相似三角形常见模型之平行类相似（4大题型）（解析版）-2024-2025学年浙教版九年级数学上册

相似三角形常见模型之平行类相似（4大题型）

01常考题型

:题型1A字图及斜A型相似■\■题型28字图相似

相似三角形常见模型

之平行类相似

题型平行类相似的综合

题型3平行类相似与特殊平行四边形的结合S__________）4

02技巧解密

当/ADE=NACB时

△ADE^AACB

悝质AEDE

AC~AB~BC

p

二、8字图及其变形“蝴蝶型"

当AB//CD时当NA=N(:时

AAOB^ADOC△AJB^>ACJD

性质：

JAJB

ABOAOB

CD~JC~JD

~CD^~OD~~OC

☆:"蝴蝶型"常见应用

①常出现在"圆"中，直接由相交弦得到，求角度相关此时注意"同弧所对圆周角相等"的应

用；

②出现在"手拉手模型"中，用于证明"两直线垂直"或者"两直线成一固定已知角度"

☆:A字图与8字图相似模型均是由"平行"直接得到的，，有"II",多想此两种模型

常见〃〃〃的引入方式：

①直接给出平行的已知条件；

②平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等几何图形中自带的平行；

③由很多中点构造的"中位线”的平行；

④根据线段成比例的条件或结论自己构造平行辅助线；

03题型突破

题型一A字图及其变型“斜A型”

【例1】.（2023秋•兰溪市校级期中）如图，在△48C中，。是边上一点，过点。作。£〃3c交/C于

点E,若40：DB=3：1,则S&4BC的值为（）

74916

【分析】由题意易得4D：DB=3：1,AADEsAABC,然后根据相似三角形的性质可求解.

【解答】解:,：DE//BC,

：.△ADEs^ABC,

,：AD-.DB=3：1,

：.AD：AB=3：4,

"SAADE!SAABC=（而）飞

故选：D.

【变式1-11.（2023秋•婺城区校级期中）如图，。是边上一点，添加一个条件后，仍不能使4

A.NACD=NBB./ADC=NACBC.^^5.D.AC?=AD・AB

ACBC

【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案.

【解答】解：，、当时，再由=可得出△NCOS^/BC,故此选项不合题意;

B、当N4DC=//C5时，再由//=//,可得出△NCDS/X/BC,故此选项不合题意；

C、当挺ig■时，无法得出△/CDs△/2C,故此选项符合题意；

ACBC

D、当时，即至驾L,再由//=//,可得出△NCDs/UBC,故此选项不合题意;

ABAC

故选：C.

【变式1-2].（2023秋•河东区期末）如图，在△N2C中，点尸在边48上，则在下列四个条件中：①/

ACP=ZB；②/APC=NACB；③AC?=AP,AB；®AB'CP=AP'CB,能满足△/PC与△NC8相似的

条件是（）

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③

【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹

角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断.

【解答】解：当/4CP=/B,；乙4=/4

所以△NPCs/UCB；

当NAPC=NACB,VZA=ZA,

所以△4PCSA4C5；

当4C2=AP・4B,

即/C：AB=AP：AC,VZA=ZA

所以△NPCS/UCB；

当AB・CP=AP・CB,BPPC：BC=AP：AB,

而/尸NC=/C48,

所以不能判断和△/C2相似.

故选：D.

【变式1-3].(2024秋•西湖区校级月考)如图，正方形M7VP0内接于△4BC,点〃、N在2c上，点尸、Q

分别在NC和N5边上，且3c边上的高4D=6cm,BC=12cm,则正方形的边长为4a”.

【分析】图中即的长等于正方形"AP0的边长.欲求正方形M7VP0的边长即PQ的长，已知3c和

的长，/£可用尸0表示出来，考虑借助相似三角形的性质解题.

【解答】解：设正方形MAP0的边长为XC%,则EO=xc"?,AE=AD-x=(6-x)cm.

"/四边形MNPQ是正方形，

：.PQ//BC.

：.△APQs^acB.

y.'：AD±BC,

•AE=PQ

"ADBC"

\"PQ—xcm,AE—(6-x)cm,BC—12cm,AD=6cm,

•••6----x-_,x,

612

解得x=4.

故答案为：4cm.

【变式1-4].(2024秋•义乌市期中)在矩形48CD中，AB=4,AD=6,E是8c的中点，连接过点。

作DFLAE于点F.

(1)线段。尸的长为鱼；

一5—

(2)连接/C,若AC交DF于点、M,则型

AH—9一

【分析】(1)利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；

(2)延长。尸交C5的延长线于K,利用相似三角形的性质求出KE,再利用平行线分线段成比例定理求

解即可.

2

：.AE=5,

-c_AD*AB_AE*DFc_AD*AB_

••JAADE~-------------------------'3"DE~------―11/9，

222

.•.。尸="

5

故答案为：24:

5

(2)若NC交。/于点M,延长。尸交3C延长线于点K,如图所示:

，/=加)2划2=)62一管)2=誓,

VDD

EF=AE-AF=5-迪=，，

55

VZKEF=ZAEB,NEFK=NABE=9Q°,

/.AKEFs^AEB,

•••K-E~--E-F,

AEBE

7_

・KE

••--=-~-5

53

:.KE=1_,

3

CK=KE+EC=-L+3=1^-,

33

'：AD//CK,

•CM=CK=8

"AM"AD9"

【变式1-5].(2023秋•婺城区校级月考)如图，在△48C中，AB=6cm,4c=12cm,动点。从/点出发

到B点止，动点£从C点出发到A点止，点D的运动速度为lcm/s,点E的运动速度为2cm"若D,E

两点同时出发，则当以点4,D,E为顶点的三角形与△/8C相似时，运动时间为3或4.8s.

【分析】分AADEsAABC和两种情况分别求解即可.

【解答】解：设运动时间为fs时，以点aD,£为顶点的三角形与△/8C相似时,

则AD=t,CE=2t,AE=AC-CE=\2-2t,

①当。与8对应时，LADEs△ABC,

•••A-D=--A-E,

ABAC

即t(12-2t)

?=—12-

②当D与C对应时，△ADEs&CB,

•••A--D=---A--E，

ACAB

即t二（12-2t）,

12-6

二才=4.8,

二当以点4,D,E为顶点的三角形与△/2C相似时，运动时间为3s或4.8s,

故答案为：3或4.8.

【变式1-6].（2024秋•义乌市期中）如图，四边形/2C。为平行四边形，E为边4D上一点，连接/C、

BE,它们相交于点尸，且N4CB=/4BE.

(1)求证：AE2=EF-BEI

(2)若NE=2,EF=1,CF=4,求N2的长.

【分析】（1）利用平行四边形的性质得到则4D/C=N/C8,然后证明AE/尸则利

用相似三角形的性质得到结论；

（2）先利用/£2=斯.3£计算出5£=4,则2尸=3,再由N£〃2C,利用平行线分线段成比例定理计算

出力尸=%，然后利用△口尸根据相似比求出的长.

3

【解答】（1）证明：：四边形/BCD为平行四边形，

：.AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,

,//ACB=/ABE,

：.ZDAC=ZABE,

,//EAF=ZEBA,NAEF=ZBEA,

：.LEAFsAEBA,

：.EA：EB=EF：EA,

:.AE2=EF,BE；

(2),：AE1=EF'BE,

92

：.BE=-^—=4,

1

:.BF=BE-EF=4-1=3,

'JAE//BC,

AAF=EF；即空=工，解得/斤=生,

FCBF433

,/LEAFsLEBA,

£

-AF_EFpn3=1

ABAEAB2

.\AB=—.

3

【变式1-7].（2021秋•娄星区校级期中）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮

照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）.已知小明的眼睛离地面

1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高

为1.7米.请根据以上数据求出城楼的高度.

【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可.

【解答】解：过点A作AMLEF于点M,交CD于点N,

由题意得：/N=2米，CN=1.9-1.6=0.3（米），MN=38米,

■:CN//EM,

/.AACNS^AEM,

•••CN=AN,

EMAM

••0•.3=21，

EM40

：.EM=6,

•：AB=MF=L7米,

•••城楼的高度为：6+1.6-17=5.9（米）.

【变式1-8].（2024•温州模拟）如图，在矩形/2CD中，4B=2AD,点E在CD上，NDAE=45°,F为

8c的中点，连结AF,分别交8。于点G,H,连结

（1）求证：BD=2EF.

【分析】（1）根据矩形的性质得出/8=CD=2AD,ZADC=ZDAB=90°,结合直角三角形的性质、等

腰三角形的判定求出则。£=CE,即可求出£尸是△3。的中位线，根据三角形中位线的性

质求解即可；

（2）结合（1）求出8。=12,根据矩形的性质求出迈=工，此=工，CD//AB,AD//BC,即可判定

AB2AD2

ADEG^/\BAG,△FBHsAADH,根据相似三角形的性质求出。G=4,BH=4,根据线段的和差求解

即可.

【解答】（1）证明：：四边形/BCD是矩形，AB=2AD,

：.4B=CD=24D,/ADC=/DAB=9Q°,AD=BC,

:NDAE=45°,

；./DEA=90°-45°=45°=NDAE,

；.AD=ED,

：.CD=2DE,

:.DE=CE,

•.•尸为8c的中点,

:.EF是4BCD的中位线，

：.BD=2EF-,

(2)解：由(1)知，BD=2EF,

•；EF=6,

：.BD=n,

•；AB=CD=2AD=2DE,AD=BC,尸为2C的中点,

•DE=2,型=工

"ABTAD~2

在矩形N8CD中，CD//AB,AD//BC,

：.ADEGs△A4G,AFBHsAADH,

••.DE_D,G_,1,,一—1.，,

ABBG2DHAD2

•DG=1BH=1

•'[-DG~212-BH~2

：.DG=4,BH=4,

：.GH=BD-DG-BH=4.

题型二8字图及其变型“蝴蝶型”

【例2】.（2024秋•杭州月考）如图，线段N3,CD的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点若

每个小正方形的边长都是1,则亚的值为（）

MD

C

A.空B.11C.旦D.2

765

【分析】判定推出尸£：EG=AF：GB=1：3,求出£G=3RG=3,。£=1+芭=工,

4444

判定ADEMsACBM,推出型=至=11.

DMDE7

【解答】解：•.【尸〃GB,

LAFEs^BGE,

：.FE：EG=AF：GB=1：3,

:.EG=3FG,

4

••.每个小正方形的边长都是1,

：.FG=DG=\,BC=3,

:.EG=HG=3,

44

.,.DE=]+-=^-,

44

,JDE//BC,

：.ADEMs4CBM,

•MC=BC=J_=_12

*'MDDEL

4

故选：A.

C

【变式2-1].（2014秋•宁海县月考）半圆O的直径N8=9,两弦/8、CD相交于点£,弦CD=ZL且

5

BD=7,则DE=3芯.

D

【分析】根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得根据c。、N8的长，即可

求出两个三角形的相似比；设8£=x,则。£=7-x,然后根据相似比表示出/£、EC的长，连接BC,

首先在RtzXBEC中，根据勾股定理求得2C的表达式，然后在RtZi/2C中，由勾股定理求得x的值，进

而可求出DE的长.

【解答】解：,:/D=NA,ZDCA^ZABD,

：.AAEB^/\DEC,

•EC_DE—DC—3

BEAEAB5

设BE=x,则DE=7-x,EC=区,AE=R（7-x）,

53

连接3C,则N/C8=90°,

RtZXBCE中，BE=x,EC=3x,则2C=£,

55

在Rt^NBC中，AC=AE+EC=^-l^x,BC=^x,

3155

由勾股定理，得：AB2^AC2+BC2,

即：92=（35-16x）2+4）2,

3155

整理，得1叙+31=0,

解得：X]=7+3^2（不合题意舍去），皿=7-3衣，

则。£=7-x=3加.

故答案为：3加

【变式2-2].（2019•丹江口市模拟）如图所示，在正方形N8CD中，G为CD边中点，连接NG并延长交

3c边的延长线于E点，对角线AD交/G于尸点.已知尸G=2,则线段/£的长度为12

【分析】根据正方形的性质可得出N2〃CD，进而可得出△NBPs△GDR根据相似三角形的性质可得

出处=3殳=2,结合户G=2可求出NRNG的长度，由CG〃/2、48=2CG可得出CG为△E42的中

GFGD

位线，再利用三角形中位线的性质可求出/£的长度，此题得解.

【解答】解：：四边形N8CD为正方形，

；.AB=CD,AB//CD,

：.NABF=ZGDF,ZBAF=ZDGF,

・•・AABF^AGDF,

・AFAB,

，，-GF=GD=2'

：.AF=2GF=4,

.\AG=6.

VCG//AB,4B=2CG,

:.CG为JAEAB的中位线,

.•./E=2/G=12.

故答案为：12.

【变式2-3].(2024•钱塘区三模)如图，在菱形4BCD中，点E在边AD上，连结CE交对角线AD于点

F,过点E作EG〃4B交5。于点G.

(1)若CD=CE,ZA=110°,求乙BCF的度数.

(2)若BD=15,DE=2AE,求尸G的长.

(3)求证：DF?=FG,BF.

【分析】(1)先根据菱形得性质得到CD〃2C，AD//BC,再根据平行线的性质得到NCD/=70°,接着

利用等腰三角形的性质得到NC£O=NCD/=70°,然后根据平行线的性质，由8c得到/3庭=/

CED-,

(2)先证明得到四=电=迈=2,所以。G=28D=10,再证明△£G/s2\cr/得

ABDBDA33

到西=段，则a=z,然后利用比例的性质求出尸G的长；

DFDCDF3

(3)先证明bS/\EG尸得到更=空,证明△改尸6得到型=里,则利用等量代换得到

FGEFDFEFFG

=电，然后根据比例的性质得到结论.

DF

【解答】(1)解：：四边形/BCD为菱形,

J.CD//BC,AD//BC,

：.ZCDA=ISO°-ZA=10°,

"：CD=CE,

：.ZCED=ZCDA=70°,

,JAD//BC,

:./BCF=/CED=10°；

(2)解：,:DE=2AE,

\DE=2DA,

3

CEG//AB,

ADEGsADAB,

•EGDGDE_2,

'AB=DB=DA=T

•.DG=28D=2xi5=10,

33

.•四边形/BCD为菱形，

\CD//AB,CD=4B,

,.CD//EG,

\△EGFs^CDF,

FGEG

----

DFDc

FGEG

---2

DF-B

A3

•.尸G=]2CG=2义io=4；

55

(3)证明：'JEG//CD,

:.ACDFS/XEGF,

•DF=CF；

"FGW

'JDE//BC,

ABCFs^DEF,

•BF_=CF；

"DF瓯’

•DF=BF

,,而DF'

:.DF2=FG*BF.

【变式2-4].(2024•瑞安市校级模拟)如图，在四边形中，BC//AD,BC=5,AD=9.点E在线段

AC±,EF〃BC交AB于点、F,EG〃CD交AD于点、G,FG交4c于点H,连结BD

(1)试判断尸G与8。的位置关系，并说明理由.

(2)求里的值.

HG

(3)若E为NC的中点，BD=12,求尸G的长.

【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理得出空典，3%，-,于是得出处望，又NFAG=/

ABACACADABAD

BAD,即可证得得出于是问题得证；

(2)先证△BCA/S/XD/M,得出迎£_=包，再证得出胆望_,同理证得

DMAD9BMAM

西于是推出里举，从而得解；

MDAMBMMD

(3)根据平行线分线段成比例定理先证点厂是的中点，点G是/。的中点，得到FG是A4BD的中

位线，根据三角形中位线定理即可求出尸G的长.

【解答】解：(1)判断：FG//BD.理由如下:

，：EF//BC,

•・•—A—F——AE,

ABAC

*：EG//CD,

•AEAG

,,而R

•••-A-F---AG,

ABAD

,/ZFAG^ZBAD,

：.AAFG^AABD,

：.ZAFG^ZABD,

：.FG//BD；

(2)"：BC//AD,

：.4BCMsADAM,

：BM二BC_5,

,•瓦而而，

由(1)知尸G〃AD,即尸〃〃氏W,

A4FHsAABM,

•••-F-H二AH,，

BMAM

同理得：西望，

MDAM

•••-F-H=HG'，

BMMD

•FH圆二5.

"HG"MD"?"

(3)'JEF//BC,

•••AF=---AE,

ABAC

为/C的中点，

•••AE=--,1

AC2

•••AF=--,1

AB2

即点尸是的中点，

'CEG//CD,

•••AE----AG,

ACAD

••,AG=--,1

AD2

即点G是ND的中点,

；.FG是A4BD的中位线，

.11

••FG^-BD^-X12=6-

题型三平行类相似与特殊平行四边形的结合

【例3】.（2024秋•义乌市校级月考）在平行四边形48co中阳卫郦，则限⑦可：s四边形CMNB为（）

3

【分析】根据平行四边形的性质证明△/Ws^cDM,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求

出也幽」，设S—NM=x，贝”△/QM=16X,根据同高三角形的面积比等于底边比，求出

SACDM16

4x,进而可得SA^DN=5X,然后推出S四边形CMNB~19x,即可得出结果.

【解答】解：：AB〃CD,AB=CD,

44

AANMs^CDM,

••--M--N=---A-N-=---1，

MDCD4

根据相似三角形面积之比等于相似比的平方可得：

.SAANM.AN、21

SACDMCD'16

设S-NM=X,则SdDM=l6x,

.•SAAWM^MN_1

^AADM血4

•,S/\ADM—4xf

S丛ADN=S4MN^S丛ADM=5%,S”CD~/XADM^S△CDM=4X+16x=20x,

SmBC=S“CD=20x,

1・S四边形CMNB=SMBC_SA4MI/=19x，

S"DN：S四边形CMNB=5：19.

故选：B.

【变式3-1].（2024•温州三模）如图，正方形N8CD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE

于点若烟=上，则典的值为（）

A.AB.Ac.AD.2

9273

【分析】延长C8,DE,交于点N,设/〃=1,AE=2,依据△用花，即可得出8N=1.5；再根

据丛DHMs丛NFM,即可得到理的值.

FM

【解答】解：如图所示，延长C8,DE,交于点N,设/"=1,AE=2,

•.•正方形N8C。由四个全等的直角三角形拼接而成，

：.BE=l,DH=BF=2,

,:AD〃BN,

：.AADE^ABNE,

•AD-AEpn3—2

BNBEBN1

:.BN=15,

,:DH〃NF,

：.丛DHMs^NFM,

•HM=DH=2=4

"FMNF3?TT

故选：C.

N

【变式3-2].（2024秋•海曙区校级月考）如图，菱形4BCD中，对角线BD交于点、O,EF1BD,垂

足为点H,跖分别交40、DC及5c的延长线于点E、M、F,且£D：CF=1：2,则。H：的值为

【分析】先由菱形的性质得到ACLBD,AD=BC,再证明4C〃ER进而证明四边形

是平行四边形，得至IJ/£=CR由此可得到。E：BF=1：5,再证明得到型=_P1=_L

BHBF5

则DH：DB=^«

6

【解答】解：・・•四边形45C。是菱形，

J.AD//BC,ACLBD,AD=BC,

♦；EF2BD,

J.AC//EF,

・・・四边形AEFC是平行四边形，

：.AE=CF,

*：ED：CF=1：2,

:.ED：AE=\：2,

：.ED：AD=ED：BC=1：3,

:.DE：BF=1：5,

'：AD//BC,

：.△DEHsMBFH,

•-.-D-H3-D-E-=1，

BHBF5

'DH：DB』

6

故选：D.

【变式3-3].（2024秋•海曙区校级月考）如图，已知在矩形N3C。中，M是/。边的中点，8M与/C垂

直，交直线/C于点N,连接DN,则下列四个结论中：@CN=2AN；②DN=DC；③需地；@A

AMNs^CAB.正确的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】通过证明△4WS2\C2N,可得幽可证CN=2/N；过。作D8〃氏攸交NC于G,可证

BCCN

四边形即〃汨是平行四边形，可得BH=MD=^BC，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得。N=

DC-,由平行线性质可得ZABC=ZANM=90°,可证△，儿Ws2\c43；通过证明

s^BCA,可得幽望_,可求皿X1_BC，即可得里"2，则可求解.

ABBC2AD2

【解答】解：.••四边形/BCD是矩形，

J.AD//BC,

AAMNs^CBN,

•••A--MZ：--A--N,

BCCN

:在矩形/BCD中，M是4D边的中点，

.11

••AM=MD=yAD-yBC'

•••A-N~--1,

NC2

:.CN=2AN,

故①正确；

如图，2M与NC垂直，交直线/C于点N,连接ZW,过。作。交NC于G,

J.DHLAC,

"：DH//BM,AD//BC,

.,•四边形BMDH是平行四边形，

.1

••BH=MD=yBO

:.BH=CH,

•：NBNC=90°,

:.NH=HC,>DHLAC,

:.DH是NC的垂直平分线，

：.DN=CD,

故②正确；

•..四边形N8CD是矩形，

：.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

：./DAC=/ACB,/ABC=/ANM=90°,

AAMNsACAB,

故④正确；

,?△AMNsMAB,

•■•-M-N--A-B,

ANBC

'JAD//BC,

:.NDAC=NBCA,且/8NC+/NC8=90°,ZDAC+ZAMB=90°,

/./B4C=ZAMB,且NAW=/ABC,

：.AABM^ABCA,

•••-A-H--A-B,

ABBC

•*-AB2^-BC2>

•.•AB-Vy2-BO

.ABV2

••--=---,

BC2

.CDV2

••=---,

AD2

故③错误.

故选：B.

【变式3-4].(2024秋•西湖区校级月考)如图，在△/BC中，点。，E,厂分别在边N2,AC,2C上，连

接DE,EF.已知四边形8尸ED是平行四边形，

BC4

(1)若48=4,求线段的长；

(2)若△/£>£的面积为2,求平行四边形AFE。的面积.

【分析】(1)证明△/DEsa/gC,根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；

(2)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△/2C的面积是32,同理可得△EFC的面积是

18,根据面积差可得答案.

【解答】解：(1)在△4BC中，点、D,E,尸分别在边48,AC,3c上已知四边形瓦石。是平行四边形,

-D-E-=--1,

BC4

J.DE//BF,

C.DE//BC,

：.^ADE^AABC,

•ADDE1

••瓶同N

"：AB=4,

：.AD=\；

(2)•••△ADEs^ABC,

•SAADE,DE、2，1、21

・・跖/(而)=g

•.•△4DE的面积为2,

△ABC的面积是32,

,/四边形BFED是平行四边形，

J.EF//AB,

△EFCs^ABC,

.SAEFC/3、29

••--------------=(J=,

SAABC416

.♦.△EFC的面积是18,

二平行四边形BFED的面积=32-18-2=12.

【变式3-5].(2024•鹿城区校级三模)如图1,在菱形ABCD中，BELAD于点E,G为CD的中点，延长

GE交A4的延长线于点尸，已知N4BE=30°,AB=3.点尸，。分别在线段GE,AB±(不与端点重

合)，且满足PG=EAQ，设/0=X,PF=y.

(1)求证：GE=EF.

(2)求y关于x的函数表达式.

(3)如图2,连结尸Q.

①当尸。与的一边垂直时，求尤的值.

②当点。落在。尸的延长线上时，记尸0与2E的交点为“，求她的值.

MD

【分析】(1)连接8。，利用菱形性质可得N8=/O=CD=3C=3,AB//CD,再证得△48。是等边三角

形，进而运用44S证得△/斯丝△DEG,即可证得结论；

（2）由中点性质得。E=DG=2L,进而得出设NQ=X,PF=y,贝!|PG=GF-P尸

22

=3%-"再结合已知条件即可求得答案；

（3）①由于点P,。分别在线段GE,N2上（不与端点重合），故尸。不可能垂直NE,分两种情况讨论：

当尸。，/8时，当PQL8E时，分别求得x的值；

②过点Q作QH//FG交DA的延长线于点H,作QJ±BE于J,由QH//FG,得ADEPsADHQ,利用

相似三角形性质建立方程求得x的值，再由JQ〃4D,可得八MQJsAMDE,利用相似三角形性质即可

求得答案.

【解答】（1）证明：如图1,连接AD,

图1

VBE1AD,

：.ZAEB^90°,

：.NBAD=90°-ZABE=90°-30°=60°,

.四边形48CD是菱形，

：.AB=AD=CD=BC=3,AB//CD,

AABD是等边三角形，ZF=ZDGE,

二点E为4D的中点，

：.AE=DE,

又：ZAEF=/DEG,

：.AAEF^ADEG(AAS),

：.GE=EF.

（2）解：G分别为40、CD的中点,

：.DE=DG=^-,

2

VZEDG=nO0,

：.EG=43DE=^J^-,

2

由（1）知G£=ET,

;.EF=36,

2

：.GF=3-j3,

设PF=y,

则PG=GF-PF=3^-y,

,：PG=MAQ,

：.3如-y=Mx,

，尸3料Sx；

（3）解：①：点P,。分别在线段GE,AB1.（不与端点重合）,

：.PQ不可能垂直/£,

当尸时，如图2,连接BG,BD,

图2

则/尸0P=90°,

同理可得△BCD是等边三角形,

:点G是CD的中点，

J.BGLCD,

'：AB//CD,

J.BGLAB,

；.NFBG=90°,

：.NFQP=ZFBG,

又：ZPFQ^ZGFB,

：.△FPQsXFGB,

•FQ=FP

"FBFG"

即FQ・FG=FP・FB,

由（2）得AQ=x,GF=3A/3>PG=MX,

2

.,.FQ—AQ+AF—X+-,FB=AF+AB——+3=—,FP—3yf3-y[3x,

-222

：.3M（X+3）=旦（373-'、a），

22

解得：x=旦

5

当尸。_L3E时，如图3,

图3

•：PQ_LBE,AELBE,

：.AE//PQ,

•AF=EF

.而FP"

即AF・FP=EF,FQ,

二旦(3-\/3-遥%)(x+3),

222

解得：X=—;

4

综上所述，x的值为2或3.

54

②如图4,过点0作Q〃〃FG交。/的延长线于点〃，作于J,

图4

则N〃=N/£F=30°,/AQH=/F=30°,

ZH=ZAQH,

..AQ=AH=x,

则QH=6X,DH=X+3,

由（2）知。£=3,/PG=y[3x,

22

；.PE=EG-PG=-3依-Mx,

2

'.,QH//FG,

：.MDEPsXDHQ,

.•.患=还，即2尸=工,

QHDHV3xx+3

解得：.=3氏3（负值舍去），

2

；.40=3y-3,PE=3T-百x-3=-9

―2222

'：QJ1.BE,

:./BJQ=90°,

VZABE=30°,

；0=&0=_1（3-x）=9-3如,

224

•：/BJQ=/BEA=90°,

C.JQ//AD,

：.AMQJs2MDE,

她=红=g-3«=3-M•

MDDE42

3_

7

题型四平行类相似的综合

【例4】.（2023秋•拱墅区月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A,B,C,。均在格点

上.

（1）在图①中，理的值为1：3；

PA

（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.

①如图②，在48上找一点P,使/P=3；

②如图③，在8。上找一点P,使△[PBs^CPD.

图①图②图③

【分析】（1）如图①中，利用平行线的性质求解即可.

（2）①根据勾股定理得的长为5,再根据相似三角形的判定方法即可找到点尸；

②作点/的对称点,连接C与的交点即为要找的点P,使

【解答】解：（1）如图①中，

'：AB//CD,

：.△PCDs^PBA.

•••PD._—C^D―_1,

PAAB3

故答案为：1：3；

(2)

E

D

图②图③

①取格点£,F,连接成交于点P,点尸即为所求的点.

由勾股定理知：48=指57衣=5・

*：AP=3,

:.BP=2.

,:BE〃FA,

：.△EPBsAFPA.

VAP：BP=AF：BE=3：2.

，取格点E,F,连接访交N8于点P,点P即为所求的点;

②如图③所示，作点/的对称点,

连接HC,交BD于点P,

点尸即为所要找的点，

'JAB//CD,

AAPBsACPD.

【变式4-1].(2024•上城区一模)如图，点。为△4BC的边NC上一点，延长AD至点尸，使得C尸〃N2,

点E在线段5c上，5.DE//AB,4B=4,CF=6.

(1)若/。=3,求CD的长.

(2)若/4BC=60°,BD平分NABC,求AD的长.

【分析】(1)由"BDs^CFD,得到/£＞：CD=AB：CF,即可求出CD的长.

(2)过E作9，2。于X,由平行线的性质，等腰三角形的性质，锐角的正弦推出6

DE,由△BDEsLBFC,推出理+典_=1,即可求出于是得到

ABCF5

=1273

~5-

【解答】解：(1)，：AB//CF,

：.LABDs^CFD,

J.AD-.CD=AB：CF,

.*.3：CZ)=4：6,

；.CD=4.5.

(2)过£作£7九L8D于〃,

■:DE//AB,

ZBDE=ZABD,

；BD平分//BC,

：.AABD=ZCBD=l.ZABC=Xx60°=30°,

22

ZBDE=ZDBE=30°,

:.DE=BE,

：.BD=2DH,

cosZEDH—cos30°=K1=2/Z_,

DE2

：.DH=^3-DE,

2

：.BD=2DH=\[3DE,

"：CF//AB,DE//AB,

J.DE//CF,

.♦.△CDEsACAB,△BDEsLBFC,

B

-

CE,-

DEDEB

ABCBCF

DE

DE+-CEBE

ABBC-

BC

•・25=4,CF=6,

"T，

【变式4-2].（2024秋•诸暨市校级月考）【阅读与思考】

下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务.

如图1,在△4BC中，中线ND,CE相交于点G,连接DE,

'：D,E分别是2C,AB边的中点，

/.①BE=4E,BD=CD.

J.DE//AC,且。E=LC.

2

/.②ABDEsABCA,ADEGAACG

.BE_BD_DE_1；EG_DGJE_1

"BA"BC"AC"2"CG"AG'AC"2

图1

任务:

(1)笔记中横线部分应填写①BE=AE,BD=CD:

②△3DEs△3G4,ADEGs&4CG.

(2)如图2,在4MNH中,点K,£分别在MMAffi■边上，连接HK,NL交于点、F.若MK=、MN,

3

ML=1.MH,猜测K尸与所的数量关系，并说明理由.

3

(3)如图3,在平行四边形N8CD中，点£、F、G分别是BC、CD的中点，BELEG,AB=1,

AD=2娓,求/厂长.