导学案数学第八章84841平面

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面【学习目标】1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.3.理解三个基本事实及其推论,能利用三个基本事实及其推论解决相关问题.【素养达成】直观想象直观想象直观想象、逻辑推理一、平面1.平面的概念几何中所说的“平面”,是从生活中的课桌面、黑板面、平静的水面等抽象出来的.平面是向四周无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.3.平面的表示如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.二、点、直线与平面之间的关系及符号表示点P在直线l上P∈l点P在平面α外P∉α点P在直线l外P∉l直线l在平面α内l⊂α点P在平面α内P∈α直线l在平面α外l⊄α【版本交融】(人BP61尝试与发现)几何体中点、线、面之间的关系,能否用数学符号来表示?提示:能.点与直线、点与平面用元素与集合的关系表示,直线与平面用集合间的关系表示.三、平面的基本事实及其推论1.基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l【版本交融】(苏教P163)用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定,将一把直尺置于桌面上,通过是否漏光就能检查桌面是否平整,为什么?提示:用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定是基于基本事实1;将一把直尺置于桌面上,通过是否漏光就能检查桌面是否平整是基于基本事实2.【版本交融】(人BP93情境与问题)两个平面相交时,公共点具有什么特点?提示:公共点都在同一条直线上.2.推论推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面(图①).推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面(图②).推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面(图③).教材深化1.对基本事实1中的“有且只有一个”的理解:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,“且”强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词.2.三个基本事实的作用:基本事实1:确定平面;基本事实2:确定直线在平面内;基本事实3:确定点共线.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若A∈a,a⊂α,则A∈α.(√)(2)过三点A,B,C有且只有一个平面.(×)提示:过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面.(3)一条直线与一个点能确定一个平面.(×)提示:当点在直线上时不能确定一个平面.(4)两个不重合的平面可能存在有限个公共点.(×)提示:要么没有公共点,要么有无数个公共点.类型一平面及点、线、面关系的符号表示(直观想象)【典例1】(1)下图中的两个相交平面,其中画法正确的是__________.(填序号)

【解析】对于①,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画,故①的画法不正确.同理可知②③图形的画法不正确,④中图形的画法正确.答案:④(2)(教材P128T4改编)用符号表示下列语句,并画出图形:①平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B;②点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.【解析】①用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.②用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB,如图.【总结升华】三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形中有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着先用文字语言表示,然后用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.【即学即练】(多选)下列选项中图形的画法正确的是()A.点A在平面α内B.直线l在平面α内C.直线l交平面α于点PD.三个平面两两相交【解析】选AC.线在面内,表示直线的线段必须画在表示平面的平行四边形内部,故B错误;三个平面两两相交,有一条交线或者有三条交线,三条交线可能交于同一点也可能互相平行,D选项中没有三条交线平行的情形,故D错误.易知AC正确.【补偿训练】根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形.①l⊂α,m∩α=A,A∉l;②P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.【解析】①直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图①.②直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图②.类型二点、线共面问题(直观想象、逻辑推理)【典例2】(易错·对对碰)用“共面”“不共面”或“不一定共面”填空:(1)两两相交且不过同一点的三条直线__________;

(2)两两相交且过同一点的三条直线__________.

【解析】(1)两两相交且不过同一点的三条直线共面,证明如下:已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:证法一(纳入法):因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又l2⊂α,所以B∈α.同理可证C∈α.因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α.所以直线l1,l2,l3在同一平面内.证法二(重合法):因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α.因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.(2)两两相交且过同一点的三条直线不一定共面,有以下两种情况:①这三条直线在同一个平面内相交,如图.②这三条直线不共面,如图.答案:(1)共面(2)不一定共面【总结升华】证明点、线共面的方法证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论,常用的方法有:(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线也在这个平面内.(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.【即学即练】(教材P132T6改编)如图,已知:a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ⊂α.【证明】因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a⊂β,点P∈β.因为P∈b,b⊂α,所以P∈α.又因为a⊂α,所以α与β重合.所以PQ⊂α.【补偿训练】如图所示,已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c和l共面.【证明】因为a∥b,所以a,b确定一个平面α.因为A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.所以a,b,l都在平面α内,即b在a,l确定的平面内.同理可证c在a,l确定的平面内.因为过a与l只能确定一个平面,所以a,b,c,l共面于a,l确定的平面.类型三点共线、线共点问题(逻辑推理)角度1点共线问题【典例3】如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1C∩平面ABC1D1=E.求证:B,E,D1三点共线.【证明】如图,连接A1B,CD1,BD1,因为A1C∩平面ABC1D1=E,所以E∈A1C,E∈平面ABC1D1.因为A1C⊂平面A1BCD1,所以E∈平面A1BCD1.由于平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,根据基本事实3可知B,E,D1三点共线.【总结升华】点共线问题的关注点(1)主要依据:基本事实3.(2)证明方法:①首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上;②选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.【补偿训练】如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且直线EH与直线FG交于点O.求证:B,D,O三点共线.【证明】因为E∈AB,H∈AD,所以E∈平面ABD,H∈平面ABD.所以EH⊂平面ABD.因为EH∩FG=O,所以O∈平面ABD.同理O∈平面BCD,即O∈(平面ABD∩平面BCD),所以O∈BD,即B,D,O三点共线.角度2线共点问题【典例4】如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,B1P=2PA1,C1Q=2QA1.求证:直线AA1,BP,CQ相交于一点.【证明】如图,连接PQ.由B1P=2PA1,C1Q=2QA1,得PQ∥B1C1,且PQ=13B1C1又BC∥B1C1,且BC=B1C1,所以PQ∥BC,且PQ=13BC所以四边形BCQP为梯形,所以直线BP,CQ相交,设交点为R,则R∈BP,R∈CQ.又BP⊂平面AA1B1B,CQ⊂平面AA1C1C,所以R∈平面AA1B1B,且R∈平面AA1C1C,所以R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上,即R∈AA1,所以直线AA1,BP,CQ相交于一点.【总结升华】证明三线共点的思路先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这一