导学案数学第六章64641平面几何中的向量方法

6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例【学习目标】1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.能用向量方法解决物理中的力学与航行问题.【素养达成】逻辑推理、数学运算数学建模、数学运算类型一利用平面向量解决几何问题(逻辑推理、数学运算)角度1计算问题【典例1】如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=12DC.(1)AD的长;(2)∠DAC的大小.【解析】(1)设=a,=b,则=+=+13=+13()=23+13=23a+13b.所以||2==23a+13b2=49a2+2×29a·b+19b2=49×9+2×29×3×3×cos120°+19×9=3,即(2)设∠DAC=θ(0°<θ<120°),则θ为与的夹角.所以cosθ==(23a+13b所以θ=90°,即∠DAC=90°.【总结升华】用向量法解决平面几何中的计算问题(1)求长度:①根据图形特点选择基底,利用向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;②建立坐标系,将向量用坐标表示,利用|a|=x2+(2)求角度:将所求角转化为两个向量的夹角,再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值,然后求出该夹角,最后转化为所求角.【即学即练】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC的中点,则cos∠BDC等于()A.725 B.725 C.0 D【解析】选B.如图,以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),所以=(3,4),=(3,4).又∠BDC为,的夹角,所以cos∠BDC==-9+165×5=7角度2证明问题【典例2】(教材提升·例2)如图,在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E,F,使BE=DF.用向量方法证明:四边形AECF是平行四边形.【证明】在平行四边形ABCD中,=,又由BE=DF,则=,则有+=,即=,则有AE∥FC且AE=FC,故四边形AECF是平行四边形.【总结升华】用向量法证明平面几何问题(1)基底法:选取基底,用基底表示相关向量,利用向量的线性运算或数量积找到对应关系;(2)坐标法:建系,用坐标表示相关向量,利用向量的坐标运算找到对应关系.注意:最终需要将运算结果“翻译”成几何关系.【即学即练】(一题多解)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=12AB,求证:AC⊥【证明】方法一:因为∠CDA=∠DAB=90°,AB∥CD,CD=DA=12AB所以设=e1,=e2,|e1|=|e2|,则=2e2.所以=+=e1+e2,==(e1+e2)2e2=e1e2.而·=(e1+e2)·(e1e2)=e12e=|e1|2|e2|2=0,所以⊥,即AC⊥BC.方法二:如图,建立平面直角坐标系,设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).所以=(1,1),=(1,1).所以·=(1,1)·(1,1)=1+1=0.所以AC⊥BC.【补偿训练】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,F分别为边AB,BC上的点,且AE=EB,2BF=FC.求证:CE⊥AF.【证明】因为=+=+12,=+=+13=+13()=23+13.由·=0且||=||,得·=(+12)·(23+13)=131312·=0,所以CE⊥AF.类型二利用平面向量解决物理问题(数学建模、数学运算)角度1力学问题【典例3】如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受的拉力为F1.(1)判断|F1|,|F2|随θ的变化而变化的情况;(2)当|F1|≤2|G|时,求角θ的取值范围.【解析】(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知,G=F1+F2.如图,根据直角三角形可得|F1|=|G|F2|=|G|·tanθ.当θ从0°趋近90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大;(2)令|F1|=|G|cos因为0°≤θ<90°,得cosθ≥12,所以0°≤θ≤60°故角θ的取值范围为0°≤θ≤60°.【总结升华】用向量法解决物理中的力学问题(1)将题中涉及的力用向量表示,利用向量加法的平行四边形法则对力进行分解或合成,再结合三角形的相关知识求解;(2)力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力和位移对应的两个向量的数量积,即W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角).【即学即练】(2024·咸阳高一检测)已知两个力F1=5i+3j,F2=2i+j,F1,F2作用于同一质点,使该质点从点A(8,0)移动到点B(20,15)(其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位:N,位移的单位:m).(1)求F1,F2分别对质点所做的功;(2)求F1,F2的合力F对质点所做的功.【解析】(1)根据题意,F1=5i+3j=(5,3),F2=2i+j=(2,1),=(12,15),故F1对该质点做的功W1=F1·=60+45=105(J);F2对该质点做的功W2=F2·=24+15=9(J).(2)根据题意,F1,F2的合力F=F1+F2=(3,4),故F1,F2的合力F对该质点做的功W=F·=3×12+4×15=96(J).【补偿训练】如图,一根细绳穿过两个定滑轮P,P',且两端分别挂有质量为3kg,4kg的重物.现在两个滑轮之间的绳上挂一个质量为5kg的重物,恰巧使得系统处于平衡状态,求此时绳子形成的角∠POP'的大小.【解析】由题设,要使系统处于平衡状态,,方向上的合力刚好提起5kg的重物,所以三个方向上的(矢量)力可构成一个三角形,且三边比例为3∶4∶5,所以OP,OP'相互垂直,即∠POP'=90°.角度2航行问题【典例4】(教材提升·例4)如图所示,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10km/h,水流速度的大小为|v2|=4km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).(1)当cosθ多大时,船能垂直到达对岸?(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短?为什么?【解析】(1)船垂直到达对岸,即v=v1+v2,且与v2垂直,即(v1+v2)·v2=0,所以v1·v2+v22=0,即|v1||v2|cosθ+所以40cosθ+16=0,解得cosθ=25(2)设船航行到达对岸所需的时间为th,则t=d|v1|sin所以当θ=90°时,船的航行时间最短为120而当船垂直到达对岸时,由(1)知sinθ=215所需时间t=d|v1|sin2184>1故当船垂直到达对岸时,航行所需时间不是最短.【总结升华】用向量法解决物理中的航行问题(1)将题中涉及的速度与位移用向量表示,利用向量加法的平行四边形法则对位移和速度进行分解或合成,再结合三角形的相关知识求解;(2)此类问题需要注意航行时间最短与航程最短的不同.【即学即练】(2024·菏泽高一检测)如图,一条河两岸平行,河的宽度AC=3km,一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点,船在河内行驶的路程AB=2km,行驶时间为0.2h.已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|,水流的速度v2的大小为|v2|=2km/h.求:(1)|v1|;(2)船在静水中速度v1与水流速度v2夹角的余弦值.【解析】(1)因为船在河内行驶的路程AB=2km,行驶时间为0.2h,所以船沿AB方向的速度为|v|=20.由AC=3km,AB=2km,根据勾股定理可得:BC=22-3=1(km),所以∠BAC=30°,即v2由v=v1+v2,得v1=vv2,所以|v1|=(v-=102-2×2×10cos60°(2)因为v=v1+v2,所以v2=(v设v1与v2的夹角为θ,即100=(221)2+2×221×2×cosθ+22,解得cos即船在静水中速度v1与水流速度v2夹角的余弦值为2114教材深一度三角形“心”的向量表示已知O,N,P,Q在△ABC所在的平面内,(1)O为外心:①||=||=||;②(+)·=(+)·=(+)·=0;(2)N为重心:++=0;(3)P为垂心:·=·=·;(4)内心Q所在的向量:=λ+(λ∈(0,1)).【典例5】(多选)点O在△ABC所在的平面内,则以下说法正确的有()A.若++=0,则点O为△ABC的重心B.若·=·=0,则点O为△ABC的垂心C.若(+)·=(+)·=0,则点O为△ABC的外心D.若·=·=·,则点O为△ABC的内心【解析】选AC.选项A,设D为BC的中点,由于=(+)=2,所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D),所以O为△ABC的重心;选项B,向量,分别表示在边AC和AB上的单位向量,设为和,则它们的差是向量,则当·=0,即⊥时,点O在∠BAC的平分