新高考情景下的创新定义问题（八大题型）-2025年高考数学复习热点题型专项训练（原卷版）

热点题型•解答题攻略

专题01新高考情景下的创新定义问题

*>-----------题型归纳•定方向-----------*>

目

题型01集合中的新定义.........................................................................1

题型02平面解析几何中距离的新定义............................................................3

题型03函数中的新定义.........................................................................5

题型04立体几何中的新定义.....................................................................6

题型05概率与统计中的新定义...................................................................8

题型06导数中的新定义........................................................................11

题型07圆锥曲线中的新定义....................................................................13

题型08数列中的新定义........................................................................15

♦>-----------题型探析・明规律------------<>

题型01集合中的新定义

【解题规律•提分快招】

1、集合新定义问题的方法和技巧

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用

书上的概念.

2、解决以集合为背景的新定义问题的关键点

（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求

进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关

性质求解.

【典例训练】

一、解答题

1.(2024•北京西城•三模)记集合Q=|a,.e{0,1},，=1,2,…2).对任意a=。,

/=(4也，…也)e。，记〃(％/)=(|弓-々|,[%-4卜，，1%-，|),对于非空集合A=。，定义集合

D(A)={d(a,6)|aeA,(3eA].

⑴当〃=2时,写出集合。；对于A={(0,0),(0,1),(1,0)},写出。⑷；

⑵当场=3时，如果O(A)=Q,求card(A)的最小值；

(3)求证：card(Z)(A庐card(A).

(注：本题中，card(A)表示有限集合A中的元素的个数.)

2.(2024.全国.模拟预测)已知集合4={阳％…,a“}(OMq<出若对任意的i,

jeN(l<z<J<M),有4+%eA或a厂qeA,则称集合A为完美集合.

(1)分别判断集合8={0,2,4,6}与C={1,2,3,4}是否为完美集合；

⑵当〃=3时，若，=2,求完美集合A；

2024

(3)若集合。={弓,%,…,%024}(0<4<%024)为完美集合，记$2024=E%，求证：

Z=1

,2024=1012aoi2+01013)1

3.(2024・浙江・二模)已知集合£={芯,尤2，电,…，毛},记2E={S|SqE},X\Y={x\x&X,x^Y},N是自然

数集

•称函数/Z:2E.N,若对于任意SU&A(S)eN；

•称函数〃：2与fN是单调的，若对于任意XaFaE,/7(x)<//(r)；

•称函数〃：2EfN是次季的，若对于任意X、yc£,/z(xuy)+/?(xnr)</7(x)+/?(y)

已知函数/：2EfN是衣模的.

(D判断了是否一定是单调的，并说明理由；

(2)证明：对于任意XaFaE,e^E\Y,f(Xu{e})-/(X)>/(Ku{e})-f(r)；

⑶若/是单调的，左是正整数，k<n,记尸={S|S恰含有左个元素,S=E},已知集合满足

/(S*)</(S),VS€F.初始集合V=0,然后小明重复上次如下操作：在集合中选取使得了(Mu{e})

最小的元素e加入集合最终得到集合wF.证明：

4.(2024.福建泉州.二模)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是

二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制.七进制的基数就是我们日常生活中最熟

悉、最常用的就是十进制.例如，数3721也可以表示为：3721=3x103+7x1()2+2x101+1x10°一般地，如

果上是大于1的整数，那么以左为基数的上进制数可以表示为。,/"+%一/"-"-+川+。/°=力。/'.其中

；=0

0<an<k,an_i,a„_2,-,al,a0E[Q,l,2,--；k-i].为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：

…％期⑻，如果不加下标就默认是十进制.

⑴令集合A={012,3,4},3=[々+||_+/+*4,€4力=1,2,3,4，，将8中的元素按从大到小的顺序排列，则

第100个数为多少？

______________________63

(2)若〃=44-…44⑵,记T(〃)为整数”的二进制表达式中0的个数，如7(2)=1,7(3)=0,求±7(")的

〃=1

值.(用数字作答)

(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所

有的人进制数；如果不能，请说明理由.

5.(2024•浙江杭州•一模)已知正项有穷数列4%%，…，aN(N>3),^T=\x\x=^A<i<j<N\,记T

Iai,

的元素个数为尸(T).

⑴若数列A:1,2,4,16,求集合T,并写出尸(T)的值；

⑵若A是递增数列或递减数列，求证："P(T)=N-1”的充要条件是“A为等比数列”；

⑶若N=2〃+l,数列A由2,4,8,…,2",4"这〃+1个数组成，且这〃+1个数在数列A中每个至少出现一次，求

P(T)的取值个数.

题型02平面解析几何中距离的新定义

【解题规律•提分快招】

1、设尸(玉，x),Q(%,%)为平面上两点，则定义|尤2-七|+|%-%|为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距

离“，记作d(P,Q)=昆一%|+昆一%|•

结论1：设点〃(乙),%)为直线/：4+为+。=0外一定点，Q为直线/上的动点，则

_|—为0+8%+C]

d（P，Q）min

-max{|A|,|B|}

结论2：设点尸为直线At+gy+G=0上的动点，点。为直线独+8,+。2=0上的动点，则

d(PQ)=―G—02〔_

(Qminmax{|A|JB|)

【典例训练】

一、解答题

1.（24-25高三上•四川•期中）定义：如果在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A,2的坐标分别为

（%,%）,（%,%），那么称d（A3）=Bi-司为A，B两点间的曼哈顿距离；

£）（A,8）=J（X|J+（%-%）为A，B两点间的欧几里得距离.

⑴己知4（。尸）=1,求。（。,尸）的最小值;

（2）已知M（3,2）,D（O,TV）=2,求"（M,N）的最大值；

（3）已知。＞0,点4（占,乂）在函数〃（x）=-’（x＜0）图象上，点3（々,羽）在函数g（x）=alnx—x图象上，且

x

y产必，点A，8有d（AB）的最小值为4,求实数a的取值.

2.（2024•山东.模拟预测）设点集M.={（a1M2，%LM“）l4w{0,l},14i4〃,ieN*},从集合此中任取两个不

同的点人（4，%,。3,…,%），巩4也也，…也），定义A，B两点间的距离d（A,B）=WJq-“

i=l

⑴求M中d（AB）=2的点对的个数；

（2）从集合M“中任取两个不同的点A,B,用随机变量X表示他们之间的距离d（AB）,

①求X的分布列与期望；

②证明：当"足够大时，4D（X）＜/?2.（注：当”足够大时，2-"々0）

3.（24-25高三上•广东惠州•阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，

就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识

别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有3种.设网与力），

则欧几里得距离皿A,2）=。占-%%%y；曼哈顿距离d（A3）=|x「封余弦距离

e（AB）=l-cos（A,B）,其中cos（A,3）=cos（05,砺）（0为坐标原点）.

⑴若点M（3,l）,N（l,3），求M,N之间的欧几里得距离D（M,N）,曼哈顿距离d（M,N）和余弦距离e（M,N）；

（2）若点M（3,l）,d（M,N）=2,求e（MN）的最大值;

⑶已知点M（3,l）,曲线/:y=Y-6x+8,问曲线/上是否存在点N使得d（M,N）2&D（KN）,若存在，

求e（M,N）的值，若不存在，请说明理由.

题型03函数中的新定义

【解题规律•提分快招】

函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，

会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读

出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。

【典例训练】

一、解答题

1.（24-25高三上•河北沧州•期中）已知。为坐标原点，对于函数/（x）=asinx+6cosx,称向量=为

函数/（X）的相伴特征向量，同时称函数/（尤）为向量丽的相伴函数.

⑴记向量两=9,0）的相伴函数为〃尤），若当〃x）=3且时，求x的值；

⑵设g（尤）=A/5COS[X+T+COS]-xj（xeR）,试求函数g（x）的相伴特征向量丽，并求出与丽•同向的

单位向量；

（3）已知次=（0,1）为函数小）的相伴特征向量，若在VA3C中，AB=2,cosC=〃]J,若点G为该VABC的

外心，求文.荏+乙5.国的最大值.

2.（2024.甘肃白银.一模）设A为一个非空的二元有序数组（x,y）的集合，集合B为非空数集.若按照某种确

定的对应关系了,使得A中任意一个元素（x,y）,在3中都有唯一确定的实数z与之对应，则称对应关系了为

定义在A上的二元函数，记作2="羽丫）,（见可€4已知二元函数〃%刈%》—*）满足

f(x,y+l)y〃x+l,y)

且〃1，1)=L

〃元,y）y+1'〃占y）

⑴求〃1,2）,"2,2）的值；

⑵求的解析式；

1

sinanx

⑶已知数列｛4｝满足4+1=数列,xe（O㈤的前〃项和为证明：Tn>0.

an

3.（2024・上海宝山•一模）已知y=/（九），y=g（x）都是定义在实数集上的可导函数.对于正整数%,当机、〃分

别是y=/（X）和y=g（X）的驻点时，记Ar=1〃I,若AxVA,则称f（x）和g（x）满足尸（幻性质；当占、x2eR,

且g(玉)Hg(2)时，记Ay=,若绿zk,则称/(x)和g(x)满足Q(Q性质.

g(±)-g(X2)

⑴若/(x)=2x+l,g(x)=x,判断f(x)和g(x)是否满足。(2)性质，并说明理由；

⑵若F(x)=(x-1)2,g(x)=",且/(x)和g(x)满足P⑴性质，求实数•的取值范围；

e

⑶若y=/(x)的最小正周期为4,且g(-l)=/(-l),g⑴=/⑴.当尤注-1,3］时，＞=/(尤)的驻点与其两侧区间

的部分数据如下表所示：

X-1(-1,1)1(1,3)3

/(X)0+0—0

极小值-1极大值1极小值-1

已知了(X)和g(x)满足。(幻性质，请写出〃x)=g(x)的充要条件，并说明理由.

题型04立体几何中的新定义

【解题规律•提分快招】

面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与己知的立体几何知识相结合。明确解题

目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在解题

过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间直角

坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解

对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇

到类似问题时能够迅速应对

【典例训练】

一、解答题

1.(23-24高一下•重庆・期末)球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球。的半径为R.

A、B、C为球面上三点，劣弧2C的弧长记为。，设。。,表示以。为圆心，且过8、C的圆，同理，圆。3，

。2的劣弧AC、A5的弧长分别记为6、c,曲面ABC(阴影部分)叫做球面三角形.若设二面角C-Q4-8,

A-OB-C,3—OC—4分别为夕、7,则球面三角形的面积为S球面=(戊+月+7-万)长

(1)若平面Q4B、平面。AC、平面03c两两垂直，求球面三角形ABC的面积；

(2)若平面三角形ABC为直角三角形，AC±BC,设NAOC=q,ZBOC=02,44。8=4.则:

①求证：cos0}+cos02-cos03=1

②延长40与球。交于点。.若直线D4,0c与平面A3C所成的角分别为1,BE=ABD,Ae(O,l],S

为AC中点，T为BC中点，设平面QBC与平面EST的夹角为。，求sin。的最小值，及此时平面AEC截球。

的面积.

2.(24-25高三上•江西萍乡•期中)定义：多面体M在点尸处的离散曲率为

①P=1一二亿2尸«+/。,尸。3+…+/QMQk+/2尸&)，其中尸为多面体M的一个顶点，。(i=1,2,…#,

271

左23且无eN*)为多面体M的所有与点尸相邻的顶点，且平面平面。/Qs、L、平面以一丁2和平

面Q』Q,为多面体”的所有以P为公共点的面.如图，在四棱锥P-ABCD中，_L平面ABCD,底面ABCD

为正方形，CD=2,DP=2yf3.

⑴求四棱锥P-ABCD在顶点C处的离散曲率；

(2)求四棱锥尸-MCD内切球的表面积；

(3)若Q是棱尸3上的一个动点，求直线CQ与平面ABC。所成角的取值范围.

3.(2024.江西新余•模拟预测)我们规定：在四面体P-ABC中，取其异面的两条棱的中点连线称为尸-MC

的一条"内棱"，三条内棱两两垂直的四面体称为''垂棱四面体

p

zt

My/M2

/M,

Mx

(1)如左图，在四面体P-MC中，Mj(i=l,2,...,6)分别为所在棱的中点，证明：P-ABC的三条内棱交于一

点.

(2)同左图，若尸-MC为垂棱四面体，必%=2,必监=4,必〃6=6,求直线网与平面ABC所成角的正

弦值.

2

(3)如右图，在空间直角坐标系中，x°y平面内有椭圆C：/+匕=1,五|为其下焦点，经过用的直线》=丘+加

2

与C交于43两点，尸为宜刀平面下方一点，若尸-为垂棱四面体，则其外接球表面积S是％的函数

S(k),求S⑹的定义域与最小值.

题型05概率与统计中的新定义

【解题规律•提分快招】

解决计数原理与概率背景下的新定义问题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问

题.总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断

的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题.

【典例训练】

一、解答题

1.(2024•江西•模拟预测)在信息理论中，X和y是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为:

P(X=%)=",P(y=x,.)=n;,>0,%>0,i=l,2,定义随机变量X的信息量

i=lz=l

"(X)=-£/l°g2/，X和y的“距离”K“X|Rkf/njogz".

/=1i=ini

⑴若X〜求H(x)；

(2)已知发报台发出信号为。和1,接收台收到信号只有。和1.现发报台发出信号为0的概率为。(0<1),

由于通信信号受到干扰，发出信号。接收台收到信号为。的概率为4,发出信号1接收台收到信号为1的概

率为4(0<”1).

（i）若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为。的概率；（用P,4表示结果）

（ii）记随机变量X和y分别为发出信号和收到信号，证明：KL（X|,）20.

2.（2024・湖北•一模）在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩%1=1,2,…,10）和物理成绩

y«=1,2,…,10）如下表：

学生编号12345678910

数学成绩11613112412612111010699118117

数学名次71324891056

物理成绡80787981746563707384

物理名次35426910871

⑴从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物

理成绩在78分（含）以上）的概率；

（2）已知该校高中生的数学成绩x,物理成绩，，化学成绩z两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学

成绩X和物理成绩y的样本相关系数约为0.8,已知这10名同学物理成绩y与化学成绩Z的样本相关系数约

为胃，分析相关系数的向量意义，求无，z的样本相关系数的最大值.

（3）设N为正整数，变量X和变量y的一组样本数据为｛（即％）1i=其中％[=1,2,…,N）两两不相

同，=…,N）两两不相同，按照由大到小的顺序，记无，在｛力a=1,2,…,N｝中排名是s,位

G=l,2,…,N）,%在｛%|“=1,2,…,N｝中的排名是叱位（i=l,2,…,N）.定义变量尤和变量y的斯皮尔曼相关系

数（记为夕）为变量七的排名s,和变量y的排名吗的样本相关系数.记4=s厂叱，其中i=l,2,…N,证明：

。=1一而^^力，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01）

（参考公式:)

3.（2024.广东•模拟预测）设离散型随机变量X,丫的取值分别为｛%,无2…｛w%，--，%｝（PUeN*）.定

义X关于事件“卜=匕”（1Wj<q）的条件数学期望为：E（X|丫=力）=方x,P（X=x,|Y=%）.已知条件数学

i=\

q

期望满足全期望公式：E（X）=£E（X|y=y,）P（y=M）.解决如下问题：

;=1

为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验.在第1天上午，实验人员向

培养皿中加入10个A的个体.从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物.当加入药物

时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应(设A的每个个体在当天的其他时刻均不

发生变化，不同个体的生理反应相互独立)：

①直接死亡；②分裂为2个个体.

设第〃天上午培养皿中A的个体数量为X”.规定E(XJ=10,D(XJ=0.

⑴求E2因=6)；

⑵求E(X“)；

⑶已知E(X；|Xi=A)=-R+l)(keN*),证明：O(X")随着"的增大而增大.

4.(2024・江西・二模)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标(勺出吗)表示，其中生€{。,1}』=1,2,3,

而在〃维空间中(〃22,”eN),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为“维坐标

(%,4,%,……其中qe{0,l}(lWiW〃,ieN).现有如下定义：在凡维空间中两点间的曼哈顿距离为两

点(％,生,%,...此)与侑也也,....也)坐标差的绝对值之和，即为

k-4|+|%-R+E—勾1——2I-回答下列问题：

(1)求出〃维“立方体”的顶点数；

(2)在〃维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离.

①求X的分布列与期望；

②求X的方差.

5.(2024.安徽芜湖.模拟预测)有一个摸球游戏，在一个口袋中装有彳个红球和〃个白球，这些球除颜色外

完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中.

(1)若；1=10、〃=20,重复上述摸球试验5次，用X表示5次中摸出红球的次数，求X的分布列及方差；

(2)若;1=10,〃=10.

①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一

次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是

他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记册为第"次是甲摸

球的概率，求巴；

②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，

当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量y表示所需摸球的次数，这里y

服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布.帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每

次试验成功的概率为P(O<P<I),失败的概率为g=i-p,若将试验进行到恰好出现厂(厂为常数)次成功

时结束试验，以随机变量y表示所需试验的次数，则y是一个离散型随机变量，称y服从以八。为参数的

帕斯卡分布或负二项分布，记作y~NB(r,p).帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物

群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布.根据定义，我们能够得到这

里的〃eN*,n＞1.求E(Y).

题型06导数中的新定义

【解题规律•提分快招】

导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概

念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵

活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸.

【典例训练】

一、解答题

1.(2024・上海•模拟预测)已知函数y=，如果存在常数对任意满足玉〈尤2＜当一＜x”的

实数无1，无2,…L，其中西,々，…，ZT，尤“e。，都有不等式恒成立，则称函数

i=2

y=/(x),xeD是“绝对差有界函数”

⑴函数=是“绝对差有界函数”，求常数M的取值范围；

⑵对于函数y=/(x),xe［a,b］,存在常数%,对任意的药,电可。，6］，有归左归-引恒成立，求

证：函数y=/(x),xe［a,可为“绝对差有界函数”

71

cos__0］

⑶判断函数〃尤)=5?一是不是“绝对差有界函数”？说明理由

0,x=0

2.(24-25高三上.内蒙古赤峰.阶段练习)若函数/(尤)在［a,句上存在不，龙2(“＜玉＜%＜为，使得

((5)=八"⑷,做,则称“X)是［a,句上的“双中值函数”，其中国,马称为“X)在

b—cib—u.

目上的中值点.

⑴判断函数/(力=*3-3丁+1是否是［一1,3］上的“双中值函数”，并说明理由；

(2)己知函数〃尤)=；尤2-尤lnx-at,存在旭＞”＞0，使得/(")=/(〃)，且〃尤)是［凡何上的“双中值函数”,

再,尤2是/(x)在［n,m\上的中值点.

①求a的取值范围；

②证明：玉+%＞。+2.

3.（22-23高二下•山东济南•期中）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的

方法，给定两个正整数机"，函数小）在x=0处的［〃同阶帕德近似定义为我⑴且满

足：/⑼:氏⑼，/10）=~（。）,/乂0）=肥（。）."（""）（0）=7?（"+"）（0）.已知/（力=111（》+1）在》=0处的［1』阶帕德

近似为R（x）=.注：/⑴=［广（切’"”⑴=［＜（切‘,f^x==［/w4-

⑴求实数a，）的值；

⑵求证：（x+

⑶求不等式「的解集，其中，e=2.71828...

4.（2024.湖南长沙.模拟预测）定义：如果函数/'（x）在定义域内，存在极大值/（石）和极小值/（%）且存在

一个常数3使/&）-/（当）=左（王-%）成立，则称函数/（x）为极值可差比函数，常数左称为该函数的极

值差比系数.已知函数〃%）=尤-L-。111%.

X

（1）当时，判断了（%）是否为极值可差比函数，并说明理由；

（2）是否存在。使/（X）的极值差比系数为2-。？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

（3）若当Wavg,求/（"的极值差比系数的取值范围.

5.（2024・上海徐汇•一模）已知定义域为。的函数y=/（x）,其导函数为y=/'（x）,若点（1,%）在导函数

y=f'（x）图象上，且满足则称4为函数y=/（久）的一个“T类数”，函数y=fO）的所有

“T类数”构成的集合称为“T类集”.

⑴若〃x）=sinx,分别判断!■和日是否为函数y=fO）的“T类数”，并说明理由；

⑵设y=,⑴的图象在R上连续不断，集合M={引/'（无）=0}.记函数y=/（x）的“T类集”为集合S,若

SuR,求证：M蛊；

⑶己知=-工cos（0X+9）3＞0）,若函数y=〃＞）的“T类集”为R时。的取值构成集合A,求当eeA时

CD

®的最大值.

题型07圆锥曲线中的新定义

【解题规律•提分快招】

圆锥曲线背景下的新定义问题，关键在于理解新定义的本质，并将其与常规圆锥曲线知识相结合。

方法总结如下：

1、明确新定义：首先仔细阅读题目，明确新定义的内容、符号及其含义。

2、联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来，找出它们的相

似之处或转换关系。

3、建立数学模型：根据新定义，建立相应的数学模型或方程，利用解析几何或代数方法进行求解。

4、验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保最终答案符合题目要求。

5、灵活应用：对于复杂问题，可能需要综合运用多种数学知识和方法，灵活应对。

【典例训练】

一、解答题

1.(2024・浙江舟山•模拟预测)阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标

系尤Oy中,螺线与坐标轴依次交于点A(T，。)，4(。，-2),4(3,0),4(0,4),&(-5,0),4(0,-6),4(7,0),4(0,8),

并按这样的规律继续下去.

⑴求44,AA+4-

⑵求证：不存在正整数〃，使得三角形升%£+2的面积为2022;

(3)求证：对于任意正整数〃，三角形为锐角三角形.

2.(2024•山东青岛•三模)在平面内，若直线/将多边形分为两部分，多边形在/两侧的顶点到直线/的距离

22

之和相等，则称/为多边形的一条“等线”，已知。为坐标原点，双曲线的左、右焦

点分别为的离心率为2,点尸为E右支上一动点，直线〃与曲线£相切于点尸，且与E的渐近线交

于A,8两点，当尸入，x轴时，直线y=l为AP耳工的等线.

⑴求E的方程；

⑵若y=Jlx是四边形鸟的等线，求四边形4片8月的面积；

（3）设砺=；而，点G的轨迹为曲线「，证明:「在点G处的切线，为的等线

3.（2024・浙江•一模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y=^+l（keR）表示过点（0,1）的直

线族（不包括直线y轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，

且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

⑴圆M：*2+（y-3）2=4是直线族必+利=1（加,〃€2的包络曲线，求加，〃满足的关系式；

⑵若点N（%外）不在直线族Q：j=a-r2（reR）的任意一条直线上，求为的取值范围及直线族。的包络曲

线E的方程；

⑶在（1）（2）的条件下，过曲线E上动点P向圆M做两条切线R4,PB,交曲线E于点A,B,求

面积S的最小值.

4.（2024・四川•一模）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为人过点尸的直线与C相交于点A,B,NAOB

面积的最小值为g（。为坐标原点）.按照如下方式依次构造点£（〃cN*）：6的坐标为（“0）,直线A6,，

B工与C的另一个交点分别为4，B,,,直线4B“与x轴的交点为工设点心的横坐标为x”.

⑴求P的值；

（2）求数列｛%.｝的通项公式；

（3）数列｛七｝中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不

存在，请说明理由.

5.（2024•江西新余•模拟预测）我们知道，在平面直角坐标系xOy中，可以用两点之间距离公式刻画43两

点的距离"（A3）,事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”.在拓扑学中，我们规定某一实数。（A,3）

满足:①0（48）20,当且仅当4=3时等号成立；②。（A3）=D（3,A）;③（昆C）+D（C,A）.

其中，AB、C为平面直角坐标系内的三个点，我们就称。（A3）是关于A、8两点的一个“度量”.设：平面

直角坐标系宜万（。为坐标原点）内两点A&,%）、3优,%）的“夕距离”夕（42）=」：「引|+」：「％1.

[+\Xl~X2\1+舟一上|

⑴求证：48两点的“夕距离”是关于48两点的一个“度量”.

（2）设尸为平面直角坐标系内任意一点.

（i）若夕（O,P）=g,请在下图中定性做出尸点的集合组成的图像（不必说明理由，但要求做出特殊点与

其特征）.

1

爹

3手OI3

-a-

2--:-2

；-4-I

2In

-

-4

--

2

(ii)求证：p(O,P)<2.

(3)规定平面内两条平行直线的P距离夕”4)为在4、4上分别取的任意两个点43夕距离的最小值.已知

不重合的直线4：y="4："(J㈤=；，求左的取值范围.

O----------------题型通关•冲高考----------*>

题型08数列中的新定义

【解题规律•提分快招】

数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后

根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但

是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变

应万变才是制胜法宝.

【典例训练】

一、解答题

1.(2024.江西九江•二模)己知无穷数列｛4｝中，«„>0,记

A=max｛4%,…必｝,纥=min｛gMe”,…｝&=4-3“.

(1)若｛%｝为2,0,2,4,2,0,2,4,…，是一个周期为4的数列(即V"eN*,.*=%)，直接写出4，&，4，4的值;

(2)若｛4｝为周期数列，证明：m%eN*,使得当“>小时，幺是常数；

(3)设d是非负整数，证明：4,=-d("=l,2,3…)的充分必要条件为｛叫为公差为d的等差数列.

2.(2024・广东•模拟预测)已知数列｛%｝是由正整数组成的无穷数列.若存在常数上eN*,%i+%=如“对

任意的〃eN*成立，则称数列｛%｝具有性质中化).

⑴若«„=2",请判断数列｛4｝是否具有性质叫2)；

(2)若数列｛叫满足a”.>«„(«=1,2,3,...),求证：“数列｛%｝具有性质甲⑵”是“数列｛%｝为常数歹旷的充要条

件；

(3)已知数列｛%｝中弓=1,且an+l>an(n=1,2,3,...).若数列｛a,｝只有性质T(4),求数列｛q｝的通项公式.

3.(2024.河南新乡.一模)在平面直角坐标系中，0是坐标原点.若点歹!］｛4｝中的3个相邻的点4,4包，4+2

满足国］=。西;-4可(〃eN*),则称关于x的方程/=px-4是｛4｝的特征方程，将方程无2=px-q的

实数根称为｛4｝的特征根.已知A0，o)，A(。/)，点歹£4｝的特征根为1和

2,西=%—两，化=卬—2两・

⑴求点纥C的坐标；

(2)设Z,=(«4+4〃3-6/+4〃-1)西•强，求数歹U｛力｝的前〃项和S“；

⑶若｛4｝是公差为d(dwO)的等差数列，且各项都为正整数，q和d是已知的常数，求点歹吐4」的特征根.

4.(2024・山东•模拟预测)已知无穷数列也｝(《产。”N*),构造新数列忖)｝满足£满足

才)=霖-蹙)，…,｛。*卜黄足=4T)-(处2,丘N*),若｛««｝为常数数列，则称｛%｝为左阶等差数

11(1)I(^―1)

列；同理令壮)=才,欧)=萧,…，邸)=静(左22,左©N*),若极］为常数数列，则称抄“｝为左阶等比

数列.

(1)己知｛0｝为二阶等差数列，且勾=2,%=6,af)=2,求｛4｝的通项公式；

⑵若数列｛《,｝为二阶等差数列，也,｝为一阶等比数列.证明：也；"｝为三阶等比数列；

(3)己知4=型匚詈匕1,令｛4｝的前〃项和为第式小^庖二1，证明：

ym=\r

5.(2024・广东广州•模拟预测)若有穷数列｛4｝(〃eN*且〃、3)满足•一％|归|q+1-4+2|(，=1,2,一〃一2),

则称｛叫为加数列.

(D判断下列数列是否为M数列，并说明理由：

①1,2,4,3.

②4,2,8,1.

⑵己知M数列也｝中各项互不相同.令切=鼠一%,」(祖=1,2,…,〃-1),求证：数列｛%｝是等差数列的充分

必要条件是数列也｝是常数列；

加一1

（3）己知〃数列｛%｝是加（〃zeN*且加23）个连续正整数12…,根的一个排列.若Z除一％+卜根+2,求加

k-1

的所有取值.

♦>----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、解答题

1.（2024•广西•模拟预测）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的

连续型随机变量X,定义其累积分布函数为*x）=P（XWx）.已知某系统由一个电源和并联的A,B,C三

个元件组成（如图），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各

元件之间工作相互独立.

----------1元件11---------

_--------1元件2|---------_

----------1元件3|---------

--------------II-------------

电源

⑴已知电源电压X（单位：V）服从正态分布N（40,4）,且X的积累分布函数为尸（久），求*42）-“36）；

（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量T（单位：天）表

0,z<0

示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为G（r）=、_1,>0.设证

明：尸（7>47»2）=尸（7>4_幻；

附：若随机变量Y服从正态分布N3b2）,贝|］尸（,-4<b）=0.6827,尸（|y-4<2b）=0.9545,

P（|y-//|<3<T）=0.9973.

2.（2024高三•全国・专题练习）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一,它与导数和函数的零点有关，

是由法国数学家米歇尔罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数/（x）满足在闭区间切连续，在

开区间（“㈤内可导，且区0=/（力,那么在区间3力内至少存在一点加,使得（（根）=0.

⑴运用罗尔定理证明：若函数/（》）在区间可连续，在区间（。力）上可导，则存在x°w（a,b）,使得

b—a

⑵已知函数"X）=xlnx,g。）=；/-bx+\,若对于区间（1,2）内任意两个不相等的实数%,马，都有

"（%）-7（3）1>区（网）-g（%）|成立，求实数》的取值范围.

3.（2024•河北张家口•二模）如果项数均为"的数列｛q｝,但｝满足｛。“2也｝=｛1，2,3「・,2*,且i为奇数时,

i为偶数时，丽其中於｛1,2,3广.,〃｝,那么就称｛4｝,也｝为“互补交叉数列”，记D…:"为

也，…，，）

｛q｝，｛%｝的“互补交叉数列对"，S“为｛%｝的前〃项和.

⑴若｛4｝“〃｝=｛1,2,3,4,5,6｝,且%=5,写出所有满足条件的“互补交叉数列对”；

⑵当｛%｝,也｝为“互补交叉数列”时，

（i）证明：S“取最大值时，存在弓=2"；

（ii）当，为偶数时，求S,的最大值.

4.（2024.福建泉州•模拟预测）将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每

个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不掉

下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题.将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块......第九

块，将前迨=1,2,3,…块铁块视为整体，若这部分的重心在第，+1块的上方，且全部铁块整体的重心在桌

面的上方，整批铁块就保持不倒.设这批铁块的长度均为1,若记第“块比第”+1块向桌缘外多伸出的部分

的最大长度为玛，则根据力学原理，可得为=；,且｛上｝为等差数列.

a

4n

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵记数列｛外｝的前〃项和为S..

①比较s“与fn（〃+l）的大小；

②对于无穷数列｛七｝,如果存在常数A,对任意的正数%总存在正整数N。，使