线段的数量和位置关系的探究题（解析版）-2023届中考数学压轴大题专项突破

专题05线段的数量和位置关系的探究题

।脸隰述

线段的数量关系一般是指线段的相等、和差关系、乘积关系和比例关系，线段的位置关系

一般是指平行关系、垂直关系和夹角问题。

线段的数量关系和位置关系的探究题，一般通过以下方式求解：

(1)通过证明三角形全等或者三角形相似，再根据全等三角形或相似三角形的性质，得到

线段的数量关系，通过转化可以求解。

(2)通过利用勾股定理和直角三角形的性质，得到线段的数量与位置关系。

(3)通过证明或者构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三线合一的性质，得到线段

的数量与位置关系。

(4)通过证明或构造平行四边形或特殊的平行四边形，利用平行四边形或特殊的平行四边

形的性质，得到线段的数量与位置关系。

真题精析

例早1

(2022•辽宁朝阳•统考中考真题)【思维探究】如图1,在四边形ABC。中，ZBAD=60°,

ZBCZ)=120°,AB=AD,连接AC.求证：BC+CD=AC.

(1)小明的思路是：延长8到点E,使DE=BC,连接AE.根据/区4。+/2。。=180。，推

得NB+NAOC=180。，从而得到然后证明AADE丝从而可证BC+CD

=AC,请你帮助小明写出完整的证明过程.

(2)【思维延伸】如图2,四边形A8CD中，ZBAD=ZBCD=9Q°,AB=AD,连接AC,猜

想BC,CD,AC之间的数量关系，并说明理由.

(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，/BAD=NBCD=90。,AB=AD=&,AC与8。相

交于点O.若四边形A3。中有一个内角是75。，请直接写出线段的长.

(1)如图1中，延长C。到点E,DE=BC,连接AE.证明AAOEgZXABC(SAS),

推出NZME=N3AC,AE=AC,推出AACE的等边三角形，可得结论；

(2)结论：CB+CD=yf2AC.如图2中，过点A作AM，C£>于点M,ANLC8交CB的延

长线于点N.证明△AMDgaANB(AAS),推出。M=5N,AM=AN,证明

RtAACM义Rt4ACN(HL),推出CM=CN,可得结论；

(3)分两种情形：如图3-1中，当NCZ)A=75。时，过点。作OPLCB于点P,CQLC。于

点。.如图3-2中，当NC3Z>=75。时，分别求解即可.

［答案与解析】

【答案】⑴AC=5C+CD；理由见详解；

(2)CB+CD=V2AC；理由见详解；

⑶3月-3或3-G

【详解】(1)证明：如图1中，延长CD到点E,使D£=5C,连接AE.

VZBAZ>+ZBCZ)=180°,

/.ZB+ZADC=180o,

VZADE+ZADC=180°

・•・ZB=ZADE9

在^ADE和△48C中，

DA=BA

<NADE=ZB,

DE=BC

：./\ADE^AABC(SAS),

/.ZDAE=ZBAC,AE=ACf

:.ZCAE=ZBAD=60°9

•••△AC£的等边三角形，

：.CE=ACf

VCE=DE+CD,

：.AC=BC+CD；

(2)解：结论：CB+CD=^AC.

理由：如图2中，过点A作AMJ_C□于点M,ANLC5交C5的延长线于点M

图2

VZDAB=ZDCB=9Q°,

：.ZCDA+ZCBA=180°,

VZABN+ZABC=180°9

:.ZD=ZABN,

o

VZAMD=Z?/=90,AD=ABf

：./\AMD^AANB(AAS),

：.DM=BN,AM=AN,

VAM±C£>,AN上CN,

：.NACD=NACB=45。,

:・AC=6CM,

*：AC=AC.AM=AN,

：.RtAACM^RthACN(HL),

：.CM=CN,

：.CB+CD=CN-BN+CM+DM=2CM=也AC；

(3)解：如图3・1中，当NCDA=75。时，过点。作OPJ_CB于点P,C0_LCD于点Q.

VZC£>A=75°,ZA£>B=45°,

:.NCDB=30。,

VZDCB=90°,

・・・CD=6CB,

VZDCO=ZBCO=45°9OP±CBfOQA.CD,

：.OP=OQ,

Q—CD・OQ厂n

SAOBC=2二CD

S^CDO-BC.OPBC

2

:.型=8s

OBCB

•:AB=AD=&,ZDAB=90°,

：.BD=y[iAD=2^,

0D=x26=3石一3.

1+V3

如图3-2中，当NCBO=75。时,

图3—2

同法可证器=《，。。=八x2g=3一5

综上所述，满足条件的0。的长为3如-3或3-6.

总结与点拨

本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的

判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形解决问题，属于中考压轴题.

（2022•内蒙古鄂尔多斯•统考中考真题）在△ABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,ADABC

的角平分线.

则AE与CF的数量关系是，位置关系是；

(2)如图2,点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE=DF,EA的延长线交CF于点M.

①(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

②连接DM,求NEMO的度数；

③若DM=6也,ED=12,求EM的长.

鳏瓯

(1)证明△AOE丝尸(SAS),由全等三角形的性质得出AE=C尸，ZDAE=ZDCF,

由直角三角形的性质证出NEAfC=90。，则可得出结论；

(2)①同(1)可证△AOEgaCOF(SAS),由全等三角形的性质得出AE=CF,ZE

=N尸，则可得出结论；

②过点。作OG_LAE于点G,OH_LCF于点证明△OEGgZX。尸H(44S),由全等三

角形的性质得出DG=DH,由角平分线的性质可得出答案；

③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案.

［答案与解析】

【答案】(1)AE=CF,AEA.CF

⑵①成立，理由见解析；②45。；③6+6冷

【详解】(DT43=AC,N3AC=9()o,AZ)是AA3C的角平分线，...AZ)=5Z)=C0,AO_LBC,

ZADE=ZCDF=90°,又•：DE=DF,：./\ADE^/\CDF(SAS),：.AE=CF,ZDAE

=ZDCF,'：ZDAE+ZDEA=9Q°,：.ZDCF+ZDEA=90°,.,.Z£MC=90o,J.AELCF.^

答案为：AE=CF,AE±CFi

(2)①(1)中的结论还成立，理由：同(1)可证△AOE丝△CDF(SAS),：.AE=CF,

NE=NF,尸+NECF=90°,二NE+NEC尸=90°,：.ZEMC=90°,：.AE±CF；②过

点。作Z>G_LAE于点G,DHLCF于点H,

•；NE=NF,ZDGE=ZDHF=90°,DE=DF,：.ADEG^/\DFHCAAS),：.DG=DH,

又；DGLAE,DH±CF,.'.OM平分NE2WC,又；/EMC=90。，ZEMD=|ZEMC=

45°；@'：ZEMD=45°,ZDGM=90°,：.ZDMG=ZGDM,：.DG=GM,51."：DM=6^

:.DG=GM=6,,:DE=12,：.EG=>]ED2+DG2=7122+62=673，EM=GM+EG=

6+6君.

总结与M

本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判

定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

例率3

(2022•辽宁锦州•中考真题)在AASC中，AC=BC,点。在线段A3上，连接。并延长

至点、E,使DE=CD,过点£作交直线A3于点足

图12图2备用图

(1)如图1,若NACB=120。，请用等式表示AC与匹的数量关系：.

(2)如图2.若NACB=90。，完成以下问题：

①当点。，点/位于点A的异侧时，请用等式表示AC仞,。口之间的数量关系，并说明理

由；

②当点。，点P位于点A的同侧时，^DF=1,AD=3,请直接写出AC的长.

邮瓯

(1)过点C作CGJ_A5于G,先证明AEOF丝△CDG,得到£F=CG,然后等腰三角形

的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案;

（2）①过点C作SLAB于H,与（1）同理，证明△EZ>尸丝△（?£>“,然后证明AAS是

等腰直角三角形，即可得到结论；

②过点C作CGLA5于G,与（1）同理，得AEDF冬ACDG,然后得到AACG是等腰直

角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案.

［答案与解析】

【答案】（1）E/=；AC

（2）®AD+DF=^AC；②4五或2近；

【详解】（1）解：过点C作CGJ_AB于G,如图，

,:EF1.AB,

：./EFD=NCGD=90。,

■:NEDF=NCDG,DE=CD,

:.丛EDF乌丛CDG,

:.EF=CG；

,在AABC中，AC=BC,ZACB=120°,

；.ZA=ZB=1x(180°-120o)=30°,

:.CG=-AC,

2

：.EF=-AC；

2

故答案为：£F=1AC；

(2)解：①过点C作SLAB于如图,

E图2

与（1）同理，可证

:.DF=DH,

：.AD+DF=AD+DH=AH,

在AABC中，AC=BC,ZACB=90°,

...AABC是等腰直角三角形，

•,.ZC4H=45°,

.•.△AS是等腰直角三角形，

AAH=—AC,

2

AAD+DF=—AC;

2

②如图，过点C作CGLA3于G,

与（1）同理可证，AEDF妾ACDG,

：.DF=DG=1,

'：AD=3,

当点尸在点4、。之间时，有

:.AG=l+3=4,

与①同理，可证AACG是等腰直角三角形,

:.AC=V2AG=40;

当点。在点4、F之间时，如图：

AG=AD-DG=3-1=2,

与①同理，可证AACG是等腰直角三角形，

AC=6AG=2V2;

综合上述，线段AC的长为40或

总结与M

本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三

角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正

确得到三角形全等.

精晚UX题

1.(2022•辽宁大连•校考模拟)在AABC中，。在AC上，且NASD=NC=45。.

图1图2图3

(1)如图1,若AD=4,CD=2,求A3的长度.

(2)如图2,作。于E,过点E作阱〃交AC于点尸，作/G_L8C于G,探究FG

与3C的关系，并证明你的结论.

(3)如图3,作DE上AB于E,BH//AC,DH//BC,探究£B与E”的数量关系，并证明.

【答案】⑴A8=2〃

Q)BC=2FG,证明见解析

⑶EH=EB,证明见解析

【分析】(1)根据题意证明△ACB即可得到AB2=AO.AC,再结合题意即可解

答；

(2)连接所，根据平行线的性质A4FES△题。即可得证；

(3)根据题意证明四边形HBCD是平行四边形，可得NBHD=NC=45。,过点B作

OMOE

创1，。”于点加，连接石证明力。暇SADOM,可得,进而证明

OBOD

△EMH%AEMB即可得到解答.

【详解】(1)■.■ZABD=ZC,ZA=ZA,

:.AABDSAACB,

ABAD

"AC^^B'

AB'=ADAC,

・・・AD=4,CD=29

:.AC=6,

AB=2^(6；

(2)BC=2FG,

证明：连接成，

图2

•.・EF〃BC,

:.ZAFE=ZCf

ZC=ZABD,

:.ZAFE=ZABD,

又・：ZEAF:NDAB,

:.^AFEsAABD,

.AF_AE

一耘一而‘

.AFAB

••瓦―茄’

/.△ABFs4AED,

:.ZABF=ZADE,

・••ZBOE=ZDOFf

.\ZBFD=ZBED=90°9

:.ZFBC=ZC=45°,

:.FB=FC,

•.FG±BC,

:.BC=2FG；

(3)EH=EB.

证明：vBH/ZAC,DH//BC,

二•四边形"BCD是平行四边形，

ZBHD=ZC=45°f

过点B作■于点M,连接EM,

A

BC

图3

・•.NBMH=/BMD=9伊,

:==45。,

•/ZBMO=Z.DEO=90°,ZBOM=ADOE,

.•.△BOMsADOE,

.OM_OB

'~DE~~6D'

.OM_OE

,~OB~'ODf

•：ZMOE=ABOD,

「.△MOEsABOD,

:.ZEMO=ZEBD=45%

.\ZEMB=ZEMH^135°f

・.・EM=EM,

在和AEMB中

'EM=EM

<NEMH=ZEMB

MH=MB

.•.△EMH/△EMB(SAS),

:.EH=EB.

2.(2022.四川南充.南充市实验中学校考模拟)如图，已知点E是射线上的一点，以5C、

CE为边作正方形ABC。和正方形CEFG,连接AF,取AF的中点M,连接DM、MG.

(1)如图1,判断线段。欣和MG的数量关系是，位置关系是；

(2)如图2,在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，(1)中的

结论是否成立？说明理由；

(3)己知3C=10,CE=2,正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写

出AOMG的面积.

【答案】⑴DM=MG,DMLMG

(2)结论成立：DM=MG,DMA.MG

(3)满足条件的ADMG的面积为20或34.

【分析】(1)延长GM交AD于H,证明△月WG=△AWW(ASA),得至=根据

直角三角形的性质得到DM=MG,等量代换得到答案；

(2)如图2中，延长GM使得=连接AH、DH、DG,延长AD交GR的延长线

于N,交CD于O.利用全等三角形的性质，想办法证明△HDG是等腰直角三角形即可；

(3)分两种情形根据题意画出完整的图形，利用勾股定理解决问题即可.

【详解】(1)解：如图1,延长GM交AD于H,

图1

,/AD//GF,

：.Z.GFM=ZHAM,

ZGFM=ZHAN

在AWWG和AAMH中，'FM=AM

ZFMG=ZAMH

：.Z^FMG^Z^AMH(ASA),

HM=GM,AH=FG,

VAD=CD,AH=FG=CG,

：.DH=DG,

■:NHDG=90°,HM=GM,

：.DM=MG,DM±MG,

故答案为：DM=MG,DM±MG,

(2)解：结论成立：DM=MG,DMLMG,

理由：如图2中，延长GM使得=连接A"、DH、DG,延长AD交G厂的延长线

于N,交。。于0.

VAM=MFfZAMH=ZFMG,MH=MG,

・・.AAMHm公FMGg网,

:・AH=GF=CG,ZAHM=ZFGMf

：.AH//GN,

：.ZHAD=ZN,

9：ZODN=ZOGC=90°,ZDON=ZGOC,

：.ZN=ZOCG,

：.NHAD=NDCG,

*：AH=CG,AD=CD,

：.A/Z4Z)^AGCD(SAS),

：.DH=DG,/HDA=/CDG,

：.ZHDG=ZADC=9O0,

•••△HDG是等腰直角三角形，

,:MH=MG,

：.DMLGH,DM=MH=MG；

(3)①如图3-1中，连接AC.

图3-1

在RtZXABC中，AC=ylAB2+BC2=1072>

在RtAACE中，AE=4AC1-EC1=14>

/.AF=AE-EF=14-2=12,

：.FM=AM=-AF=6,

2

在RtAMGV中,MG=dFM、FG=2而,

•1•SWG=1X2炳x2M=20:

②如图3-2中，连接AC.

同法可得AE=14,AF=16,FM=8,MG=M+*=2后,

•••SADMG=；x2屈x2万=34，

综上所述，满足条件的AOMG的面积为20或34.

3.（2022•河南洛阳•统考一模）在“1BC中，点G是射线C8上一个动点，延长CA到Z）,

使得AD=CG,过点D作DE〃BC,交8A的延长线于点E,连接交CD于点R

DDE

图1图2

⑴①如图1,当AB=AC=3C时，EF与FG之间的数量关系是；

②如图2,当AB=AC=3,BC=4,点G在射线CB上移动时，£尸与FG之间的数量关系

是否与①中的数量关系相同，若相同，请说明理由；若不相同，请求出新的数量关系；

⑵设AABC三边的长分别为3C=a,AC=b,AB=c,其中当点G在射线C8

上移动时，请直接写出EF与EG之间的数量关系.

4

【答案】（1）①石尸=2,②不相同，EF=-GF

⑵EF:FG=a:b

【分析】（1）①结论：EF=FG.证明VAPE是等边三角形，推出AD=DE=CG,利用

平行线分线段成比例定理证明即可；

②数量关系不同.结论：EF:FG=4:3.相似三角形的性质证明即可；

（2）结论：EF:FG=a:b.利用相似三角形的性质证明即可.

【详解】（1）解：①结论：EF=FG.

理由：如图1中，

图1

,/AB=BC=ACf

/.ZB=ZC=60°,

■:DE//CB,

：.ZD=ZC=60°,ZDEA=ZB=60°f

：.ND=NDAE=ZAED=60。,

・•・VAOE是等边三角形，

AD=DE,

%：CG=AD,

：.CG=DE,

'：DE//CG,

：.EF:FG=DE:CG=1,

：.EF=FG.

故答案为：EF=FG；

4

②石尸与尸G之间有新的数量关系：EF=-GF.

理由如下：

图2

DE//BC,

/\AEDS/\ABC.

.DEAD

**CB-AC*

VAC=3fBC=4,

.DE4

，9AD~3,

,:AD=CG,

.DE4

CG-3

■:DE//GC,

••/\DEF0°ACGF.

.DEEF_4

**CG-GF-3,

4

EF=-GF.

3

(2)解：结论：EF:FG=a:b.

理由：9：DE//CB,

:・AADES^ACB,

/.DE:AD:AE=BC:AC:AB=a:b:c,

设DE=ak,AD=bk,AE=ck,

■:CG=AD=bk,

/.EF:FG=DE:CG=ak:bk=a:b.

4.(2022•浙江嘉兴•一模)如图1,已知正方形ABCD和正方形CEFG,点2、C、E在同

一直线上，BC=m(m>r),CE=1.连接AF、BG.

⑴求图1中AF、BG的长(用含根的代数式表示).

⑵如图2,正方形A8CD固定不动，将图1中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转夕度

(0°<«<90°),试探究针、8G之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,在(2)条件下，当点A,F,E在同一直线上时，连接CF并延长交AD于点H,

若FH=6，求的值.

【答案】⑴BG=JZ+i,AF=母病+2

(2)AF=V2BG

⑶1+6

【分析】(1)延长FG交48于〃，在RtABCG中，由勾股定理，求BG的长，在RtAAHG

中，由勾股定理，求AF的长；

(2)连接AC、CF,在等腰RtAABC中，由勾股定理，得AC=^BC,在等腰MAFGC中，

由勾股定理，得CF=6CG,则婴===四，从而可证△ACTs△BCG,得

BCCG

AJ7AC

黑=芸=0,即可得出结论;

DCJnC

(3)连接AC,证明得当=哭，又由正方形CEFG,EF=CE=\,

CHAH

可求得CF=ylcE2+EF2=应，即从而求得CH=CF+FH=&+&=20,代入得缥=g,

2V2AH

即可求得A”=2,DH=AD-AG=m-2,然后在RsCDH中，由勾股定理，得

CEr+DH2=CH1,即切2+(机-2)?=(2夜『求解即可.

【详解】(1)解：延长FG交48于X,如图1,

图1

:正方形ABCD和正方形CEFG,点8、C、E在同一直线上，

:./ABC=NBCD=NCGD=NCGH=9Q。,AB=BC=m,CG=GF=CE=1,

在RSBCG中，由勾股定理，得

BG=7JBC2+CG2=yjnr+12=｛病+1；

ZBHG=90°,

：.四边形BCGH是矩形，ZAHG=90°,

/.GH=BC=m,BH=CG=1,

在R3AHG中，由勾股定理，得

AF=y/AH2+HF2=^(«?-1)2+(»?+1)2=72m2+2；

(2)解:连接AC、CF,如图2,

正方形A3CD和正方形CEFG,

：.ZACB=ZFCG=45°,

：.ZACB+ZACG^ZFCG+ZACG,

：./BCG=NACF,

在等腰R3ABC中，由勾股定理，得

AC=y/2BC,

在等腰Rt△尸GC中，由勾股定理，得

CF=42CG,

dACFs^BCG,

._AC_r-

.(--7乙,

BGBC

即AF=y/2BG；

(3)解：连接AC,如图3,

4HD

BC

图3

・・・正方形ABC。和正方形CEFG,

：.ZCAD=ZCFE=45。,CD=AD=BC=m,

VZCFE=ZCAF+ZACF,ZCAD=ZCAF+ZFAH,

：.ZFAH=ZACFf

•・•NAHF=NCHA,

：.XNHFsXCHA,

.AHHF

••=,

CHAH

:正方形CEFG,EF=CE=1,

CF=y/cE2+EF2=41>

：.CH=CF+FH=&+夜=2四,

.AHV2

•，^2=AH，

：.AH=2,

：.DH=AD-AG=m-2,

在RtAcr归中，由勾股定理，得

CD1+DH2=CH-,

即m2+（/〃—2）一=

解得：见=1+。，小j=1-退（不符合题意，舍去）.

.,'m的值为1+6.

5.（2022.北京海淀•校考三模）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC>BC,。是AB的

中点，尸是3C延长线上一点，平移43到FH,线段rH的中垂线与线段C4的延长线交于

点E,连接EH、DE.

E

(1)连接CD,求证：NBDC=2NDAC；

(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE,DF,即之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴见解析

(2)图见解析，结论：DE2+DF2=EH2，理由见解析

【分析】(1)利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题；

(2)图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2,想办法证明N£DF=90。即可.

【详解】(1)证明：连接8.

ZACB=90°,AD=DB,

CD=AD=DB，

.\ZDAC=ZDCA,

ZBDC=ZDAC-^-ZDCA=2ZDAC；

(2)解：图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH\

理由：连接AH,取的中点T,连接AT,DT,ET.

•点E在FH的垂直平分线上,

:.EF=EH,

•;AD=DB,HT=TFyAB=FH,

,\AD=FT=HT,

•;AD〃FH,

「•四边形四边形ADFT是平行四边形,

:.AH//DT,AT//DF,

.\ZFDT=ZATD=ZTAH,

AH〃BF,

:.ZHAC=ZACB=90°,

\EH=EF,HT=FT，

:.ET1FH,Z.TEH=Z.TEF,

:"EAH=/ETH=90°,

四边形A,及四点共圆，

:.ZTAH=ZTEH,

.\ZFDT=ZFET,

.•.E,D,F,T四点共圆，

/EDF+NETF=180。,

/.ZE»F=90°,

:.DE2+DF2=EH2-

6.（2022.山东济南.济南育英中学校考模拟）如图，在金。与山跖中,

ZACB=NEDF=90。，BC=AC,ED=FD,点。在AB上.

(1)如图1,若点尸在AC的延长线上，连接A£,探究线段AF、AE,之间的数量关系,

并证明你的结论;

(2)如图2,若点。与点A重合，且AC=3近，DE=4,将QEF绕点D旋转,连接正,

3

点G为防的中点，连接CG,在旋转的过程中，求;CG+BG的最小值;

(3)如图3,若点。为AB的中点，连接8尸、CE交于点M,CE交AB于点、N,且

BC:DEiME=l:9:10,请直接写出犷的值.

【答案】(DAE+应AO=AF，证明见解析

(2)|CG+BG的最小值是|。/=与

(3)572-731

【分析】(1)过歹作FHJ_AB于"，过E作的，皿于3,结合K字型全等，等腰直角三

角形，四点共圆即可得到答案；

4

(2)第二问考察隐圆问题与阿氏圆，取A3的中点0,连接。G,在。8上取0H=1，连

接G",构建相似，转化线段即可得到答案；

(3)过点C作即平行线，点f作3c平行线交于点G；过点G作G”_L3/于点H,过点

K作KZ_LPG,证明△班甲/ACDE,设3c=7t,则DE=9f,ME=10t,结合勾股定理、

相似三角形及解直角三角形的知识进行计算.

【详解】(1)解：线段AF、AE、AQ之间的数量关系：AE+y/2AD=AF,证明如下：

过产作W_LAB于〃，过E作欣?，钻于6,如图：

FH±AB,EG±AB,NEDF=90°,

ZFHD=ZDGE=90°,ZFDH=90°-NEDG=2DEG,

又：DF=DE,

/.AFHERDGE(AAS),

：.FH=DG=AD+AG,

•：ZACB=NEDF=90°,BC=AC,ED=FD,

：.ZFAB=ZFED=45°,

...点R。、A、E四点共圆，

，ZFAE=ZFDE=90°,ZEAG=ZDFE=45°,

FHLAB,EGLAB,ABAC=45°,

△皿/和△£AG为等腰直角三角形,

：•AF=6FH，AE=gG，

：.AF=®AD+AG)=y/2AD+垃AG=应AD+AE；

4

(2)取A3的中点O,连接。G,在03上取=连接GX,如图:

：G为昉的中点，。为AB中点，

0G是的中位线，

OG=-AF=-DF=-DE=2,

222

AC=3五，

：.AB=^/2AC=6,OB=-AB=3,

2

.OG_2

••一,

OB3

4

而OH=3=2,

~OG~1~3

.OGOH

9'~OB~~OG"

又/HOG=/GOB,

：.^HOG^