新高二数学复习讲义：利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类（原卷版）

第04讲利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类

学区目标彳

学会利用几何法求空间角及空间距离.

||询基础知识f

------------------llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllt-----------------------

1、异面直线所成的角

(1)定义：已知a,b是两条异面直线，经过空间任意一点。作直线"〃mb'//b,把。'与〃所成的角叫

做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：(o,2_.

注：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直

线所成的角，也可能等于其补角.

2、直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线

垂直于平面，则它们所成的角是90。；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0。.

工一

(2)范围：［0,2_.

3、二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①0©/；②。4ua,OBup；③。4_L/,OBLI,则二面角a—/一夕的平面角是NAOB.

(3)二面角的平面角a的范围：0。女至180。.

4、点到平面的距离

已知点尸是平面a外的任意一点，过点尸作B4_Le,垂足为4,则PA唯一，则24是点尸到平面a

的距离。即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离(转化为点到点的距离)

结论：连结平面&外一点P与。内一点所得的线段中，垂线段H4最短.

||函解题策略

---------------------lllllllllllllllltlllllllllllillllllllllll-----------------------

1、求异面直线所成的角的方法和步骤

（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平

移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.

（2）求异面直线所成角一般步骤：一作、二证、三求

①平移：经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，平移异

面直线中的一条或两条成为相交直线，作出异面直线所成的角.

②证明：证明所作的角是异面直线所成的角.

③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

④取舍：因为异面直线所成角。的取值范围是］o,,所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异

面直线所成的角.

2、求直线与平面所成的角的方法和步骤

（1）垂线法求线面角：

①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A,过点A向平面a做垂线，确

定垂足O；

②连结斜足与垂足为斜线AB在面a上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.

（2）平移法求线面角

是指利用图形平移变换的性质，构造满足求解的条件，进而得出结论的方法.在运用平移法求解线面角

问题时，我们可以利用图象平移的性质：图形移动位置后其大小、形状、面积等都不改变，将分散的条件

关联起来，以便将立体几何问题转化为平面几何问题来求解.

（3）等体积法求线面角

通过换底求体积求出斜线上一点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦值，如图，已知平面a与

PO

斜线AP,POJ_a，则P0线面角为/PAO,sinNPAO=——，要求线面角，关键是求垂线段PO的长度，而垂

AP

线段PO的长度可看作点P到平面a的距离，在平面a内找一个三角形（点A是其中一个顶点）与点P构成三

棱锥，在三棱锥中借助等体积法就可以求PO的长度，从而达到简便求解线面角的目的.

p

3、求二面角的平面角的方法和步骤

（1）求二面角大小的步骤是：

①作：找出这个平面角；

②证：证明这个角是二面角的平面角；

③求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小.

（2）确定二面角的平面角的方法

①定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律

在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.

如：“三线合一型"、“全等型”

②三垂线法（面上一点双垂线法）一一最常用

自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足

和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角

③等体积法

利用三棱锥等体积法求出点A到平面PBC的距离d,如图，点A到二面角A-PB-C的棱PB的距离为

h（即APAB中PB边上的高），则二面角人18（的正弦值为5也。=4.

③垂面法（空间一点垂面法）

过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

④射影面积法

已知平面a内的平面图形「的面积为5,它在平面口内的射影厂的面积为V，设平面a与平面0所成二面角的

平面角为3,则当时,cos6=*；当&e仔,需］时,cos0——

4、求解点面距的方法和步骤

（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；

（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；

（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离.

考点剖析

考点一：直接平移法求异面直线所成的角

1.（2023春・广东广州•高一广州市第六十五中学校考期中）在正方体qGR中,分

别为AB,AD的中点，则异面直线与C与取所成角的大小为（）

A.30B.45C.60D.90

变式1.（2023春・山东滨州•高一山东省北镇中学校联考阶段练习）如图，在长方体A8CQ-A4GA中,

AB=AD=l,AA1=2,且E为〃2的中点，则直线8,与AE所成角的大小为（）

变式2.（2023春・江苏南京•高一南京市第九中学校考阶段练习）如图，圆柱的底面直径与母线AD相等,

E是弧A3的中点，则AE与BO所成的角为（）

考点二：中位线平移法求异面直线所成的角

例2.（2023春•全国•高一专题练习）在四棱锥S-ABCD中，SA，平面ABCD,AB=AS=2,底面

ABCD是菱形，ZABC=60°,E,F,G分别是以，SB,3c的中点，则异面直线DE与FG所成角的余弦

值为（）

旦

3

V6叵

变式1.（2023春・广东深圳•高一深圳市罗湖高级中学校考期中）如图，在三棱锥O-ABC中，AC=6BD,

且AC1BD,E,尸分别是棱。C,AB的中点，则和AC所成的角等于.

变式2.（2023春•陕西西安•高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，所有侧棱

长都为4应，底面是边长为2面的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线

OP与BM所成角为

变式3.（2023春・广东广州•高一广州市天河中学校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=6,正方形ADEF

的边长为1,且平面ABCD1平面ADEF,则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（）

E

变式4.（2023春・上海宝山•高一上海市行知中学校考阶段练习）如图，已知四棱锥P-的底面是正

（1）证明平面P3C.

（2）求异面直线AE与尸。所成的角；

变式5.（2023春・甘肃定西•高一甘肃省临洗中学校考期中）如图，四棱锥P-ABCD中，平面ABCD,

底面ABCD是边长为1的正方形，PA=AD,E为F4的中点，尸为PD的中点.

P

⑴求证：/3_1平面尸£）。；

（2）求异面直线BE与PD所成角的余弦值.

考点三：平行四边形平移法求异面直线所成的角

[\例3.（2023春•上海奉贤•高一上海市奉贤中学校考阶段练习）如图，在长方体中,

AB=AD=4,CG=5,M、N分别是GR、AC的中点，则异面直线DN和CM所成角的余弦值为（)

变式1.（2023春・江西南昌•高一南昌十中校考阶段练习）如图，在正三棱柱ABC-A4G中，2BBt=3AB,D

是棱8C的中点，E在棱CG上，且CG=3CE,则异面直线4。与BE所成角的余弦值是（）

A.逅B.逅C.一旦D.近

6442

变式2.（2023春・浙江•高一路桥中学校联考期中）在直三棱柱ABC-A耳G中，AC=AAl=2,BC=1,

ZACB=120°,E是B用的中点，则异面直线CE与所成的角的余弦值是（）

考点四：补形法求异面直线所成的角

|例4.（2023・全国•高一专题练习）在长方体ABCD-ABCQ中，AD=DC=2,钻=26,则异

面直线BG与。耳所成角的正弦值为（）

A.-B.—C.—D.—

5552

变式1.（2023春・浙江宁波・高一效实中学校考期中）如图，在正三棱台ABC-A与G中，底面ABC是边长

为4的正三角形，且A4,=4G=2.

⑴证明：A\LBC.

⑵求异面直线4啰、所成角的余弦值.

变式2.（2023・全国•高一专题练习）在正方体ABC。-44GA中，E为4。的中点，平面与平面CEQ

的交线为1，贝也与A3所成角的余弦值为（）

JB

"B-1CT1）V6

3

考点五：通过证线面垂直证异面直线所成的角为90°

例5.（2023春・广东广州•高一广州四十七中校考期中）如图,在正四面体ABC£）中，M是5C的中

点，P是线段A"上的动点，则直线OP和5c所成角的大小（）

A/

R

A.一定为90°B.一定为60°C.一定为45°D.与尸的位置有关

变式1.（2023秋•河南鹤壁•高一鹤壁高中校考阶段练习）三棱锥中，ZSBA=ZSCA=90°,NABC

是斜边钻=。的等腰直角三角形，则以下结论中：

①异面直线S3与AC所成的角为90。；②直线S3,平面ABC；

③平面SBC_L平面SAC；④点C到平面S4B的距离是:a.

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

变式2.（2023・高一课时练习）如图，正方体中，的中点为0A的中点为N,则

异面直线BXM与CN所成角的大小为

C.60°D.90°

变式3.（2023春•重庆九龙坡•高一重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，三棱柱ABC-ABG中，底

面三角形AMG是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（）

E

B

4

A.直线eq与直线相交

B.CG与AE共面

C.AE与4G是异面直线但不垂直

D.平面AB也垂直于平面CBBC

考点六：由异面直线所成的角求其他量

6.（2023春.湖北武汉.高一武汉市第六中学校考阶段练习）在长方体ABC。-A4GA中，BQ与

CG和G2所成的角均为60°,则下面说法正确的是（）

A.AB=y/2AAiB.AD=AB

C.AC=—BCD.AQ=—BD

变式1.（2023・高一单元测试）在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,D4的中

点.^AC=BD=2,且AC与3。所成的角为60。，则EG的长为（）

A.1B.72C.1或行D.及或出

变式2.（2023春・贵州毕节•高一统考期末）在空间四边形ABCD中，AB=CD,E,尸分别为BC,AD的

中点，若AB与C£＞所成的角为40。，则Er尸与所成角的大小为（）

A.20°B.70°

C.20。或70。D.40。或140。

变式3.（2023・高一课时练习）如图，在三棱锥O—A5C中，ZDAC=ZBCA=ZBCD=90°,OC=M，AB=3,

且直线AB与DC所成角的余弦值为色，则该三棱锥的外接球的体积为（）

19

考点七：垂线法求直线与平面所成的角

［、例7.（2023春・海南・高一海南华侨中学校考期末）如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，501

平面ABCD,则下列结论中不正确的是（）

B.〃平面SCD

C.直线SA与平面所成的角等于30

D.直线SA与平面SBD所成的角等于直线SC与平面SBD所成的角.

变式1.（2023春・山西•高一统考阶段练习）如图，在圆柱OP中，底面圆的半径为2,高为4,AB为底面

圆O的直径，C为4B上更靠近A的三等分点，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（）

A.叵B.叵C.巫D・强

101055

变式2.（2023・高一单元测试）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥,

已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为止匚，则它的侧棱与底面所成角的正切值

2

约为（）

A~V2口A/5—10A/5+1门+V2

2222

变式3.（2023.高一课时练习）如图，在正方体4BC。-4月£。中，E,F分别是AA-4耳的中点，则直

线跖与对角面4GC4所成角的大小是（）

C.60°D.150°

变式4.（2023春•江苏宿迁•高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）直三棱柱ABC-A四G中,

AB=AC=AAt,ABJ.AC,则481与平面BCC14所成的角为（）

,71c兀一兀一兀

A.-B.-C.—D.一

6432

变式5.（2023春・浙江宁波•高一效实中学校考期中）如图，四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAL

平面ABC。，E为尸。的中点.

P

⑴证明：P3〃平面ASC;

⑵设直线尸B与底面ABCD所成角的正切值为|,AP=1,AD=6求直线PC与平面PAD所成角的正弦

值.

变式6.（2023春•重庆九龙坡•高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，PA1

平面ABCD,底面是棱长为1的菱形，ZADC=60,PA=2,〃是P£）的中点.

B

⑴求证：尸3〃平面ACM；

（2）求直线CM与平面上4。所成角的正弦值.

变式7.（2023春•湖南长沙•高一长沙一中校考阶段练习）如图，多面体ABCDE尸中，四边形ABCD为矩形,

二面角A-CD—尸的大小为45,DEHCF,CD1.DE,AD=2,DC=3.

（2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值.

考点八：等体积法求直线与平面所成的角

［一\］例8.（2023春・北京朝阳・高一清华附中朝阳学校校考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD

是边长为a的正方形，PA_L平面ABCD.若PA=a,则直线尸3与平面PCD所成的角的大小为（）

变式1.（2023春・河南•高一校联考期末）如图，三棱柱ABC-A,4G中，A3耳为等边三角形，AB=BC=2,

CA=CB[,CA1CBt.

(1)证明：平面CABt_L平面ABB^；

(2)求直线B旦和平面A与G所成角的正弦值.

变式2.(2023春・浙江杭州•高一校考期中)如图，四棱锥尸-ABCD中，PC_L平面ABCD,PC=1,底面

ABCD是矩形，且48=点，AD=43.

(1)求证：平面PCD；

(2)求直线AC与平面APD所成的角的正弦值;

考点九：平移法求直线与平面所成的角

9.(2023・江苏•高一专题练习)如图，边长是6的等边三角形ABC和矩形3CDE.现以BC为轴

将面ABC进行旋转，使之形成四棱锥4-3以比，。是等边三角形.ABC的中心，M,N分别是BC,DE

的中点，且AB=2ON,OF//面BCDE,交AC于尸.

(1)求证》_L面AMN

⑵求DF和面4MN所成角的正弦值.

变式1.(2023春•天津和平•高一天津一中校考期中)如图，已知胡，平面ABC,BBJIA\,AB=AC=3,

BC=245,M=币,BB、=2布，点E和歹分别为"和AC的中点.

(1)求证：隹_1平面2。片；

(2)求直线\BX与平面BCBi所成角的大小.

考点十：由线面角求其他量

\例10.(2023春・湖南•高一校联考阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，24,

平面ABCD,E为线段PD上一点，尸3〃平面W.

(1)证明：E为PD的中点；

(2)若直线CE与平面PAO所成的角为45,且AP=">=1,求三棱锥E-ACD的体积.

变式1.(2023春・福建泉州•高一校联考阶段练习)如图所示，三棱台ABC-EFG中，底面ABC,

ZACB=90,AB=2EF.

A

(1)证明：一AFG是直角三角形；

(2)若AC=BC,空=2,问，为何值时，直线斯与平面AFG所成角的正弦值为述？

AC5

变式2.(2023春•高一单元测试)如图，在ABC中，。是8C的中点，AB=AC,AO=2OC=2.^tBAO^

AO折起，使B点移至图中7点位置.

⑴求证：AO_L平面B'OC；

(2)当三棱锥笈一AOC的体积取最大时，求二面角A-B'C-O的余弦值；

(3)在(2)的条件下，试问在线段上是否存在一点P,使CP与平面B'OA所成的角的正弦值为更？证

3

明你的结论，并求AP的长.

变式3.(2023春•吉林延边•高一延边第一中学校考期中)如图，是。的直径，垂直于O所在的

平面，C是圆周上不同于A8的一动点.

(1)证明：PBC是直角三角形；

(2)若PA=AB=2,且直线PC与平面ABC所成角的正切值为0,

①求AC的长；

②求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

考点十一：定义法求二面角的平面角

I）1例11.（2023春・河北石家庄•高一校考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD

为正方形，平面血平面钻C。，Q为棱的中点，PA±AD,PA=AB=2.

⑴求证：平面ABC。；

（2）求二面角P-CD-A平面角的大小.

变式1.（2023春.吉林.高一校联考期中）如图，四棱柱ABCD-AAGA的底面ABC。是菱形，的，平面

ABCD,AB=1,例=2,N54£>=60。，点尸为。R的中点.

⑴求证：直线平面PAC；

（2）求二面角B1-AC-P的余弦值.

变式2.（2023春•天津宝抵•高一天津市宝垠区第一中学校考阶段练习）如图，边长为4的正方形ABCD中,

点瓦厂分别为MIC的中点.将AED,BEF,ZXT分别沿小,所,。尸折起，使ARC三点重合于点P.

⑴求证：PD±EF；

(2)求三棱锥尸-EFD的体积；

(3)求二面角P—£F-D的余弦值.

变式3.(2023春・浙江•高一校联考阶段练习)如图，在多面体A3CDEF中，平面平面ABCD,平

面£AO_L平面是菱形，ZABC=60,AB=2,FC//EA,EA=3,FC=1.

(1)证明：PC平面ABC。；

(2)求二面角3-历-。的平面角的余弦值.

考点十二：三垂线法求二面角的平面角

12.(2023春•江苏连云港•高一江苏省海头高级中学校考期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底

面ABCD是菱形.

(1)若点E是PD的中点，证明：尸3〃平面ACE；

(2)若R4=ED=AD,ZBAD=120,且平面PAD_L平面ABCD,求二面角尸―AC—。的正切值.

变式1.(2023春•陕西西安・高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)已知正三棱柱ABC-中,

AB=4,D为AC边的中点，ABt1BCV

(1)求侧棱长；

⑵求三棱锥D-BCG的体积;

(3)求二面角D-BG-C的大小.

变式2.(2023春・山东滨州•高一山东省北镇中学校联考阶段练习)如图，在四棱台A8CD-PQS〃中，底

面ABCD是正方形，侧面上4T>"_L底面ABCD,PAD是正三角形，N是底面ABCD的中心，M是线段PZ)上

⑴当MN//平面PAB。时，求证：W2平面PC。；

(2)求二面角P-3C-A的余弦值.

变式3.(2023春・江苏苏州•高一校考阶段练习)四棱锥尸-ABCZ)中，PAL平面ABCD,四边形ABCD为

菱形，ZADC=60°,PA=AD=2,E为AD的中点，F为PC中点.

⑴求证：EP〃平面上18；

(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值;

(3)求二面角A-PD-C的正弦值.

考点十三：等体积法求二面角的平面角

、例13.（2023春・江苏常州•高一常州高级中学校考阶段练习）如图，ACD和△BCD都是边长为2的

等边三角形，AB=&,£B_L平面BCD

⑴证明：£B〃平面ACD；

（2）若点E到平面ABC的距离为正，求二面角E-CD-B的正切值.

变式1.（2023・高一单元测试）已知四边形ABCD中，ZABC=ZCAD^90°,AB=BC=^AD=42,O

2

是AC的中点，将_ABC沿AC翻折至△”（？.

（1）若尸。="，证明：PO1平面ACD；

⑵若D到平面PAC的距离为6,求平面PAC与平面ACD夹角的大小.

考点十四：垂面法求二面角

（2023・全国•高一专题练习）如图，已知上PBL/3,垂足为A、B,若NAP8=6O。,

则二面角/-£的大小是.

变式1.（2023秋•山东日照•高二校考阶段练习）若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8,两垂足间

的距离为7,则这个二面角的大小是.

变式2.（2023•全国•高一专题练习）已知尸是二面角a-'/?内的一点，R4垂直于a于4,尸2垂直于口于

B,AB=85PA=PB=8,则二面角。-/一尸的大小为一

变式3.（2023・高二课时练习）如图，已知平面a,夕，且a（3=1,PCLa,PD±J3,C,。为垂足.

（1）试判断直线/与。的关系，并证明你的结论；

（2）设直线/与平面PCD交于点A,点Be/,若二面角a-—4的大小为120。，S.PC=PD=AB=2,求

平面尸CB与平面PC4所成的锐二面角的大小.

考点十五：射影面积法求二面角

|X不列15.（2023・全国•高一专题练习）如图与△BCD所在平面垂直，且钙=3。=①）,

ZABC=ZDBC=120°,则二面角A-BD-C的余弦值为.

D

变式1.（2023・全国•高一专题练习）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形,

平面PAD_L底面ABCD.

⑴证明：AB_L平面PAD；

（2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值.

变式2.（2023•浙江•模拟预测）如图所示，正方形汨平铺在水平面上，先将矩形£DHG

沿AD折起，使二面角E'-AD-5为30。，再将正方形AF&H沿折起，使二面角一人尸’-。为30°,

则平面ATG7T与平面ABCD所成的锐二面角的正切值是（）

A•亨BY

考点十六：由二面角大小求其他量

（\］例16.（2023春・广东广州•高一广州市天河中学校考期中）如图1,在平行四边形ABCD中,

ZA=60°,AD=2,AB=4,将△ABD沿BD折起，使得点A到达点P,如图2.

B

图1图2

（1）证明：平面3co，平面PAD；

（2）当二面角O-R4-3的平面角的正切值为"时,求直线BD与平面PBC夹角的正弦值.

变式1.（2023春・广东佛山•高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，四棱锥S-4JCD的底面是正

方形，SAL底面ABCD,E是SC上一点.

s

(1)求证：平面£BD_L平面5AC；

VA

(2)当二方的值为多少时，二面角3-SC-D的大小为120。.

变式2.(2023春・河南安阳・高一安阳一中校考阶段练习)如图所示，在平行四边形ABCD中，

AB=2BC=8拒,ZDAB=^,E为边AB的中点，将VADE沿直线DE翻折为_AZ>£,若F为线段AC的

中点.在VADE翻折过程中,

⑴求证：BF//平面却£)£；

(2)若二面角A,-D£-C=60°,求A'C与面A团所成角的正弦值.

TT

变式3.(2023•局一课时练习)如图，在Rt^ABC中，B=~,AB=2BC=2,且E,尸分别为A3,AC

的中点.现将△/1£■尸沿E尸折起，使点A到达点。的位置，连接3D,CD,〃为CO的中点，连接

(1)证明：平面BCD；

(2)若二面角石-血尸-。的余弦值为-立，求四棱锥。-EBCF的体积.

3

考点十七：直接法求点面距

17.(2023•高一课时练习)如图，在长方体ABCO-44GA中，已知AB=4,BC=2,BBt=3,

则点8到上底面4BGR的距离为（）

变式1.（2023春•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨市第六中学校校考期末）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD

为直角梯形，PA=AB=BC=1,ZABC=90°,XPAB=120°,AB//DC,DC=PC=2,则点P到平面

ABCD的距离为（）

A.在B.且C.2D.-

423

变式2.（2023春・山西晋中•高一校考阶段练习）已知，ABC是面积为至的等边三角形，且其顶点都在球

4

32

。的球面上，若球。的体积为三»，则。到平面ABC的距离为（）

A.73B.-C.1D.也

22

考点十八：转化法求点面距

（2023•陕西西安・西北工业大学附属中学校考模拟预测）在三棱柱ABC-中，A-ABC

是棱长为2的正四面体，则点A到平面BCG耳的距离为（）

A.s/6B.73C.72D.1

变式1.（2023•江西・江西师大附中校考三模）已知四棱锥P-ABC。的底面是正方形,

ACcBD=O,PA=PD=#,PO=4i,AO=2,E是棱PC上任一点.

(1)求证：平面3DE_L平面PAC;

⑵若PE=2EC,求点A到平面BDE的距离.

考点十九：等体积法求点面距

例19.(2023春・贵州贵阳•高一贵阳市民族中学校联考阶段练习)如图在棱长为2的正方体

ABCD-A4GR中，E是。R上一点，且〃平面ACE.

(1)求证：E为的中点;

(2)求点D到平面ACE的距离.

变式1.(2023春•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨市第四中学校校考期中)如图，RtAAOB,0A=\,OB=2,

点C是0B的中点，AOB绕OB所在的边逆时针旋转一周.设OA逆时针旋转至OD时,旋转角为。，6e[0,兀).

(1)求.ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；

2兀

(2)当。=彳时，求点。到平面ABD的距离.

变式2.(2023春・广东江门•高一江门市第一中学校考期中)如图，在四棱锥尸-A8CD中，。是边长为4

的正方形ABCD的中心，P。4平面ABC。，M,E分别为AB,8C的中点.

(1)求证：平面尸ACJ■平面P6D;

⑵若尸£=3,求点8到平面的距离；

(3)若PE=3,求直线尸3与平面PE似所成角的余弦值.

变式3.(2023春・山东滨州•高一山东省北镇中学校联考阶段练习)如图①，在梯形ABCD中,

AB//CD,AB=2,ZA=60°,?ABD90?,NCBD=45°,将△ABD沿边BD翻折至4Am,使得AC=2g,

如图②，过点8作一平面与AC垂直，分别交AD,AC于点区产.

(1)求证：亚_1平面4'。£);

(2)求点F到平面A'BD的距离.

[⑨真题演练f

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1.【多选】(2023•全国•统考高考真题)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，ZAPS=120°,

PA=2,点C在底面圆周上，且二面角P—AC—O为45。，贝I]().

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为46兀

C.AC=20D.△PAC的面积为6

2.(2023•北京・统考高考真题)坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以

勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两

个面是全等的等腰三角形.若=25m,80=41）=1001,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面

与平面ABCZ）的夹角的正切值均为巫，则该五面体的所有棱长之和为（）

5

C.117mD.125m

3.（2023•全国•统考高考真题）已知ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面

角C-AB-O为150。，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

A.-B.立C.BD.-

5555

4.（2023•全国•统考高考真题）如图，在三棱柱ABC-42©中，AC，底面ABC,NACB=90。,e=2,

A到平面2CG4的距离为1.

Bi

A

（1）证明：AC=AC；

（2）已知AA,与BBX的距离为2,求4片与平面BCG用所成角的正弦值.

5.（2023・天津•统考高考真题）三棱台ABC-4用6中，若AA，面^BC,AB±AC,AB=AC=AAi=2,AG=1,

MN分别是BCBA中点.

⑴求证：AN//平面GK4；

(2)求平面GMA与平面ACC0所成夹角的余弦值；

⑶求点C到平面GM4的距离.

6.(2023•全国•统考高考真题)如图，在三棱锥P-ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2也,PB=PC=瓜,

BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=y[5DO,点F在AC上，BF±AO.

(1)证明：瓦〃平面AOO；

(2)证明：平面ADO_L平面BEF；

(3)求二面角。-AO-C的正弦值.

1国过关检测]I

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一、单选题

1.(2023秋•上海黄浦•高二上海市向明中学校考阶段练习)点P为平面ABC外的一个点，点M是棱上

的动点(包含端点)，记异面直线与A3所成角为直线PM与平面ABC所成角为夕，则()

A.a>PB.a<(3C.a>/3D.a</3

2.(2023春・全国•高一专题练习)如图，空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,

CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为9。。，则MN=()

A

C.5D.6

3.（2023秋.北京海淀.高二校考阶段练习）《九章算术・商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一

为阳马，一为鳖ST阳马居二，鳖腌居一，不易之率也.合两鳖腌三而一，验之以基，其形露矣文中“阳

马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.在阳马P-ABCD中，侧棱底面且

PA=1,AB=A£>=2,则点A到平面PBD的距离为（）

A/2V6「指「布

AA.rD.C.D.

3323

4.（2023秋•高二课时练习）平面的一条斜线和这个平面所成的角。的范围是（）

A.00<3<180°B.0°<6^<90°C.0°<0<90°D.0°<6><90°

5.（2023・全国•高三专题练习）已知正方体ABCD-AiBiCiDi,则DiA与平面ABCD所成的角为（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

6.（2023•全国•模拟预测）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，R4JL平面ABCQ,四边形ABCD为正方形,

PA^AB=1,E、尸为线段PO上的两个动点（不包括端点），且满足班=也，以下结论正确的个数是（）

2

（1）AC±EF；

（2）平面AEC；

（3）二面角七-C的大小为定值；

（4）四面体ACE尸的体积为定值.

R

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.（2019秋・广东佛山・高二佛山市顺德区郑裕彤中学校考期中）已知正方体ABOAB6A棱长为2,则点C

到平面耳的距离为（）

A.1B.72C.20D.2百

8.（2023・全国•高一专题练习）在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,四边形ABCD为矩形，BC=y/2,

PC与平面上钻所成的角为30。，则该四棱锥外接球的体积为（）

A.迪兀B.47371C.逑兀D.还兀

333

9.（2023・四川遂宁•四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知平面a与平面夕所成二面角的平面角为

110,球。与平面d尸相切于点A,8,则过球心。与平面a,月均成30的直线有（）

A.2条