新高考数学题型之排列组合：分解法模型和最短路径问题（含答案及解析）

专题16分解法模型和最短路径问题

类型1:分解模型

例1.对33000分解质因数得33000=23*3x53xll，则33000的正偶数因数的个数是（）

A.48B.72C.64D.96

例2.5400的正约数有（）个

A.48B.46C.36D.38

例3.30030能被多少个不同的偶数整除

类型2：最短路径问题

例1.有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有

一个方格不同即为不同走法.现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种

不同走法？（）

A.6B.8C.10D.12

例2.如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进,

则从〃到N不同的走法共有（）

A.10B.13C.15D.25

例3.如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B,不同的行走路线有（）

R

C.8条D.9条

例4.如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从

A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）

C.16D.17

例5.小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关

的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）

例6.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形A3CD（边长为3个单位）的

顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为

i（i=12…,6）,则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又

回到点A处的所有不同走法共有（）

A.21种B.24种C.25种D.27种

例7.如下图，从/点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为.

B

例8.如图，甲从月到乙从C到D两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交,

则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有对.（用数字作答）

例9.如图所示线路图，机器人从/地经B地走到C地，最近的走法共有种.（用数字作答）

例10.如图所示，机器人明明从/地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从/移到8最近的走法

例11.如图所示，机器人明明从月地移到8地，每次只移动一个单位长度，则明明从/移到B最近的走法

共有种.

B

D

C

例12.如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A地移动到8地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动

到3最近的走法共有一种.

例13.某城市街区如下图所示，其中实线表示马路，如果只能在马路上行走，则从A点到3点的最短路径的走

法有一种.

例14.某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者

为胜.如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（）

123456

D.以上都不对

例15.如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此

变成一个菱形的环池大道.现要从城镇的A处走到3处，使所走的路程最短，最多可以有45种不同的

走法.

例16.如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此

变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的

走法.

例17.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中

者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为$.

—16―

/◊◊O'

OOOO

/△△△△

123456

例18.在〃X”的方格中进行跳棋游戏.规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续

行走的路径中不能重复经过同一小方格.设人口表示从左下角“O”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束

的所有不同路径的条数.如图，给出了〃=3时的一条路径.则/(3)=9；f(n)=.

例19.某城市由"条东西方向的街道和机条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A处走到3处，使

所走的路程最短，有多少种不同的走法?

专题16分解法模型和最短路径问题

类型1:分解模型

例1.对33000分解质因数得33000=23*3x53xll，则33000的正偶数因数的个数是（）

A.48B.72C.64D.96

【解析】

33000的因数由若干个2（共有2）22,21,2°四种情况），

若干个3（共有3,30两种情况），

若干个5（共有53,52$,50四种情况），

若干个11（共有11。两种情况），

由分步计数乘法原理可得33000的因数共有4x2x4x2=64,

不含2的共有2x4x2=16，

正偶数因数的个数有64—16=48个，

即33000的正偶数因数的个数是48,故选A.

例2.5400的正约数有（）个

A.48B.46C.36D.38

【解析】

5400=23X33X52,5400的正约数一定是由2的事与3的幕和5的幕相乘的结果，

所以正约数个数为（3+1）x（3+1）x（2+1）=48.

故选：A.

例3.30030能被多少个不同的偶数整除

【解析】

先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2X3X5X7X11X13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个

因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：C；+C；+C；+C；+C；+C；=32.

类型2：最短路径问题

例1.有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有

一个方格不同即为不同走法.现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种

不同走法？（）

A.6B.8C.10D.12

【解析】

如图，①从入口-1-3-5-6-0-出口，

②从入口-出口，

③从入口T-3-4-7-8-9-10-6-0-出口,

④从入口-1-3-4-9-10-6-0-出口，

⑤从入口-2-3-4-6-0-出口，

⑥从入口-2-3-5-6-0-出口，

⑦从入口-2-3-4-7-8-9-10-6-0-出口,

⑧从入口-2-3-4-9-10-6-0-出口，

共有8种，

例2.如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进,

则从〃到N不同的走法共有（）

A.10B.13C.15D.25

【解析】

因为只能向东或向北两个方向

向北走的路有5条，向东走的路有3条

走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果

根据分步计数原理知共有3x5=15种结果，选C

例3.如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以「上的方向行走至B,不同的行走路线有（）

/!邛

I

A

A.6条B.7条C.8条D.9条

【解析】

共有3个顶点与A点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达8点，所以，蚂蚁从A沿着

长方体的棱以规定的方向行走至8,不同的行走路线有：3x2=6（条），故选A.

例4.如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从

A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）

C.16D.17

【解析】

要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来，这样一步步倒推，最后归结到A,

然后再反推过去得到如下的计算方法：A至B、C、D的路数记在B、C、D的圆圈内，B、C、D分别到F、

E、G的路数亦记在圈内，最后F、E、G各路数之和，即得到至H的总路数，如下图所示，易得到17条路

线，故选D.

例5.小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关

的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）

【解析】

由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有

6x3x4=72（种）

例6.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为8个单位）的

顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为

迨=1,2,…,6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又

回到点A处的所有不同走法共有（）

A.21种B.24种C.25种D.27种

【解析】

由题意知正方形A3CD（边长为3个单位）的周长是12,

抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12,

列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4；

共有6种组合，

前三种组合1,5,6；2,4,6；3,4,5；又可以排列出A；=6种结果，

3,3,6;5,5,2；有6种结果，4,4,4；有1种结果.

根据分类计数原理知共有24+1=25种结果，

故选：C.

例7.如下图，从/点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达8点的路径的条数为.

【解析】

如下图所示

从点A到C,D,E,EG的路径都只有1条

从点A到点H的路径有2条，分别为AfCfH，AtFTH

从点A到点O的路径有3条，分别为从A经过H到点O有2条和A—FfGfO

从点A到点M的路径有3条，分别是从点A经过点H到点M有2条和A—cfDfM

从点A到点P的路径有6条，分别是从点A经过点O到点P的3条和从点A经过点M到点P的3条

从点A到点N的路径有4条，分别是从点A经过点M到点N的3条和从点A经过点E到点N的1条

从点A到点Q的路径有10条，分别是从点A经过点P到点Q的6条和从点A经过点N到点Q的4条

从点A到点R的路径有6条,就是从点A经过点P到点R的6条

所以从点A到点B的路径有16条，分别是从点A经过点R到点B的6条和从点A经过点Q到点B的10

条

所以到达B点的路径的条数为16条

故答案为：16

例8.如图，甲从月到乙从C到D,两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交,

则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有对.（用数字作答）

【解析】

甲从月到H需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从4到2共有C；种走法，

乙从C到D,需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从4到B共有C：种走法，

根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径C=C；对，

甲从/到D,需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从4到D共有种走法，

乙从C到耳需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从C到B共有C：种走法，

所以相交路径共有C4.C：对，

106

因此不同的孤立路一共有c：-C3cl=70x70-210x15=1750对.

88106

故答案为：1750

例9.如图所示线路图，机器人从力地经B地走到C地，最近的走法共有种.（用数字作答）

【解析】

/到B共2种走法，从B到C共亡种不同走法，由分步乘法原理，知从，4地经6地走到C

地，最近的走法共有2C；=20种.

故答案为：20

例10.如图所示，机器人明明从月地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从月移到B最近的走法

共有一种.

A-C有种方法；C—B有C；种方法；D-B有犬种方法；共有=80

例11.如图所示，机器人明明从/地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从/移到B最近的走法

共有种.

【解析】

分步计算，第一步最近走法有种；第二步最近走法有种；第三步最近走法

A2c—C?6=200―8

有2种，

故由A—B最近走法有2x20x2=80种.

故答案为：80.

例12.如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A地移动到8地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动

到3最近的走法共有一种.

【解析】

分三步来考查：①从A到c，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，

此时有种走法；

②从C到则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有C；种

走法；

③从。到8，由①可知有种走法.

由分步乘法计数原理可知，共有CC3cl=80种不同的走法.

262

故答案为：go-

例13.某城市街区如下图所示，其中实线表示马路，如果只能在马路上行走，则从A点到3点的最短路径的走

法有一种.

耳

【解析】

根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动；

从A到B,最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，有C$2=10

种情况，但图中有空格，故是方法数为10—3=7中

故答案为：7.

例14.某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者

为胜.如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（）

【解析】我们把从A到3的路线图单独画出来：

分析可得，

从A到3总共有=10种走法，每一种走法的概率都是工,

52

珠子从出口3出来是C；（《）5=擀.

故选：A.

例15.如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此

变成一个菱形的环池大道.现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有45种不同的

走法.

【解析】由题意知本题有两种途径是最短的路程，

①A-»CF->3其中AfC有5法.尸->3有1法，共有5x1=5法.

②AfDEfB,从A到。，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下

3次向右，故有C；=10种，

从E到8,最短的路程需要向下走3次，向右走1次，即从4次中任取3次向下，剩下1次向右，故有C：=4

种，

..从ATDE.3共有10x4=40法，

从A到B的短程线总共5+40=45种走法.

故答案为：45.

例16.如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘,街道在此

变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的

走法.

【解析】由题意知本题有两种大途径是最短的路程，

Q①AfCDfB其中AfC有5法.。.3有1法，共有5x1=5法.

②A.所.3其中AfE有10种方法，尸33有3法，共有10x3=30法,

.,.从A到B的短程线总共5+30=35种走法.

故答案为：35.

例17.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来,规定猜中

者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3