导学案数学第八章83832圆柱圆锥圆台球的表面积和体积

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【学习目标】1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法.2.会求由圆柱、圆锥、圆台、球构成的简单组合体的表面积与体积.3.能解决圆柱、圆锥、圆台、球的“切”“接”问题.【素养达成】直观想象、数学运算直观想象、数学运算直观想象、数学运算一、圆柱、圆锥、圆台的表面积项目圆柱圆锥圆台侧面展开侧面积2πrlπrlπr'表面积2πrr+lπrr+lπ(r'2+r2+r'l+rl)【版本交融】(人BP78尝试与发现)为了求圆柱、圆锥、圆台的表面积,分别需要知道哪些条件?提示:底面半径与母线长.【教材挖掘】(P117思考)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?提示:当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面缩为一个点时,得到圆锥.由此可得:S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r'+r)lS圆锥侧=πrl.二、圆柱、圆锥、圆台的体积1.圆柱:V=πr2h(r是底面半径,h是高);2.圆锥:V=13πr2h(r是底面半径,h3.圆台:V=13πhr'2+r'r+【教材挖掘】(P117思考)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系?提示:(1)圆柱、圆锥、圆台体积的关系(2)柱体、锥体、台体的体积柱体:柱体的底面面积为S,高为h,则V=Sh.锥体:锥体的底面面积为S,高为h,则V=13台体:台体的上、下底面面积分别为S',S,高为h,则V=13(S'+SS'+S(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V柱体=ShV台体=13(S'+S'S+S)hV锥体=1三、球的表面积和体积球的表面积:S球=4πR2;球的体积:V球=43πR3.(其中R【版本交融】(苏教版P205)我们把球面被经过球心的平面截得的圆称为大圆,球的表面积与球的大圆面积有何大小关系?提示:球的表面积恰好是球的大圆面积的4倍.【版本交融】(北师大版P242思考交流)过球外一点,可以作球的无数条切线,所有切点组成什么图形?这个平面与所有切线围成了一个什么图形?提示:所有切点组成一个圆,圆面与所有切线围成一个圆锥.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥体积的三倍.(√)提示:由圆柱、圆锥的体积公式可知正确.(2)圆锥的侧面展开图为扇形,其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.(√)提示:由圆锥侧面展开图可知正确.(3)球的表面积和体积是关于半径的函数.(√)提示:球的表面积和体积的大小,只与球的半径相关,给定R都有唯一确定的S和V与之对应,是关于R的函数.(4)球面被平面截得的圆的半径等于球的半径.(×)提示:球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.类型一圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积(直观想象、数学运算)角度1圆柱、圆锥、圆台的表面积【典例1】(易错·对对碰)如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积为__________;

(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积为__________.

【解析】(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面半径是4,下底面半径是16,母线DC=52+(16-4)2(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图.其中圆锥的高为164=12,圆柱的母线长为AD=4,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.答案:(1)532π(2)130π【总结升华】求圆柱、圆锥、圆台的表面积的步骤(1)得到空间几何体的平面展开图.(2)依次求出各个平面图形的面积.(3)将各平面图形的面积相加.【即学即练】1.(2024·江西高一期末)如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的体积是16πcm3,那么它的侧面积等于________cm2.

【解析】设圆柱的底面圆的半径为r,则高为2r,故πr2·2r=16π,解得r=2,所以圆柱的侧面积为2πr·2r=4π×4=16π(cm2).答案:16π2.表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为__________.

【解析】设圆锥的母线为l,圆锥底面半径为r,由题意可知,πrl+πr2=3π,且πl=2πr.解得r=1,即底面直径为2.答案:2角度2圆柱、圆锥、圆台的体积【典例2】(1)如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为()A.5π B.6π C.20π D.10π【解析】选D.用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.(2)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3 C.22π D.42π【解析】选B.绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合、等体积的圆锥组合而成,每一个圆锥的底面半径和高都是2,故所求几何体的体积V=2×13×π×(2)2×2=4【总结升华】圆柱、圆锥、圆台的体积求法(1)直接法:根据几何体的结构特征,确定底面积和高,代入体积公式直接求出;(2)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积;(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,先求再去.【补偿训练】(2024·盐城高一检测)如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体,圆锥部分的高为0.5米,圆柱部分的高为2米,底面圆的半径为1米,则该组合体体积为()A.π3立方米 B.C.5π2立方米 D.13π【解析】选D.圆柱体积为π×12×2=2π(立方米),圆锥体积为13×π×12×0.5=π所以该组合体的体积为2π+π6=13π6类型二球的表面积与体积(直观想象、数学运算)【典例3】(类题·节节高)(1)已知球的直径为6cm,求它的表面积和体积;(2)已知球的表面积为64π,求它的体积;(3)已知球的体积为500π3,求它的表面积【解析】(1)因为球的直径为6cm,所以球的半径R=3cm.所以S球=4πR2=36π(cm2),V球=43πR3=36π(cm3)(2)因为S球=4πR2=64π,所以R2=16,即R=4.所以V球=43πR3=43π×43=(3)因为V球=43πR3=500π3,所以R3=125,即R=5.所以S球=4πR2【总结升华】求球的表面积与体积的关注点(1)一个关键:球的半径;(2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方;②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.【即学即练】两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为__________.

【解析】设大、小两球半径分别为R,r,则由题意可得R-r所以它们的体积和为43πR3+43πr3=答案:364π类型三旋转体的“切”“接”问题(直观想象、数学运算)【典例4】(易错·对对碰)如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱.(1)圆柱的体积与圆锥的体积分别为__________;

(2)图中圆台的表面积与体积分别为__________.

【解析】设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,则R=OC=2,圆锥的母线长AC=4,所以圆锥的高AO=42-2如图所示,易知△AEB∽△AOC,所以AEAO=EBOC,即323=(1)圆柱的体积V1=πr2h=π×12×3=3π.圆锥的体积V2=13π×22×23=83(2)圆台的上底面半径r=1,下底面半径R=2,高h=3,母线l=2,所以圆台的表面积S=π(r2+R2+rl+Rl)=π(12+22+1×2+2×2)=11π.圆台的体积V=13π(r2+rR+R2)h=13π(12+2+22)×3=7答案:(1)3π,83(2)11π,73【总结升华】旋转体的“切”“接”问题的解题策略在处理旋转体的“切”“接”问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,这类截面往往指的是旋转体的轴截面.【即学即练】圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相等)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.

【解析】设球的半径为r,放入3个球后,圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r=8πr2+3·43πr3,即2r=8,所以r=4cm答案:4教材深一度球的截面性质用一个平面去截一个球,截面是圆面,如图,球的截面有以下性质:①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面;②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系d=R2【典例5】如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8c