一元一次方程的应用题必考十二大类型（84题）解析版-2024-2025学年人教版七年级数学上册

元一次方程的应用题必考十二大类型分类集训

（84题）

【类型1商品销售问题-7题】...................................................................1

【类型2配套问题-7题】.......................................................................6

【类型3行程问题-7题】......................................................................10

【类型4工程问题-7题】......................................................................15

【类型5古代问题-7题】......................................................................19

【类型6数字问题-7题】......................................................................21

【类型7年龄问题-7题】......................................................................24

【类型8日历问题-7题】......................................................................27

【类型9积分问题-7题】......................................................................35

【类型10几何问题-7题】.....................................................................40

【类型11方案决策问题-7题】................................................................44

【类型12分段计费问题-7题】.................................................................52

【类型1商品销售问题・7题】

【方法点拨】

在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基

本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：

标价=进价x（l+利润率）利润=售价一进价利润率=罂xl00%

利润=进价x利润率实际售价=标价X打折率

【经典习题】

1.（2024•江西模拟）一家商店将某种服装按成本提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可

获利15元，则这种服装每件的成本价是元.

【分析】首先设这种服装每件的成本价是x元，根据题意可得等量关系：进价X（1+40%）义8折=进价

+利润15元，根据等量关系列出方程即可.

【解答】解：设这种服装每件的成本价是x元，由题意得：

（1+40%）xX80%=x+15,

解得：x=125.

故答案为：125.

2.（2022秋•深圳期末）某款羽绒服成本价为400元，商场按成本价提高50%后标价，由于换季滞销，商

场计划推出“换季大清仓”优惠活动，将此款羽绒服打折出售，若要使得打折后该商场仍可获利20%,

则该款羽绒服应该打折出售.

【分析】设商场应打x折，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果.

【解答】解：设该款羽绒服应该打x折出售，

由题意可得：400（1+50%）XO.lx-400=400X20%,

解得：x=8,

故答案为：8.

3.（2023秋•叙永县月考）某商场购进一批服装，又恰巧碰到双十一的促销活动，商场决定将这批服装按

标价的五折销售，若打折后每件服装可获利润60元，其利润率为10%；若双十一过后，该商场按这批服

装的标价打八折出售，那么获得的利润是元.

【分析】设这批服装的标价为x元，根据进价=标价X折扣-利润=利润+利润率列出方程求解即可.

【解答】解：设这批服装的标价为x元，

由题意得,0.5x-60=60+10%,

解得x=1320,

这批服装的标价为1320元，

,这批服装的进价为1320X0.5-60=600（元）,

.•.这批服装的标价打八折出售，那么获得的利润是1320X0.8-600=456（元）,

故答案为：456.

4.（2023秋•成安县期末）某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏

10元，而按标价的七五折出售将赚50元，问：

（1）每件服装的标价是多少元？

（2）每件服装的成本是多少元？

（3）为保证不亏本，最多能打几折？

【分析】（1）设每件服装的标价是x元，若每件服装如果按标价的六折出售将亏10元，此时成本价为

60%x+10元：若按标价的七五折出售将赚50元，此时成本价为：75%x-50元，由于对于同一件衣服成

本价是一样的，以此为等量关系，列出方程求解；

（2）由（1）可得出每件衣服的成本价为：60%x+10元，将（1）求出的x的值代入其中求出成本价；

y

（3）设最多可以打y折，则令400乂砺=成本价，求出y的值即可.

【解答】解:（1）设每件服装的标价是x元，

由题意得：60%x+10=75%x-50

解得：x=400

所以，每件衣服的标价为400元.

（2）每件服装的成本是：60%X400+10=250（元）.

（3）为保证不亏本，设最多能打y折，由题意得：

y

400x—=250

解得：y=6.25

所以，为了保证不亏本，最多可以打6.25折.

答：每件服装的标价为400元，每件衣服的成本价是250元，为保证不亏本，最多能打6.25折.

5.（2023秋•桐乡市期末）某超市第一次用10500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件

数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：

甲乙

进价（元/件）4060

售价（元/件）5080

（1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？

（2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中

甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍.甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种

商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少600元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？

【分析】（1）设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品2x件，根据第一次用10500元购进甲、乙

两种商品，列出一元一次方程，解方程即可；

（2）设第二次乙种商品是按原价打了折销售，根据第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获

得的总利润少600元，列出一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：（1）设第一次购进乙商品x件，则购进甲商品2x件，

由题意，得40X2x+60x=10500,

解得x=75,

则甲商品件数为75X2=150（件），

答：第一次购进甲商品150件，乙商品75件；

（2）设第二次乙商品按原价打y折销售，

由题意，得（50-40）X150+（80X0.1y-60）义75义3=（50-40）X150+（80-60）X75-600,

解得：y=8,

答：第二次乙商品是按原价打8折销售.

6.（2023秋•信宜市期末）综合应用

春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20

元.若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元.

（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？

（2）若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，

若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种

商品打了几折出售？

（3）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共60件，所用资金恰好为5600元，在销售时，甲种商品的每

件售价为100元，要使得这60件商品全部售出所获利润率为25%,求每件乙种商品售价为多少元？

【分析】（1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价G+20）元，根据“购进甲种商品10件，乙

种商品2件，需要1000元”可列出方程，求解即可；

（2）设甲种商品打了y折，根据“按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出

售12件所获得利润一样”，可列出方程，求解即可；

（3）设购进甲种商品。件，乙种商品的售价为6元，根据“从厂家购进了甲、乙两种商品共60件，所

用资金恰好为5600元”及“这60件商品全部售出所获利润率为25%”，分别列出方程，求解即可.

【解答】解：（1）设甲种商品的进价X元，则乙种商品的进价（x+20）元，

由题意可得，10x+2（x+20）=1000,

解得x=80,

•*.x+20=100（元）,

甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元；

（2）设甲种商品打了y折，

y

由题意可知，6x（120X--80）=12X（40-35）,

解得y=7.5,

甲种商品打了七五折出售.

（3）设购进甲种商品a件，乙种商品的售价为加元，

由题意可知，80a+100（60-a）=5600,

解得a=20,

.*.60-20=40（元），

（100-80）X20+（m-100）X40=5600X25%,

解得加=125,

，乙种商品的售价为125元.

7.（2024秋•南岗区校级期中）某家电商场在双十一活动前共投入68000元，购进/、2两种品牌的微波

炉共100台，其中/品牌微波炉每台进价是500元，8品牌微波炉每台进价是800元.

（1）求购进/、8两种品牌微波炉各多少台？

（2）在销售过程中，/品牌微波炉每台售价800元，8品牌微波炉每台按进价加价25%销售，求全部售

磬后，该家电商场共获利多少元？

（3）在（2）的条件下，根据市场调研情况，该家电商场决定第二次购进一批/、3两种品牌的微波炉

进行销售，其中N品牌微波炉购进数量不变，进价每台提高了50元，售价不变，并且全部售出；8品牌

微波炉购进数量增加10%,进价不变，售价提高10%,按标价售出一部分后，出现滞销，商场决定打九

折出售剩余的B品牌微波炉，第二次购进的两种品牌微波炉全部售磬后共获27600元，有多少台B品牌

微波炉打九折出售？

【分析】（1）设购进x台/品牌微波炉，则购进（100-x）台8品牌微波炉，利用进货总价=进货单价

X购进数量，可列出关于龙的一元一次方程，解之可得出x的值（即购进/品牌微波炉的数量），再将

其代入（100-x）中，即可求出购进8品牌微波炉的数量；

(2)利用总利润=每台的销售利润X销售数量(购进数量)，即可求出结论；

(3)设有y台B品牌微波炉打九折出售，利用总利润=每台的销售利润又销售数量，可列出关于y的一

元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：(1)设购进x台/品牌微波炉，则购进(100-x)台2品牌微波炉，

根据题意得：500x+800(100-x)=68000,

解得：x=40,

.•.100100-40=60.

答：购进40台/品牌微波炉，60台8品牌微波炉；

(2)根据题意得：(800-500)X40+800X25%X60

=300X40+800X25%X60

=12000+12000

=24000(元).

答：全部售磬后，该家电商场共获利24000元；

(3)设有y台B品牌微波炉打九折出售，

根据题意得:(800-500-50)X40+[800X(1+25%)X(1+10%)-800]X[60X(1+10%)-用+[800

X(1+25%)X(1+10%)X90%-8001v=27600,

解得：y=20.

答：有20台8品牌微波炉打九折出售.

【类型2配套问题・7题】

【方法点拨】

“配套”型应用题中有三组数据：(1)车间工人的人数；(2)每人每天平均能生产的不同的零件数；

(3)不同零件的配套比.(利用(1)(3)得到等量关系，构造方程)

一般地说，(2)、(3)两个数据可以预先给定.例如，在给出(2)、(3)两组数据的基础上，如

何确定车间工人人数，使问题有整数解.

【经典习题】

1.(2023秋•工业园区校级期中)服装厂生产一批学生校服，已知生产1件上衣需要布料1.5米，生产1

条裤子需要布料1米.因为裤子旧得快，要求1件上衣和2条裤子配一套.生产这批校服共用了2016米

布料，共生产了576套校服.

【分析】根据要求1件上衣和2条裤子配一套，生产这批校服共用了2016米布料，可以列出相应的方程,

然后求解即可.

【解答】解：设生产了X套校服，

由题意可得：（1.5+1X2）x=2016,

解得x=576,

答：共生产了576套校服，

故答案为：576.

2.（2023秋•南岗区校级期中）某车间有22名工人，每人每天可以生产12个螺钉或20个螺母，1个螺钉

需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排10人生产螺钉.

【分析】设安排x人生产螺母，则（22-x）人生产螺钉，根据题意列方程求解，即可得到答案.

【解答】解：设安排无人生产螺母，则（22-x）人生产螺钉，

由题意得：20x=2（22-x）X12,

解得：x=12,

22-12=10,则应安排10人生产螺钉，

故答案为：10.

3.（2024秋•绥棱县校级期中）某车间有90名工人，每人平均每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，己知

2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问一天最多可以生产多少套这样成套的产品？设最多可生产套成x

2x3x

套产品，则可列方程为—五+石=90_.

【分析】根据某车间有90名工人可以列出相应的方程，从而可以解答本题.

2%3x

【解答】解：由题意得，—+—=90,

2x3%

故答案为：—+90.

4.（2023秋•和田地区期末）机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,

已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每

天加工的大、小齿轮刚好配套？

【分析】首先设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排（68-无）名工人加工小齿轮，再利用2个大

齿轮与3个小齿轮刚好配成1套得出方程求出答案.

【解答】解：设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排（68-x）名工人加工小齿轮，依题意有

3X16x=2X10(68-x),

解得x=20,

68-x=68-20=48.

故需要安排20名工人加工大齿轮，需要安排48名工人加工小齿轮.

5.（2023秋•江海区期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人

数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个.

（1）该工厂有男工、女工各多少人？

（2）该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女

工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？

【分析】（1）设该工厂有男工x人，则女工（2x-20）人，根据“男工人数+女工人数=88”列出方程

并解答；

（2）首先设调y名女工帮男工制作盒身，根据题意可得等量关系：盒身数量乂2=盒底数量，根据等量

关系列出方程，再解即可.

【解答】解：（1）设该工厂有男工x人，则女工有（2x-20）人,

由题意得：x+2x-20=88,

解得：x=36,

女工：2X36-20=52（人），

答：该工厂有男工36人，有女工52人.

（2）设调y名女工帮男工制作盒身，

由题意得：50（36+y）X2=（52-y）X120,

解得：y=U.

答：调12名女工帮男工制作盒身，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套.

6.（2023秋•岚山区期末）某工厂车间有38名工人生产/零件和8零件，每人每天可生产/零件12个或

8零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个/零件和2个3零件配成一套，每天生产的N零件和

5零件恰好配套.工厂将零件批发给商场时，每个/零件可获利18元，每个2零件可获利13元.

（1）工厂每天应分别安排多少名工人生产8两种零件？

（2）因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的

/零件供商场单独销售，现从每天生产5零件的工人中调出部分工人生产/零件，工厂每日生产零件的

总获利比调动前增加了170元.则工厂从每天生产8零件的工人中调出多少名工人生产/零件？

【分析】（1）设工厂分别安排无名工人生产/零件，（38-x）名工人生产8零件，根据“1个/零件

和2个8零件配成一套”，列方程求解即可得到结果；

（2）先求出调动前每天总获利，设工厂从每天生产2零件的工人中调出y名工人生产/零件，可得调

动后安排（14+y）名工人生产力零件，（24-y）名工人生产B零件，根据“工厂每日生产零件的总获

利比调动前增加了170元”，列方程求解即可得到结果.

【解答】解：（1）设工厂分别安排x名工人生产/零件，（38-x）名工人生产3零件，

依题意得，2・12x=14（38-x）,

解得x=14,

得38-14=24（名），

答:工厂每天应分别安排14人生产4零件，24人生产2零件；

（2）调动前每天总获利为：14X12X18+24X14X13=7392（元），

设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，

则调动后安排（14口）名工人生产/零件，（24-y）名工人生产2零件，

依题意得,（14+y）•12X18+（24-y）•14X13=7392+170,

解得y=5,

答：工厂从每天生产8零件的工人中调出5名工人生产”零件.

7.（2023秋•凉州区期末）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）

第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸

“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事.现有工厂生产吉祥物的

盲盒，分为A、8两种包装，该工厂共有1000名工人.

（1）若该工厂生产盲盒/的人数比生产盲盒2的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒/的工人人数;

（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒/和3个盲盒8组成.已知每

个工人平均每天可以生产20个盲盒/或10个盲盒3,且每天只能生产一种包装的盲盒.该工厂应该安

排多少名工人生产盲盒多少名工人生产盲盒3才能使每天生产的盲盒正好配套？

【分析】（1）设生产盲盒8的工人人数为x人，则生产盲盒/的工人人数为（2x-200）人，根据该工

厂共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可；

（2）设安排机人生产盲盒4则安排（1000-加）人生产盲盒比根据盲盒大礼包由2个盲盒/和3个

盲盒2组成.列出一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：（1）设生产盲盒8的工人人数为x人，则生产盲盒工的工人人数为（2x-200）人，

由题意得：（2r-200）+x=1000,

解得：x=400,

：.2x-200=2X400-200=600,

答：生产盲盒/的工人人数为600人；

(2)设安排机人生产盲盒则安排(1000-%)人生产盲盒8,

由题意得：3X20m=2X10(1000-m),

解得：加=250,

/.1000-a=1000-250=750,

答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒/,750名工人生产盲盒8才能使每天生产的盲盒正好配套.

【类型3行程问题・7题】

【方法点拨】

基本关系：路程=速度X时间相遇路程=速度和X相遇时间追及路程=速度差X追及时间

(1)直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程

甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行

A地^—,甲———七一--------->B地

<--------------------s总-----------------------------►

S甲+S乙=s总

(2)直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始路程差

快者走的路程

/.------入-------、_____

两人初始路程差慢者走的路程

--人_________________A___

/v一\

A地B地C地

快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程

快者走的路程

_A

f________________、

慢者先走的路程慢者后走的路程

/____A.___VA\

A地B地C地

(3)环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相

遇所用时间=环形周长/二者速度和；第n次相遇时，二者合走了n圈.

甲、乙由同一地点出发，相背而行

S甲

s乙

首次相遇时，S甲+Sz=圆周长

（4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走了1圈；追及

所用时间=环形周长/二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走了n圈.

【经典习题】

1.（2023秋•巴彦县校级月考）已知一条笔直的公路旁依次有n,B,C三地，/、2两地相距30千米，小

明乘车从/地出发，以每小时30千米的速度驶向C地，同时小丽乘车从3地出发，以每小时20千米的

速度驶向C地，当两人相距10千米时，两人乘车的时间为小时.

【分析】设两人相距10千米时，两人乘车的时间为x小时，分两种情况：两人相遇之前相距10千米，

两人相遇之后相距10千米，解答即可.

【解答】解：设两人相距10千米时，两人乘车的时间为尤小时，

分两种情况：

两人相遇之前相距10千米，

根据题意，得30x+20x+10=30,

解得x=2；

两人相遇之后相距10千米，

根据题意，得30+20x+10=30x,

解得x=4.

综上所述，当两人相距10千米时，两人乘车的时间为2小时或4小时；

故答案为：2或4.

2.（2024秋•金华月考）如图，甲乙两只蚂蚁分别从数轴上的/,3两点处同时出发，相向而行.甲蚂蚁

的速度为每分钟6个单位长度，乙蚂蚁的速度为每分钟4个单位长度.一只蝴蝶精灵与甲同时从/地出

发，当蝴蝶精灵碰到乙后，马上返回遇上甲，再返回遇上乙，依次反复，直至甲和乙两只蚂蚁相遇为

止.已知蝴蝶精灵的速度为每分钟20个单位长度，那么，在这一过程中，蝴蝶精灵一共飞行了（）

个单位长度.

-18702023

A.2020B.4420

C.5400D.缺少条件，无法计算

【分析】设甲乙两只蚂蚁经过x分钟相遇，然后列方程求解即可.

【解答】解：设甲乙两只蚂蚁经过x分钟相遇，则蝴蝶精灵一共飞行了20x个单位，

根据题意可得，

（6+4）x=2023-（-187）,

解得x=221,

/.20x=20X221=4420.

；・蝴蝶精灵一共飞行了4420个单位长度.

故选：B.

3.（2023秋•光山县校级期末）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每

小时4千米，702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后

队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时12千米（队伍长度忽

略不计）.

（1）后队出发后多长时间可以追上前队？

（2）后队刚好追上前队时，联络员共骑行了多少千米？

（3）联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？

【分析】（1）根据后队追上前队所走路程一样可列方程；

（2）当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间为后队刚好追上前队的时间，根据（1）追及时间可

知，联络员共骑行的距离也即可求出；

（3）用前面队伍所走的路程减去联络员所骑行的距离等于联络员骑行的距离减去后面队伍所走的路程,

列式求解即可.

【解答】解：（1）设后队追上前队所用时间为f小时，则前队被追上时所走时间为（什1）小时，

根据“路程=时间X速度”，两队伍追上时路程一样，可列方程为：

6f=4（Z+1）

解得，f=2.

后队出发后两小时可以追上前队.

（2）•.•当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间等于后队刚好追上前队的时间，

t=2,

...联络员骑行距离为：

s—vt—12X2=24（km）.

.•.联络员共骑行了24km.

（3）设联络员出发后7小时与前队和后队的距离相等为sfow,

联络员出发后，小时，前队所走的路程为：4（Z+l）km-,

后队所走的路程为：6tkm；

联络员所走的路程为：12左加，

联络员与前队距离为：4(汁1)-12/；

联络员与后队距离为：12L6K

根据联络员与前后队距离相等得到，

s=12?-6/=4(f+1)-126

2

解得：t=],

2

联络员骑行'小时后离前队的距离与他离后队的距离相等.

4.(2023秋•阳新县期末)两船从3港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度

都是50千米/时，水流速度是。千米/时.

(1)4小时后两船相距多远？

(2)若甲船由2港到/港用了4小时36分钟，再立即由/港返回3港时，共花10小时，试求水流速

度a.

【分析】(1)根据两船在静水中的速度及水流的速度，可得出甲船顺水的速度为(50+a)千米/时，乙

船逆水的速度为(505)千米/时，利用4小时后两船之间的距离=甲船顺水的速度X时间+乙船逆水的

速度义时间，即可求出结论；

(2)根据4,8两港之间的路程不变，即可得出关于。的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：(1):两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是。千米/时，

二甲船顺水的速度为(50+«)千米/时，乙船逆水的速度为(50-a)千米/时，

；.4小时后两船相距4(50+a)+4(50-a)=400(千米).

答：4小时后两船相距400千米.

(2)4小时36分钟=4.6小时.

根据题意得：4.6(50+a)=(10-4.6)(50-a),

解得:a=4.

答：水流速度是4千米/时.

5.(2023秋•铁东区期末)甲、乙两人从8两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后

经3小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60千米，相遇后再经1小时乙到达/地.

(1)甲，乙两人的速度分别是多少？

（2）两人从4,3两地同时出发后，经过多少时间后两人相距20千米？

【分析】（1）根据题意可知乙比甲每小时快20千米，从而可以可以列出相应的方程，求出甲乙的速度;

（2）根据（1）中的答案可以求得总的路程，由题意可知相遇前和相遇后相离20千米，从而可以解答本

题.

【解答】解:（1）设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+20）千米/时，

4（尤+20）=3（x+x+20）

解得，x=10,

.*.x+20=30

即甲的速度为10千米/时，乙的速度为30千米/时；

（2）设经过y小时后两人相距20千米，

4X30-20=^（10+30）或4X30+20=＞（10+30）

解得，y=2.5或》=3.5,

即经过2.5小时或3.5小时后两人相距20千米.

6.（2024秋•浙江校级月考）上午八时，张、王两同学分别从/、8两地同时骑摩托车出发，相向而行.已

知张同学每小时比王多行2千米，到上午十时，两人仍相距36千米的路程.相遇后，两人停车闲谈了

15分钟，再同时按各自的方向和原来的速度继续前进，到中午十二时十五分，两人又相距36千米的路

程.A、8两地间的路程有多少千米？

【分析】由题意可知，从上午10时到中午12时15分共用了2小时15分钟，减去两人闲谈用去的15分，

即两人共行（36+36）千米用了2小时，则两人速度和是（36+36）+2=36（千米/时）,得两人共行36

千米需要1小时，到上午十时，两人已共行了2小时，共行的路程是36X2=72（千米），此时两人相

距36千米，所以两地相距72+36=地8（千米）.

【解答】解：12时（15分）-10时-（15分）=2小时，10时-8时=2小时，

设两个人的速度和为x千米/时，根据题意得2x=36+36,

；.x=（36+36）+2=72+2=36（千米/时）,

/.36X2+36

=72+36

=108（千米），

答：/、8两地相距108千米.

7.（2024秋•鼓楼区校级月考）甲、乙两车分别从N、8两地同时出发，相向而行，会在C地相遇.若两

车交换出发点，速度不变，同时出发相向而行，会在。地相遇，且C、。两地距离占/、8两地距离的

1

II,

（1）若甲、乙两车分别从/、8两地同时出发，相向而行60分钟后，甲车再提速60%,则两车会在/、

2两地的中点相遇.那么甲车以原速从/地到3地需要多少分钟？

（2）若两车以原速走到另一地后都立即掉头返回，那么两车第6次迎面相遇共需要多少分钟？

【分析】（1）由题意得：AB^nCD,AC=BD,令CZ）=a千米，甲的速度为56千米/时，则48=11。

千米，/C=5D=5a千米，乙的速度为66千米/时，

再根据“甲车再提速60%,则两车会在N、8两地的中点相遇”列方程求解；

（2）分别求出第1次，第2次，第3次相遇的时间，找出规律再求解.

【解答】解：由题意得：AB=\\CD,AC=BD,

令CD=a千米，甲的速度为56千米/时，则N3=lla千米，/C=8D=5a千米，乙的速度为66千米/时,

（1）设甲车提速后用x小时，辆车再48的中点相遇，

则:5b+5b*1.6x=6b(1+x)=5.5。,

解得：x=0.5,a：6=18：11,

111818

1la+56=wx五=-(小时)=216（分钟），

答：甲车以原速从/地到8地需要216分钟;

（2）两车第一次相遇用的时间为：lla+（56+66）=—（小时），

54

两车第二次相遇用的时间为：3*110+116=五（小时）,

90

两车第三次相遇用的时间为：5义110+116=五（小时），

126

两车第四次相遇用的时间为：7*110+116=彳1（小时），

两车第6次相遇用的时间为：11X12+116=18（小时）=1080（分钟），

答：两车第6次迎面相遇共需要1080分钟.

【类型4工程问题・7题】

【方法点拨】

（1）基本相等关系：工作量=工作效率X工作时间；

（2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1;

（3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和.

【经典习题】

1.（2023秋•玉环市期末）一项任务，由甲单独做需16天完成，由乙单独做需24天完成，现在乙先做9

天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为x

天，则下列方程正确的是（）

xx-9x-9x

xx+9

11

【分析】由题意得甲的工作效率为它，乙的工作效率为才,甲一共工作了（x-9）天，乙一共工作了x

loZ4

天，据此即可求解.

11

【解答】解：由题意得：甲的工作效率为它，乙的工作效率为少;，

1624

甲一共工作了（x-9）天，乙一共工作了尤天，

故选：B.

2.（2023秋•滕州市校级月考）修筑一条公路，甲工程队单独承包要90天完成，乙工程队单独承包要120

天完成.如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修

好这条公路一共需要80天.

【分析】设乙队单独做还需要x天完成，根据甲乙完成的工作量之和为1建立方程求出其解即可.

【解答】解：设乙单独做还需要x天完成，由题意得，

解得x=50,

30+50=80（天），

修好这条公路一共需要80天.

故答案为：80.

3.（2023秋•潍坊期末）某中学需要制作宣传栏，请来三名工人，已知甲单独做12天可完成，乙单独做

20天可完成，丙单独做15天可完成.现在甲和乙合做了4天，余下的工作乙和丙两人合作完成.完成

后，支付酬金4000元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么乙应得1600元.

【分析】设完成这项任务共需要x天，由题意可知，乙恰好工作了x天，把整个任务看作“1”，则甲、

4xx—44xx—4

乙、丙分别完成二、彳、7F，可列方程7+元+寸=1,解方程求得x的值为8,则乙完成整个任

J.N/UX□J.Z乙UXu

222

务的不应得酬金也占整个酬金的g,即4000xg元.

【解答】解：设完成这项任务共需要x天，

4xx-4

根据题意得/+#+~TT~=1，

J.//U.L3

解得x=8,

82

...乙工作8天，完成这项任务的五，即于

2

.,.4000义耳=1600（兀），

乙应得1600元，

故答案为：1600.

4.（2023秋•埔桥区期末）整理一批图书，由一个人做要30/7完成.现计划由一部分人先做1〃，然后增加

6人与他们一起做3人完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排3人工作.

【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题.

【解答】解：设应先安排x人工作，根据题意得：

xx+6

元+寸3=1,

解得：x=3,

答：应先安排3人工作.

故答案为：3.

5.（2024•陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，

若小峰单独完成，需4队若爸爸单独完成，需2爪当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训

练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3人求这次小峰打扫了多长时

间.

【分析】设这次小峰打扫了x〃，则爸爸打扫了（3-x）h,利用小峰完成的工作量+爸爸完成的工作量=

总工作量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设这次小峰打扫了X/7,则爸爸打扫了（3-x）h,

x3—x

根据题意得：£+一厂=1，

42

解得：x=2.

答：这次小峰打扫了2九

6.（2023秋•大化县月考）修一条公路，甲工程队单独承包要40天完成，乙工程队单独承包要60天完成.

（1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？

（2）如果甲、乙两工程队合作12天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这

条路共需要几天？

【分析】（1）可设由两个工程队合作承包，x天可以完成，根据工作总量是单位“1”，列出方程即可

求解；

（2）可设修好这条公路共需要y天，根据工作总量是单位“1”，列出方程即可求解.

【解答】解：（1）可设由两个工程队合作承包，x天可以完成，依题意有

11

（）

~40+7607x—1,

解得x=24（天）.

答：现在由两个工程队合作承包，24天可以完成；

y-1212

（2）可设修好这条公路共需要y天，依题意有*71=1-三T，

ou/q

解得y=42（天）.

答：修好这条公路共需要42天.

7.（2023秋•岳阳期末）（列方程解应用题）为了打赢蓝天保卫战，共筑魅力和谐长沙，长沙市环保局对

湘江河流中一段长2400米的河道进行整治，整治任务由甲、乙两个工程队来完成.已知甲工程队每天完

成30米，乙工程队每天完成50米.

（1）若该任务由甲、乙两个工程队合作完成，请问整治这段河道任务用了多少天？

（2）若甲工程队先单独整治一段时间后离开，剩下的由乙工程队来完成，两队共用时60天，求甲、乙

工程队分别整治了多长的河道？

【分析】（1）整治这段河道任务用了x天，根据“甲的工作量+乙的工作量=2400”列出方程并解答.

（2）设甲工程队整治的河道长。米，则乙工程队整治的河道长（2400-a）米，根据“根据工作时间=

总工作量+工作效率结合两队共用时60天”列出方程并解答.

【解答】解：（1）整治这段河道任务用了x天，

根据题意得：30x+50x=2400,

解得x=30.

答：甲、乙两个工程队合作完成，整治这段河道任务用了30天.

（2）设甲工程队整治的河道长。米，则乙工程队整治的河道长（2400-a）米，根据题意得

a2400—u

茄+f=60.

解得a=900,

因此2400-a=2400-900=1500（米）

答：甲工程队整治的河道长900米，则乙工程队整治的河道长1500米.

【类型5古代问题・7题】

1.（2024•花溪区一模）《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不

足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若

每人出7钱，则仍然差3钱.求买羊的人数和这头羊的价格.设买羊的人数为x人，根据题意，可列方

程为（）

A.5x-45=7x+3B.5x+45=7x-3

C.5尤-45=7x-3D.5x+45=7x+3

【分析】设买羊的人数为x人，则这头羊的价格是（7x+3）文或（5x+45）文，根据羊的价格不变，即可

得出关于x的一元一次方程.

【解答】解：设买羊的人数为x人，

根据题意