相交线与平行线压轴汇编（解析版）

专题02相交线与平行线压轴汇编

一、单选题

1.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，已知直线2BIIC。，则Na、邛、Zy之间的关系是（）

A.Na+N0—2/y=180°B.乙B一乙a=乙丫

C.乙仇+4/7+Zy=360°D.“+勺一/仇=180°

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过E作EFIINB,贝必8IIC0IEF,然后根据平行线的

性质和角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：如图，过E作EFII4B,

SABWCD,

SABWCDWEF,

回NCDE+乙DEF=180%乙4=AAEF,

S/.DEF=/-DEA—Z.AEF,

回NDEF=N0-Na,

回Ny+乙0一乙a=180°,

故选：D.

2.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，直线a与直线b交于点A,与直线c交于点B,乙1=120。/2=45°,

若使直线b与直线c平行，则可将直线〃绕点A逆时针旋转（）

A.15°B.30°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的判定，先根据邻补角的定义得到60。，根据平行线的性质42=43=45。,

由此得到直线b绕点A逆时针旋转60。-45°=15°.

【详解】解：如图，当直线6与直线c平行时，直线人与直线a夹角锐角是N3,

N1的邻补角为60。，

当直线6与直线c平行时，N2=N3=45。，

••・直线b绕点A逆时针旋转60。-45°=15。.

故选：A.

3.（2024七年级上,全国•专题练习）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角的!比另一个角少20。，那么

这两个角的度数是（）

A.60°和120°B.30%30°或60°、120°

C.都是30。D.30。、120。或30。、60°

【答案】B

【分析】此题考查了角度计算，平行线的性质，一元一次方程的解法.解题的关键是掌握如果两个角的

两边分别垂直，则这两个角相等或互补及方程思想的应用；

首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补.然后设其中一角为无。，由其中一个角的!比另

一个角少20。，得另一个角为G%+20）。，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案.

【详解】解：设其中一角为x°,

回其中一个角的1比另一个角少20。，

回另一个角为《久+20）°,

回两个角的两边分别平行，

回这两个角相等或互补.

①若这两个角相等，如下图，

则x=+20,

解得：x=30,

回这两个角的度数是30。和30。；

②若这两个角互补，如下图,

贝IJ180—X=|x+20,

解得：x=120,

回这两个角的度数是60。和120。.

回这两个角的度数是30。、30。或60。、120°.

故选：B.

4.（24-25八年级上•全国•期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含30。角的三角尺

ABC固定不动，将含45。角的三角尺DBE绕顶点B顺时针转动（转动角度小于180。），当DE与三角尺4BC的

其中一条边所在的直线互相平行时，N4BE的度数是（）

A.15°或45°或60°B.45°或60°或75°

C.15°或45°或105°D.60°或75°或105°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，分三种情况：当DEII2C时；当DEII4B时;

当DE||BC时；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键.

【详解】解：国A4BC是含有30。角的三角板，

回乙4=30°,4ABe=60°,ZC=90°,

0ADBE是含有45。的三角板，

0ZBED=ZD=45°,4EBD=90°,

团在旋转的过程中（转动角度小于180。），DE与△4BC的一边平行，

国有以下三种情况：

如图，当DE||AC时，

cD

AB

0ZC=90°,

团AC1BC,

团DEIIAC,

团BC1DE,

^\BE=BD,Z.EBD=90°,

回BC为4EBD的平分线，BPzEBC=45°,

^Z.ABE=AABC一乙EBC=60°-45°=15°；

如图，当。E||时，

AB

5\DE||AB,

^ABE=NE=45°,

如图，当DE||BC时，

CE

A

WE||BC,

团NCBE=NE=45°,

回NABE=乙ABC+乙CBE=60°+45°=105°；

故选：C.

5.（23-24七年级下•广东江门•期中）如图，ABWCD,尸为4B上一点，FD||E”，且FE平分乙4FG,过点尸作

FG1于点G,且N4FG=2ND,则下列结论:①4。=30°；©2z£>+AEHC=90。；③FD平分N”FB；

④尸”平分NGFD.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对

能力要求较高.根据角平分线的性质和平行线的性质解答.延长FG,交C”于/,构造出直角三角形，利

用直角三角形两锐角互余解答.

【详解】解：FG,交CH于1.

回ABIICD,

=ZD,乙AFI=（FIH,

^\FD\\EH,

^\Z-EHC=Z-D,

团FE平分乙4FG,

^FIH=2/LAFE=2乙EHC,

团34刖？=90°,

^EHC=30°,

回乙D=30°,

回2乙。+乙EHC=2X30。+30°=90°,

回①ND=30。正确；②2ND+Z.EHC=90。正确，

OFE平分N4FG,

0ZXFZ=30°X2=60°,

E1NBFD=30°,

0ZGFO=90°,

0ZGFW+/-HFD=90°,

可见，NHFD的值未必为30。，NGFH未必为45。，只要和为90。即可，

团③尸。平分ZHF8,④FH平分NGF。不一定正确.

故选：B.

6.（23-24七年级下•全国•单元测试）如图，直线AB||CD,M、N分别在直线AB,CD上，以为平面内一点，

连接HM,HN,延长HN至点G,和NGND的角平分线相交于点E.若N"=a,贝此MEN可以用含

a的式子可以表示为（）

A.90°+-B.1800-aC.18。。*D.90°+a

2

【答案】A

【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，以及角平分线的有关计算，过点E作EPII48

交于点。，根据平分ZBMH,NE平分LGND,可得NMEQ=乙BME=^BMH,乙QEN=乙DNE=

+乙GND，即可得/MEN=+ZGND）.则有24MEN=+Z.GND.进而可得NMHN=

乙BMH一乙DNH.则有NGND+-NMHN=180°,即2/MEN—NM”N=180°,代入N”=戊即

可得出答案.

【详解】解：如图，过点E作EPII4B交于点Q,

S\EP\\AB,ABWCD,

0ZMEQ=Z.BME,EPWCD,

国人QEN=乙DNE

又MH平分乙BMH,NE平分乙GND,

⑦乙MEQ=乙BME=g4BMH,乙QEN=乙DNE=乙GND,

0乙MEN=乙MEQ+乙QEN=|（BMH4-乙GND=|（乙BMH+乙GND）.

团2/MEN=乙BMH+Z.GND.

⑦乙GND+乙DNH=180°,乙DNH+乙MHN=乙MON=乙BMH.

团乙MHN=（BMH-乙DNH.

团乙GND+（BMH一乙MHN=180°,

即2/MEN-乙MHN=180°,

团乙H=a,

0/MEN=其180。+a）=90。+a.

故选：A.

7.（22-23七年级下•江苏常州•期末）如图，ABWCD,Z.BAF=^EAF.ADCF=^ECF,则Z71EC与N2FC的

数量关系是（）

A

B

c

A.Z-AEC=3/.AFCB.Z-AEC=4Z-AFC

C./-AEC+3^.AFC=360°D.^AEC+A^AFC=360°

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的性质与判定,用到的知识点为:两直线平行内错角相等.先过点E作EM||AB,

过点尸作FNII4B,由力B||CD,即可得EMII4BIIC0IFN,然后根据两直线平行，同旁内角互补，解答即

可.

【详解】解：如图，过点E作EMIIAB,过点尸作尸N||A8,

固4B||CD,

S\EM\\AB\\CD\\FN,

^BAE+^AEM=180°,乙DCE+乙CEM=180°,

0ZBXE+(AEC+乙DCE=360°,

^AEC=360°-(NBAE+乙DCE),

^BAF=上乙EAF,乙DCF=-Z.ECF,

33

^BAF+乙DCF=1(/BAE+NDCE),

^\AB\\CD\\FN,

^BAF=AAFN,乙DCF=LCFN,

团N/FC=乙AFN+Z.CFN=4BAF+乙DCF=^^BAE+ADCE\

回4乙4FC=^BAE+乙DCE,

国乙AEC=360°-4z^FC,

^AEC+4^AFC=360°；

故选：D.

二、填空题

8.（2024七年级下•上海・专题练习）如图，直线4B、CD相交于点。.已知乙8。。=75。，OE把乙4OC分成两

个角，且N40E=NE0C,将射线OE绕点。逆时针旋转角a（0。<a<360。）至UOF,若NAOF=120。时，a

的度数是°，

A'D

EXQ

【答案】82.5或202.5

【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当0尸在NBOC之间时，当OF在

NBOD之间时，先求解乙40C=NB。。=75。，^AOE=AEOC=37.5°,再分别进一步求解即可.

【详解】解：①当。尸在4BOC之间时，如图.

团直线4B、CD相交于点。，ABOD=75°,

团乙40C=4BOD=75°.

⑦乙AOE=Z-EOC,

团4EOC=37.5°.

团N40F=120°,

^COF=AAOF-^AOC=45°,

⑦乙EOF=Z.EOC+Z.COF=82.5°,即a=82,5；

②当。尸在NB。。之间时，如图.

团直线AB、CD相交于点0,乙BOD=75。,

EIN40C=4BOD=75°.

团乙40E=Z-EOC,

回440E=37.5°.

团乙4。尸=120°,

团/EOF=AAOF+Z.AOE=157.5°,

的=360°-/.EOF=202.5°.

故答案为：82.5或202.5

9.（2025七年级下•全国・专题练习）如图，在直角三角形ABC中，NB4c=90。，将△ABC沿直线向右平

移2cm得至IUD£T,连接给出以下结论：①力BIIDE；②EC=2cm；③48=AADE；@AG=CG-,

⑤BE=AD.其中正确的结论有（填序号）.

【答案】①③⑤

【分析】本题考查了平行线性质，以及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个

新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动

后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等.根据图形平移的性质以

及平行线的性质对各小题进行解答即可.

【详解】解：由平移的性质可知，AD=BE=2cm,AD||BE,AB||DE,

故①、⑤正确；

根据题意得不到EC=2cm,

故②错误；

•••ABWDE,

回=Z-DEC,

胤4。IIBE,

团匕ADE=Z-DEC,

•••Z-B=乙ADE,

故③正确；

EIEC不一定等于2cm,

故证明不出AADGW4CEG,

贝MG不一定等于CG,

故④错误；

综上所述，正确的有①③⑤；

故答案为：①③⑤.

10.（24-25七年级上•吉林长春•期末）如图，ACWEG，点2在2C上，点厂在EG上，连结BF,BD平分NABE,

EH平分乙BEF交BF于点、H,4EBF=乙EFB.给出下面四个结论：

②BF平分NEBC；

③NBFE=AABE；

④乙BFG-乙BEH=90°.

上述结论中，正确结论的序号有.

【答案】①②④

【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质，根据平行线的判定和性质，以及图形中角

度之间的数量关系，逐一进行判断即可.

【详解】解：3ACWEG,

团=Z-BEF,Z.CBF=乙EFB,

回平分EH平分乙BEF,

0ZXSO=乙DBE=-^ABE,乙BEH=乙HEF=-^BEF

22

田乙DBE=乙BEH,

0BDIIEH,故①正确；

@乙EBF=Z.EFB,Z.CBF=乙EFB,

^\Z.EBF=ABF,

MF平分NEBC；故②正确；

EIBD平分乙4BE,BF平分乙EBC,

0ZD5F=-乙ABE,/.EBF=-Z.EBC,

22

0ZDBF=4DBE+乙BEF=-^ABE+-Z.EBC=-{/.ABE+4EBC）=90°,

222'y

^\Z.ABF一乙ABD=乙DBF=90°

^\AB\\EG,

出乙BFG=4ABF,

团BDHEH,

团乙BEH=乙DBE,

团乙48。二（BEH,

^\Z.BFG-^BEH=£.ABF-/.ABD=90°,故④正确；

根据条件无法得到乙8/田=乙48凡故③错误.

故答案为：①②④

11.（23-24七年级下•浙江•期中）将一副三角板按如图放置，匕BAC=^DAE=90°,乙B=45°,乙E=60°,

则：①41=Z3；②“ZD+42=180°；③如果42=30°,则有ACIIDE；④如果42=45°,则有

BC||AD.上述结论中正确的是（填写序号）.

【答案】①②③④

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质.

根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可.

【详解】解：©•••/-BAC=^DAE=90°,

Nl+z.2=42+43=90°,

N1=Z_3,故①正确；

②•••N1+N2+N2+N3=180°,

.­./.CAD+42=180°,故②正确；

③：Z2=30°,

Z.1=乙E=60°,

AC||DE,故③正确;

④：Z2=45°,

,­.43=90°-Z2=45°=ZB=45°,

BC||AD,故④正确；

综上所述，①②③④均正确；

故答案为：①②③④

12.（24-25七年级上•吉林•期末）如图，CD||AB,BC平分N4CD,CF平分乙1CG,点G、C、。在一条直线

上，点B、E、4、F在一条直线上，ABAC=40。，N1=N2,则下列结论：①CB1CF；（2）zl=70°；

③43=2N4；④=2Z4,其中正确的是.

【答案】①②③

【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂直定义等，熟练掌握知识点是解题的关键，

根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等得出乙4FC=N4=

AACF=20%乙BCD=乙2,再根据角的和差即可判断②；根据平行线的性质即可判断③；根据角的

和差计算即可判断④.

【详解】解：Me平分乙4。。，CF平分Z71CG,

HZBCD=NBCA==^ACF=-/LACG,

22

^ACD+/-ACG=180°,

^BCA+AACF=Z4+(BCD=-^ACD+-AACG=90°=乙BCF,

22

0CF1CF,①正确；

0CDH4B,ZSXC=40°,

0ZXCG=ZSXC=40°,乙BCD=乙2,Z1=AECG,

EINAFC=Z4=乙4CF=20°,

0ZBC4=乙BCD=90°-z4=70°=z2,

0Z1=N2=70°,②正确；

回NECG=zl=70°,

Elz3=180°-乙ECG-乙BCD=40°,

0Z3=2N4,③正确；

S^ACE=^ACB-Z3=70°-40°=30°,

0ZXCF丰2N4,④错误；

综上所述：正确的结论有①②③.

故答案为：①②③.

13.（23-24七年级上•四川成都•期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A,B,C三处经

过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即4E||CD）,若乙4=98。，ZB=162°,则

NC的度数是.

【答案】116。/116度

【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键.过点B作BK||4E,

先根据平行线的性质可得乙4BK=NA=98。，从而可得NCBK=64。，再根据平行公理推论可得4E||CD,

根据平行线的性质求解即可得.

【详解】解：如图，过点B作BKII4E,

EINABK="=98°,

0Z4BC=162°,

SZ.CBK=/.ABC-/.ABK=64°,

由题意可知，AE||CD,

^BK||CD,

0ZC=1800-Z.CBK=116°,

故答案为：116。.

14.(20-21七年级下•浙江杭州•期中)।中考新趋势.一题多।叫如图，AB||CD,P?E平分NP]EB,P?F平分

乙P#D,若设NPiEB=K。,NP/D=y°,贝ikPi=度(用x,y的代数式表示)，若P?E平分乙P2EB,P3F

平分4P2FD，可得"3，「花平分”3战得?平分”3尸。，可得乙24，依次平分下去，则度.

n—1

©(x+y)

【分析】(1)过点P1作II力B,根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；

(2)过点R作直线MN||/AB,然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想解决本题.

【详解】(1)

过点B作RHII48,则RHIIAB||CD

乙P[EB=4EPM乙PiFD=乙FP[H

而NEP#=NEP/+4FP]H

乙EP]F=乙P]EB+乙P/D

[3NP1EB,4Pg,乙A满足的数量关系是乙匕=+Z_P/D=x。+y。

故答案为：(x+y)

(2)

过点Pi作直线MN||AB,

所以NPiEB=乙MPjE=x°.

又因为48||CD,

所以MN||CD,

所以NP/。=4FP[M=y°,

所以NEPiF=乙EP]M+乙FPjM=x0+y°；

因为P2E平分NPiEBJzF平分乙DFP「

所以4P2EB=|zBEP1=|x°,

乙DFP2=^ADFP1=|y°.

只同理可证NEP2F=乙P2EB+/-DFP2=|x°+|y°=1(x°+y°).

2

以此类推：ZP3=(|)(x°+y°)„

乙P&=G)(x°+y°),

乙Pn=匕）（X。+y°）

©?1—1

（x+y）

【点睛】此题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，添加辅助线是解题的关键，利用归纳推理的

思想解决.

15.（24-25七年级上,黑龙江哈尔滨,阶段练习）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了

数学图形.如图力B||CD,乙4=15。，ZF=122°,ZC=13°,NAEF和NFGC的角平分线EH、交于

点“，贝吐"=度.

【答案】47

【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质等知识，作EMII4B,FKWAB,HJWAB,GNWAB,

由题意得到4BIIEMIFKII孙IGNIICD,进而得到42+Z7+z5+Z10=乙EFG=122°,由角平分线的性

质得到N1+Z2=Z7,Z5+Z6=Z10,再得到42+45=47。即可求解，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：作EMIL4B,FKWAB,HJ\\AB,GN\\AB,如图：

^AB\\CD9

^AB\\EM\\FK\\HJ\\GN\\CD,

回=Z-A—15°,z6=zC=13°,z2=z_3,z4=z_5,z2+z7=z_8,z9=zlO+z5,

团乙2+z7+z5+zlO=z8+z9=乙EFG=122°,

团EH平分4AEF,GH平分NFGC,

团乙1+z2=z7,z5+z6=zlO,

回z_2+z.1+z.2+z.5+z.5+z.6=122°,

团乙1+2z2+Z6+2/5=122°,

回41=15°,Z6=13°,

团2乙2+2z5=94°

团2（42+Z5）=94°,

回42+45=47°,

回z_2=43,z4=z5,

团43+N4=47°,

即NEHG=47°,

故答案为：47.

16.（23-24七年级下•全国•单元测试）如图，/IB||CD,E为2B上一点，且EF1CD,垂足为F,CE1DE,

CE平分Z71EG,且NCGE=a,则下列结论：

①乙EDG=ja：

②乙CEB=2a；

③NCEF=90°-p

④EIFED+NDCE+NFGE=180。；其中正确的有.（请填写序号）

CFGD

E

【答案】①④/④①

【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到NCGE=

乙GEB=a,乙EDG=乙DEB,/.AE=180°-乙CGE=180°-a,再由角平分线的定义得至UZTIEC=

ACEG=90°-1a,则由平角的定义可得NCEB=90。+),据此可判断②；由垂线的定义得到乙4EC+

乙DEB=90°,则WEB=|cr,再由平行线的性质得到NEDG=乙BED=|«,据此可判断①；先证明

乙4EF=90°,得至此力EC+乙CEF=90°,贝UNCEF=|a,据此可判断③；分另怵出“ED=90°-|a,

/.BEC=90°-|a,乙FGE=a,据此可判断④.

【详解】解：••・乙CGE=a,AB||CD,

乙CGE=乙GEB=a,乙EDG=乙DEB,^AE=180°-4CGE=180°-a,

•••CE平分N&EG,

.­./.AEC=/.CEG=-/.AEG=90°—

22

：.^CEB=180°-ZX£C=90°+ja,故②错误；

•••CELDE,即NCED=90。，

^AEC+乙DEB=90°,

1

z.DEB=-a,

2

9CAB||CD,

国乙EDG=乙BED=|a,故①正确

•・•EF1CD,AB||CD,

：.EF1AB.

・•.AAEF=90°,

・••/.AEC+Z.CEF=90°,

/.zCEF=|a,故③错误；

Z.GED—Z.GEB—乙DEB=-a,

2

Z.CEF=乙GED,

ZFFO=90°-/.BED=90°--a,NBEC=180。一4NEC=90。一%,乙FGE=a

22

：.^FED+/.DCE+/-FGE=180°,故④正确；

综上所述，正确的有①④，

故答案为：①④.

17.（23-24七年级下•黑龙江牡丹江•期末）如图，点E在C4延长线上，DE,48交于点R且NBDE=NE,

ZB=ZC,NEB4比NFDC的余角小10。，尸为线段DC上一点，。为CD上一点，且满足NfQP=NQFP,

FM为NEFP的平分线.下列结论：@AB||CD；②4B+NE=150°；③FQ平分N2FP；④“FM=20°,

其中结论正确的序号是.

【答案】①③④

【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义，准确识图，熟练

掌握平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义是解决问题的关键.

①根据NBDE=NE得CE||BD,贝UNE力F=NB,再根据NB=NC得NEAF=NC,由止匕可对结论①进

行判断；

②设NEF4=a,根据4B||CD得4FDC=Z.EFA=a,再根据NEF4比NFDC的余角小10。，得a+10°=

90°-a,则a=40。，即NFDC=NEF2=40。，过点E作£K||48,贝Ij/KEF=NEF4=40°,/.KEA+

^.EAF=180°,由止匕得NFEH+NEAF=140°,然后根据CE||8。得NEAF=AB,进而得NfEA+=

140°,由此可对结论②进行判断；

③设乙FQP=々QFP=0,根据2B||CD得乙4FQ==£,贝吐4"=NQFP=0,由此可对结论

③进行判断；

④根据NEF4=40°,AAFQ=乙QFP=0得4EFP=40°+2£,再根据FM为NEFP的平分线得NEFM=

Z.PFM=^EFP=20°+^,然后根据NQFM=NPFM—NQFP可得出NQFM的度数，进而可对结论④

进行判断.

【详解】解：①.：乙BDE=4E,

：.CE||BD,

•••Z.EAF=Z-B,

•••Z-B=Z.C,

•••Z.EAF=Z.C,

・•・AB||CD,

故结论①正确；

②设NEF4=a,

由①可知4B||CD,

Z.FDC=Z.EFA=a,

•・•NE凡4比4FDC的余角小10。,

•••仇+10。=90°-a,

解得：a=40。，

•••Z-FDC—Z.EFA=a=40°,

过点E作EK||48,如图所示:

CQPD(KEF=Z.EFA=40°,Z.KEA+Z.EAF=180°,

・•・乙KEF+/.FEA+Z.EAF=180°,

即40。+Z.FEA+LEAF=180°,

・•・/.FEA+Z.EAF=140°,

•・•CE||BD,

・•.Z,EAF=乙B,

・•・AFEA+48=140°,

故结论②不正确；

③；乙FQP=乙QFP,

设=4QFP=0,

•••AB||CD,

•••Z.AFQ=乙FQP=0,

.­./.AFQ=/-QFP=0,

AFQ^-^-AAFP,

故结论③正确；

④由②可知NEF4=40。，由③可知：乙AFQ=LQFP=0,

：.Z.EFP=Z.EFA+Z.AFQ+乙QFP=400+20,

•••FM为NEFP的平分线，

11

乙EFM=乙PFM="EFP=1(40°+20)=20。+0,

.­./.QFM=4PFM-乙QFP=20°+£—£=20°,

故结论④正确，

综上所述：正确的结论是①③④.

故答案为：①③④.

三、解答题

18.（23-24九年级下•四川成都•阶段练习）为切实做好校内"午餐托管”工作，某学校食堂为参加"午餐托管”

的学生提供了四种价格的午餐供其选择四种价格分别是46元；B：7元；C:8元；D10元.为了

解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数

据给制成了如下两幅尚不完整的统计图.根据图中信息解决下列问题:

部分同学购餐价格条形统计图部分同学购餐价

格扇形统计图

⑴求被抽查的学生人数，并补全条形统计图;

（2）被抽查学生购买午餐费用的众数为元，中位数为元;

⑶若该校参加"午餐托管"的学生有2000人，请估计购买10元午餐的学生有多少人?

【答案】（1）50人，补全条形统计图见详解

（2）8,8

（3）280

【分析】此题主要考查了条形统计图与扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决

问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

（1）根据6元的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，然后用总人数乘以7元的人数所占的百分

比，求出7元的人数，从而补全统计图；

（2）根据众数和中位数的定义即可得出答案；

（3）用该校的总人数乘以购买10元午餐的学生所占的百分比即可.

【详解】（］）解：被抽查的学生人数有：6-12%=50（人），

7元的人数有：50X36%=18（人），

补全统计图如下：

部分同学购餐价格条形统计图

（2）78出现了19次，出现的次数最多，

众数是8元；

••・共有50个数，中位数是低25、26个数的平均数，

•••中位数是：等=8（元）；

故答案为：8,8；

（3）根据题意得：

2000X14%=280（人），

答：估计购买10元午餐的学生有280人.

19.（2024七年级上•全国•专题练习）生活情境•山路"公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公

路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题：

在图2中，ABWCD,4B=125。，^PQC=65°,NC=145。，求NBPQ的度数.

图1

【答案】85。

【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点P向左作PMIIA8,过点Q向右作QNIIAB,由平行线的判定

方法得4BIIPMIIQNIICD,由平行线的性质得N8PM=55。,"QN=35°,由角的和差得"QN=Z.PQC-

NCQN,即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键.

【详解】解：如图，过点P向左作PMII4B,过点Q向右作QNII4B,

贝!MBIIPMIIQNIICD,

.•・/LABP+乙BPM=180°,

乙DCQ+乙CQN=180°,

乙MPQ=(PQN,

•・•乙B=125°,C=145°,

・•・乙BPM=180°-125°=55°,

乙CQN=180°-145°=35°,

•・•(PQC=65°,

・•・(PQN=乙PQC一乙CQN

=65°-35°=30°,

・•.&PM=(PQN=30°,

・•・乙BPQ=乙BPM+(QPM

=55°+30°=85°.

20.(21-22七年级下•河北保定•期中)如图，已知A8IICDIIEF.

AB

(l)zx=60°,Zy=150°,求4z的度数；

(2)猜想4%,4y、Zz三者之间的关系并加以说明.

【答案】⑴30度

(2)Zx+Zy-Zz=180°,见解析

【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用；

(1)由CDIIEF可得NCEF=30。，由ZB||EF可得4%=乙4EE,再进一步解答即可；

(2)由(1)可得=180。-47,4％=乙4EF=4Z+NCEF,即=再整理即可.

【详解】(1)解:•・•CD||EF/y=150°,

・•.Z,CEF=180°-zy=30°.

•••AB||EF,

z.x=Z-AEF=z.z+Z-CEF.

•・•乙CEF=30。，4%=60°,

Zz+30°=60°,

Zz=30°.

(2)解：zx+zy—Zz=180°.

理由如下：

由(1)可知，Z,CEF=180°—Z.y,z.x=Z.AEF=zz+Z.CEF,

BPzCEF=zx-zz,

・•・180°—zy=zx—z.z,

整理，得4%+<y-Nz=180。.

21.（2024七年级上•全国・专题练习）如图Q,AB||CD,猜想乙8尸。与乙8、△。的关系，并说明理由.

B

⑴填空：

解：猜想NBPD+48+ND=360。.理由：过点P作EFII4B,如图e所示，所以+/BPE=180。

（①）.因为力B||CD,EF||AB,所以EF||CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么

②）,所以NEPD+ND=180。（③）,所以NB+NBPE+NEPD+

乙D=@,即NB+乙BPD+ND=360°；

（2）依照上面的解题方法，观察图6,已知AB||CD,猜想图中的N8P0与NB、4。的关系，并说明理由;

⑶观察图c和图d,已知AB||CD,猜想图中的NBPD与NB、ND的关系，不需要说明理由.

【答案】（1）①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互

补；④360°

（2）乙BPD=NB+m见解析

（3）图c中N8P。=-NB,图d中NBPD=NB-

【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键.

（1）根据平行线的性质补充完整即可；

（2）过点尸作EF||4B,根据平行线的性质求解即可；

（3）过点尸作EF||2B,根据平行线的性质求解即可.

【详解】（1）解：猜想N8PD+NB+4。=360。.

理由：过点P作EFIIAB,如图e所示，

AB

E

7一声

CD

e

所以48+NBPE=180°（①两直线平行，同旁内角互补）.

因为48||CD,EF||AB,

所以EFIICD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行），

所以NEPD+AD=180。（③两直线平行，同旁内角互补），

所以48+4BPE+乙EPD+ZD=360。④，即NB+乙BPD+=360°.

故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互

补；④360°

（2）解：猜想NBPD=NB+AD.

理由：过点尸作EFII2B,如图所示，

所以48=ABPF.

因为48||CD,EF||AB,

所以EF||CD,

所以N。=4DPF,

所以NB+ZD=乙BPF+乙DPF=乙BPD,即NBPD=NB+ND；

(3)解：图c中NBPD=ND-/B,图d中NBPD—

如图c,过P作EFIIAB,

贝=乙BPF,

因为AB||CD,EF||AB,

所以EF||CD,

所以N。=乙DPF,

⑦乙BPD=Z-DPF-Z-BPF=LD—乙B；

如图d,过P作EFIIAB,

AB

贝IJNB=乙BPF,

因为ZB||CD,EF||AB,

所以EF||CD,

所以ND=4DPF,

El/BPD=Z-BPF-Z.DPF=Z.B-Z.D.

22.（24-25七年级上•吉林•期末）已知，直线AB||DC,点P为平面内一点，连接4P与CP.

⑴如图1,当点P在直线AB,CD之间，且N82P=60°,乙DCP=20。时，贝此2PC=°

(2)如图2,当点P在直线AB,CD之间，且AB2P与NDCP的角平分线相交于点K,写出N4KC与乙4PC之

间的数量关系，并说明理由.

⑶如图3,当点「在。。下方时，NB4P与乙DCP的角平分线相交于点K(K在CD下方)，且NB4P=a,

乙DCP=B,直接写出NK的大小(用含a和0的代数式表示).

【答案］⑴80

(2)2乙4KC=N4PC,理由见解析

(3)|a-

【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造

内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算.

(1)先过P作PE||AB,根据平行线的性质即可得到"PE=NB4P,乙CPE=ADCP,再根据乙4PC=

AAPE+乙CPE=4BAP+NDCP进行计算即可；

(2)过K作KEII4B,根据KE||AB||CD,可得N4KE=NB4K,乙CKE=LDCK,进而得到乙4KC=

4AKE+乙CKE=4BAK+乙DCK,同理可得，^APC=^BAP+ADCP,再根据角平分线的定义，得出

4BAK+乙DCK=|4力PC,进而得至U2N4KC=N4PC；

(3)过K作KE||AB,根据KE||AB||DC,可得NB2K=^AKE,乙DCK=乙CKE,进而得至【JNAKC=

乙AKE—乙CKE=LBAK—乙DCK,乙APC=LBAP—乙DCP=a-0,再根据角平分线的定义，得出

乙BAK-乙DCK=|N力PC，进而得至U2N4KC=NAPC,即可求角轧

【详解】（1）解：如图1,过P作PEIIZB,

BA

Dc

图1

MB||DC,

・•・PE||AB||CD,

・•・/,APE=/-BAP,乙CPE=£DCP,

•••^APC=/-APE+乙CPE=(BAP+乙DCP=60°+20°=80°,

故答案为：80；

(2)解：2AAKC=^APC,理由如下:

如图2,过K作KE||45,

BA

团48||DC,

・•.KE||AB||CD,

••・乙AKE=乙BAK,乙CKE=2DCK,

・•・乙AKC=^AKE+(CKE=乙BAK+乙DCK,

过P作PFII48,

固4B||DC,

团PFIIAB||DC,

/.Z.APF=2LBAP,乙CPF=^DCP,

・•・^APC=^LAPF+乙CPF=4BAP+乙DCP,

・•・^APC=乙BAP+NDGP,

・•・MAP与"CP的角平分线相交于点K,

•••LBAK+乙DCK=-ABAP+-ADCP=■4BAP+乙DCP)=jzXPC,

22

.­.2/.AKC=Z-APC-,

(3)如图3,过K作KE||AB,

B

图3

固4B||CD,

回KE||AB||DC,

团匕BAK=4AKE,乙DCK=（CKE,

^AKC=乙AKE-乙CKE=乙BAK一乙DCK,

过P作PF||AB,

回AB||CD,

@PF||AB||DC,

AAAPF=Z.BAP,乙CPF=^DCP,

•••^APC=/-APF-乙CPF=乙BAP一乙DCP,

・•・AAPC=乙BAP一乙DCP=a-/?,

比B/P与"CP的角平分线相交于点K,

^\Z.BAK=-^BAP,乙DCK=L^DCP,

22

EINBAK-^DCK=-Z-BAP--^DCP=-（zBXP-乙DCP）=-/.APC,

222',2

I32N4KC=N力PC,

i11

S^AKC=-^APC=-a--B.

2221

23.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，已知AB||CD,乙4=70。.点P是射线48上一动点（与点4不重

合），CE,CF分别平分乙4cp和NDCP交射线AB于点E,F.

⑴求NECF的度数，若乙4=n。，请直接用含n的式子表示NECF；

(2)随着点P的运动，设乙4PC=a,々AFC=B，a与£之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此

数量