备战2025年中考数学真题题源解密（全国）专题04 二次根式（6类中考高频题型归纳与训练）（解析版）

专题04二次根式课标要求考点考向1、了解二次根式的概念，能从具体的式子中正确识别出二次根式。即学生需要知道形如√a（a≥0）的代数式称为二次根式，并且理解根号内的被开方数必须是非负数。2、掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题。例如，在含有二次根式的表达式中，根据二次根式有意义的条件，确定字母的取值范围。3、利用二次根式的性质和四则运算的法则进行简单的四则运算。这包括对二次根式进行加、减、乘、除等运算，以及在运算过程中运用二次根式的性质进行化简。4、通过实际生活中的问题，引导学生用含根号的式子表示问题的结果，从而体会二次根式与实际生活的紧密联系。5、在二次根式的学习中，学生需要通过对具体问题的分析和解决，逐步建立起对二次根式的抽象认识。考点一二次根式的概念和性质考向一二次根式的定义和性质考向二二次根式有意义的条件考点二二次根式的运算二次根式的乘除考向二二次根式的加减考向三二次根式的混合运算考向四二次根式的应用考点一二次根式的概念和性质易错易混提醒（1）被开方数的条件：1、非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即a≥0。因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。2、唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。（2）最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2.被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2。那么，这个根式叫做最简二次根式。►考向一二次根式的定义和性质1．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（

）化简：甲同学：原式；乙同学：；丙同学：；丁同学．A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学【答案】B【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．【详解】解：，∴开始出现错误的同学是乙同学，故选B．2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可．【详解】解：，∵，∴，∴，∴，故选：B．3．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为．【答案】【分析】直线直线可知，点坐标为1,0，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键．【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点，∴点坐标为1,0，∴，过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，

∵为等边三角形，∴∴，∴∴，当时，，解得：，∴，，∴，∴，∴，∴当时，，解得：，∴；而，同理可得：的横坐标为，∴点的横坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，最简二次根式、掌握探究的方法是解本题的关键.►考向二二次根式有意义的条件4．（2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，∴的取值范围是．故选：B．5．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】解：二次根式有意义，，解得．故选：A．6．（2024·上海·中考真题）已知，则．【答案】1【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可．【详解】解：根据题意可知：，∴，解得：，故答案为：1．考点二二次根式的运算易错易混提醒加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。乘法：二次根式可以进行乘法运算。两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化►考向一二次根式的乘除7．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（

）A． B． C．14 D．【答案】D【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：，故选：D8．（2024·贵州·中考真题）计算的结果是．【答案】【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算．【详解】解：原式==，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则（a≥0，b＞0）是解题关键．9．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（）A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间【答案】C【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．【详解】解：∵，而，∴，故答案为：C10．（2024·天津·中考真题）计算的结果为．【答案】【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关►考向二二次根式的加减11．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围．【详解】解：∵，∵，∴，故选：B．12．（2024·山东青岛·中考真题）计算：．【答案】/【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【详解】解：，故答案为：．13．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【详解】A.不能合并，所以A选项错误；B.，所以B选项正确；C.，所以C选项错误；D.，所以D选项错误．故选：B．►考向三二次根式的混合运算14．（2024·甘肃·中考真题）计算：．【答案】0【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】．15．（2024·上海·中考真题）计算：．【答案】【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．【详解】解：．16．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：．【答案】【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键．【详解】解：．17．（2024·山西·中考真题）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（）；（2），．【分析】（）根据有理数乘法，二次根式的性质，二次根式的除法，零指数次幂运算法则进行计算即可；（）先算括号内的单项式乘以多项式，平方差公式，再合并同类项，最后算多项式除以单项式即可；本题考查了实数的混合运算和整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：（1）原式，；（2）原式，，当时，原式．►考向四二次根式的应用18．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，归纳类推得：第七行共有个数，则第八行左起第1个数是，故选：C．19．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，设∴，∴，由题意得：，∴，∵，∴，故选：A20．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为．【答案】/【分析】将顺时针旋转得到，再证明，从而得到，再设设，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，从而利用完全平方公式得到，从而得解．【详解】解：∵正方形的边长为1，∴，，将顺时针旋转得到，则，∴，，，，∴点P、B、M、C共线，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，设，，则，，∴，∵，∴，即，整理得：，∴，当且仅当，即，也即时，取最小值，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识，证明和得到是解题的关键．21．（2024·河北·中考真题）情境

图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）操作

嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：（1）直接写出线段的长；（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．【答案】（1）；（2），；的长为或．【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度．（1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可；（2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可．【详解】解：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，∴，由拼接可得：，由正方形的性质可得：，∴，，为等腰直角三角形，∴为等腰直角三角形，设，∴，∴，，∵正方形的边长为，∴对角线的长，∴，∴，解得：，∴；（2）∵为等腰直角三角形，；∴，∴，∵，，∴；如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，此时，，符合要求，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，此时，，∴，综上：的长为或．22．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．提出问题销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？分析问题某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示．小明设计了如下三种铲籽方案．方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．解决问题在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长；解决问题：利用作差法比较三种方案即可．题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，∴每行铲的路径长为，∵每列有k个籽，呈交错规律排列，∴相当于有行，∴铲除全部籽的路径总长为，故答案为：；；；方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，∴每列铲的路径长为，∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，∴相当于有列，∴铲除全部籽的路径总长为，故答案为：；方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，∴铲除全部籽的路径总长为：；解决问题由上得：，∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；，∵，当时，，，∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．一、单选题1．（2024·广东江门·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行解题即可．【详解】解：A.，不是最简二次根式；B.，不是最简二次根式；C.，不是最简二次根式；D.是最简二次根式；故选D．2．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查同类二次根式的概念，根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和是同类二次根式．【详解】A．与不是同类二次根式，故该选项错误；B．与不是同类二次根式，故该选项错误；C．与是同类二次根式，故该选项正确；D．与不是同类二次根式，故该选项错误；故选：C．3．（2024·重庆·模拟预测）计算的结果为（

）A．4 B．3 C．1 D．【答案】B【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算解答即可．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：，故选B．4．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】本题考查二次根式的运算，考查学生的运算能力，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算二次根式的减法，再计算除法即可．【详解】，故选：B．5．（2024·宁夏银川·模拟预测）下列计算，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则逐项判断即可解答，掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．【详解】、，原选项计算错误，不符合题意；、与不是同类二次根式，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；、，原选项计算正确，符合题意；、，原选项计算错误，不符合题意；故选：．6．（2024·云南·模拟预测）估算的结果在（

）A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间【答案】B【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算法则，进行计算，再利用夹逼法求出无理数的范围即可．【详解】解：，∵，∴，故选B．7．（2024·河北秦皇岛·一模）若使算式“”的运算结果最小，则“”表示的运算符号是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算和大小比较，掌握二次根式的运算是解题的关键．分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果的大小即可．【详解】解：，，，，∵，∴〇表示的运算符号是“”时，运算结果最小，故选：B．8．（2024·辽宁·模拟预测）下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查二次根式的化简、二次根式的混合运算、完全平方公式，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．A将二次根式化简到最简即可；B根据加法法则运算即可；C根据计算即可；D结合完全平方公式和二次根式的运算法则计算即可．【详解】解：A、，故选项不符合题意．B、，故选项不符合题意．C、，故选项不符合题意．D、，故选项符合题意．故选：D．9．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解．【详解】∵∴∴故选：A．10．（2024·湖北·模拟预测）如图，在菱形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．连接，若，，则菱形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得知，由菱形的性质可得出，．设，则，由勾股定理解出，最后根据菱形的性质求面积即可．【详解】解：由作图知，，四边形是菱形，，，，设，，∴，，在中，由勾股定理得，，或（舍去），，，菱形的面积，故选：A．【点睛】本题考查了垂线的尺规作图，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定定理以及菱形的性质是解题的关键．11．（2024·河南新乡·模拟预测）如图1，中，．D是斜边上一动点，从点B运动到点C停止，连接，过点A作，且使（点E在直线右侧），点F是中点，连接，设，，y随x变化的图象如图2所示，b为曲线最低点的纵坐标，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接并延长，过点A作，交于点H，过点F作于点G，连接，证明，得出，说明点E在过点C垂直的直线上，根据垂线段最短，得出当点E在点G处时，最小，即；当点D在点C处时，在点H处，此时最大，求出，最后求出结果即可．【详解】解：连接并延长，过点A作，交于点H，过点F作于点G，连接，如图所示：∵中，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴点E在过点C垂直的直线上，∵垂线段最短，∴当点E在点G处时，最小，∵点F为的中点，∴，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∴的最小值为，即；∵，，∴为等腰直角三角形，∴，当点D在点C处时，在点H处，此时最大，∵，∴的最大值为，即，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，分别求出a、b的值．12．（2024·湖南·模拟预测）设，则不超过的最大整数为（）A．2027 B．2026 C．2025 D．2024【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据把原式的对应项化简，然后计算求解即可．【详解】解：对于正整数，有，∴，∴，，∴不超过的最大整数为2024．故选：D．二、填空题13．（2024·吉林长春·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为．【答案】3【分析】本题主要考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式定义可知，求出解即可．【详解】∵与最简二次根式是同类二次根式，∴，解得．故答案为：3．14．（2024·河北·模拟预测）若a的倒数是，则的值为．【答案】【分析】本题考查的是倒数的含义，二次根式的化简，先求解，再化简即可．【详解】解：∵a的倒数是，∴，∴；故答案为：．15．（2024·山东泰安·一模）如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是．【答案】24【分析】题目主要考查二次根式的应用，理解题意，根据正方形的面积确定大正方形的边长即可求解．【详解】解：∵两个面积分别为8和18的小正方形，∴大正方形的边长为：，∴大正方形的面积为：，∴剩余的面积为：，∴阴影部分的面积是24，故答案为：24．16．（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为．【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，把代入式子计算即可得出答案，熟练掌握运算方法是解此题的关键．【详解】解：由题意得：当时，，故答案为：．17．（2024·吉林·模拟预测）比较大小：6．（填“＞”或“＜”）【答案】＜【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大．首先求出、6的平方的值，比较出它们的平方的大小关系；然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出与6的大小关系即可．【详解】解：，，，．故答案为：．18．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是．【答案】/【分析】本题考