高等数学教程 下册（第4版）课件：无穷级数

给定一个常数列其中第

n项称为级数的一般项或通项.定义

称为常数项无穷级数,简称级数.8.1

常数项级数的概念和性质

无穷级数8.1.1常数项级数的概念定义8.1级数的前n项和称为该级数的部分和.记为如果则称级数收敛,则称

s为级数的和,则称级数发散.如果部分和数列的极限不存在,称为级数的余项.显然有当n充分大时,当级数收敛时,其部分和是级数和s的近似值.级数和与部分和之差

解例1讨论等比级数(又称几何级数)的收敛性,其中q叫做级数的公比.发散;

发散.级数变为收敛;

发散;

综上所述重要结论:例公比为q的几何级数的和解因例2判定级数的敛散性.所以,该级数收敛,且其和为1.则1.线性性质k为任意常数,(1)如果

8.1.2收敛级数的基本性质(2)如果

则2.余和定律

任意给定正整数N,证设级数的部分和为的部分和为注意到

余和定律得证.

级数与级数的敛散性相同.

由余和定律,去掉、增加或改变一个级数的有限项不会改变这个级数的敛散性(但是“级数的和”一般会改变).例3讨论无穷级数的敛散性.解该级数是在收敛的几何级数前面添加了101项.由余和定律,它也是收敛的.

如果级数收敛,则对该级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛,且其和不变.证

设有收敛的级数

则3.加括号原则

任意加括号后所成的级数为

收敛发散推论

如果加括号后所成的级数发散,则原级数也发散.例如,注意:加括号后收敛的级数,原来的级数不一定收敛.例4证明调和级数发散.证对调和级数按如下方式加括号令只要证明发散即可说明调和级数发散.有故级数发散.因此,调和级数发散.注意到

注意:调和级数增长非常缓慢.证设定理8.1

(级数收敛的必要条件)若级数

收敛,则所以8.2

常数项级数的审敛法8.2.1级数收敛的必要条件说明:

调和级数的通项收敛于0,但是级数发散,说明不是级数收敛的充分条件.因此,级数收敛的必要条件常用于判断级数发散,而不能用于判断级数收敛.例1判断下列级数的敛散性:

解题思路:若

则级数发散.解(1)因所以,级数(1)发散.(2)令则所以,级数(2)发散.则称该级数称为正项级数.8.2.2正项级数及其审敛法由单调有界数列必有极限,

可得下面重要定理.显然,正项级数部分和数列单调增加.定理8.2正项级数收敛当且仅当它的部分和数列有界.定理8.3(正项级数的比较审敛法)证即部分和数列有界,则收敛;(1)若收敛,(2)若发散,所以

收敛.且则发散.(2)

用反证法

若收敛,则由(1)可知也收敛,矛盾.故发散.解p-级数的部分和为由调和级数发散,例2讨论p-级数的敛散性(常数p>0).证明部分和数列有上界,有

发散.从而收敛.

等比数列

而重要参考级数:

几何级数,p-级数,

调和级数.通常取是敛散性已知的级数作为比较的标准,用于判断的收敛性.重要结果:例3

讨论下列级数的敛散性:解

(1)因由比较审敛法,级数(1)发散.(2)因

由比较审敛法,级数(2)收敛.证反之不成立.例如,收敛,发散.由级数收敛的必要条件因级数

收敛,例4设正项级数收敛,证明收敛.反之是否成立?由比较审敛法知

收敛.所以两级数有相同的敛散性;定理8.4(正项级数的比较审敛法的极限形式)如果则现只证(1)由余和定律和比较审敛法

,即两级数有相同的敛散性.敛散性相同;比较审敛法可以理解成当时如下的无穷小比较.解设例5判定级数的敛散性.

故,原级数收敛.因定理8.5(p—级数审敛法)解(1)因故级数(1)发散.例6讨论下列级数的敛散性:(2)因故,级数(2)收敛.故,级数(4)收敛.(3)因(4)因故,级数(3)发散.定理8.6(比值审敛法)

(1)当时级数收敛;设是正项级数,如果则(2)当时级数发散.证有即故原级数收敛.所以,当时,原级数发散.当时,比值审敛法的优点:不必找参考级数.注意:

当时,级数可能收敛也可能发散.2.若用比值判别法判定级数发散注:级数的通项un不趋于零.1.适用于或关于n的若干连乘积(或商)形式.例如,级数级数收敛3.条件是充分的,而非必要的.例如,所以,级数所以,不存在.解因例7判别级数的敛散性.故,原级数收敛.例8判别级数的敛散性.解当0<a<1时,收敛;当a>1时,发散;当

a=1时,原级数为收敛.解例9

讨论级数的敛散性.

不存在对级数利用比值审敛法,可知

收敛.所以,

不能直接用比值审敛法再由正项级数的比较审敛法知,原级数收敛.定理8.7(柯西根值审敛法)设

是正项级数,则

时级数收敛;

如果说明:注意:

当时,级数可能收敛也可能发散.时级数发散.但反之不对.例10判别级数

的敛散性,解故此级数收敛.用比值审敛法故比值判别法无法鉴别此级数的收敛性.*定理8.8(积分审敛法)设

是正项级数,N为某个自然数.如果存在

上的单调函数有相同的敛散性.使得则级数与广义积分解*例11判断下列级数的敛散性广义积分所以级数(1)发散;广义积分发散,广义积分所以级数(2)收敛.正、负项相间的级数称为交错级数.8.2.3交错级数定理8.9(莱布尼兹定理)则级数收敛,即形如如果交错级数满足条件:分析:证证毕例如,都是收敛的交错级数.也是收敛的交错级数.余项注:比较un与un+1大小的方法有三种:(1)比值法,

??(3)由un找出一个连续可导函数考察?(2)差值法,

用莱布尼茨定理判别交错级数是否收敛时,要考察un与un+1大小.使得例12解且满足莱布尼兹定理的条件:根据莱布尼茨定理,所给级数收敛.为交错级数,且其和s<1.解令所以,原级数收敛.例13

判别级数

的敛散性.则且且例如,均条件收敛;定义8.2

若

收敛,则称

为绝对收敛;而级数绝对收敛.正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.8.2.4绝对收敛与条件收敛任意项级数思想:正项级数若

收敛,而

发散,则称

为条件收敛.证又因注:

一个条件收敛的交错级数的所有奇数项所成的级数是发散的,所有偶数项所成的级数也是发散的.定理8.10

若级数绝对收敛,则级数一定收敛.通常先考查它若使用比值法或根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项不趋对于交错级数,利用无穷级数的性质将级数拆开为如不是绝对收敛的,再看它是否条件收敛.便可断言级数发散.莱布尼茨定理.然后讨论敛散性也是常用手段.两个级数,讨论任意项级数的收敛性时,是否绝对收敛(用正项级数的审敛法),于零),

可用解由定理知,原级数绝对收敛.例14

讨论级数

的敛散性.例15若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?解原级数是交错级数,利用莱布尼兹定理条件收敛.例16解绝对收敛级数的性质定理8.11(无限交换律)绝对收敛的级数在任意重条件收敛的级数不具备这个性质，而且可以证明，对于条件收敛的级数，适当地交换各项的次序所组成的更序级数可以收敛于任何预先给定的数或发散。排后,仍然绝对收敛且和不变.的xn

项的系数的求法.考虑无穷级数的乘法问题.

xn

的系数是称级数为级数和级数的柯西乘积.(柯西原理)

定理8.12其和分别是和，若级数和都绝对收敛，则它们的柯西乘积即级数也绝对收敛，且其和为.例17自乘得到的柯西乘积：的充要条件是:柯西审敛原理

定理证:设所给级数部分和数列为因为所以,利用数列的数列极限存在的柯西准则即得本定理的结论.8.3幂级数8.3.1函数项级数的概念是定义在上的函数项级数.称为定义在区间I上的函数项无穷级数.

定义1设是定义在区间I上的函数列,表达式

例如,级数所有发散点的全体称为发散域.函数项级数的所有收敛点的全体，称为收敛域,发散点.定义2如果数项级数收敛,则称为级数的收敛点,否则,称为设函数项级数的部分和为余项(x在收敛域上)注意:函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数(x∈D)定义3

在收敛域D上,函数项级数的和是x的称为函数项级数的和函数.函数则项级数的收敛问题.是公比为x的几何级数,在收敛域内,其和函数是发散域为其收敛域为同理例如,级数解由比值判别法,有

原级数绝对收敛.例1求级数

的收敛域.(1)当原级数发散.收敛;发散;故,原级数的收敛域为(2)当(3)当形如8.3.2幂级数及其收敛性称为x的幂级数.称为幂级数的系数.简称幂级数.的函数项级数,称为的幂级数,设其意义在于用多项式近似s(x).是公比为x的几何级数,其收敛域为级数在一般的情形下,幂级数的收敛域都是区间.证(1)定理8.13(阿贝尔定理)则它在满足的一切x处发散.处收敛,处发散,若幂级数若幂级数即存在常数

M>0,使得则它在满足的一切x处绝对收敛;从而数列有界,由结论(1),这与所设矛盾.使级数收敛,若有一点x1适合则级数在处应收敛,收敛区域发散区域发散区域几何说明推论8.1也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定幂级数绝对收敛;幂级数发散.幂级数可能收敛,也可能发散.的正数R存在,它具有下列性质:如果幂级数

不是仅在x=0一点收敛,幂级数的收敛域一定是下列四个区间之一:

规定:定义(1)幂级数只在x=0处收敛,规定收敛域为x=0;(2)幂级数对一切

x都收敛,规定收敛域为正数R称为幂级数的收敛半径.问题:如果幂级数处条件收敛,其收敛半径R=?证设定理8.14由比值判别法,则如果幂级数的所有系数收敛半径收敛,发散,并且从某个n开始从而级数发散.从而级数绝对收敛.(1)如果收敛,从而级数绝对收敛.收敛半径发散,收敛半径(2)如果(3)如果例1求幂级数的收敛半径与收敛域.解故发散;故收敛域为收敛.解例2求幂级数的收敛半径与收敛域.收敛域为解仅在x=0收敛.例3求幂级数的收敛半径与收敛域.所以,收敛半径为解例4求幂级数的收敛半径与收敛域.收敛;故收敛域为[1,3].收敛.所以,当收敛,定理8.15

(收敛半径的根值计算法)解例5求幂级数

的收敛半径与收敛域.原级数的一般项不趋于零,收敛域为级数发散.解原级数绝对收敛,级数发散.例6求幂级数的收敛域.级数发散.原级数的收敛域为8.3.3幂级数的性质及幂级数的和函数的收敛半径分别为R1和R2,取其中性质2和函数且逐项求导后收敛半径不变.并有逐项求导公式

性质1和函数在收敛域上连续.设性质3和函数有逐项积分公式逐项积分后收敛半径不变.若注:幂级数逐项微分与逐项积分后收敛半径不变,

但是收敛域可能不同.解例7

求幂级数

的和函数.解例8

求幂级数

的和函数.当x=0时,显然s(0)=1.故s(x)在点x=0是连续的.事实上,另外,由,有解例9

求的收敛域及和函数，故并求数项级数的和.幂级数的收敛域为.常用幂级数的和函数练习求的收敛域与和函数.解令收敛域为当时,收敛,当时,收敛,和函数为可得设上节的问题是幂级数在其收敛域内以

f(x)为和函数.现在的问题是反过来,如果f(x)可以展开成幂级数1.那么函数

f(x)应当具有什么性质?8.4泰勒级数8.4.1泰勒级数2.幂级数的系数怎样计算?我们有

由于幂级数在其收敛域内无穷次可导,即有因此,f(x)必然在此区间内有任意阶导数.将x

=

x0代入上面各式,即得

任意阶的导数.定理8.16

如果函数

f(x)在

x0的某一邻域定理的结论称为幂级数展开式的唯一性.于是,就证明了如下定理.内可以展开成的幂级数,则则称幂级数如果函数

f(x)在点

x0处任意次可微,为

f(x)在点

x0处的泰勒级数.为函数

f(x)的麦克劳林级数.特别地,

当x0=0时,称幂级数记为

在

x0的某一邻域成立,如果点的泰勒展开式.

则称上式函数是

f(x)在

x0定理8.17

如果函数

f(x)在

x0的某一邻域内有任意阶的导数.则其中

介于x与x0之间.的充分必要条件是

证(1)是带拉格朗日余项的泰勒中值定理;

(2)是收敛级数的定义.

1.直接展开法求函数f(x)的麦克劳林级数的步骤:

(2)写出麦克劳林级数并求出收敛半径R;8.4.2函数展开成幂级数(3)验证是否有

验证的方法有两种:余项分析与和函数分析

(1)

求出f(x)的各阶导数与它们在处的值,然后代入从而判断是否有

和函数分析是求出和函数

余项分析是指,如果

则有

解其收敛半径为例1将展开成x的幂级数.于是余项其中

介于0与x之间.余项分析对任一确定的是收敛级数

的一般项.是确定的数,而所以在

上恒有于是或于是则且解微分方程

得和函数分析解因例2将展开成x的幂级数.故其收敛半径为故因所以其中

介于0与x之间.解因例3将展开成x的幂级数,其中不是自然数.又因因泰勒公式的余项比较复杂,现直接求它的和函数.令逐项求导,得上式两端同乘然后合并同类项.再注意到于是

的存在唯一性,即可证明f(x)=F(x).注意到f(x)满足上述方程,由线性微分方程解于是利用已知函数展开式,2.间接展开法根据展开的唯一性,等方法,求展开式.通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分的结果是一致的.它与直接展开法得到例4将展开成x的幂级数.例5将展开为x的幂级数.解设利用有例6将展开为x的幂级数.解而两边积分解例7将

展开为

的幂级数.f(x)=ln(1+x)在x

=1处连续,且在x=1处收敛.例8将解常用已知和函数的幂级数解练习将函数且即故于是解练习求数项级数

的和.例9计算积分解因8.4.3幂级数的应用1.近似计算由逐项积分公式得误差

取前三项,得2.微分方程的幂级数解法例10求微分方程满足解设则由可得于是从而的特解.代入方程,得即上式是恒等式,所以各项系数必全为零,因此

所求特解为3.欧拉公式其中为虚数单位.欧拉公式的形式推导如下:同样

这两式相加减可得

此式也称为欧拉公式.

不难验证,常见函数中常数都换成复数,极限法则、求导法则和积分法则等仍然成立.傅里叶级数也称为三角级数,是指形如的函数项级数.三角函数表示谐波或简谐振动,因此上述傅里叶级数可以看做是谐波的叠加.8.5傅里叶级数非正弦周期函数:矩形波分解成不同频率正弦波逐个叠加设想是把一个复杂的周期函数

f(t)表示为即8.5.1三角函数系

称为三角级数各类正弦函数

的迭加,问题:(1)f(x)应具备什么条件才能展开成如上三角级数?同样需要考虑两个问题:(2)如果f(x)可以展开成三角级数,那么系数ak,bk为此,先介绍三角函数系.该如何确定?三角函数系其中任何两个不同的函数的乘积在区间即在上的正交性是指:即上的积分不为0.

三角函数系中每个函数自身的平方在

8.5.2周期为的函数的傅里叶级数展开问题:f(x)若能展开成三角级数,

是什么?两边积分利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性由系数公式所确定的三角级数傅里叶系数公式:

称为函数

f(x)(诱导出)的傅里叶级数,f(x)

记为问题:当

f(x)满足什么条件时,它的傅里叶级数收敛?

收敛定理8.15(收敛定理狄利克雷充分条件)

设

f(x)是以

为周期的周期函数,是

f(x)的傅里叶级数,则如果

f(x)在逐段单调,收敛定理等价于:如果设傅里叶级数的和函数为S(x)，即则特别地,当

f(x)为奇函数时,它的傅里叶系数为当

f(x)为偶函数时,它的傅里叶系数为f(x)的傅里叶级数为称为正弦级数;称为余弦级数.f(x)的傅里叶级数为设函数

f(x)以

为周期,且

其傅氏级数在

处收敛于().所以,周期函数的傅里叶级数展开步骤:(由图形写出收敛域;求出第一类间断点)(2)求出傅里叶系数;(3)写出傅里叶级数,并注明它在何处收敛于

f(x).

画出

f(x)的图形,收敛定理条件;并验证是否满足狄利克雷解例1设将

f(x)展开为傅里叶级数.

f(x)的图象由狄利克雷充分条件收敛于

计算傅里叶系数故

f(x)的傅里叶级数为(2)将F(x)展开为傅里叶级数;作法收敛定理的条件,也可展开成傅里叶级数.(周期延拓);级数收敛于8.5.3只在区间上有定义的函数的傅里叶级数的展开如果

f(x)只在区间上有定义,并且满足得到一定义在这样就得到f(x)展开式;解例2

将函数展开为傅里叶级数.拓广的周期函数的傅里叶级数展开式在因函数在区间上满足收敛定理的条件,收敛于

f(x).又f(x)是偶函数f(x)是偶函数已知函数的傅氏展开式为利用傅氏展开式也可求数项级数的和设收敛定理的条件,我们首先将函数f(x)的定义延8.5.4将定义在区间上的函数展开成正弦级数或余弦级数如果

f(x)只在区间上有定义,并且满足拓到区间上,得到一定义在上的函数F(x),使它在内成为奇函数(偶函数),

按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓然后将F(x)展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数(余弦级数).

(偶延拓).

(1)奇延拓则f(x)

的傅里叶级数:再限制x在区间上,就得到f(x)展开式的正弦级数(余弦级数)展开式.(2)偶延拓则f(x)

的傅里叶级数:解

(1)展开成正弦级数.正弦级数和余弦级数.例3将函数分别展开成对f(x)进行奇延拓,(2)展开成余弦级数.对f(x)进行偶延拓,解练习设练习已知级数求级数的和.解所以,(1)把f(x)展开为正弦级数;(2)求级数的和函数S(x)在解(1)上的表达式;正弦级数练习设函数如图所示(2)求级数的和函数S(x)在上的表达式;(3)先作变量代换

8.5.5周期为2l的周期函数的傅里叶级数条件,若周期为2l的周期函数

f(x)满足收敛定理的展开成傅里叶级数的方法是:

将函数变换到再利用周期为

的周期函数的傅里叶级数展开法,最后回到变量x,就得到f(x)的傅里叶展开式则有(1)如果

f(x)为奇函数,其中,傅里叶系数为则有(2)如果

f(x)为偶函数,其中系数解例4设

f(x)是周期为4的周期函数,它在的表达式为将其展开成傅里叶级数.和函数图形且满足收敛定理的条件.解所以,原级数非绝对收敛.数项级数习题课例1

判别级数是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛.故,原级数条件收敛．由莱布尼兹定理:该交错级数收敛,有设因此,故,原级数发散.例2判断级数的敛散性.解因收敛,发散,例3

判断下列级数的敛散性.解(1)因所以,级数(1)发散.(2)因注:所以,级数(2)收敛.(3)利用积分审敛法.因所以,级数(3)发散.例4讨论级数的收敛性,其中常数具有相同的敛散性,时,级数收敛，时,级数发散.解例5证明利用比值判别法证作正项级数由级数收敛的必要条件,有所以正项级数收敛．例6试确定级数它收敛于且满足

并问它是绝对收敛还是条件收敛?解由

得所求级数是一个公比为的几何级数,再由得

故所求级数为该级数绝对收敛.例7设级数收敛,证明：收敛.

证因

而正项级数

与

均收敛.

由正项级数的比较判别法：因此,绝对收敛,故收敛.

正项级数收敛.解例8设级数C级数例9

证明级数

发散.证因故从而由级数收敛的必要条件,原级数发散.一、单项选择题：1.若收敛,则下列级数收敛的是【】C2.若发散,则下列级数发散的是【】D练习题3.设

p为常数,则级数【