确的是（）

方案一：分别过C,。作的垂线，垂足为E,F,沿CE,。厂铺设管道；

方案二：连接CZ）交N3于点P,沿PC,尸。铺设管道.

A.方案一与方案二一样省钱，因为管道长度一样

B.方案二比方案一省钱，因为两点之间，线段最短

C.方案一比方案二省钱，因为垂线段最短

D.方案一与方案二无法比较

【变式9-3]

39.如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四

种方案中最节省材料的是（）

试卷第20页，共27页

乙・

甲

」2

审题关键：前提“三线八角”，再注意同位角在截线和被截线的位置关系一致.

【变式10-1]

41.已知图①〜④,

图①图②

试卷第21页，共27页

在上述四个图中，/I与N2是同位角的有（

A.①②③④B.①②③C.②③D.①③

【变式10-2]

42.如图，按各组角的位置，判断错误的是（）

A./I与一月是同旁内角B.N3与N4是内错角

C./5与/6是同旁内角D./2与/5是同位角

【变式10-3]

43.如图，从已经标出的五个角中,

（1）直线NC,2。被直线ED所截，/I与.是同位角；

（2）直线，CD被直线NC所截，N1与.是内错角；

（3）直线4B,CD被直线2。所截，/2与一是同旁内角.

0常见失分点避开误区0

钟科南号科由区力不请

[例1]

44.小明做了四道练习题：

①有公共顶点的两个角是对顶角；

②两个直角互为补角；

③一个三角板中两个锐角互为余角；

试卷第22页，共27页

④一个角的两边与另一个角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角；

⑤平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；

⑥两条直线相交，一定垂直；

⑦若两条直线相交所形成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直.

其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

月m理好不请对及由、都计甬的慨您向故错

【例2】

45.下列说法正确的是（）

A.相等的角是对顶角；B.邻补角一定互补；

C.互补的两角一定是邻补角；D.两个角不是对顶角，则这两个角不相等；

1升国考盒同题不全会而福解

【例3】

46.在直线上任取一点。，过点。作射线OC,0D,使。C，。。，当//OC=30。时,

乙8。〃的度数是（）

A.30°B.60°C.30°或150。D.60°或120°

47.已知尸为直线加外一点，A,B,C为直线机上三点，PA=4cm,PB=5cm,

PC=2cm,则点P到直线m的距离为（）

A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm

48.如图所示，下列说法：①N1与N3是内错角；②—8与N4是同位角；③ZI与/2是

同旁内角；④/I与//CE是内错角，其中正确的有（）

［。好题必刷•强化落实。」

一、单选题

49.如图，AB、CD被。E所截，则ND的同位角是（）

试卷第23页，共27页

A.Z1B.Z2C.Z3D.Z4

50.如图，直线48与直线CD相交于点。，若N/OC增大40。，则/3OD()

A.减少40。B.增大40。C.不变D.增大0。

51.如图，/3，。。于点。,。£平分/4。。，若NBOE=20°,则NECE的度数为()

52.如图，三角形48c中，ZBAC=90°,AD1BC,垂足为。，则下列结论正确的是

()

C.点A到8c的距离是线段AD的长度D.AD<BD

53.如图，直线48,CD相交于点。，OE平济/BOC,设=ABOF=f3,下

列结论：①ga+〃=90。，则。尸"LOE；②若。b_LOE,则40。尸=/；③若a=50。，则

尸=65。；④若。尸平分/BOD.则ge+/=90。，其中正确的结论是()

试卷第24页，共27页

F

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空题

54.如图，要把河中的水引到农田产处，若为，河岸。，垂足为点B,则沿着线段P8铺设

管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是

55.如图，直线a、b相交于点。，将量角器的中心与点。重合，发现表示60。的点在直线。

上，表示140。的点在直线6上，贝!|N1=°.

56.如图，直线/E与CD相交于点8,ZDBE=60°,87F,则NC既的度数是.

57.如图，直线48、CD相交于点O,OE1CD,OF平分NBOD,若

ZAOE+ZBOF=66°,贝i」Z8OC=°,

试卷第25页，共27页

D

F

c

58.如图，线段BC=10,A是线段3c外一点，连接AC,D、E分别是/2、AC

的中点，连接BE、8交于点尸.当四边形/OEE的面积为10时，线段N8的最小值

为.

三、解答题

59.如图，直线48与。。相交于点O,OE平分/BOC.

(1)当NCO£=27。时，求乙4OD的度数；

(2)若OF_LOE,NDOF=24BOC,求//OC的度数.

60.如图，直线48与C。相交于点。，OELCD.

⑴如果NCO5=130。，那么根据,可得乙4。。=

(2)如果/£。3=244OC,求4OD的度数.

试卷第26页，共27页

61.直线NBCO相交于点。，过点。作OE_LQ).

图1图2

(1)如图1,若/夙》＞=27。44，，求N/OE的度数.

(2)如图2,作射线。尸使NEOb=N/OE,则是480斤的平分线.请说明理由.

(3)在图1上作OGLAB,写出/C0G与/N0E的数量关系，并说明理由.

试卷第27页，共27页

1.D

【分析】根据邻补角的概念判断即可.

【详解】解：/I与N2,/2与N3,/3与N4,N4与/I,N5与N6,N6与N7,N7与

N8,N8与N5是邻补角,共8对,

故选：D.

【点睛】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具

有这种关系的两个角，称为互为邻补角.

2.D

【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形及对顶角的定义有公共顶点并且

其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点是解题的关键.

根据对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特

点对各选项分析判断.

【详解】解：A、/I、/2没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；

B、Zl>N2的边不是反向延长线所以不是对顶角，不符合题意；

C、/I、/2没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；

D、Z1,/2是对顶角，符合题意；

故选：D.

3.D

【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，根据OELOC得到NCO£=90。，再由平角

ZAOB=180°即可求解.

【详解】解：•••OELOC,

；.NCOE=90°,

•••NAOC+NCOE+NBOE=180°,NAOC=68°,

NEOB=180°-90°-68°=22°,

故选：D.

4.D

【分析】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，由垂线段最短，即可得到答案.

【详解】解：必，/于3,在尸与A、B、C、。四点的连线中，线段尸B最短，依据是垂

线段最短.

故选：D.

答案第1页，共34页

5.A

【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线

段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质.

.・•点〃到直线/的距离是垂线段MC的长度，为2cm,

故选：A.

6.D

【分析】本题考查互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角，熟练掌握相关定义

是解题关键.根据互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形

进行判断即可.

【详解】解：A.由于N1与N2的和不一定是90。，所以N1和N2不一定是互为余角，因此

选项A不符合题意；

B.Z1和N4不是两条直线被第三条直线所截得的角，不符合内错角的定，因此选项B不符

合题意；

C.N3和N4是一组同旁内角，但N3和N4不一定互补，因此选项C不符合题意；

D.N2和N5是两条直线被第三条直线所截的同位角，因此选项D符合题意.

故选：D.

7.D

【分析】此题考查了邻补角、角平分线等知识，根据邻补角求出

/BOE=180。-NAOE=36°,由角平分线求出NBOD=2/8OE=72。，根据邻补角即可求出

NBOC的度数.

【详解】解：••・N/OE=144。，

ZBOE=180°-NAOE=36°,

•：OE平分NBOD,

ZBOD=2ZBOE=72°,

答案第2页，共34页

ZBOC=180°-ABOD=108°

故选：D

8.C

【分析】本题考查垂线及角平分线的定义，熟知角平分线的定义及对顶角相等和邻补角互补

是解题的关键.

根据//OC求出/。。3=46。,//。。=134。，根据OE平分得出/BOE=23。,再

结合OPLOE,得出乙40尸=67。，即可解决问题.

【详解】解：■.-ZAOC=46°,

ZAOC=ZDOB=46°,

•：OE平分NBOD,

NBOE==NDOB=23°,

2

•••OFLOE,

ZAOF=180°-90°-ZBOE=67°,

ZCOF=ZAOF+ZAOC=67°+46°=113°,

故选：C.

9.(1)20°

⑵见解析

(3)(2)中的结论依然成立，理由见解答过程

【分析】此题主要考查了角平分线定义，垂直定义，邻补角定义，角的计算；

(1)先根据邻补角定义求出乙4。。=70。，再根据可得乙4。。的度数；

(2)先根据//OC=70。及角平分线定义得=35。，进而得/DOM=55。，则

NBOP=NDOM=55。,由此即可得出结论；

(3)根据邻补角定义得//0。=180。-£,根据0(3，。。得

ZAOD=ZCOD-ZAOC=«-90°,再根据角平分线定义得240M=jz^OC=90°-1«,

进而得ND<W=N/OD+N4W=gtz,则乙8。尸=由此即可得出结论.

【详解】(1)解：..•点。为直线22上一点，Z50C=110°,

ZAOC=180°-ZBOC=70°,

•••OCLOD,

ZCOD=90°,

答案第3页，共34页

ZAOD=ZCOD-ZAOC=90°-70°=20°；

(2)­,-ZAOC=70°,OM平分4OC,

:.ZAOM=-ZAOC=35°,

2

由(1)可知：ZAOD=20°,

ZDOM=ZAOD+ZAOM=20°+35°=55°,

ZBOP=ZDOM=55°,

ZCOP=ZBOC-ZBOP=110°-55o=55°,

NBOP=ZCOP=55°,

:.OP平分NBOC；

(3)(2)中的结论依然成立，理由如下：

.・•点。为直线AB上一点/BOC=1(90。<a<180°),

AAOC=180°-ABOC=180。一a,

VOCLOD,

ZCOD=90°,

NAOD=ZCOD-/NOC=90。-(180。-a)=a-90。，

:.OMZAOC,

:.ZAOM=^ZAOC=^(180°-a)=90°-^a,

NDOM=AAOD+AAOM=a-9Q°+9Q°--a=-a,

22

:.ZBOP=ZDOM=-a,

2

ZCOP=ZBOC-ZDOM=a--a=-a,

22

:.ZBOP=ZCOP=-a,

2

:.OP平分NBOC.

10.30

【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解

题的关键.根据已知可设4>G£=x。，ZEGF=4x°,从而可得/DG尸=5x。，然后根据垂

直定义可得/CGE=90。，从而可得/CGD=(90-x)。，再利用角平分线的定义可得

ZCGD=ZDGF,从而列出关于x的方程，进行计算可求出NEG尸=60。，最后利用平角定

答案第4页，共34页

义进行计算，即可解答.

【详解】解：・・・/QGE:NEGb=1:4,

・••设ZDGE=x。，ZEGF=4x°,

・•・ZDGF=NDGE+ZEGF=5x°,

-GC1GE,

・・・/CGE=90。，

・・・ZCGD=ZCGE-ZDGE=(90-x)°,

•・・GQ平分/CG尸，

"CGD=/DGF,

・•・90—x=5x,

解得：x=15,

.•./EGF=4x°=60°,

Z.BGC=180°-ZCGE-ZEGF=30°,

故答案为：30.

11.(1)30°

(2)是，理由见解析

(3)定值，18。

【分析】(1)由对角相等，先求出乙40D.然后根据N/ON:NNO£>=2:3即可求解；

(2)结合(1)的结论，求出/8ON,然后再求Z8OM即可作出判断；

(3)设4ON=2x,则NM9£>=3x,然后用x的代数式把N/OC,表示出来，即可

求解.

【详解】(1)解：•：ZAOD=NBOC,ZBOC=75°,

:.ZAOD=75°,

又•.•4ON:NNOD=2:3,

22

...ZAON=—ZAOD=-x75°=30°.

55

(2)由(1)知当/5。。=75。时，/AON=30。,

ZBON=180。—/ZON=150。，

・：OM平分/BON,

答案第5页，共34页

ABOM=-ZBON=15°,

2

NCOB=ZBOM,

.•.02是/COM的平分线；

(3)是定值，理由如下：

设Z.AON=2x,

贝!J/N0D=3%,

•・•OMLON,

/MON=92。，

:.AMOD=^0-3x,

ZAOD=/AON+ADON=5x,

AAOC=180°-ZAOD=180°-5x,

3

...-ZAOC-ZDOM

5

3

=-(180°-5x)-(90°-3x)

=18°.

【点睛】本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平

分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系.

12.(1)/。0£=30。

⑵见解析

【分析】本题考查角度的计算，对顶角相等，角平分线的定义；

(1)根据对顶角相等求出4