相似三角形的判定一（2个知识点+2类热点题型+习题巩固）-2024-2025学年人教版九年级数学下册同步训练（含答案）

第03讲相似三角形的判定（1）

01学习目标

课程标准学习目标

①相似三角形的判定：三边定理②相似三角形1.掌握相似三角形的判定方法并能够熟练

的判定：两边夹角定理的判定三角形相似.

思维导图

三边定理

两边夹角定理

相似三角形的判定（1）

用三边定理判定三角形相似

03知识清单

知识点01相似三角形的判定——三边定理

1.

相似三角形的判定：三边定理:

（1）文字语言：三边成比例的两个三角形相似.

4RACBC

（2）数学语言：...我

A'CB'C

-.AABC^AA'B'C

【即学即练1】

1.△4BC的三边长分别为6、8、12,△44G的三边长分别为2、3、2.5,△［生。?的三边

试卷第1页，共10页

长分别为6、3、4,则△48C与相似.

【即学即练2】

2.如图，在方格纸上有△44G和△a与G,这两个三角形是否相似？如果相似，△44G

与△为为C2的周长比和面积比分别是多少？

知识点02相似三角形的判定——两边夹角定理

1.相似三角形的判定“两边夹角定理”:

（1）文字语言：两个三角形的两组对应边的比相等且这两组对应边的夹角相等的两个

三角形相似..

⑵数学语言：•.•霁AR;=券AT且

ADAC

：.\ABC^\A'B'C

【即学即练1】

3.如图，AB-AE=AD-AC,且N1=N2,求证：△NBC”

试卷第2页，共10页

【即学即练2】

4.如图，。是△4BC的边2c上的一点，AB=2,BD=\,DC=3,求证：AABDMCBA.

04题型精讲

题型oi用三边定理判定三角形相似

【典例1】

5.如图所示，小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与△N8C相似的是

()

【变式1】

6.如图，在三角形纸片4BC中，AB=6,BC=3,AC=4.沿虚线剪下的涂色部分的三角形与

A48C相似的是（）

试卷第3页，共10页

A

4B.

B^~---------0c

【变式2】

7.网格图中每个方格都是边长为1的正方形.若A,B,C,D,E,F都是格点，试说明

△ABC-ADEF.

【变式3】

8.如图，点。是△/SC外的一点，分别在射线04OB,OC上取点4,B',C,使得

—=—=—=3,连接49，B'C,CA',所得9。与△4BC是否相似？证明你的

题型02用两边夹角定理判定三角形相似

【典例1】

9.如图，下列四个三角形中，与△/8C相似的是（

试卷第4页，共10页

A

A-£\ZC.D.

5

【变式1】

AF

10.如图，在正方形ABCD中,E为AB的中点，当二______时，AAEF-^BCE.

AD

盛厚£

【变式2】

11.如图，已知/A4C=/E4。，AB=24,AC=48,AE=17,AD=34,求证：

LABCS/\AED.

D

BEC

【变式3】

12.如图，在4x4的正方形方格中，△4SC和△£史F的顶点都在边长为1的小正方形的顶点

上.

/B

;

EF

试卷第5页，共10页

⑴填空：ZABC=_°,AC=_；

（2）判断：△ABC与ADE尸是否相似，并证明你的结论.

强化训练

13.如图所示，网格中相似的两个三角形是（）

14.如图，在△ABC中，DE//BC,DF//AC,则图中共有（）对相似三角形

A.2B.3C.4D.5

15.若△4BC的三边长分别是3,5,6,则与△4BC相似的血户的边可能是（）

A.DE=6,DF=8,EF=10B.DE=9,Er=18,DF=25

C.DE=1,EF=2,DF=25D.DE=6,DF=iO,EF=12

16.如图，△/BC中，//=76。，48=8,AC=6.将△4BC沿图示中的虚线剪开，剪下的

阴影三角形与原三角形不相似的是（）

试卷第6页，共10页

c

17.如图，。为A/BC的边48上一点，若/B=15,AC=10,4D=3,在NC边上取一点

E,使△/〃后与△4BC相似，则/£的长为（）

A.2B.3.5C.2或4.5D.2或3.5

18.下列说法中，正确的有（）

①三边成比例的两个三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个直角三角形相似.

A.0个B.1个C.2个D.3个

19.已知△/8C的三边长分别为1,收，非,△£）£厂的三边长分别百，戈，岳,则A42c

与△DEFT）

A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判定是否相似

20.如图，在正方形网格中，/、B、C、D、M、N都是格点，从N、B、C、。四个格点中

选取三个构成一个与血W相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△N3C；

②△N8O.关于这两个三角形，下列判断正确的是（）

A.只有①是B.只有②是

试卷第7页，共10页

C.①和②都是D.①和②都不是

21.在4ABC中，48=4,8C=6,/C=5,。为8C边一点且BD=4,若过点D作直线截△4BC,

使截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线有（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

22.如图，在△4BC中，AB=8cm,5C=16cm,动点尸从点/开始沿48边运动，速度

为2cm/s；动点。从点2开始沿3c边运动，速度为4cm/s；如果尸、。两动点同时运动，

那么经过（）秒时与ZUBC相似.

A.2秒B.4秒C.2或0.8秒D.2或4秒

23.如图，A48C中，D、E分别是AB、/C的点，要使,需添加一个条件

是.（只要写一个条件）

24.的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的△£>£〃，其最长边为⑵则△DM

的周长是.

25.如图，在四边形N8CZ）中，AC平分/B4D,且/8=4,AC=6.当40=时,

AABCSAACD.

C..B

26.如图在△ABC中，AB=8,AC=6,尸是4c的中点，过P点的直线交48于点。，若

以/、尸、。为顶点的三角形和以/、B、C为顶点的三角形相似，则的长为.

试卷第8页，共10页

27.如图，在△ABC中，/C=5,AB=7,BC=8,。是NC的中点，E是2C上的一个动点,

当ACDE与ACAB相似时,则DE的长是.

28.如图，已知线段48与。交于点。，04=4,OD=3,0c=8,08=6,求证:

△AOCsADOB.

29.求证：三边成比例的两个三角形相似.

ARCA

如图：已知在△/8C和中，==――,求证：/\ABCsdA'B'C'.

ADDCCA

30.如图，在△4BC中，AB=4cm,BC=8cm,动点尸从点/开始沿边运动，速度为

lcm/s,动点。从点8开始沿8c边运动，速度为2cm/s,如果P、。两动点同时运动，那么

经过多少秒时，以B、0、尸为顶点的三角形与相似.

31.如图，在平面直角坐标系中，点/（1，0）,点8在y轴正半轴，点C在x轴的负半轴上,

且满足,8-阎+J2-OC=0.

试卷第9页，共10页

y/

Z

o\\X

⑴求点B、C的坐标；

(2)在8C上是若存在一点尸，使△COPs^dB?若存在，请求出。尸的长；若不存在，请

说明理由.

试卷第10页，共10页

1./\A2B2C2

【分析】判断△NBC的三边长与哪个三角形的边长对应成比例，即可判定.

【详解】解：△/BC的三边长分别为6、8、12,△44。的三边长分别为2、3、2.5

6812

—丰—丰一

22.53

AABC与△44G不相似

△48。的三边长分别为6、8、12,△外与G的三边长分别为6、3、4

.6812

'3"4"T

.,.△48。与44与6相似

故答案为2c2

【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法，“三边对应边成比例，两三角形相似“，熟练掌

握相似三角形的判定方法是解题的关键.

2.相似,△44G与△4AG的周长比是2：1,面积比是4：1.

【分析】根据三角形在坐标系方格图中的位置，将三角形各边长放入相应的直角三角中应用

勾股定理得出边长，然后利用对应边成比例可得三角形相似，相似比即为对应边比例，周长

比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可得出答案.

【详解】解：根据三角形在坐标系方格图中的位置，将三角形各边长放入相应的直角三角中

可得：

=722+22=2^/2,

45=4,

AG=V62+22=2屈,

A2B2=Vl+1=V2,

A2c2—2,

22

B2C2=V3+i=Vio,

.4月4aC、B\2

A2C2C2B2

〜A24232c2；

答案第1页，共17页

乌G：C总B2c2=2：1,

=

画G：^AA2B2C24：1.

三角形的周长比为：2:1,面积比为：4:1.

【点睛】题目主要考查三角形相似的判定定理及性质，熟练掌握三角形的相似比与周长比、

面积比的关系是解题关键.

3.见解析

JRAC

【分析】由已知条件得到：NBAC=NDAE,—=-^.则由“两边及夹角法”证得结论.

ADAE

【详解】证明：•••ABAE=ADAC,

.ABAC

"AD~AE'

又；Z1=Z2,

Z2+ZBAE=Z1+ZBAE,即NBAC=NDAE,

•••八ABC-A.ADE.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定.熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

4.见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，先根据8。=1,DC=3,求出2C的长，再根

据/B=/B,黑=段即可得出结论.

AD

【详解】证明：=DC=3,

.-.BC=BD+CD^i+3=4,

2

12-

BDAB

・••/8为公共角，

:.△ABDs4CB4.

5.A

【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法.根据勾

股定理分别求出每个三角形的边长，根据三角形三边对应成比例的两个三角形相似即可求解.

【详解】解：由图可知，AC=2,BC=Vl2+12=V2>AB=Vl2+32=V10>

■■BC:AB:AC=1:42:45,

答案第2页，共17页

A、三角形的三边比为：1:收:括，则阴影部分的三角形与△/BC相似，该选项符合题意;

B、三角形的三边比为：亚:石:3,则阴影部分的三角形与不A/BC相似，该选项不符合题

忌JiZL；

C、三角形的三边比为：1:石：2亚，则阴影部分的三角形与不△48。相似，该选项不符合

题意；

D、三角形的三边比为：2：V5：V13,则阴影部分的三角形与不△ZBC相似，该选项不符合

题意;

故选：A.

6.B

【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案.

【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB=6,BC=8,AC=4.

44,对应边T6313

A、•・•

BC82BC842

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与aABC不相似，故此选项错误;

2对应边空=y，即：~=—

B、•••zC=zC,

AC2BC2ACBC

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与4ABC相似，故此选项正确;

33AC4232

C、•・•7'对应边M=

AC6343

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与4ABC不相似，故此选项错误;

D、•・，=一=T

6AB2

AB_3i/

BC-4'"J

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与AABC不相似，故此选项错误.

故选B.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三

角形相似是解题的关键.

7.见解析

【详解】证明：,•,AC=VIBC=Vl2+32=V10,AB=4,

AB=4,DF=也2+2,=2及,EF=V?7F=2AMED=8)

答案第3页，共17页

ACBCABc

・•・----=-----=-----=2.

DFEFDE

.-.△ABC^ADEF.

8.见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据题意可得△，'夕。与△力5。的对应边成比

例，进而即可得到结论

【详解】八4BCS&4BC.

（~）A'r）cf

证明：V——=——=3,AAOC^AAOC,

OAOC

ACOA个B'C'「A'B’°

・•・------=------=3.同理----=3,-------=3,

ACOABCAB

A'B'_B'C'A'C

AC'

MA'B'C'S、4BC.

9.C

【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键.根据两角对

应相等或者三边成比例、夹角相等，两边成比例等方法证明相似，进行逐项分析，即可作答.

【详解】解：•・・/B=ZC=6,/B=75。,

.•・/C=/B=75。,

・•.//=30。

A、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的；

B、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的；

C、两边成比例，夹角相等，故该选项是正确的；

D、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的；

故选：C

1。.Z

【分析】根据正方形的性质及中点的定义可得AE=BE=：AB=：BC=：AD,再由

ApAJ71

AAEF^ABCE,可得碇=”;=彳，由此即可求得的值.

BEBC2

【详解】•••在正方形ABCD中，E为AB的中点，

.­.ZA=ZB=9O°,AE=BE=yAB=yBC=AD

答案第4页，共17页

vAAEF^ABCE,

AF_AE

••蕨一葭-5.

AF_AF_\

"AD~2BE~4'

故答案为:.

【点睛】本题考查了正方形的性质及相似三角形的性质，熟练运用性质是解决问题的关键.

11.见解析

【分析】根据两组对应边成比例夹角相等进行证明.

【详解】证明：••・45=24,AC=48fAE=17,AD=34,

.AB_AE_\

,,萧一茄—W'

,AB_AC

・下一茄’

•・•ABAC=/EAD,

.,.△ABCs△AED.

【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记相似三角形的判定定理并依据题的特点恰当

证明是解题的关键.

12.(1)135,2石

(2)AABC^ADEF,证明见解析

【分析】此题考查的是相似三角形的判定；

(1)先在ABCG中根据等腰直角三角形的性质求出.•./G3C=45。，再根据

//8C=/GBC+//8G=135。即可得出，在RM/HC中利用勾股定理即可求/C的长；

(2)根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△NBC与AZ)E尸相似.

【详解】(1)

,-.ZGSC=45°

答案第5页，共17页

•••ZABG=90°

/ABC=/GBC+ZABG=135°

在RtA/HC中，4H=4,CH=2

:.AC=ylAH2+CH2="+22=2退

(2)AABC^ADEF,理由如下：

由(1)同理可得：NABC=NDEF=135。

AB=2,BC=2.42,FE=2,DE=也

理=二=后芈=迪=后

DEV2EF2

.ABBC

••法一访

・•・/\ABCS/\DEF

13.A

【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，求出所有三角形的边长是解题的关

键.先利用勾股定理求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解.

【详解】解：图形①的三边为：2,Vio,V2;

图形②的三边为：3,A/5,V2；

图形③的三边为：2,2夜,2振；

图形④的三边为：3,V17,V2；

,2656

•2也一2_2也一2，

・•.①与③相似，

故选：A.

14.C

【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定等知识点，灵活运用相似三角形

的判定方法成为解题的关键.

先根据。E〃8C、DF〃AC可知"DESAABCQBDFSABAC,gp^ADE^DBF,再根据

DE//BC,DF〃AC可得NDEF=NEFC/DFE=NFEC,即ADEFs'FE,然后统计

答案第6页，共17页

即可解答.

【详解】解：•：DE〃BC,

.-./\ADE^/\ABC,

同理可得：ABDFsABAC,

•••^ADE^iJJBF,

•:DE〃BC、DF//AC,

.../DEF=ZEFC,ZDFE=ZFEC,

•••△DEFs^CFE,

综上，图中共有4对相似三角形.

故选C.

15.D

【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理对四个选项进行逐

一判断即可.

【详解】解：A、・・・△4BC的三边长分别是3,5,6,DE=6,DF=8,EF=\G,

356

—W-W—

6810f

•••此选项不符合题意.

B、的三边长分别是3,5,6,DE=9fEF=18,DF=25,

356

—w—w—,

91825

••・此选项不符合题意.

C、•••△45。的三边长分别是3,5,6,DE=\,EF=2,DF=2.5,

356

・•.一w—w—,

122.5

•••此选项不符合题意.

D、・•・△NBC的三边长分别是3,5,6,DE=6,DF=10,E产=12,

356

"6"10~12；

,此选项符合题意.

故选：D.

16.C

【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可.此题考查了相似三角形的判定，熟练掌

答案第7页，共17页

握判定三角形相似的方法是解题的关键.

【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；

B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；

C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，

故本选项符合题意；

D、阴影三角形中，N/的两边分另U为6-2=4,8-5=3,则两三角形对应边成比例且夹角相

等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意.

故选：C.

17.C

【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关

键.由于与△ZBC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论.

【详解】解：如图，48=15,/C=10,AD=3,

<>也……„,AEADAE3

①右助对应“8时’益=就，n即nE=6

解得：AE=4.5；

②当//DE对应时，=即A=L

AnAG1J1U

解得：AE=2.

故选C.

18.B

【分析】本题主要考查相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定方法成为解题的关键.

根据相似三角形的判定定理逐个判断即可.

【详解】解：①三边对应成比例的两个三角形相似，即①错误；

答案第8页，共17页

②两个等边三角形，则所有内角都为60。，两个等边三角形相似，即②正确；

③两组直角三角形只能确定一组对角相等，不能判定三角形相似，即③错误;

综上，正确的只有②.

故选：B.

19.A

【分析】求出三组对应边的比，看是否相等即可判断两三角形是否相似.

【详解】解:•・•；=*=*$,

V3V6V153

■■.AABC与&DEF一定相似.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题关键是掌握相似三角形的判定定理之一:

有三组对应边的比相等的两个三角形相似.

20.B

【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理

逆定理和相似三角形的判定；

先根据网格判定/A4c=90。，ZABD=90°,然后用相似三角形的判定定理证明即可

【详解】如图，连接N2,AC,BC,AD,BD,

在RM/AW中，AMAN=90°,AM=2,AN=4,

由网格可知：AB=V22+22=2V2，AC=J32+3?=3A/2，BC=V52+12=J26，

BD=V42+42=45/2，AD=\J62+22=2A/TO，

2222

•••AB+AC=(2V2)+(372J"=26,BC=(后?=26,

222

AB+BD=(2⑹°+(4近『=40,AD=(2厢『=40

答案第9页，共17页

AB2+AC2=BC2,AB2+BD2=AD2

ABAC=90°fN4BD=90。,

..AM_2_也AN_4_V2

•AB-2722BD~472―2'

AM_AN

,•方—访’

AABDS^MAN,

..AN_4_2而

.前一庖一13'

AMAN

，---w---,

ABBC

LABC与AAMN不相似，

故选：B.

21.B

【分析】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，并能进行推

理作图是解决问题的关键.过点。作/C的平行线，作4B的平行线，都可使截得的三角形

12

与原三角形相似；过。作/BZ）尸=44,作/CDH=NA,求出8尸不符合题意，CH=—

符合即可解题.

【详解】作DE||4C交AB于&作DG||交/C于G，如图所示：

则ABDESABCA,ACDGSACBA,

BDBECDCG

"~BC~^Af~CB~~CA'

4BE6-4CG

即on一=—,----=——，

6465

Q€

解得=或CG=],

过。作NBDF=AA交力B于F,

答案第10页，共17页

•・•/B=/B,

ABDFSABAC,

BDBF4BF

••・——=——，nn即一=——，

BABC46

解得：BF=6,不符合，舍去,

作ZCDH=NA交AC于H,

ACDHS^BCA,

CDCH6-4CH

——=---,即Rn----=----,

CABC56

12

解得,

••・满足这样条件的直线可作3条;

故选:B.

22.C

【分析】设经过，秒时，尸与△N2C相似,则/尸=24111,8尸=（8-20d11,8。=4化111,利用

两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当普=黑时，

BAnC

△BPQSABAC，即子=与当黑=誓时,△8PQsZ\jgC4,即子=告，然后解方程

o1onCDAIOO

即可求出答案.

【详解】解：设经过，秒时，△QBP与△/3C相似，

则AP=2%cm,BP=（8-2，）cm,BQ=4zcm

APBQ=/ABC,

・•・当桨当时,ABPQSABAC,

DAnC

解得：％=2

当始曾寸,ABPQS△BCA,

即工上

168

解得：t=0.8

综上所述：经过0.8s或2s秒时,△。吕尸与△48C相似

故选：C

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解.

答案第11页，共17页

23.Z.ADE=/C或AAED=NB或=

ACAB

【分析】

由//是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使A/AESA/CB,可添加：

ATJ4E

ZADE=ZACS或ZAED=NABC或—=—等.

ACAB

此题考查了相似三角形的判定.此题属于开放题，答案不唯一.注意掌握两组对应边的比

相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题

的关键.

【详解】

解：•.,//是公共角，

4DAE

二要使A/DESA/CB,可添加：N4DE=NACB或NAED=NABC或——=—等.

ACAB

AV)Ap

故答案为：如4=或44矶)=//2C或一=—等(此题答案不唯一).

ACAB

24.27

【分析】根据相似三角形的性质即可求得.

【详解】•.•△4BC与△DM相似，

.。.DEF—乜=3

•‘二F-’

•：QDEF=3C“BC=3X(2+3+4)=27,

故答案为：27.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质：周长的比等于相似比，掌握此性质是解题的关键.

25.9

【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相

似，进行求解即可.

【详解】解：4C平分NBAD,

.-.ABAC=ADAC,

AnAr

丝='“BCSAACD,

ACAD

即：AC2=ABAD,

AB=4,AC=6,

62=4AD,

答案第12页，共17页

・•.AD=9；

故答案为：9.

9

26.—或4

4

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，先由线段中点的定义得到/P=；/C=3,再分

^AQP^ABC^APQ^ABC,两种情况根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.

【详解】解：是NC的中点，AC=6,

.-.AP=-AC=3,

2

•・/="

・•・只存在AAQPSQBC和"PQs/BC两种情况，

当尸SA/2C时，贝|」哭=名，

ABAC

坐

••—―，

86

.••40=4；

当A/P0SA/BC时，贝!]%=■，

.坐二

68，

9

（。="

9

综上所述，力0=4或4。=：,

4

9

故答案为：二或4.

4

“7f35

27.一或一

216

【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，涉及平行线性质、中点性质、三角形相似的判

定与性质等知识，根据题意，要使△SE与△C4B相似，分两种情况讨论即可得到答案，熟

练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

【详解】解：根据题意，分两种情况：①当。£〃/5时，如图所示：

答案第13页，共17页

则△CQES/\C/5,

.CDDE

…白一商’

•・・Q是4c的中点,

：.CD=DA=-AC,

2

•・,ZC=5,45=7,

4=竽解得田g;

②如图所示:

则ACDES^CBA,

.CDDE

.「力是4c的中点,

:.CD=DA=-AC

2f

-AC=5,AB=7,BC=8,

5

-35

2--

--)-£16

87

综上所述，当与△C4B相似时，则DE的长是7:或3弓5，

216

故答案为：♦7或35

216

28.见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由已知条件证得空=%,由相似三角形的

(JBC/C

判定可得出结论.

【详解】证明：••・04=4,00