导学案数学第九章92921第1课时总体取值规律的估计

9.2用样本估计总体9.2.1总体取值规律的估计第1课时总体取值规律的估计【学习目标】1.掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法.2.掌握用频率分布直方图估计总体.【素养达成】数据分析数学运算一、频率分布直方图的相关概念1.从频数到频率(1)频率表示频数与总数的比值.(2)频率反映了相对总数而言的相对强度,其所携带的总体信息远超过频数.在实际问题中,如果总体容量比较小,频数也可以较客观地反映总体分布;当总体容量较大时,频率就更能客观地反映总体分布.2.频率分布直方图(1)定义:频率分布直方图中每个小长方形的底边长是该组的组距,每个小长方形的高是该组的频率与组距的比,从而每个小长方形的面积等于该组的频率,即每个小长方形的面积=组距×频率组距=频率.我们把这样的图叫作频率分布直方图(2)频率分布直方图与频率的关系频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.(3)频率分布直方图的优点①能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别.②当考虑数据落在若干个组内的频率之和时,可以用相应长方形面积之和来表示.二、频率分布直方图的绘制步骤【教材深化】组距的选择应力求“取整”,如果极差不利于分组(如不能被组数整除),可适当增大极差,如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同).三、总体取值规律的估计1.从频率分布表可以看出,样本观测数据落在各个小组的比例大小.2.从频率分布直方图可以看出,样本的观测数据分布对称情况、左右高低情况、数据集中情况、从左到右的变化趋势等.【教材深化】总体分布指的是总体取值的频率分布规律,由于总体分布不易知道,因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数.(×)提示:频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的频率.(2)频率分布直方图中所有小长方形面积之和可以大于1.(×)提示:频率分布直方图中所有小长方形面积之和等于1.(3)样本量越大,用样本的频率分布去估计总体的频率分布就越准确.(√)类型一频率分布直方图的绘制(数据分析)【典例1】从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛,成绩分组(单位:分)及各组的频数如下:[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.(1)列出样本的频率分布表;(2)画出频率分布直方图;(3)估计成绩在[60,90)的学生比例.【解析】(1)频率分布表如图:成绩分组频数频率频率/组距[40,50)20.040.004[50,60)30.060.006[60,70)100.20.02[70,80)150.30.03[80,90)120.240.024[90,100]80.160.016合计501.000.1(2)频率分布直方图如图所示.(3)学生成绩在[60,90)的频率为0.2+0.3+0.24=0.74=74%,所以估计成绩在[60,90)的学生比例为74%.【备选例题】为了解九年级学生中女生的身高(单位:cm)情况,某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量,所得数据整理后列出频率分布表如表.分组频数频率[145.5,149.5)10.02[149.5,153.5)40.08[153.5,157.5)200.40[157.5,161.5)150.30[161.5,165.5)80.16[165.5,169.5]mn合计MN(1)求出表中m,n,M,N的值;(2)画出频率分布直方图;(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多?估计九年级学生中女生的身高在161.5cm及以上的频率.【解析】(1)方法一N=1.00,n=1(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04,m0.04解得m=2,M=1+4+20+15+8+2=50.方法二M=10.02=50,m=50(1+4+20+15+8)=2,N=1.00,n=mM=2(2)画出频率分布直方图,如图所示.(3)由频率分布直方图可知,样本中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多,且身高在161.5cm及以上的频率为0.16+0.04=0.20,由此可估计全体女生中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多,九年级学生中女生的身高在161.5cm及以上的频率约为0.20.【总结升华】在绘制出频率分布表以后,画频率分布直方图的关键就是确定小长方形的高.一般地,频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的,合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定),然后以各组的“频率组距”所占的比例来定高【即学即练】为了解学校高一年级男生的身高情况,选取一个容量为60的样本(60名男生的身高),分组情况如下(单位:cm):分组[147.5,155.5)[155.5,163.5)[163.5,171.5)[171.5,179.5]频数62127m频率a0.1(1)求出表中a,m的值;(2)画出频率分布直方图.【解析】(1)依题意得6+21+27+m=60,则m=6,a=2760=0.45(2)根据频率分布表,可求第一组、第二组的频率分别为660=0.1,2160=0.画出频率分布直方图如图所示.【补偿训练】某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验,其得分如下(单位:分):4864528671486441867971688284686462688157905274735678476655645688694073976856675970527944556962583258根据上面的数据,回答下列问题:(1)这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少?(2)将区间[30,100]平均分成7个小区间,试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表,进而画出频率分布直方图.【解析】(1)这次测验成绩的最低分是32分,最高分是97分.(2)根据题意,列出样本的频率分布表如表:分组频数频率[30,40)10.02[40,50)60.12[50,60)120.24[60,70)140.28[70,80)90.18[80,90)60.12[90,100]20.04合计501.00频率分布直方图如图所示.类型二频率分布直方图的相关计算与应用(数据分析)【典例2】志愿者的服务工作对亚运会的举办十分重要.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85,95],绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.(1)求a,b的值;(2)根据组委会要求,本次志愿者选拔录取率为19%,请估算被录取至少需要多少分.【解析】(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7,所以(0.045+0.020+a)×10=0.7,解得a=0.005.由题意可知,(0.005×2+b+0.045+0.020)×10=1,解得b=0.025.(2)由频率分布直方图得[45,55),[55,65),[65,75),[75,85)的频率分别为0.05,0.25,0.45,0.2,因为0.05+0.25+0.45=0.75<0.81,0.05+0.25+0.45+0.2=0.95>0.81,所以录取分数应该落在第四组,设录取分数为x,则0.75+0.02·(x75)=0.81,解得x=78,所以被录取至少需要78分.【总结升华】频率分布直方图的性质(1)因为小长方形的面积=组距×频率组距=频率,所以各小长方形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小(2)频数相应的频率=样本容量(3)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内的可能性.【即学即练】(2024·亳州高一期末)如图所示为某企业员工年龄(岁)的频率分布直